Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu Aufgabe 1)
Zu a)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung:
Eine Dichte muss folgende Bedingungen erfüllen:
∞
1) ∫ f ( x)dx = 1
−∞
2) f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ R
1. und 3. erfüllen die beiden Bedingungen, sind damit Dichten
2. ist keine Dichte, weil die Fläche unter der Dichte ungleich 1 ist!
4. ist keine Dichte, weil f(x) für manche x negativ ist!
Zu b)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung:
Eine Verteilungsfunktion muss folgende Bedingungen erfüllen:
1) F(x) ist monoton wachsend
2) 0≤ F(x) ≤ 1
∀x ∈ R
3) lim F ( x) = 0, lim F ( x) = 1
x → −∞
x →∞
1
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3. erfüllt alle 3 Bedingungen.
1., 2. und 5. sind keine Verteilungsfunktionen, weil nicht monoton wachsend.
4. ist keine Verteilungsfunktion, weil auch negativ.
Zu Aufgabe 2)
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f.
Stellen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten grafisch als Fläche unter der Dichtefunktion f dar:
F(b) , 1- P(X>a), 1-F(a), P(a≤ X≤ b), P(|X – a|< b).
Lösung:
2
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----------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 3)
Bei der Herstellung von Wellen sind alle Wellen Ausschuss, die 1mm oder mehr vom
Sollmaß von 100mm Länge abweichen. Die zufällig schwankende Länge X genüge einer
symmetrischen Verteilung mit der Dichtefunktion
a) Berechnen Sie die Höhe h!
b) Wie groß ist der Ausschussanteil? Skizzieren Sie ihn als Fläche unter der Dichte!
c) In welchem Toleranz-Intervall [100-c, 100+c] liegen 90% aller Wellen? Skizzieren Sie
das Intervall als Fläche unter der Dichte!
Lösung:
Zu a) Die Fläche A unter der Dichte muss gleich 1 sein.
A = (103-97)h/2 = 1 h = 1/3
Zu b)
Die Gleichung der Geraden auf der linken Seite des Dreiecks der Dichtefunktion lautet:
1
97
f ( x) = x −
für 97 ≤ x ≤ 100. Demzufolge ist h1 = 2/9 und wir erhalten wegen der
9
9
Symmetrie der Dichtefunktion:
Ausschussanteil = P (| X − 100 | ≥ 1) = 2(99 − 97)h1 / 2 = 4 / 9 = 44,44%
3
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----------------------------------------------------------------------------------------------Zu c)
Zu berechnen ist c mit P (100 − c ≤ X ≤ 100 + c) = 0,9
Die Gleichung der Geraden auf der linken Seite des Dreiecks der Dichtefunktion lautet:
1
97
f ( x) = x −
für 97 ≤ x ≤ 100. Demzufolge ist h2 = 1/3 - 1/9c und wir erhalten wegen
9
9
der Symmetrie der Dichtefunktion:
P(100 − c ≤ X ≤ 100 + c) = 0,9
(100 − c − 97)h2
1
1 !
⇔ 1− 2
= 1 − 3h2 = 1 − 1 + c = c = 0,9
2
3
3
⇔ c = 2,7
D.h. 90 % aller Wellen liegen mit ihrer Länge im Bereich: [97,3 , 102,7] mm.
Zu Aufgabe 4)
Die Verteilungsfunktion F(x) der zufälligen Entladezeit X (in Stunden) eines Akkus vom Types
EC2100 hat folgende Gestalt:
für x < 1
0

Sei F ( x) =  x − 1 für 1 ≤ x < 2 die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X.
1
für x ≥ 2

Lösung:
Zu a) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F(x)!
4
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-----------------------------------------------------------------------------------------------
Zu b) Berechnen und skizzieren Sie die Dichtefunktion f(x)!
Es ist f(x) = F’(x).
1
Demzufolge erhalten wir: f ( x) = 
0
falls
1 ≤ x < 2
sonst

Skizze:
Zu c) Wieviel % aller Akkus des Typs EC2100 entladen sich nach mindestens 1,5h?
P(X ≤ 1,5) = 0,5. D.h., 50% aller Akkus sind spätestens nach 1,5 h entladen.
Zu d) Berechnen Sie die Entladezeit, die 50% aller Akkus überschreiten!
Gesucht ist das x mit: P(X > x) = 0,5. Offensichtlich ist x = 1,5 h.
Zu e)
Berechnen Sie die mittlere Entladezeit EX und den Median von X!
∞
EX =
2
∫ xf ( x)dx = ∫ xdx = 1,5 h.
−∞
1
Der Median ist der Wert x für den gilt: F(x) = 0,5.
F(x) = 0,5 ⇔ x-1 = 0,5 ⇔ x = 1,5h.
Zu f) Berechnen Sie die Varianz Var(X)!
∞
2
2
3
9 
1
1
Var ( X ) = ∫ ( x − EX ) f ( x)dx = ∫ ( x − 1,5) dx =  x 3 − x 2 + x  =
2
4  1 12
3
−∞
1
2
2
5
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----------------------------------------------------------------------------------------------Zu g) Berechnen Sie P(1,1 < X < 1,7 ) , P( X > 1,1) und P( X < 1,7 | X > 1,1) und stellen Sie diese
Wahrscheinlichkeiten grafisch anhand der Dichtefunktion dar!
P(1,1 < X < 1,7 ) = F(1,7) – F(1,1) = 1,7-1,1 = 0,6 = 60 %
P( X > 1,1) = 1- F(1,1) = 1-0,1 = 0,9 = 90%
P( X < 1,7 ∩ X > 1,1) P(1,1 < X < 1,7) 0,6 2
P( X < 1,7 | X > 1,1) =
=
=
=
0,9 3
P( X > 1,1)
P( X > 1,1)
Skizze:
Zu Aufgabe 5)
Sei X die zufällige Lebensdauer von Bauelementen einer bestimmten Sorte. X besitze die
Dichtefunktion
λe − λx
für x ≥ 0
f ( x) = 
(λ>0)
für x < 0
0
a) Berechnen Sie F(x) und skizzieren Sie f(x) und die Verteilungsfunktion F(x)!
b) Welche Gestalt müsste das aus einer Stichprobe von X ermittelte Histogramm haben,
damit die Funktion f(x) als Dichtefunktion angenommen werden kann?
c) Wie groß ist die erwartete Lebensdauer EX?
d) Zeigen Sie die sogenannte Vergessens- bzw. Nichtalterungseigenschaft der
Exponentialverteilung:
P(X>s+t/ X>s) = P(X>t)
die besagt, das die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauelement ein Zeitintervall der
Länge t zu überlebt unabhängig davon ist, ob es bereits die Zeit s überlebt hat oder ob die
Lebensdauer soeben beginnt.
6
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----------------------------------------------------------------------------------------------e) Wie viel % aller Bauelemente überschreiten die mittlere Lebensdauer EX und wieviel %
unterschreiten sie?
f) Berechnen Sie den Median (das 0,5-Quantil) von X! Wie hängt dieses mit der mittleren
Lebensdauer EX zusammen?
g) Für X werden in einer Stichprobe vom Umfang n = 10 folgende Werte (Jahre)
beobachtet: 1, 3, 5, 2, 4, 5, 4, 3, 3, 6. Schätzen Sie den Parameter λ der Dichtefunktion!
Lösung:
Zu a)
x
F ( x) =
x
∫ f (u)du = ∫ λe
−∞
− λu
du = 1 − e −λx für x ≥ 0
0
F(x) = 0 für x < 0
Skizzen:
Zu b)
∞
Zu c) EX = ∫ λe −λx dx =
0
1
λ
Zu d)
7
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----------------------------------------------------------------------------------------------P( X > s + t ∩ X > s)
P( X > s )
P( X > s + t )
=
P( X > s)
1 − F (s + t )
=
1 − F (s)
P( X > s + t / X > s) =
1 − (1 − e −λ ( s +t ) )
=
1 − (1 − e −λs )
= e − λt
= 1 − F (t )
= P( X > t )
Zu e)
P( X > EX ) = e − λEX = e −1 = 0,368 = 36,8%
⇒ P( X ≤ EX ) = 0,632 = 63,2%
Zu f)
Wir kürzen das Quantil x0,5 durch t ab, x0,5 = t. Dann erhalten wir:
P( X ≤ t ) = 0,5 ⇔ 1 − e −λt = 0,5 ⇔ e −λt = 0,5 ⇔ −λt = ln(0,5) ⇔ t ≈
1
λ
0,69
⇒ t = x0,5 ≈ 0,69 EX
Zu g) Wir wenden die Momentenmethode an: EX =
8
1
λ
⇒λ =
1
1
1
⇒λ ≈ =
= 0,278
EX
x 3,6