Übungsblatt 11 „HAM Teil Statistik “ Master M Aufgabe 3

„HAM Teil Statistik “ Master M
Prof.Dr.B.Grabowski
Übungsblatt 11 „HAM Teil Statistik “ Master M
Prof.Dr.B.Grabowski
Spezielle stetige Verteilungen
Die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung
Aufgabe 1
Die Zufallsgröße X sei stetig gleichverteilt auf dem Intervall [a,b]
Zeigen Sie, dass gilt:
EX =
a+b
2
und VarX =
(b − a ) 2
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Aufgabe 2
Die Lebensdauer T von KFZ-Batterien des Typs „Bleinix“ ist exponentialverteilt mit der
erwarteten Lebensdauer ET = 3 Jahre.
a) Wie viel % aller Batterien haben eine Lebensdauer > 3 Jahre?
b) Welche Lebensdauer überschreiten 90% aller Batterien nicht?
Rechnen mit der Normalverteilung.
Aufgabe 3)
Sei X ~ N(0,1). Skizzieren und berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten unter
Verwendung der Tabelle der Standardnormalverteilung::
a) P(X > -4),
b) P(-2<X<1),
c) P(|X-1|<1)
e) Bei welchem Wert x gilt: P(X< x) = 0,9 ?
d) P(X > 2 / X > 0)
Aufgabe 4)
Sei X ~ N(10,9).
x−µ
Skizzieren und berechnen Sie unter Verwendung der Transformation F(x) = Φ

 σ 
folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) P(8<X<10),
b) P(|X-10|<3)
c) die bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X > 13 / X >10)
(Skizze von Wahrscheinlichkeiten: Als Fläche unter der entsprechenden Dichtefunktion)
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Aufgabe 5
Sei X normalverteilt mit EX = 100 und VarX = 9, d.h. X∼N(100, 9).
Berechnen Sie unter Verwendung der Tabelle der Standardnormalverteilung im Skript II:
a) P( 95 < X)
b) P( |X-100| > 6)
c) den größten Wert c, für den gilt: P(|X-100| < c) =0,95
Aufgabe 6
Sei X~ N(µ,σ2) eine beliebige normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern µ und σ2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der 1-, 2- und 3- σ - Bereiche, d.h.:
P ( µ − σ < X < µ + σ ) , P ( µ − 2σ < X < µ + 2σ ) und P ( µ − 3σ < X < µ + 3σ )
und weisen Sie nach, dass diese Wahrscheinlichkeiten nicht von µ und σ abhängen, d.h. für
alle µ und σ identisch sind!
Aufgabe 7
Bei der Produktion von Rohren schwankt der Normwert des Innendurchmessers X wie folgt
normalverteilt um 100 mm: X ~ N(100, (0,1)2). Alle Rohre, deren Innendurchmesser nicht im
Intervall [99,85; 100,15] mm liegen, gelten als Ausschuss!
a) Berechnen Sie die Ausschussrate (Anteil aller Rohre, die Ausschuss sind) der
Produktion!
b) Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100 mm herum, d.h. das ε, so dass genau
1% aller Rohre außerhalb des Toleranzbereiches [100 - ε,100 + ε] liegen!
Aufgabe 8
Eine Schaltung besteht in der in der Skizze dargestellten Weise aus 2 Bauelementen.
Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eines der beiden Bauelemente funktioniert.
Die zufällige Zeit Ti bis zum Ausfall eines Bauelements Bi ist wie
folgt gegeben (alle Angaben in Stunden):
Bauelement B1 : T1∼ N(100, 4)
Bauelement B2 : T2∼ E(0,01)
Die Elemente B1 und B2 fallen unabhängig voneinander aus, d.h., T1 und T2 sind
stochastisch unabhängig.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des Gerätes 100
Stunden nicht überschreitet !
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Aufgabe 9
Angenommen, Fertigungseinheiten treffen bei einer Maschine im Schnitt alle 4 Minuten
aber mit exponentialverteilter Zwischenzeit TZ~E(1/4 pro Minute) ein und die Dauer der
Bearbeitungszeit TB auf der Maschine beträgt im Schnitt auch 4 Minuten, ist aber
normalverteilt: TU~N(4, 1).
Warum wird die Warteschlange der FE mit der Zeit immer länger, obwohl die
durchschnittliche Zwischenankunftszeit der FE’s und die durchschnittliche
Bearbeitungszeit der FE’s auf der Maschine identisch 4 Minuten
sind?
Schätzung von stetigen Verteilungen (Momentenmethode)
Verteilungsdichten stetiger Zufallsgrößen X werden i.A. wie folgt geschätzt:
a) Zunächst erstellt man auf der Basis einer SP von X ein Histogramm. Anhand der
Gestalt des Histogramms legt man den Typ der Dichtefunktion (exponential-, normal-,
gleichmäßig) fest.
b) Die Verteilungsdichten stetiger Zufallsgrößen X hängen i.A. noch von Parametern ab.
Diese schätzt man aus einer Stichprobe von X wie folgt:
Zunächst werden die Parameter als Funktion von EX und Var X dargestellt.
Dann werden in dieser Funktion EX und VarX durch die Mittelwert und Streuung ersetzt.
Diese Methode nennt man Momenten-Methode, weil EX und VarX auch als Momente von X
bezeichnet werden
Die folgenden Aufgaben 10-12 beschäftigen sich mit der Schätzung von Verteilungsdichten durch
dieses Vorgehen.
Aufgabe 10)
Folgende Messdaten wurden von einer stetigen Gleichverteilung X=R([a,b]) erhoben:
3,5,4, 5, 4, 3, 3, 5
a) Stellen Sie a und b in Abhängigkeit von EX und VarX dar !
b) Schätzen Sie EX und VarX durch Mittelwert und Streuung!
c) Geben Sie eine Schätzung für die Grenzen a und b auf der Basis von Mittelwert und
Streuung an!
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Aufgabe 11)
Es wurden n=25 Messungen der zufälligen Durchlaufzeit X (stetige Zufallsgröße) von
Fertigungseinheiten durch eine Fertigungsstraße (in Minuten) durchgeführt.
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a) Passen Sie eine geeignete Verteilung an die Daten an, d.h. geben Sie eine geeignete
Dichtefunktion inklusive der Schätzung ihrer Parameter (nach o.g. MomentenMethode) an!
b) Wie groß sind die mittlere Durchlaufzeit und die Varianz der Durchlaufzeit?
Aufgabe 12)
Es wurden für n=30 Messungen der zufälligen Durchlaufzeit X von Fertigungseinheiten durch
eine Fertigungsstraße (in Stunden) eine Klasseneinteilung durchgeführt. Es ergab sich
folgendes Ergebnis:
Ki
<1
1- <2
2- < 3
3- <4
4 -6
hn(Ki)
0,5
4/15
2/15
1/15
1/30
a) Passen Sie eine geeignete Verteilung an die Daten an, d.h. geben Sie eine geeignete
Dichtefunktion inklusive der Schätzung ihrer Parameter (nach o.g. MomentenMethode) an!
b) Wie groß sind die mittlere Durchlaufzeit und die Varianz der Durchlaufzeit?
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