ETWR – Teil B

ETWR – Teil B
Bewertung von Urnenexperimenten
Stephan Schosser
Bewertung von Urnenexperimenten
Motivation I
•  Teambildung
•  Abteilung hat 8 Mitarbeiter
•  Team mit 5 Kreativsten soll gebildet werden
•  3 Mitarbeiter sind weiblich, 5 Mitarbeiter sind männlich
•  Bisher möglich (z.B.)
Wahrscheinlichkeit Team mit allen Frauen zu bilden
! 3 $ ! 5 $
•  Ermittlung der günstigen Ereignisse: | A |= # & ⋅ # & = 5! = 10
" 3 % " 2 % 2!(5 − 2)!
" 8 %
•  Ermittlung der möglichen Ereignisse: | Ω |= $ 5 ' = 5!(88!− 5)! = 56
#
&
|A|
10
•  Wahrscheinlichkeit: p(A) = | Ω | = 56 ≈ 17, 9%
•  Wir können Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln!
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Bewertung von Urnenexperimenten
Motivation II
•  Teambildung (forts.)
•  Abteilung hat 8 Mitarbeiter
•  Team mit 5 Kreativsten soll gebildet werden
•  3 Mitarbeiter sind weiblich, 5 Mitarbeiter sind männlich
•  Helfen uns weitere Informationen bei Entscheidung?
•  10% aller Frauen bzw. 8% aller Männer kreativ
•  2 kreativste Mitarbeiter der Abteilung sind Männer
•  Kreativität sinkt mit Alter und weibliche (männliche) Mitarbeiter im Mittel
25,7 (30,4) Jahre alt
•  Im Folgenden:
•  Einige Informationen helfen, andere Informationen nicht
•  Rechenregeln zum Nutzen solcher Informationen
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Bewertung von Urnenexperimenten
Ziele
•  Bisher
•  Mathematische Beschreibung von Mengen
•  Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
•  Ermittlung der Anzahl Elemente in charakteristischen Mengen
•  Damit
•  Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen aus theoretischen Überlegungen
ableitbar
•  Vorgehen
•  Ermittlung der Menge mit für Experiment günstigen Ereignisse
•  Ermittlung der Menge aller möglichen eintretenden Ereignisse
•  Klassifikation des Problems gemäß „Urnenmatrix“
•  Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
•  Ziel dieses Kapitel
•  Regeln für die Kombination unterschiedlicher Ereignisse
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Stephan Schosser
Bewertung von Urnenexperimenten
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Bedingte Wahrscheinlichkeiten
•  Wichtige Sätze
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Bewertung von Urnenexperimenten
Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  Motivation
•  Wie kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bestimmen,
wenn man weiß, dass das Ereignis B eingetreten ist?
•  Beispiel
•  Ein fairer Würfel wird einmal geworfen: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•  Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A: P( A) =
A
Ω
•  Ereignisse
•  A: Es fällt 1, 2 oder 3 à A = {1, 2, 3}: P( A) = {1,2,3}
{1,2,3,4,5,6}
=
3 1
=
6 2
•  B: Rote Seite liegt oben, ...
... dafür alle ungeraden Seiten rot B = {1, 3, 5}:
P( B) =
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{1,3,5}
{1,2,3,4,5,6}
=
3 1
=
6 2
6
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Bewertung von Urnenexperimenten
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel (forts.)
•  Der Würfel wird einmal geworfen. Man erkennt, dass eine rote Seite oben
liegt, d.h. B ={1, 3, 5} ist eingetreten.
•  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ebenfalls A (A = {1, 2, 3})
eingetreten ist?
•  Idee (intuitiv):
Anzahl günstige Fälle
Anzahl mögliche Fälle
A∩ B
{1,3} 2
P
(
A
|
B
)
=
=
•  Formal:
{1,3,5} 3
B
•  P(A|B):
Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass Ereignis B
eingetreten ist.
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  Bedingte Wahrscheinlichkeit im Gleichmöglichkeitsmodell
A∩B
P(A | B) =
A∩B
=
B
Ω
B
=
P(A ∩ B)
P(B)
Ω
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Bewertung von Urnenexperimenten
Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  Definition: (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
9
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Seien A und B Ereignisse. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B
ist für P(B) > 0 gegeben durch
P( A | B ) =
P( A ∩ B)
P( B)
Ist P(B) = 0, so ist P(A|B) nicht definiert.
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  P(A|B) erfüllt die drei Axiome von Kolmogoroff
•  Axiom 1: 0 ≤ P(A) für alle Ereignisse A
•  Hier: 0 ≤ P(A|B)
•  Beweis
P( A ∩ B) ≥ 0, P ( B) > 0
P( A ∩ B)
≥0
P( B)
•  Axiom 2: P(Ω) = 1
•  Hier: P(Ω|B) = 1
•  Beweis
P( Ω | B) =
WS12/13
P( Ω ∩ B) P( B)
=
=1
P( B)
P( B)
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  P(A|B) erfüllt die drei Axiome von Kolmogoroff
•  Axiom 3: P( A ∪ B) = P( A) + P( B) für disjunkte Ereignisse A und B
•  Hier: P(A ∪ B | C) = P(A | C) + P(B | C)
für disjunkte Ereignisse A und B
•  Beweis
•  Es gilt
•  A ∩ B = ∅ (wg. A und B disjunkt) •  Damit gilt
(A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = ∅
P ( A ∪ B | C) =
P (( A ∪ B) ∩C )
P(C)
=
P (( A ∩C ) ∪ ( B ∩C ))
P(C)
P ( A ∩C ) + P ( B ∩C ) P ( A ∩C ) P ( B ∩C )
=
+
P(C)
P(C)
P(C)
= P(A | C) + P(B | C)
=
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Bewertung von Urnenexperimenten
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
•  Gilt immer P(A|B) > P(A)?
•  Beispiel (forts.)
•  Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•  A‘: Es fällt 2 à A‘ = {2}: P(A') = 1
6
•  B: Es fällt 1, 3 oder 5 à B = {1, 3, 5}
•  Bedingte Wahrscheinlichkeit P( A' | B) = P( A' ∩ B) = 0 < P( A' )
P( B)
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Bedingte Wahrscheinlichkeiten
•  Wichtige Sätze
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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48
Multiplikationssätze
•  Bestimmung durch Umformung der Definition für bedingte
Wahrscheinlichkeiten
P ( A ∩ B)
•  P ( A | B) = P(B)
→ P ( A ∩ B) = P ( A | B) ⋅ P(B)
P ( B ∩ A)
•  P ( B | A) = P(A)
→ P ( A ∩ B) = P ( B | A) ⋅ P(A)
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48
Multiplikationssätze
•  Beispiel
•  Kiste mit 10 Glühbirnen
•  4 Glühbirnen sind defekt
•  Zwei Birnen werden ohne Zurücklegen gezogen.
•  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide defekt sind?
•  Zwei Ereignisse
•  Ereignis D1
Erste gezogene Glühbirne ist defekt
•  Ereignis D2
Zweite gezogene Glühbirne ist defekt
•  P(D1 ∩ D2)?
•  Berechnung
•  P(D1) = 4/10 = 0,4
•  P(D |D ) = 3/9 = 0, 3
•  Damit gilt
2
1
P(D1 ∩ D2) = P(D2|D1) · P(D1) = 3/9 · 4/10 = 2/15
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48
Multiplikationssätze
•  Berechnung mit Kombinatorik (Gleichmöglichkeitsmodell)
•  Beispiel (forts.)
•  Kiste mit 10 Glühbirnen
•  4 Glühbirnen sind defekt
•  Zwei Birnen werden gezogen (ohne Zurücklegen).
•  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide defekt sind?
•  Berechnung
⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9
•  Anzahl möglicher Fälle: ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ = 2 = 45
(Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Anordnung)
⎛ 4 ⎞ ⎛ 6 ⎞
•  Anzahl günstiger Fälle: ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⋅ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ = 6 ⋅1 = 6
! 4 $
Möglichkeiten, von den 4 defekten Glühbirnen 2 zu ziehen
#
&=6
(ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Anordnung)
" 2 %
Für jede dieser 6 Möglichkeiten gibt es:
! 6 $ Möglichkeiten, von 6 nicht defekten Glühbirnen 0 zu ziehen
#
& = 1(ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Anordnung)
0
"
%
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Multiplikationssätze
•  Berechnung mit Kombinatorik (Gleichmöglichkeitsmodell)
•  Beispiel (forts.)
•  Kiste mit 10 Glühbirnen
•  4 Glühbirnen sind defekt
•  Zwei Birnen werden gezogen (ohne Zurücklegen).
•  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide defekt sind?
⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9
•  Berechnung
⎜⎜ ⎟⎟ =
= 45
2
2
•  Anzahl möglicher Fälle: ⎝ ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛ 6 ⎞
•  Anzahl günstiger Fälle: ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⋅ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ = 6 ⋅1 = 6
⎛ 4 ⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit P(D1 ∩ D2 ) = ⎝ 2 ⎠10⎝ 0 ⎠ = 6 = 2
45 15
⎛ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠
•  Gilt Multiplikationssatz bei Vereinigungen aus
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> 2 Ereignissen?
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48
Multiplikationssätze
•  Satz
Seien A1,…, An Ereignisse mit P(A1∩… ∩An-1)>0.
Dann gilt:
P( A1 ∩ … ∩ An ) = P( An | A1 ∩ … ∩ An −1 ) ⋅
P( An −1 | A1 ∩ … ∩ An − 2 ) ⋅… ⋅
P( A2 | A1 ) ⋅ P( A1 )
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48
Multiplikationssätze
•  Beweis
•  Es gilt
(A1 ∩…∩ An−1 ) ⊆ (A1 ∩…∩ An−2 ) ⊆ ... ⊆ (A1 ∩ A2 ) ⊆ A1
•  Wegen P(A1 ∩…∩ An−1 ) > 0 gilt
0 < P(A1 ∩…∩ An−1 ) ≤ P(A1 ∩…∩ An−2 ) ≤ ... ≤ P(A1 )
•  Also gilt
P(A1 ∩... ∩ An ) = P(A1 ∩... ∩ An )⋅
=
P(A1 ∩... ∩ An−1 )
P(A1 ∩ A2 ) P(A1 )
⋅…⋅
⋅
P(A1 ∩... ∩ An−1 )
P(A1 ∩ A2 ) P(A1 )
P(A1 ∩... ∩ An ) P(A1 ∩... ∩ An−1 )
P(A1 ∩ A2 )
⋅
⋅…⋅
⋅ P(A1 )
P(A1 ∩... ∩ An−1 ) P(A1 ∩... ∩ An−2 )
P(A1 )
= P( An|A1 ∩ ... ∩ An−1 ) ⋅ P( An−1|A1 ∩ ... ∩ An−2 ) ⋅ ... ⋅ P( A2|A1 ) ⋅ P( A1 )
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48
Multiplikationssätze
•  Beispiel (forts.)
•  Kiste mit 10 Glühbirnen
•  4 Glühbirnen sind defekt
•  Vier Birnen werden gezogen (ohne Zurücklegen).
•  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle defekt sind?
•  i Ereignisse
•  Ereignis Di
i-te gezogene Glühbirne ist defekt
•  P(D1 ∩ D2 ∩ D3 ∩ D4)?
•  Berechnung
P(D1 ∩ D2 ∩ D3 ∩ D4 ) = P(D4 | D1 ∩ D2 ∩ D3 )⋅ P(D3 | D1 ∩ D2 )⋅ P(D2 | D1 )⋅ P(D1 )
1
7
=
=
WS12/13
⋅
1
210
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2
8
⋅
3
9
⋅
4
10
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48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Ein Merkmal in einer Population wird betrachtet. Durch die einzelnen
Merkmalsausprägungen wird die Population in disjunkte Teilpopulationen
zerlegt.
•  Definition: (Vollständiges System von Ereignissen)
Sei Ω eine Ergebnismenge. Die Ereignisse A1, A2, …, An ⊆ Ω bilden ein
vollständiges System von Ereignissen, wenn gilt:
A1 ∪… ∪ An = Ω
und
Ai ∩ A j = ∅
A2
für alle i ≠ j mit i, j = 1,…, n
A3
A1
Ω
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
A6
A5
A4
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48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel
•  In einer Population leidet ein Promille an einer Krankheit.
•  Eine Person wird zufällig ausgewählt.
•  Die Ergebnismenge des Zufallsvorgangs ist Ω = {k , g.}
•  Zwei Ereignisse
•  Person ist krank: K = {k}
•  Person ist gesund: K = {g}
•  Die Ereignisse K, K bilden vollständiges System von Ereignissen.
•  Gegebene Wahrscheinlichkeiten
•  Wahrscheinlichkeit nicht gesund P(K) = 0,001
•  Wahrscheinlichkeit gesund P( K ) = 0,999
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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23
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel (forts.)
•  Diagnosemethode:
•  In 90% der Fälle wird ein Kranker als krank erkannt
•  In 99% der Fälle ein Gesunder als gesund.
•  Ereignisse
•  Ereignis A: Test klassifiziert Person als krank
•  Es gilt
•  Aus Aufgabe P( A | K ) = 0,9; P( A | K ) = 0,99
•  Daraus abgeleitet P(A | K ) = 0,1; P( A | K ) = 0,01
•  Gesucht: P(A)
Zur Lösung benötigen wir den folgenden Satz
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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24
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Satz (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Sei Ω eine Ergebnismenge.
Die Ereignisse A1,…, An ⊆ Ω bilden ein vollständiges System von
Ereignissen mit P(Ai) > 0 für i = 1,…,n.
Dann gilt für jedes Ereignis B ⊆ Ω:
n
P( B) = ∑ P( B | Ai ) ⋅ P( Ai )
i =1
WS12/13
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Visualisierung im Venn-Diagramm
WS12/13
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26
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beweis
•  Es gilt A1 ∪… ∪ An = Ω
•  … und somit B = B ∩Ω = B ∩ (A1 ∪…∪ An ) = (B ∩ A1 )∪…∪ (B ∩ An )
•  Wegen A ∩ A
i
j
= ∅ für alle i ≠ j mit i, j = 1,…, n ...
... gilt auch ( B ∩ Ai ) ∩ ( B ∩ A j ) = ∅
•  Also folgt
P(B) = P ((B ∩ A1 )∪…∪ (B ∩ An )) = P(B ∩ A1 ) +…+
P(B ∩ An )
n
= P(B | A1 )⋅ P(A1 ) +…+ P(B | An )⋅ P(An ) = ∑ P(B | Ai )⋅ P(Ai )
i=1
WS12/13
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27
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel (forts.)
•  In einer Population leidet ein Promille an einer Krankheit.
•  Eine Person wird zufällig ausgewählt.
•  Die Ergebnismenge des Zufallsvorgangs ist Ω = {k , g.}
•  Diagnosemethode:
•  In 90% der Fälle wird ein Kranker als krank erkannt
•  In 99% der Fälle ein Gesunder als gesund.
•  Gegeben (Ergebnisse bisher)
•  Wahrscheinlichkeit krank:P( K ) = 0,001, gesund: P( K ) = 0,999
•  Wahrscheinlichkeit Kranker krank klassifiziert P( A | K ) = 0,9
•  Wahrscheinlichkeit Gesunder krank klassifiziert P( A | K ) = 0,01
•  Gesucht:
•  Wahrscheinlichkeit das Person krank klassifiziert wird: P(A)
P( A) = P( A|K ) ⋅ P( K ) + P( A|K ) ⋅ P( K )
= 0, 9 ⋅ 0, 001+ 0, 01⋅ 0, 999 = 0, 01089
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28
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel
•  Urne mit N Kugeln
•  K Kugeln sind schwarz, N-K sind weiß
•  2 Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen werden
•  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite davon schwarz ist?
•  Ereignisse
•  Ereignis W1
erste gezogene Kugel ist schwarz
•  Ereignis W2
zweite gezogene Kugel ist schwarz
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit
P(W2 ) = P(W2|W1 ) ⋅ P(W1 ) + P(W2|W1 ) ⋅ P(W1 )
K K K N −K K #K N −K& K
= ⋅ + ⋅
= % +
(=
N N N
N
N$N
N ' N
WS12/13
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29
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel
•  Urne mit N Kugeln
•  K Kugeln sind schwarz, N-K sind weiß
•  2 Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen werden
•  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite davon schwarz ist?
•  Ereignisse
•  Ereignis W1
erste gezogene Kugel ist schwarz
•  Ereignis W2
zweite gezogene Kugel ist schwarz
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit
P(W2 ) = P(W2|W1 ) ⋅ P(W1 ) + P(W2|W1 ) ⋅ P(W1 )
K −1 K
K N −K
1
⋅ +
⋅
=
((K −1)K + K(N − K ))
N −1 N N −1
N
N (N −1)
1
1
K(N −1) K
=
(K 2 − K + KN − K 2 ) =
(KN − K ) =
=
N (N −1)
N (N −1)
N (N −1) N
=
WS12/13
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30
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
•  Beispiel
•  2x wiederholter Münzwurf
•  Frage 1: Haben Sie schon mal in einer Klausur gemogelt?
•  Frage 2: Erschien beim 2. Münzwurf Kopf?
•  Fällt beim ersten Mal Kopf: Frage 1 wird beantwortet
•  Fällt beim ersten Mal Zahl: Frage 2 wird beantwortet
•  Mit welcher Wahrscheinlichkeit antworten Sie, dass Sie bei einer Klausur
gemogelt haben, wenn Sie gefragt werden (P(J|F1))?
•  Ereignisse
•  Ereignis F1
Frage 1 wird beantwortet, es gilt: P( F1 ) = 0,5 P( F1 ) = 0,5
•  Ereignis J
Die Antwort ist ja, es gilt P( J|F1 ) = 0,5
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit
P(J ) = P(J | F1 )⋅ P(F1 ) + P(J | F1 )⋅ P(F1 ) = P(J | F1 )⋅ 0, 5 + 0, 5⋅ 0, 5
= P(J | F1 )⋅ 0, 5 + 0, 25
P(J ) − 0, 25
P(J | F1 ) =
= 2 ⋅ P(J ) − 0, 5
0, 5
WS12/13
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von Bayes
•  Satz (Satz von Bayes)
Sei Ω eine Ergebnismenge. Die Ereignisse A1,…, An ⊆ Ω bilden ein
vollständiges System von Ereignissen mit P(Ai)>0 für i=1,…,n. Dann gilt für
jedes Ereignis B ⊆ Ω:
P( Ai | B) =
P( B | Ai ) ⋅ P( Ai )
n
∑ P( B | A ) ⋅ P( A )
i
i
i =1
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Satz von Bayes
•  Beweis
•  Es gilt
P( Ai ∩ B)
P( Ai | B) =
P( B)
•  daraus folgt
mit P ( B) =
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32
Bewertung von Urnenexperimenten
48
P( Ai ∩ B)
P( B | Ai ) =
P( Ai )
P( Ai | B) ⋅ P( B) = P( Ai ∩ B) = P( B | Ai ) ⋅ P( Ai )
P( B | Ai ) ⋅ P( Ai )
P( Ai | B) =
P( B)
n
∑ P( B|Ai ) ⋅ P( Ai ) folgt P( Ai|B) =
i =1
P( B|Ai ) ⋅ P( Ai )
n
∑ P( B|A ) ⋅ P( A )
i
i =1
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i
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33
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von Bayes
•  Beispiel (forts.)
•  In einer Population leidet ein Promille an einer Krankheit.
•  Eine Person wird zufällig ausgewählt.
•  Die Ergebnismenge des Zufallsvorgangs ist Ω = {k , g.}
•  Diagnosemethode:
•  In 90% der Fälle wird ein Kranker als krank erkannt
•  In 99% der Fälle ein Gesunder als gesund.
•  Gegeben (Ergebnisse bisher)
•  Wahrscheinlichkeit krank: P( K ) = 0,001, gesund: P( K ) = 0,999
•  Wahrscheinlichkeit Kranker krank klassifiziert P( A | K ) = 0,9
•  Wahrscheinlichkeit Gesunder krank klassifiziert P( A | K ) = 0,01
•  Gesucht:
•  Wahrscheinlichkeit krank sein, wenn krank klassifiziert: P(K|A)
P( A | K ) ⋅ P( K )
P( A | K ) ⋅ P( K ) + P( A | K ) ⋅ P( K )
0 , 9 ⋅ 0 , 001
=
= 0 , 083
0 , 9 ⋅ 0 , 001 + 0 , 01 ⋅ 0 , 999
P( K | A) =
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von Bayes
•  Beispiel (forts.)
•  Population von 100.000 Personen wird betrachtet:
•  0,001 · 100.000 = 100 Personen sind krank
•  99 900 Personen sind nicht krank
•  Betrachtung der 100 Kranken
•  0,9 · 100 = 90 Personen als krank erkannt
•  0,1 · 100 = 10 Personen nicht als krank erkannt
•  Betrachtung der 99.900 Gesunden
•  0,01 · 99.900 = 999 als krank klassifiziert
•  Insgesamt
•  90 + 999 = 1.089 Personen als krank klassifiziert
•  Aber: nur 90 krank → 90/1089 = 0,083
WS12/13
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Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von Bayes
•  Beispiel Verkehrsunfall
•  Taxis einer Stadt
•  85% der Taxis sind grün
•  15% der Taxis sind blau
•  Bei Verkehrsunfall mit Taxi begeht Fahrer Fahrerflucht
•  Unfallzeuge sagt aus: Das Taxi war blau
•  Muss die Firma mit blauen Taxis zahlen?
•  Rechtsanwalt der blauen Taxifirma
•  Prüft, wie gut Zeuge die Farbe der Taxis erkennt
•  80% der Fälle erkennt der Zeuge die Farbe (blau/grün) korrekt
•  Ereignisse
•  Ereignis B:
Das Taxi ist blau
•  Ereignis ZB:
Zeuge stuft das Taxi als blau ein
•  Gesucht P(B|ZB)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
36
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von Bayes
•  Beispiel Verkehrsunfall (forts.)
•  85% der Taxis sind grün P(B) = 0,85
•  15% der Taxis sind blau P( B) = 0,15
•  80% der Fälle erkennt Zeuge Farbe P(ZB | B) = 0,8 und P( ZB | B ) = 0,8
Daraus folgt P(ZB | B) = 0,2
•  Gesucht P(B|ZB)
P( ZB | B) ⋅ P( B)
P( B | ZB ) =
P( ZB | B) ⋅ P( B) + P( ZB | B) ⋅ P( B)
=
0,8⋅ 0,15
= 0, 41
0,8⋅ 0,15 + 0, 2 ⋅ 0,85
•  Wahrscheinlicher, dass Taxi grün war!
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
37
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Satz von Bayes
•  Beispiel Verkehrsunfall (forts.)
•  Zahlenbeispiel
•  200 Taxis in der Stadt
•  30 blaue Taxis
•  170 grüne Taxis
•  Wenn Zeuge sagt, er hätte Farbe richtig erkannt
•  24 = 0,8 · 30 blaue
•  136 = 0,8 · 170 grüne
•  Als blaue Taxis Taxis klassifiziert
•  24 blaue + (170 – 136) grüne = 58 Taxis
•  24 / 58 = 0,41 (gesuchte Wahrscheinlichkeit)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
38
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Unabhängigkeit
•  Beispiel Vorlesung
•  250 Studierende, davon 100 männlich
•  200 besitzen PC, 80 Männer besitzen PC
•  Ist Information “männlich”, “weiblich” wichtig, für Wahrscheinlichkeit, dass
eine Person einen PC besitzt?
•  Ereignisse
•  Ereignis M
100
= 0,4
Person ist männlich, es gilt P( M ) =
250
•  Ereignis C
200
Person besitzt einen PC, es gilt P(C ) =
= 0,8
250
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit P(C|M)
80
P(C ∩ M ) =
= 0,32
250
P(C|M ) =
WS12/13
P(C ∩ M ) 0,32
=
= 0,8
P( M )
0,4
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
39
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Unabhängigkeit
•  Wissen, dass eine Person männlich ist, ändert nichts an der
Wahrscheinlichkeit, einen PC zu besitzen. Die Ereignisse Geschlecht/PCBesitzer sind unabhängig.
•  Definition: (Unabhängigkeit)
Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt P(A|B) = P(A).
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
40
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Unabhängigkeit
•  Satz
Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, so gilt
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
•  Beweis
•  Es gilt
P( A|B) = P( A)
•  Daraus folgt
P( A ∩ B) = P( A|B) ⋅ P( B) = P( A) ⋅ P( B)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
41
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Unabhängigkeit
•  Satz
Sind die Ereignisse A und B unabhängig, so sind auch die folgenden Paare
von Ereignissen unabhängig:
1. A und B
2. A und B
3. A und B
•  Beweis (nur für 1.; übrige sind analog)
•  Zu zeigen P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B )
•  Aus: P(A) = P(A ∩Ω) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
•  Folgt: P( A ∩ B ) = P( A) − P( A ∩ B)
= P( A) − P( A) ⋅ P( B)
= P( A) ⋅ (1 − P( B))
= P( A) ⋅ P( B )
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
42
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Unabhängigkeit
•  Satz
Sind die Ereignisse A und B disjunkt und gilt P(A)>0 und P(B)>0, so sind A und
B nicht unabhängig.
•  Beweis
•  Aus A ∩ B = ∅ folgt
P( A | B) =
P( A ∩ B) P(∅)
=
=0
P( B)
P( B)
•  Da P(A)>0 gilt, folgt P( A | B) ≠ P( A)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
43
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Bewertung von Urnenexperimenten - Übersicht
•  Satz von Bayes
•  Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( B | A ) ⋅ P( A )
P( A ∩ B)
P
(
A
|
B
)
=
(
)
P
A
|
B
=
• 
• 
P( B)
P( B | A ) ⋅ P( A )
∑
•  Multiplikationssätze
•  P ( A ∩ B) = P ( A | B) ⋅ P(B)
•  Unabhängigkeit
•  P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
•  P ( A ∩ B) = P ( B | A) ⋅ P(A)
(für unabhängige Ereignisse)
•  P( A ∩ … ∩ A ) = P( A | A ∩ … ∩ A ) ⋅
i
i
i
n
i
i =1
1
n
n
1
n −1
P( An −1 | A1 ∩ … ∩ An − 2 ) ⋅… ⋅
P( A2 | A1 ) ⋅ P( A1 )
•  Satz von der
totalen Wkt.
n
•  P( B) = ∑ P( B | Ai ) ⋅ P( Ai )
i =1
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
i
ETWR – Teil B
Bewertung von Urnenexperimenten – Addendum
Stephan Schosser
45
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Taxifahrerproblem – 2 Zeugen I
•  Beispiel Verkehrsunfall
•  Taxis einer Stadt
•  85% der Taxis sind grün
•  15% der Taxis sind blau
•  Bei Verkehrsunfall mit Taxi begeht Fahrer Fahrerflucht
•  2 Unfallzeugen sagen aus: Das Taxi war blau
•  Muss die Firma mit blauen Taxis zahlen?
•  Rechtsanwalt der blauen Taxifirma
•  Prüft, wie gut Zeuge i die Farbe der Taxis erkennt
•  80% der Fälle erkennt der Zeuge i Farbe (blau/grün) korrekt
•  Ereignisse
•  Ereignis B:
Das Taxi ist blau
•  Ereignis ZiB:
Zeuge i stuft das Taxi als blau ein
•  Gesucht P(B|Z1B ∩ Z2B)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Taxifahrerproblem – 2 Zeugen II
•  Beispiel Verkehrsunfall (forts.)
•  85% der Taxis sind grün P(B) = 0,85
•  15% der Taxis sind blau P( B) = 0,15
•  80% der Fälle erkennt Zeuge Farbe P(Z B | B)
Daraus folgt P(Zi B | B) = 0,2
i
Stephan Schosser
46
Bewertung von Urnenexperimenten
48
= 0,8 und P(Zi B | B) = 0,8
•  Gesucht P(B|Z1B ∩ Z2B)
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) =
P(Z1B ∩ Z 2 B | B)⋅ P(B)
P(Z1B ∩ Z 2 B | B)⋅ P(B) + P(Z1B ∩ Z 2 B | B)⋅ P(B)
•  Annahme: Vorhersagefähigkeit der Zeugen ist unabhängig!
P(Z1B | B)⋅ P(Z 2 B | B)⋅ P(B)
P(Z1B | B)⋅ P(Z 2 B | B)⋅ P(B) + P(Z1B | B)⋅ P(Z 2 B | B)⋅ P(B)
0,8⋅ 0,8⋅ 0,15
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) =
= 0, 74
0,8⋅ 0,8⋅ 0,15 + 0, 2 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,85
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) =
•  Taxi war relativ sicher blau!
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
47
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Taxifahrerproblem – 2 Zeugen III
•  Beispiel Verkehrsunfall (forts.)
•  85% der Taxis sind grün P(B) = 0,85
•  15% der Taxis sind blau P( B) = 0,15
•  80% der Fälle erkennt Zeuge Farbe P(Z B | B)
= 0,8 und P(Zi B | B) = 0,8
Daraus folgt P(Zi B | B) = 0,2 und P(Zi B | B) = 0,2
i
•  Gesucht
P(B | Z1B∩ Z 2 B)
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) =
P(Z1B ∩ Z 2 B | B)⋅ P(B)
P(Z1B ∩ Z 2 B | B)⋅ P(B) + P(Z1B ∩ Z 2 B | B)⋅ P(B)
•  Annahme: Vorhersagefähigkeit der Zeugen ist unabhängig!
P(Z1B | B)⋅ P(Z 2 B | B)⋅ P(B)
P(Z1B | B)⋅ P(Z 2 B | B)⋅ P(B) + P(Z1B | B)⋅ P(Z 2 B | B)⋅ P(B)
0,8⋅ 0, 2 ⋅ 0,15
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) =
= 0,15
0,8⋅ 0, 2 ⋅ 0,15 + 0, 2 ⋅ 0,8⋅ 0,85
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) =
•  Taxi war relativ sicher grün!
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
48
Bewertung von Urnenexperimenten
48
Taxifahrerproblem – 2 Zeugen IV
•  Beispiel Verkehrsunfall (forts.)
•  85% der Taxis sind grün P(B) = 0,85
•  15% der Taxis sind blau P( B) = 0,15
•  80% der Fälle erkennt Zeuge Farbe P(Z B | B)
= 0,8 und P(Zi B | B) = 0,8
Daraus folgt P(Zi B | B) = 0,2 und P(Zi B | B) = 0,2
i
•  1 Zeuge:
P(B | Z1B) = 0, 41
•  2 Zeugen:
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) = 0, 74
P(B | Z1B ∩ Z 2 B) = 0,15
•  Aussagekraft bei zwei Zeugen wird immer besser!
•  Sind zwei Aussagen unterschiedlich: relativ sicher grün
•  Sind zwei Aussagen gleich:
relativ sicher blau
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B