¨Ubung zum Lehrerweiterbildungskurs `Geometrie` WiSe 2014/2015

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Geometrie’
WiSe 2014/2015
Aufgabe 18 (Satz des Pythagoras-Beweis durch Ergänzung)
Beweisen Sie den Satz des Pythagoras
(für rechtwinklige Dreiecke der reellen euklidischen Ebene mit Hypotenuselänge c
und Kathetenlängen a und b):
c
a2 + b2 = c2 ,
indem Sie die Flächen der Dreiecke und
Quadrate gemäß der nebensteheneden
Skizze auf zwei Arten berechnen.
β
b
a
α
c
Lösungshinweis: Ohne Beweis dürfen Sie hier Folgendes benutzen:
1.) Die Winkelsumme im Dreieck ist gleich 2R.
2.) Der Flächeninhalt eines Rechtecks der Seitenlängen d und e ist gleich d·e.
3.) Inhalte von sich höchstens im Rand überschneidenden Flächen addieren
sich.
Lösungsskizze:
Da sich (wegen der Winkelsumme 2R im Dreieck) die Basis-Winkel α und β
zu einem rechten Winkel addieren, handelt es sich bei dem gemäß der Skizze
gebildeten äußeren Viereck tatsächlich um ein Quadrat. Dessen Flächeninhalt
beträgt c2 . Die Quadrat-Fläche setzt sich aus den Flächen der vier (zum Ausgangsdreieck kongruenten) rechtwinkligen Dreiecke und des inneren Quadrats
zusammen. Letzteres hat (gemäß Konstruktion) die Seitenlänge b−a und damit den Flächeninhalt (b − a)2 . Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks der Kathetenlängen a und b ist gleich der Hälfte des Flächeninhalts eines
Rechtecks der Seitenlängen a und b (Die Diagonale teilt letzteres in zwei kongruente Dreiecke!). Infolge der Addition der Flächenmaße erhält man daher
für die Fläche des äußeren Quadrats die Gleichung
c2 = 4 ·
a·b
+ (b − a)2 = 2ab + a2 − 2ab + b2 = a2 + b2 .
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Literaturhinweis:
Siehe z.B. Glaeser/Polthier: Bilder der Mathematik. Springer Spektrum 2010,
2014 (Kap.2)
Im Internet z.B. (animiert): http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/
mathematik/3material/sek1/geometrie/pyth/beweise/