Die Bewegung geladener Teilchen in rotations

Lösungen für kleine Wellenlängen, d. h. große
h,
instabil werden, bis schließlich für B z = 0 das oben
diskutierte Verhalten eintritt.
LUNDQUIST 3 hat für
Er kann nicht zeigen, daß, wenn diese Ungleichung
nicht erfüllt ist, Stabilität vorliegt, da er seine Verschiebungen nicht minimalisiert.
inkompressibles Plasma gezeigt, daß bei vorhandenem Magnetfeld in z-Richtung ein Hinzufügen eines
Aus dem Obigen geht hervor, daß eine zylinder-
Magnetfeldes in der (^-Richtung zur Instabilität bei-
symmetrische Plasmakonfiguration ohne Magnetfeld
trägt. E r bewies, daß für seine angenommene Ver-
im Innern des Plasmas, die also nur durch Ober-
schiebung Instabilität herrscht, wenn für das Feld
flächenströme
i m Innern des Plasmazylinders gilt
ist, wenn eine azimutale Komponente des Magnet-
J
R
feldes existiert. A n a l o g wie bei
R
1
2
(B' ) r dr > 2 /
zusammengehalten wird, stets instabil
z2
(B )
hier die Störungen
r dr .
kleiner
TAYLER
4
sind auch
Wellenlängen
am
in-
stabilsten.
D i e Bewegung geladener Teilchen
in rotations-symmetrischen Magnetfeldern
V o n
R . LÜST
und
A.
SCHLÜTER
Aus dem Max-Planck-Institut für Physik, Göttingen
(Z. Naturforschg. 12 a, 841—843 [1957] ; eingegangen am 11. J u n i 1957)
Die Bewegung geladener Teilchen in rotations-symmetrischen Magnetfeldern wird untersucht.
I n diesem Fall kann m a n aus einer Verallgemeinerung des Drehimpulserhaltungssatzes bestimmte
Bedingungen ableiten, unter welchen die Teilchen in einem endlichen Volumen für unbegrenzte Zeit
festgehalten werden.
The motion of a charged particle in a magnetic field of rotational symmetry allows for a generalization of the law of conservation of angular momentum. From this conditions are derived, under which
a particle will always stay within a finite volume.
a) W i l l m a n ein Plasma durch Magnetfelder ein-
in
ein meridionales
Feld
zerlegen.
Der
meridio-
schließen, so genügt es für viele Fragen, das Plasma
nale Anteil kann dabei beschrieben werden durch
makroskopisch durch eine Flüssigkeit zu beschreiben
eine skalare Funktion F(s,z),
(s = Abstand von der
z-Achse als Symmetrieachse, z = Abstand von der
Äquatorebene), wobei 2 T I F ( X ) den gesamten Fluß
bedeutet durch die Fläche, deren Begrenzung durch
die Rotation des Punktes r u m die Symmetrieachse
entsteht (r = Ortsvektor). Auch der toroidale Feldanteil läßt sich durch eine skalare Funktion T(s,z)
beschreiben, die analoge Bedeutung wie F für die
elektrische Stromdichte hat.
u n d die daraus folgenden Bedingungen zu untersuchen. Mikroskopisch gesehen, geschieht das Festhalten des Plasmas durch ein Magnetfeld dadurch,
daß die Teilchen u m die Magnetfeldlinien spiralen.
F ü r die genauere Untersuchung, inwieweit die Teilchen durch ein Magnetfeld zusammengehalten werden, u n d ob sie aus einem vorgegebenen Volumen
entweichen können, m u ß m a n die Bahn der einzelnen Teilchen betrachten.
Durch die beiden Funktionen F und T drückt sich
I m folgenden soll die Frage untersucht werden,
durch
welche
zylindersymmetrischen
Magnetfelder
es möglich ist, Teilchen innerhalb eines geschlossenen Volumens festzuhalten. V o n
STÖRMER
sind die
Bahnen von geladenen Teilchen in einem Dipolfeld
untersucht worden. Diese Berechnungen wurden später von den Verfassern fortgesetzt und m a n
kann
sehen, daß die hier zu untersuchende Frage sich in
sehr analoger Weise behandeln läßt.
b ) E i n zylindersymmetrisches Magnetfeld
sich in ein toroidales
(oder azimutales)
das Magnetfeld wie folgt aus, wenn t z der Einheitsvektor in Richtung der Symmetrieachse ist,
= 23m + 23t = ±
[ [r e2] grad F] + ±
[r e,] T . (1)
Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens
mit der Ruhemasse m0,
der Geschwindigkeit t) und
(e = Elementarladung, Z = Anzahl
der Elementarladungen) in einem Magnetfeld ist gegeben durch
der L a d u n g Ze
läßt
Feld und
*R
d«
=
Zl[VSB].
c
(2)
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(12) ist, daß nur der meridionale Feldanteil ein-
Hierin ist p der Impuls
p=
m
W D
° —.
J/l-(ü/c) 2
t)=
geht.
(3)
Multipliziert man Gl. (6) skalar mit t>, so erhält
c die Lichtgeschwindigkeit und t die Zeit. Die Ge-
man den Energieerhaltungssatz
1 do2
= 0
2 dt
schwindigkeit ist definiert als
Ü = dr/df.
(4)
Unter Einführung
(13)
der meridionalen
Geschwindig-
Multipliziert man Gl. (2) skalar mit p, so sieht man,
keitskomponente Üm wird daraus, da Öm und Öt senk-
daß
recht aufeinander stehen:
] p | = const
und
j t) | = const
1 dü,!2
2 dt
1 döm2
2 dt
(5)
ist während der Bewegung des Teilchens; und das
(14)
gleiche gilt dann auch für die bewegte Masse m, so
W e n n man nun tit nach Gl. (12) als Funktion des
daß man für Gl. (2) schreiben darf:
Ortes (und des Parameters 2 y) ausgedrückt denkt,
ist dies gleichwertig mit:
do
Ze
— = * e [D 23]
m
c
dt
1
(6)
J
c) Multipliziert man Gl. (6)
skalar mit
[r e z ] ,
dOr
|(ÖgradÜt2).
dt
(15)
so bekommt man die Verallgemeinerung des Dreh-
N u n liegt grad Ö t 2 in der Meridianebene, so daß man
impulserhaltungssatzes. Es ist
dafür schreiben kann:
f[rez]^) = ^
dt j
\
e
m c
döm
([r cz ] [ö23]).
(7)
Nun ist der Absolutbetrag der toroidalen Geschwin-
Damit ist die Komponente dt>m/d£ in Richtung von
tim selbst bestimmt. Um den gesamten meridionalen
digkeitskomponente Üt gegeben durch
s = |[e 2 r]|
(8)
Anteil von dt)m/dz zu erhalten, multiplizieren
wir
Gl. (16) noch skalar mit t z . Man bekommt dann,
da dt)t/d£ senkrecht auf t z steht,
und damit
dl)
*
(16)
K ^ m grad t>t2).
dt
(s\t)t \) = [[xez ]^j
+ 0>[e,ö])-([re,]
do m \
d<
2
(9)
Aus Gl. (7) wird dann unter Benutzung von Gl. (1)
d / I v, K
Ze
, ( i | D t | ) = — (Ö grad F ) .
dt
m c
man dafür schreiben:
dt
dF
m c
dt
e
])
+
(ez[öm23t])}
.
(17)
d t / m c
Mit Hilfe von Gl. (1) wird daraus
(-e*
= - h (e, grad ö t 2 ) + ± (e2 [om [r c2] ]) T .
(18)
(10)
D a F nicht explizit von der Zeit abhängen soll, kann
Ze
Ze
Die toroidale Komponente von dt>in/d£ folgt aus der
Drehung der Meridianebene, in der sich das Teilchen befindet. Wenn es der Einheitsvektor in der
dl)
.s-Richtung ist, gilt:
Diese Gleichung läßt sich direkt integrieren und liefert
dt
(19)
s
Damit bekommt man schließlich
± ö
t
= ( * M f +2 ^
V m c
[rC
*]
(12)
dn
at
= - * grad Dt2 + ~ [ö m [r C2]j F + i
Z
S
o
(Öm e8) t>f
Das obere Vorzeichen gilt für positiv geladene Teil-
(20)
chen und das untere für negativ geladene. 2 y ist
eine Integrationskonstante, die so normiert ist, daß
Die toroidale
± 2 y die Drehimpulskomponente parallel zur Sym-
also nur auf die Bewegung in der Meridianebene
metrieachse ist, wenn und wo die Funktion F ver-
einen Einfluß.
schwindet. 2 y ist also konstant längs der Bahn eines
einzelnen Teilchens. Bemerkenswert an dieser
Gl.
Komponente
des Magnetfeldes
d) Bei den Bewegungen geladener Teilchen
hat
in
einem Dipolfeld konnte man durch die Benutzung
des
Drehimpuls-
und
des
Energiesatzes
zeigen,
daß für Teilchen bestimmter Energie u n d m i t be2 y
als Lösungen, die entlang der Feldlinie von $8m durch
den P u n k t s 0 , z0 verlaufen. Diesen Streifen zwischen
sogenannte
den beiden K u r v e n können die Teilchen nicht ver-
verbotene Gebiete existieren, die diese Teilchen nicht
lassen. I m Grenzfall v —> 0 ist seine Breite an einer
stimmten
Drehimpulskomponenten
verlassen bzw. nicht erreichen können. Solche Ge-
Stelle, wo
biete lassen sich auch hier angeben.
den Durchmesser des Gyrationskreises des Teilchens
Die
Gebiete,
die
die
Teilchen
bestimmter
schwindigkeit | Ö j u n d m i t bestimmter
Ge-
Drehimpuls-
einen bestimmten W e r t besitzt, durch
i n dem Magnetfeld 23m bestimmt. D a in nichtsingulären Feldern die Feldlinien von
entweder ge-
komponente 2 y nicht verlassen k ö n n e n , bestimmen
schlossen sind, oder ins Unendliche verlaufen, er-
sich daraus, daß
geben sich
(21)
(noch immer unter der
Voraussetzung
nicht zu großer Geschwindigkeit v) im ersten Falle
geschlossene ringartige Gebiete, die jeweils f ü r Teil-
sein m u ß . D a m i t folgt aus (Gl. 12)
±-\Zh±F(s,z)+2y
s mc
chen bestimmter Anfangsbedingungen in der Meri-
< | Ö |.
(22)
dianebene erlaubt sind. Die erlaubten
Gebiete
im
R a u m folgen daraus durch R o t a t i o n u m die z-Achse.
F ü r vorgegebene jtt ( u n d 2 y , die j a w ä h r e n d der
Bewegung eines Teilchens konstant sind, läßt sich
daraus das Gebiet, in das die Teilchen eingeschlossen sind, ermitteln.
W e n n wir ein Teilchen m i t der toroidalen
Ge-
Jedes Feld m i t einem meridionalen Anteil, dessen
Feldlinien geschlossen sind, k a n n also Teilchen nicht
zu hoher Energie dauernd in einem endlichen Volum e n festhalten.
schwindigkeitskomponente Dt (deren einzige Kompo-
W e n n m a n ein Plasma hoher Temperatur durch
nente in Zylinderkoordinaten vv positiv sei, wenn Dt
ein Magnetfeld festhalten will, so ist eine makro-
in Richtung
skopische Beschreibung
[ez t ]
zeigt, andernfalls
negativ)
im
Punkte s 0 , z0 treffen, k ö n n e n wir zunächst den W e r t
des verallgemeinerten
2 y
Drehimpulses
nach
Gl.
schen
Gleichgewichts
des
nicht
magnetohydrodynamihinreichend,
wenn
die
freien Weglängen groß gegen die linearen Dimensionen des Volumens werden, in dem das Plasma fest-
( 1 2 ) bestimmen zu
gehalten werden soll. M a n m u ß d a n n die Bahnen
2 y= -
mc
F(s0 , z0 ) - s 0 M 5 o , *0 )
u n d damit die Linie, die die Grenze des Bereiches
angibt, als die Gesamtheit der Punkte s, z, in denen
die aus Gl. ( 2 2 ) folgende Beziehung erfüllt ist:
F(s,z)
-F(s0,z0) =
2
( Ä 0 M * O O ) ±s\v\) •
\e\Z
der
einzelnen
geladenen
Teilchen
verfolgen
und
solche Feldkonfigurationen finden, daß die Teilchen
genügend lange i n dem V o l u m e n bleiben. D a s vorgeführte Ergebnis erlaubt die B e s t i m m u n g von solchen Konfigurationen. Es ist klar, daß insbesondere
die Frage der Stabilität noch nicht gelöst ist, da wir
die mögliche R ü c k w i r k u n g der geladenen Teilchen
I n den Punkten, in denen s 5Öm endlich ist, ergeben
auf
sich, jedenfalls für genügend kleines v , zwei K u r v e n
haben.
das
elektromagnetische
Feld
nicht
betrachtet