4. Übung Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung

4. Übung
Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung
Aufgabe 1
Für eine stetige Zufallsvariable gilt:
a)
P (x = t) > 0
b)
P (x ≥ 1) = F (1)
c)
P (x = 1) = 0
d)
P (x ≥ 1) = 1 – F(1)
e)
P (x ≥ 1) = 1 – F(1) + f (1)
Aufgabe 2
Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit
P(2< x <4) ist dann
a)
P(2< x <4) =0,8
b)
P(2< x <4) =0
c)
P(2< x <4) =0,6
d)
P(2< x <4) =0,4
e)
P(2< x <4) =2
Aufgabe 3
1
Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion 𝑓(𝑥) = 𝑥 im Intervall [1;e]. Die
Wahrscheinlichkeit P (1,5 <x<2) ist dann:
a)
P(1,5< x <2) =0,28768
b)
P(1,5< x <2) =0
c)
P(1,5< x <2) =0,5
d)
P(1,5< x <2) =0,16667
e)
P(1,5< x <2) =e - 2
Aufgabe 4
Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f(x)= 0,1 im Intervall [10; 20]. Die
Verteilungsfunktion in diesem Intervall ist dann:
a)
F(x)= 0,1x - 1
b)
F(x)= 0,1x
c)
F(x)= 0,1 + x
d)
F(x)= 0,1x + 1
e)
F(x)= 0,1
Aufgabe 5
1
Eine Zufalls variable X habe die Dichtefunktion f(x)= 18 x im Intervall [0;6]. Der Median 𝑥0,5
ist dann:
a)
𝑥0,5 = 3
b)
𝑥0,5 = √18
c)
𝑥0,5 = 18
d)
𝑥0,5 = 3
e)
𝑥0,5 = √24
1
1
Aufgabe 6
1
Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion 𝑓(𝑥) = 18 𝑥 im Intervall [0;6]. Der
Erwartungswert E(X) ist:
a)
E(X)= 3
b)
E(X)= 0
c)
E(X)= √18
d)
E(X)= 4
e)
E(X)= 3
1
Aufgabe 7
1
Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion 𝑓(𝑥) = 18 𝑥 im Intervall [0;6]. Der Modus ist
dann:
a)
0
b)
3
c)
6
d)
4
e)
1
3
Aufgabe 8
Welche Verteilungsmodelle sind diskret (können diskret sein)?
a)
Gleichverteilung
b)
Binomialverteilung
c)
Exponentialverteilung
d)
Normalverteilung
e)
Geometrische Verteilung
Aufgabe 9
Eine geometrische Verteilung liegt vor, wenn nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist,
a)
beim x-ten Versuch „Erfolg“ zu haben.
b)
bei n Versuchen x-mal „Erfolg“ zu haben (mit Zurücklegen).
c)
innerhalb eines bestimmten Intervalls x-mal „Erfolg“ zu haben.
d)
bei n Versuchen x-mal „Erfolg“ zu haben (ohne Zurücklegen).
e)
eine Geometrie-Klausur zu bestehen.
Aufgabe 10
Eine Binomialverteilung liegt vor, wenn nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist,
a)
beim x-ten Versuch „Erfolg“ zu haben.
b)
bei n Versuchen x-mal „Erfolg“ zu haben (mit Zurücklegen).
c)
innerhalb eines bestimmten Intervalls x-mal „Erfolg“ zu haben.
d)
bei n Versuchen x-mal „Erfolg“ zu haben (ohne Zurücklegen).
e)
einen Doppelnamen zu haben.
Aufgabe 11:
Für die Steuerung eines Messaufbaus, werden unabhängig voneinander zwei gleichartige Leitungen eingesetzt. Jede dieser beiden Leitungen kann im Zeitintervall [0, T) mit
der Wahrscheinlichkeit q ausfallen. Bestimmen Sie Verteilungstabelle der Zufallsgröße X
mit X := Differenz zwischen der Anzahl der funktionierenden und ausgefallenen
Leitungen und zeigen Sie anschließend, dass für Einzelwahrscheinlichkeiten 𝑞𝑖 folgende
Eigenschaft gilt:
∞
∑ 𝑞𝑖 = 1
𝑖=1
Aufgabe 12:
Gegeben sei folgende Funktion:
0
1
𝑓(𝑥) = { 𝑥
2
0
𝑓ü𝑟
𝑥<0
𝑓ü𝑟
0≤𝑥≤2
𝑓ü𝑟
𝑥>2
Zeigen Sie, dass die Funktion 𝑓(𝑥) die Eigenschaften einer Dichtefunktion besitzt.
Aufgabe 13:
Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion
0
𝑥2
𝐹𝑋 (𝑥) = {(
4
− 𝑥 + 1)
1
𝑓ü𝑟
𝑥<2
𝑓ü𝑟
2≤𝑥<4
𝑓ü𝑟
𝑥≥4
a) Berechnen Sie die Dichtefunktion 𝑓𝑋 (𝑥)!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 < 𝑋 < 3 gilt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 𝑋 > 3 , wenn man weiß, dass
𝑋 > 2.5 ist?
Aufgabe 14:
Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X sei durch
0 𝑓ü𝑟 𝑥 ≤ 1
fx(x)={ 3
𝑓ü𝑟 𝑥 > 1
𝑥4
gegeben. Bestimmen Sie
a) die Verteilungsfunktion Fx(t),
b) P (1≤ X< 2),
c) E (X),
d) VAR (X)
Aufgabe 15:
Die diskrete Zufallsgröße X besitze die Verteilungstabelle:
xi
P(X= xi)
-4
0,1
0
0,15
2
0,1
3
0,25
4
0,4
Bestimmen Sie
a) die Verteilungsfunktion Fx(t),
b) P (X>0),
c) E (X),
d) VAR (X)
Aufgabe 16:
In einem Produktionswerk bedient ein Arbeiter drei voneinander unabhängig
arbeitende Anlagen. Die Wahrscheinlichkeit einer Störung bei einer dieser Anlagen
innerhalb eines bestimmen Zeitintervalls T beträgt 0,4. Es sei X die zufällige Anzahl der
Anlagen, die im Zeitintervall T eine Störung vorweisen. Bestimmen Sie
a) die Verteilungstabelle von X,
b) P (X ≤ 1),
c) die Verteilungsfunktion Fx(t),
d) E (X),
e) Var (X).
Aufgabe 17:
Es sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable mit:
x
P(X= x)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
-1
0,1
2
0,35
3
0,1
4
0,2
6
0,25
Zeichnen Sie die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
Berechnen Sie 𝑃(𝑋 = −1) und 𝑃(𝑋 = 0).
Ermitteln Sie 𝑃(𝑋 ≤ 3), 𝑃(𝑋 ≥ 2) und 𝑃(𝑋 > 6).
Ermitteln Sie 𝑃(2 < 𝑋 < 4)
Berechnen Sie den Median.
Berechnen Sie das 80% Quantil.
Berechnen Sie den Erwartungswert.
Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie die Schiefe. Was sagt dieser Wert aus?
Aufgabe 18:
Die Zufallsvariable X besitze folgende Dichte:
𝑓(𝑥) = {
𝑎
𝑥 + 0,25 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 2
2
0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
, 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡
Bestimmen Sie den Parameter a.
Wie lautet die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen?
Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑋 ≤ 1) und 𝑃(𝑋 < 3).
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit 𝑃(0,7 ≤ 𝑋 ≤ 1,5).
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝑋 = 1).
Bestimmen Sie 𝐸(𝑋 𝑘 ) für 𝑘 ∈ ℕ. Moment k-ter Ordnung 𝑘 = 1, . . . , 4
Berechnen Sie den Erwartungswert.
Berechnen Sie den Median.
Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie das k-fache Schwankungsintervall sowie die Wahrscheinlichkeit,
einen Wert aus diesem Intervall zu erhalten (für 𝑘 = 1,2).
Aufgabe 19:
In einem Produktionswerk wird jede Lieferung einer Qualitätskontrolle unterzogen.
Dabei werden 6 der 50 Teile entnommen und überprüft. X sei die zufällige Anzahl der
dabei festgestellten Ausschussteile. Gesucht ist 𝑃(𝑋 ≤ 2) unter der Voraussetzung, dass
die gesamte Lieferung 15 Fehlerhafte Teile enthält.
Aufgabe 20:
Stellen Sie in einer Tabelle die Quantile Qp für 𝑝 = 0,01; 0,05; 0,1; 0,2 der
standardisierten normalverteilten Zufallsgröße 𝑌 (𝐸(𝑌) = 0; 𝐷2 (𝑌) = 1) zusammen!
Benutzen Sie dazu die Tafel des Anhangs!
Lösen Sie die gleiche Aufgabenstellung für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit den
Parametern µ = 2 und 𝜎 = 3.
Aufgabe 21:
Die Länge einer von einer Maschine produzierten Schraube kann als normalverteilte
Zufallsgröße X mit den Parametern µ = 20 𝑚𝑚 und 𝜎 = 0,5 𝑚𝑚 angesehen werden.
Eine solche Schraube genügt den Qualitätsansprüchen, wenn ihre Länge im Intervall
[19,5; 22] liegt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schraube den
Qualitätsansprüchen genügt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 1000 produzierten
Schrauben genau 2 zu finden sind, deren Länge kleiner als 18,5 mm ist.
Referenzen
Die in der Übung aufgeführten Aufgaben wurden folgenden Lehr- und Arbeitsbüchern
entnommen:
Beyer, O.; Hackel, H.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Mathematik für Ingenieure,
Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte - Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik, Bd. 17, Leipzig: B.G. Teubner1985.
Böhm, P.: Induktive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Arbeitsbuch II. Berlin:
Studeo Verlag 2004.
Böhm, P.; Ringhut, S.; Engler, S.; Deskriptive Statistik Arbeitsbuch II. Berlin: Studeo
Verlag 2004
Gillert, H.; Nollau, V.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Mathematik für Ingenieure,
Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte – Übungsaufgaben zur
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Bd. Ü4, Leipzig: B.G.
Teubner1989.
Maibaum, G.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Frankfurt (Main): Harri Deutsch, 1980.
Menges, G.: Grundriß der Statistik – Teil 1: Theorie. Opladen: Westdeutscher Verlag
1972.
Nollau,V.; Patzsch, L.; Storm, R; Lange, C: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in
Beispielen und Aufgaben. Stuttgart Leipzig: B.G. Teubner Verlagsgesellschft 1997
Vogel, F.: Beschreibende und schließende Statistik Aufgaben und Beispiele. München
Wien: Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2001