HTW Höhere Mathematik Master KI Übungsblatt 2

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Höhere Mathematik Master KI
Übungsblatt 2
Prof. Dr. B.Grabowski
Aufgabe 1
Eine Firma, die CD R-W’s herstellt, gibt Ihre Ausschussrate (Anteil der defekten CD R-W’s
an allen) mit 10 % an.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Paket von 10 CD R-W’S genau 2
defekt sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Paket von 10 CD R-W’S mehr als
1 defekt ist?
Aufgabe 2
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f.
a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X > b) mit Hilfe der Verteilungsfunktion F und mit
Hilfe der Dichtefunktion f grafisch dar!
b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ b), P(X>a), P(a≤ X≤ b), P(|X – a|≥ b) grafisch
als Fläche unter der Dichtefunktion f dar!
Aufgabe 3
a)Warum sie die in Abb. a) gegebene Funktion k e i n e Dichtefunktion?
b) Warum sind die in Abb. b) und c) gegebenen Funktionen k e i n e Verteilungsfunktionen?
a)
b)
c)
Aufgabe 4
X sei eine stetige, auf [a,b] gleichverteilte Zufallsgröße.
a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion von X!
b) Zeigen Sie, dass bei einer auf [a,b] gleichverteilten Zufallsgröße alle Teilintervalle in [a,b]
gleicher Länge d die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen! Berechnen Sie diese!
c) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an!
Aufgabe 5
Die Anzahl der pro ms eintreffender Signale in einer Empfängerstation sei Poissonverteilt, wobei Messungen ergeben haben, dass im Schnitt ca. 10 Signale pro ms eintreffen.
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kapazität K=5 Signale/ms der
Empfängerstation überschritten wird?
b) Berechnen Sie die erwartete Zwischenzeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Nachrichten des Gesamtstromes!
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zwischenzeit zwei
aufeinanderfolgenden Nachrichten des Gesamtstromes 1/10 ms überschreitet!
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Prof. Dr. B.Grabowski
Aufgabe 6
Die Dichtefunktion f(x) der zufälligen Übertragungszeit X (in ms) einer Nachricht von A
nach B hat folgende Gestalt:
Berechnen Sie A und geben Sie f(x) als Funktionsgleichung an!
a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X !
b) Berechnen Sie die erwartete (d.h. mittlere) Übertragungsdauer!
c) Berechnen Sie die Übertragungszeit, welche die Hälfte der Nachrichten über- und die
andere Hälfte unterschreitet!
d) Wie viel % aller Nachrichten, bei denen die Übertragungszeit 105 ms überschreitet
benötigen eine Übertragungszeit > 110 ms ?
Aufgabe 7
Sei X eine N(µ,σ2) normalverteilte Zufallsgröße.
a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion von X.
b) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
1.P( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ )
µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ )
3. P( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ )
2. P(
c) Skizzieren Sie diese Wahrscheinlichkeiten als Fläche unter der Dichtefunktion!
Aufgabe 8
Bei der Produktion von Widerständen schwankt der Normwert X wie folgt normalverteilt
um 100 Ω: X ~ N(100, (0,1)2). Alle Widerstände deren Normwert nicht im Intervall [99,85;
100,15] Ω liegt, gelten als Ausschuss!
a) Berechnen Sie die Ausschussrate der Produktion!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer Menge von 10
Widerständen mehr als zwei Ausschusswiderstände befinden?
c) Wie viele Ausschusswiderstände muss man in einer Serie von 100000 Stück
erwarten?
d) Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100Ω herum, d.h. das ε ,so dass genau 1%
aller Widerstände außerhalb des Toleranzbereiches [100 - ε,100 + ε] liegen!
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Prof. Dr. B.Grabowski
Aufgabe 9
Ein Gerät besteht in der in der Skizze dargestellten Weise aus 3 Bauelementen.
Das Gerät fällt aus, wenn beide Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, wenn mindestens eines
der in Reihe geschalteten Elemente ausfällt.
Die zufällige Zeit Ti bis zum Ausfall eines Bauelements Bi ist wie folgt gegeben
(alle Angaben in Stunden):
Bauelement B1 : T1∼ N(100, 4)
Bauelement B2 : T2∼ E(0,01)
Bauelement B3 : T3 besitzt folgende Dichtefunktion
0,5 für 100 ≤ x ≤ 101
0,3 für 101 < x ≤ 102

f ( x) = 
0,2 für 102 < x ≤ 103
 0 sonst
Die Elemente B1, B2, B3 fallen unabhängig voneinander aus, d.h., T1, T2, T3 sind stochastisch
unabhängig.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des Gerätes 100 Stunden
nicht überschreitet !