Übung 9 Stetige Verteilungen Biostatistik BMT

Übung 9
Stetige Verteilungen Biostatistik BMT
Prof. Dr.B.Grabowski
Aufgabe 1)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an!
Aufgabe 2)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an!
Aufgabe 3)
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f.
Stellen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten grafisch als Fläche unter der Dichtefunktion f dar:
P(X>b) , 1- P(X>a), 1-P(X<a), P(a≤ X≤ b), P(|X – a|< b).
1
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Stetige Verteilungen Biostatistik BMT
Prof. Dr.B.Grabowski
Aufgabe 4)
Eine Zufallsgröße X (zufällige Wartezeit in Minuten eines Patienten in der Aufnahme) besitzt
folgende Dichtefunktion:
1 / 8 falls 1 ≤ x < 5 


f ( x) = 1 / 4 falls 5 ≤ x < 7 
 0 sonst



a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion f(x) von X!
b) Berechnen Sie die durchschnittliche Wartezeit!
c) Berechnen Sie Var X !
d) Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F(x) = P(X<x)
e) Welche Wartezeit müssen 10 % der Patienten leider überschreiten? Skizzieren Sie diese
Zeit in der Grafik der Dichtefunktion!
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient, der bereits 4 Minuten in der
Warteschlange gewartet hat, mindestens 2 weitere Minuten warten muss?
Aufgabe 5)
λe −αx
für x ≥ 0
Sei f(x) folgende Funktion: f ( x) = 
(a>0, λ>0)
0
für
x
<
0

Zeigen Sie, dass wenn f(x) eine Dichtefunktion ist gelten muss: λ=a.
Aufgabe 6)
Die zufällige Zeit T (Stunden), die bis zum Abbau einer bestimmten Droge (z.B. ein Glas
Wein, 0.1 cl) im menschlichen Blut vergeht, sei durch folgende Dichtefunktion
charakterisiert:
0,
falls x ≤ 0,
x
f(x) =
1 −2
e , falls x > 0
2
a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion!
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(x) und skizzieren Sie diese!
c) Berechnen Sie die erwartete Abbauzeit EX und die Varianz Var(X).
d) In wieviel Prozent aller Fälle dauert der Abbau länger als 2 Stunden?
Skizzieren Sie diese Prozentzahl als Fläche unter der Dichte!
e) Welche Abbauzeit wird haben 90 % der Personen höchstens?
Skizzieren Sie diesen Wert in der Grafik der Dichtefunktion!
f) In wieviel % aller Fälle, in denen die Abbauzeit bereits 1 Stunde überschreitet,
überschreitet sie auch 2 Stunden?
{
2
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Prof. Dr.B.Grabowski
Aufgabe 7)
Folgende Messdaten wurden von einer stetigen Gleichverteilung R([a,b]) erhoben:
3,5,4, 5, 4, 3, 3, 5.
Geben Sie eine Schätzung für die Grenzen a und b an, indem Sie für EX das arithmetische
Mittel und für VarX die Streuung einer Stichprobe verwenden!
Aufgabe 8)
Es wurde über eine Verkehrsmessung die Dauer von 30 Telefonaten (in Minuten)
gemessen. Passen Sie eine geeignete Verteilung an die Daten an!
4,43
4,64
4,70
5,43
6,52
7,06
7,27
7,36
7,38
8,66
8,92
8,98
9,04
9,05
9,05
9,17
9,20
9,36
9,44
9,89
9,96
10,04
11,75
12,09
12,21
13,04
14,09
14,28
14,55
14,90
Aufgabe 9)
Sei X ~ N(0,1). Skizzieren und berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten unter
Verwendung der Tabelle der Standardnormalverteilung::
a) P(X > -4),
b) P(-2<X<1),
c) P(|X-1|<1)
e) Bei welchem Wert x gilt: P(X< x) = 0,9 ?
d) P(X > 2 / X > 0)
Aufgabe 10)
Sei X ~ N(10,9).
x−µ
Skizzieren und berechnen Sie unter Verwendung der Transformation F(x) = Φ

 σ 
folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) P(8<X<10),
b) P(|X-10|<3)
c) die bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X > 13 / X >10)
(Skizze von Wahrscheinlichkeiten: Als Fläche unter der entsprechenden Dichtefunktion)
Aufgabe 11)
Sei X~ N(µ,σ2) eine beliebige normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern µ und σ2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der 1-, 2- und 3- σ - Bereiche, d.h.:
P ( µ − σ < X < µ + σ ) , P ( µ − 2σ < X < µ + 2σ ) und P ( µ − 3σ < X < µ + 3σ )
und weisen Sie nach, dass diese Wahrscheinlichkeiten nicht von µ und σ abhängen, d.h. für
alle µ und σ identisch sind!
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Stetige Verteilungen Biostatistik BMT
Prof. Dr.B.Grabowski
Aufgabe 12)
Die zufällige Übertragungszeit T von Bildsignalen durch einen Kanal K sei normalverteilt mit
dem Erwartungswert µ=50 ms und der σ2= 4ms2 , d.h. es gelte T~N(50, 4).
a) In welchem Bereich liegen nahezu alle Zeiten? D.h. berechnen Sie den 3-σ-Bereich!
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Übertragungszeit zwischen 42 und 53 ms?
c) Geben Sie einen symmetrischen Bereich [50-c,50+c] ms um die mittlere
Übertragungszeit an, in dem 90 % aller Zeiten liegen!
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5 (stochastisch unabhängigen)
Übertragungen bei mindestens einer die Übertragungszeit mehr als 50 ms beträgt?
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