Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu Aufgabe 1)
Zu a)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung:
Eine Dichte muss folgende Bedingungen erfüllen:
∞
1) ∫ f ( x)dx = 1
−∞
2) f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ R
1. und 3. erfüllen die beiden Bedingungen, sind damit Dichten
2. ist keine Dichte, weil die Fläche unter der Dichte ungleich 1 ist!
4. ist keine Dichte, weil f(x) für manche x negativ ist!
Zu b)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an und begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung:
Eine Verteilungsfunktion muss folgende Bedingungen erfüllen:
1) F(x) ist monoton wachsend
2) 0≤ F(x) ≤ 1
∀x ∈ R
3) lim F ( x) = 0, lim F ( x) = 1
x → −∞
x →∞
1
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
-----------------------------------------------------------------------------------------------
3. erfüllt alle 3 Bedingungen.
1., 2. und 5. sind keine Verteilungsfuntkionen, weil nicht monoton wachsend.
4. ist keine Verteilungsfunktion, weil auch negativ.
Zu Aufgabe 2)
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichtefunktion f.
Stellen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten grafisch als Fläche unter der Dichtefunktion f dar:
F(b) , 1- P(X>a), 1-F(a), P(a≤ X≤ b), P(|X – a|< b).
Lösung:
2
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu Aufgabe 3)
µe − λx
Sei f(x) folgende Funktion: f ( x) = 
0
für x ≥ 0
für x < 0
(µ>0, λ>0)
Zeigen Sie, dass wenn f(x) eine Dichtefunktion ist gelten muss: λ=µ.
Lösung:
Für eine Dichtefunktion muss gelten:
∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
∞
Es gilt
∞
∫
f ( x)dx = ∫ µe −λx dx =
−∞
0
µ !
= 1 ⇔ µ =λ
λ
λ
Zu Aufgabe 4)
Die zufällige Zeit X, die eine S-Bahn verspätet an einer Station eintrifft, liegt zwischen 0 und
3 Minuten. Die Dichtefunktion ist in folgender Skizze gegeben.
Berechnen Sie
a) die Verteilungsfunktion von X!
b) den Anteil aller Fälle, in denen die Verspätung eine Minute überschreitet! Stellen Sie
diesen Anteil grafisch dar!
c) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verspätung 2 Minuten überschreitet, wenn man
bereits eine Minute (Verspätung) auf die S-Bahn gewartet hat! Stellen Sie diese
Wahrscheinlichkeit grafisch dar!
d) Welche Verspätungszeit wird in 90 % aller Fälle überschritten?
e) Wie groß ist die Verspätung im Mittel?
Lösung:
Zu a)
x
Die Verteilungsfunktion F(x) ist definiert als: F ( x) =
∫ f (u)du
(= P ( X ≤ x)) .
−∞
2
 2
− x +
3

0
Es ist (siehe Bild) f ( x) =  9

fals 0 ≤ x ≤ 3
 und folglich gilt für F(x):
sonst 

3
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
-----------------------------------------------------------------------------------------------
0

 x 2
2
F ( x) = ∫ f (u )du = ∫ (− u + )du
3
−∞
0 9

1
x
x<0  
0
  1
2
falls 0 ≤ x ≤ 3 = − x 2 + x
3
  9
1

falls
x>3  
falls
x<0 

falls 0 ≤ x ≤ 3

falls
x>3 
falls
Zu b)
Folgendes Bild zeigt den Zusammenhang zwischen Verteilungsdichte, Verteilungsfunktion
und Wahrscheinlichkeit:
Folglich ist:
Anteil aller Fälle, in denen die Verspätung eine Minute überschreitet
= P(X>1)
1
2
1 1 4
= 1-F(1) = 1- (− ⋅ (1) 2 + ⋅ 1) = + = = 44,4 4 %
9
3
3 9 9
Der Anteil P(X>1) ist gleich der blau markierten Fläche unter der Dichtfunktion f(x):
4
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu c)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verspätung 2 Minuten überschreitet, wenn man bereits
eine Minute (Verspätung) auf die S-Bahn gewartet hat ist folgende bedingte
Wahrscheinlichkeit:
P ( X > 2 / X ≥ 1)
Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und erhalten wir:
P( X > 2 / X ≥ 1) =
P( X > 2 ∩ X ≥ 1) P( X > 2) 1 − F (2) 1 / 9 1
=
=
=
= = 25%
P( X ≥ 1)
P( X ≥ 1) 1 − F (1) 4 / 9 4
Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Anteil der blau gestrichelten Fläche an der gesamten
grauen Fläche, siehe folgendes Bild:
Zu d) Welche Verspätungszeit wird in 90 % aller Fälle überschritten?
Wir berechnen das x für welches gilt: P(X > x) = 0,9 (siehe Skizze).
Offensichtlich ist:
1
2
P( X > x) = 0,9 ⇔ 1 − F ( x) = 0,9 ⇔ F ( x) = 0,1 ⇔ − x 2 + x − 0,1 = 0
9
3
2
⇔ x − 6 x + 0,9 = 0 ⇔ x1 / 2 = 3 ± 9 − 0,9 = 3 ± 2,846
x > 3 kommt nicht in Frage (Weil P(X>3) = 0).
Demzufolge ist die Lösung: x = 3-2,846 = 0,154 Minuten
In 90 % aller Fälle muss man länger als 0,154 Minuten warten.
5
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu e) Wie groß ist die Verspätung im Mittel?
Wir berechnen den Erwartungswert EX von X. Es ist:
∞
3
3
2
2
 2 3 1 2
EX = ∫ xf ( x)dx = ∫ x(− x + )dx = −
x + x  = −2 + 3 = 1
9
3
3 0
 27
−∞
0
D.h., man muss im Schnitt 1 Minute auf die S-Bahn warten.
Zu Aufgabe 5)
Die Verteilungsfunktion F(x) der zufälligen Entladezeit X (in Stunden) eines Akkus vom Types
EC2100 hat folgende Gestalt:
für x < 1
0

Sei F ( x) =  x − 1 für 1 ≤ x < 2 die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X.
1
für x ≥ 2

Lösung:
Zu a) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F(x)!
Zu b) Berechnen und skizzieren Sie die Dichtefunktion f(x)!
Es ist f(x) = F’(x).
1
Demzufolge erhalten wir: f ( x) = 
0
falls
1 ≤ x < 2
sonst

Skizze:
6
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu c) Wieviel % aller Akkus des Typs EC2100 entladen sich nach mindestens 1,5h?
P(X ≤ 1,5) = 0,5. D.h., 50% aller Akkus sind spätestens nach 1,5 h entladen.
Zu d) Berechnen Sie die Entladezeit, die 50% aller Akkus überschreiten!
Gesucht ist das x mit: P(X > x) = 0,5. Offensichtlich ist x = 1,5 h.
Zu e)
Berechnen Sie die mittlere Entladezeit EX und den Median von X!
∞
2
−∞
1
∫ xf ( x)dx = ∫ xdx = 1,5 h.
EX =
Der Median ist der Wert x für den gilt: F(x) = 0,5.
F(x) = 0,5 ⇔ x-1 = 0,5 ⇔ x = 1,5h.
Zu f) Berechnen Sie die Varianz Var(X)!
∞
2
2
3
9 
1
1
Var ( X ) = ∫ ( x − EX ) f ( x)dx = ∫ ( x − 1,5) dx =  x 3 − x 2 + x  =
2
4  1 12
3
−∞
1
2
2
Zu g) Berechnen Sie P(1,1 < X < 1,7 ) , P( X > 1,1) und P( X < 1,7 | X > 1,1) und stellen Sie diese
Wahrscheinlichkeiten grafisch anhand der Dichtefunktion dar!
P(1,1 < X < 1,7 ) = F(1,7) – F(1,1) = 1,7-1,1 = 0,6 = 60 %
P( X > 1,1) = 1- F(1,1) = 1-0,1 = 0,9 = 90%
P( X < 1,7 ∩ X > 1,1) P(1,1 < X < 1,7) 0,6 2
P( X < 1,7 | X > 1,1) =
=
=
=
P( X > 1,1)
P( X > 1,1)
0,9 3
Skizze:
7
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu Aufgabe 6)
Bei der Herstellung von Wellen sind alle Wellen Ausschuß, die 1mm oder mehr vom Sollmaß
von 100mm Länge abweichen. Die zufällig schwankende Länge hat den Erwartungswert
100mm und die Standardabweichung Var ( X) = 0,1mm . Wie groß ist der Ausschußanteil
höchstens?
Lösung:
Der Ausschussanteil ist:
Ausschussanteil = P(| X − 100 |≥ 1) .
Da X stetig ist, gilt: P(| X − 100 |≥ 1) = P(| X − 100 |> 1) .
Weil EX = 100 ist, können wir die Tschebyscheff-Ungleichung P(| X − EX |> ε ) ≤
Var ( X )
ε2
(mit ε = 1) anwenden.
Es gilt:
P(| X − 100 |≥ 1) = P(| X − 100 |> 1) ≤
Var ( X ) 0,12
=
= 0,01
1
12
D.h., der Ausschussanteil beträgt höchstens 1%.
Zu Aufgabe 7)
Sei X eine Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
λe − λx
für x ≥ 0
f ( x) = 
(λ>0)
für x < 0
0
Eine solche Zufallsgröße bezeichnet man als exponentialverteilt (mit dem
Intensitätsparameter λ) . Durch Exponentialverteilungen werden häufig zufällige
Lebensdauern beschrieben.
a) Berechnen Sie F(x) und skizzieren Sie f(x) und die Verteilungsfunktion F(x)!
b) Zeigen Sie die sogenannte Vergessens- bzw. Nichtalterungseigenschaft der
Exponentialverteilung:
P(X>s+t/ X>s) = P(X>t)
die besagt, das die Wahrscheinlichkeit, ein Zeitintervall der Länge t zu überleben
unabhängig davon ist, ob die Zufallsgröße X bereits die Zeit s überlebt hat oder ob die
Lebensdauer soeben beginnt.
Lösung:
Zu a)
8
,
Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------x
F ( x) =
∫
x
f (u )du = ∫ λe −λu du = 1 − e −λx für x ≥ 0
−∞
0
F(x) = 0 für x < 0
Skizzen:
Zu b)
P( X > s + t ∩ X > s)
P( X > s )
P( X > s + t )
=
P( X > s)
1 − F (s + t )
=
1 − F (s)
P( X > s + t / X > s) =
=
1 − (1 − e −λ ( s +t ) )
1 − (1 − e −λs )
= e − λt
= 1 − F (t )
= P( X > t )
9