Lösungen zu Übung 9 Höhere und Angewandte Mathe

Lösungen zu Übung 9
Stetige Zufallsgrößen
Höhere und Angewandte Mathe Master M
Zu Aufgabe 1)
Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an!
1:
x
2:
3: f (x) =
x
0, falls x ≤ 0,
{
e -x, falls x ≥ 0.
4: f(x) =-x2 ± 2
Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen
Antworten an!
x
1:
x
2: FX (x) =
{
3: FX (x) =
{
x
4:
x
5: FX (x) = 1-e - |x |
0, falls x ≤ 0,
( 1+ e -x), falls x > 0.
0, falls x < 0,
( 1 -e -x), falls x ≥ 0.
Zu Aufgabe 3)
1
für x < 1
0

Sei F ( x) =  x − 1 für1 ≤ x < 2
1
für x ≥ 2

a) Stellen Sie die Verteilungsfunktion grafisch dar!
b) Bestimmen Sie die Dichtefunktion und stellen Sie diese grafisch dar!
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und den Median!
3

d) Berechnen Sie P(0 < X < 1,5) und P X >  und P( X >1,5/X>1,2)!

4
Lösung:
a)
b)
1 für 1 ≤ x < 2
f ( x) = 

sonst 
0
c) EX = 1,5
Median=x0,5=1,5
d) P(0<X<1,5)=0,5, P(X>3/4)=1 , P(X>1,5/X>1,2) = P(X>1,5)/P(X>1,2) = 0,5/0,8 = 5/8 = 0,625
Zu Aufgabe 4)
Die zufällige Zeit X, die eine Berliner U-Bahn verspätet an einer Station eintrifft, liegt
zwischen 0 und 3 Minuten. Die Dichtefunktion ist in folgender Skizze gegeben.
Berechnen Sie
1. die Verteilungsfunktion von X!
2
2. den Anteil aller Fälle, in denen die Verspätung eine Minute überschreitet! Stellen Sie
diesen Anteil grafisch dar!
3. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verspätung 2 Minuten überschreitet, wenn man
bereits eine Minute (Verspätung) auf die U-Bahn gewartet hat! Stellen Sie diese
Wahrscheinlichkeit grafisch dar!
Lösung:
2
 2
− x + für
Zu 1) Es ist f ( x) =  9
3

0
x ∈ [0,3]

sonst 

Demzufolge ist
0

−1 2 2
F ( x) = ∫ f (u )du =  x + x
3
−∞
9
1

für
x
für
für
x<0 

x ∈ [0,3]

x≥3 
Zu 2)
1-F(1) = 2/3
Zu 3)
P(X>2/X≥1)=P(X>2)/P(X≥1) =
1 − F (2)
=
1 − F (1)
1
9
2
3
=
1
6
Zu Aufgabe 5)
Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion
0, falls x < 2,
FX (x) =
{
(x 2 / 4 - x + 1), falls 2 ≤ x < 4,
1, falls x ≥ 4.
3
1. Berechnen Sie die Dichtefunktion fX (x)!
2. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion in ein
Koordinatensystem!
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 < X < 3 gilt?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X> 3 , wenn man weiß, dass X > 2 . 5
ist?
Lösung:
Zu 1.
x

 − 1 falls x < 2 
f ( x) =  2

sonst 
 0

Zu 2. Überlasse ich Ihnen
Zu 3. P(2<X<3) =F(3)-F(2) = ¼
Zu 4. P(X>3/X>2.5) =
P( X > 3)
15
=
P( X > 2.5) 16
Zu Aufgabe 6)
Die zufällige Zeit T (Stunden), die bis zum Abbau einer bestimmten Droge (z.B. ein Glas
Wein, 0.1 cl) im menschlichen Blut vergeht, sei durch folgende Dichtefunktion
charakterisiert:
{
fT (t) =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0, falls t≤ 0,
( α e –t/ 2), falls t ≥ 0.
Wie groß muss α sein, damit es sich bei fT tatsächlich um eine Dichtefunktion handelt?
In wie viel Prozent aller Fälle ist die Droge bereits nach einer Stunde abgebaut?
In wie viel Prozent aller Fälle dauert der Abbau länger als 2 Stunden?
Wie groß ist die erwartete Abbauzeit?
Nach welcher Zeit ist in mindestens 90% aller Fälle die Droge abgebaut?
Welche Zeit wird in 20 % aller Fälle überschritten?
Lösung:
Zu 1) α = ½
 0

Zu 2) Es ist F(t) = 1 − e − x / 2


falls t < 0

falls t ≥ 0 .


F(1) = 1- e(-1/2) = 0,3935
Zu 3) 1-F(2) = 1/e = 0,3679
Zu 4) ET = 2h
4
Zu5) Die Gleichung P(T ≤ t ) ≥ 0.9 ist nach t aufzulösen.
Es gilt: P(T ≤ t ) ≥ 0.9 ⇔ 1 − e − t / 2 ≥ 0.9 ⇔ e − t / 2 ≤ 0,1 ⇔ t ≥ −2 ln(0,1) ⇔ t ≥ 4,605 h
Zu 6) P(T>t) = 0,2 ist nach t aufzulösen.
P(T> t ) = 0,2 ⇔ e − t / 2 = 0.2 ⇔ t = −2 ln(0,2) ⇔ t = 3,2189 h
Zu Aufgabe 7)
Bei der Herstellung von Wellen sind alle Wellen Ausschuss, die 1mm oder mehr vom Sollmaß von
100mm Länge abweichen. Die zufällig schwankende Länge hat den Erwartungswert 100mm und die
Standardabweichung
Var ( X) = 0,1mm .
Wie groß ist der Ausschussanteil höchstens?
Lösung:
Ausschuss: |X-100| ≥ 1
Ausschussanteil: P(|X-100| ≥ 1)
Nach Tschebytscheff-Ungleichung gilt für den Ausschussanteil füe EX=100, ε=1, Var(X)=0,01:
P(| X − 100 |≥ 1) = P(| X − 100 |> 1) ≤
Var ( X )
ε2
=
(0,1) 2
= 0,01
1
Der Ausschussanteil beträgt demzufolge 1 %.
Zu Aufgabe 8)
Sei X eine stetige Zufallsgröße mit um x=c symmetrischer Verteilungsdichte f(x), d.h. es gelte: f(c-x)
= f(c+x) für alle x∈R.
a) Zeigen Sie: EX=c !
b) Sei Var(X)=d. Berechnen Sie in Abhängigkeit von c und d ein möglichst kleines Intervall
I=[c-h, c+h] mit h>0 (also h) , in welchem X mit mindestens 80% iger Wahrscheinlichkeit
liegt !
Lösung:
Zu a)
Hier ein möglicher Beweis, es gibt mehrere Lösungswege.
Zunächst gilt:
5
Wir substituieren
:
Zu b) Gesucht ist ein möglichst kleines h, so dass gilt: P( X ∈[c-h,c+h]) ≥ 0,8.
Wir verwenden die Tschebytscheff-Ungleichung. Laut dieser Gleichung gilt mit EX=c,
VarX=d, ε = h:
P( X ∈[c-h,c+h]) = P(|X-c| ≤ h) > 1 −
Wir bestimmen h so, dass 1 −
Es gilt: 1 −
d
= 0,8 ⇔ h =
h2
d
h2
d
= 0,8 ist, denn dann gilt: P( X ∈[c-h,c+h]) ≥ 0,8.
h2
d
.
0,2
6