Hochfrequenztechnik
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-1- Hochfrequenztechnik Dipl. Ing. Dr. Peter FRÖHLING A-2571 Altenmarkt / Triesting Nöstach 152 [email protected] Copyright: Das vorliegende Werk ist in all seinen Teilen urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte vorbehalten, insbesondere das Recht der Übersetzung, des Vortrags, der Reproduktion, der Vervielfältigung auf fotomechanischen oder anderen Wegen und der Speicherung in elektronischen Medien. Ungeachtet der Sorgfalt, die auf die Erstellung von Text, Abbildungen, Gleichungen und Programmen verwendet wurde, kann der Autor für mögliche Fehler und deren Folgen keine juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung übernehmen. Die in diesem Werk wiedergegebenen Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. können auch ohne besondere Kennzeichnung Marken sein und als solche gesetzlichen Bestimmungen unterliegen. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -2Hochfrequenztechnik.................................................................................................................1 1 Einleitung.................................................................................................................................6 1.1 Dezibel – Definition und Anwendung..............................................................................7 1.2 Pegelrechnung...................................................................................................................8 1.2.1 Leistungs- und Spannungspegel.................................................................................8 1.2.2 Rauschpegel...............................................................................................................9 1.3 Dezibel in der Antennentechnik........................................................................................9 2 Der selektive Verstärker.........................................................................................................10 2.1 Der Parallelschwingkreis................................................................................................10 2.1.1 Die Güte der Spule...................................................................................................10 2.1.2 Die Güte des Kondensators......................................................................................16 2.1.3 Die Güte des Parallelschwingkreises.......................................................................19 2.1.4 Spulenlose Filter......................................................................................................21 2.2 Die Verstärkung eines einstufigen selektiven Verstärkers..............................................25 2.3 Das Konzept der Transferimpedanz................................................................................25 2.4 Die relative Verstimmung...............................................................................................26 2.5 Die Kettenschaltung mehrerer gleicher selektiver Verstärker........................................27 2.6 Bandfilter........................................................................................................................28 2.6.1 Die magnetische Kopplung......................................................................................28 2.6.2 Die Spannungskopplung oder Kopfkopplung..........................................................30 2.6.3 Die Stromkopplung oder Fußpunktkopplung..........................................................30 2.6.4 Das Übertragungsverhalten eines zweikreisigen Bandfilters...................................32 3 Oszillatoren............................................................................................................................35 3.1 Die klassische Schwingbedingung..................................................................................35 3.2 Die Schwingbedingung aus den Y-Parametern..............................................................36 3.3 Das Anschwingen des Oszillators...................................................................................36 3.4 Typische Oszillatorschaltungen......................................................................................36 3.4.1 RC-Oszillatoren.......................................................................................................36 3.4.2 LC-Oszillatoren........................................................................................................38 3.4.3 Quarzoszillatoren.....................................................................................................38 3.5 Die Stabilität von Oszillatoren........................................................................................38 4 Mischer...................................................................................................................................40 4.1 Additiver Mischer...........................................................................................................40 4.1.1 Mischung mit einem Feldeffekt-Transistor..............................................................40 4.1.2 Mischung mit einem Bipolartransistor.....................................................................43 4.2 Multiplikativer Mischer..................................................................................................46 4.2.1 Mischung mit einem Analog-Multiplizierer............................................................46 4.2.2 Gegentaktmischer.....................................................................................................46 4.2.3 Der Doppel-Gegentaktmischer oder Ringmischer...................................................47 4.2.4 Ein multiplikativer Mischer mit einem Operationsverstärker..................................49 5 Signale und Spektrum............................................................................................................49 5.1 Spektrum des Real- und Imaginärteils............................................................................49 5.2 Amplituden- und Phasenspektrum..................................................................................49 6 Modulation und Demodulation..............................................................................................50 6.1 Amplitudenmodulation...................................................................................................50 6.1.1 Klassische Amplitudenmodulation..........................................................................52 6.1.2 Klassische Amplitudendemodulation......................................................................53 6.1.3 Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger, DSBSC...................................55 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -36.1.4 DSBSC mit Quadraturmodulator.............................................................................56 6.1.5 Demodulation der DSBSC mit Quadraturdemodulator...........................................58 6.1.6 Einseitenbandmodulation, SSB-Modulation............................................................59 6.1.7 Einseitenband-Demodulation, SSB-Demodulation.................................................60 6.2 Frequenz- und Phasenmodulation, FM- und PM-Modulation........................................61 6.3 Frequenz- und Phasendemodulation, FM- und PM-Demodulation................................61 7 Phasenregelkreis, Phase-Locked-Loop, PLL........................................................................61 8 Leitungen...............................................................................................................................62 8.1 Leitungsgleichungen.......................................................................................................62 8.1.1 Leitungsgleichungen im Frequenzbereich...............................................................63 8.1.2 Verlustlose Leitungen..............................................................................................67 8.2 Zweidrahtleitungen.........................................................................................................67 8.2.1 Paralleldrahtleitung..................................................................................................67 8.2.2 Koaxialleitung..........................................................................................................68 8.2.3 Anpassung ...............................................................................................................69 8.2.4 Leistungsteiler..........................................................................................................73 8.2.5 Balun........................................................................................................................73 8.2.6 Richtkoppler.............................................................................................................74 8.3 Mikrostrip-Leitungen......................................................................................................75 8.3.1 Analysegleichungen.................................................................................................76 8.3.2 Synthesegleichungen................................................................................................78 8.3.3 Berücksichtigung weiterer Kenndaten der Mikrostrip-Leitung...............................78 8.4 Mikrostrip-Diskontinuitäten............................................................................................79 9 Das Smith-Diagramm............................................................................................................80 10 Streuparameter.....................................................................................................................81 10.1 Definition der Streuparameter......................................................................................81 10.1.1 Der symmetrische T-Abschwächer........................................................................82 10.1.2 Der symmetrische π-Abschwächer........................................................................84 10.2 S-Parameter und Zuleitungen.......................................................................................85 10.3 Die Berechnung der S-Parameter mit SPICE©...........................................................87 10.3.1 Arbeitspunkteinstellung beim BJT mit Hilfe von SPICE©..................................87 10.3.2 Die Berechnung von S11 und S21 mit SPICE©...................................................87 10.3.3 Die Berechnung von S12 und S22 mit SPICE© ..................................................88 10.4 Mehrtore.......................................................................................................................88 11 Stabilität eines Verstärkers...................................................................................................90 12 Leistungsverstärkung..........................................................................................................94 12.1 Verstärkung eines unbedingt stabilen Verstärkers.......................................................94 13 Hohlleiter.............................................................................................................................95 13.1 Wellengleichung im Rechteckhohlleiter......................................................................96 13.2 Cutoff-Frequenz und Hochpass-Eigenschaften...........................................................98 13.3 Wellenlänge im Hohlleiter...........................................................................................99 13.4 Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter..........................................................................99 13.5 Feldbilder im Rechteckhohlleiter...............................................................................100 13.5.1 Hm,n- oder TEm,n-Moden..................................................................................100 13.5.2 Em,n- oder TMm,n-Moden.................................................................................101 13.6 Hohlleiter-Bauelemente.............................................................................................102 13.6.1 Hinterdrehter Flansch..........................................................................................102 13.6.2 E- und H-Krümmer.............................................................................................102 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -413.6.3 13.6.4 13.6.5 13.6.6 Twist, flexible Twist...........................................................................................102 Richtkoppler........................................................................................................102 Zirkulator............................................................................................................102 Isolator................................................................................................................102 14 Antennen............................................................................................................................103 14.1 Kenngrößen von Antennen........................................................................................103 14.2 Wellenausbreitung.....................................................................................................103 14.2.1 Die Freiraumdämpfung.......................................................................................103 15 Rauschen............................................................................................................................105 16 HF-Anwendungen..............................................................................................................106 16.1 Funknavigation...........................................................................................................106 16.1.1 Peilsender............................................................................................................106 16.1.2 Radar...................................................................................................................106 16.1.3 Navstar Global Positioning System (Navstar GPS)............................................106 16.1.4 LORAN...............................................................................................................106 16.2 Radio Frequency Identificaction RFID......................................................................106 17 Anhänge.............................................................................................................................107 17.1 Summensätze.............................................................................................................107 17.2 Potenzen von cos(x) und sin(x)..................................................................................107 17.3 Taylorreihe.................................................................................................................108 17.4 Klirrfaktor..................................................................................................................108 17.5 Skineffekt...................................................................................................................109 17.6 Koordinatensysteme...................................................................................................110 17.6.1 Kartesisches Koordinatensystem........................................................................110 17.6.2 Zylinderkoordinaten............................................................................................111 17.6.3 Kugelkoordinaten................................................................................................111 17.7 Das zweikreisige Bandfilter mit unterschiedlichen Kreisen......................................111 17.8 Die Gleichrichtung kleiner Spannungen....................................................................111 17.9 Der Detektorempfänger bei kleinen Signalen............................................................111 17.10 90°-Phasenschiebernetzwerk für Sprachsignale......................................................111 17.11 Kapazität typischer Elektrodenanordnungen............................................................112 17.11.1 Kugelelektrode...................................................................................................112 17.11.2 Zylinderelektrode...............................................................................................112 17.12 Induktivität typischer Leiteranordnungen.................................................................112 17.12.1 Zwei parallele zylindrische Leiter......................................................................112 17.12.2 Zwei rechteckige, nahe beieinander liegende Leiter..........................................113 17.12.3 Lange koaxiale Leiter.........................................................................................113 17.13 Taschenrechner-Programme am TI-84.....................................................................114 17.13.1 Optimale Widerstandswerte bei Serienschaltung..............................................114 17.13.2 Optimale Widerstandswerte bei Serien- und Parallelschaltung.........................115 17.13.3 Einlagige Zylinderspule.....................................................................................116 17.13.4 Einlagige Flachspule..........................................................................................116 17.13.5 Einlagige Rechteckspule....................................................................................116 17.13.6 Komplexe Π-T-Transformation.........................................................................116 17.13.7 Komplexe T-π-Transformation..........................................................................117 17.13.8 Duale Impedanz.................................................................................................117 17.13.9 Transformation von Zl nach Zin mit L und C....................................................117 17.13.10 Transformation von Zl nach Zin mit einer Leitung.........................................118 17.13.11 Mikrostrip-Analyse und Synthese....................................................................118 17.13.12 Arbeitspunkteinstellung eines Bipolartransistors.............................................119 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -517.14 Taschenrechnerprogramme am Tinspire...................................................................119 17.14.1 Optimale Widerstandswerte bei Serien- und Parallelschaltung.........................119 18 Literaturverzeichnis...........................................................................................................121 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -6- 1 Einleitung An Hand einer Funkübertragungsstrecke wird die Hochfrequenztechnik (HF-Technik) erläutert. Das dargestellte Prinzip der Informationsübertragung ist in allen Systemen gleich: Bild 1: Prinzipieller Aufbau einer Funkdatenübertragung Ein Sensor (Mikrofon, Kamera, Messgerät o.ä.) nimmt Information auf. In der Signalaufbereitung wird das Signal für die Übertragung so umgeformt, dass es optimal übertragen werden kann. Der Oszillator in der HF-Schwingungserzeugung liefert das Signal mit der Frequenz, mit welcher die Information übertragen werden soll. Im Modulator wird die Information vom Basis-Frequenzband in das HF-Frequenzband übertragen. Der HF-Treiberverstärker verstärkt das vom Modulator kommende schwache Signal so stark, dass es ausreicht, um die Endstufe aussteuern zu können. Die HF-Endstufe ist der letzte Verstärker im Sender. Sie liefert das Signal, welches an die Antenne gelangt. Die Sendeantenne transformiert das HF-Signal, welches bis hierher auf Leitungen geführt wird, auf eine elektromagnetische Welle, welche sich frei im Raum, ohne Leitungsführung, ausbreitet. Die Funkstrecke kann wenige Meter (z.B. Herzpulsmesser mit Pulsuhr) bis zu vielen Millionen Kilometern (Pionier-Raumsonde, weit hinter dem Planetoiden Pluto) sein. Die Empfangsantenne wandelt die schwache, aus dem Freiraum kommende Welle in ein leitungsgeführtes Signal um. Der HF-Vorverstärker filtert grob das gewünschte Signal aus all den Signalen, welche die Antenne aufnimmt, aus. Der lokale Oszillator ist das Herz des Empfängers. Er bestimmt im Detail, welches Signal aus den ankommenden Frequenzgemisch herausgefiltert werden soll. Im Mischer wird das Empfangssignal auf eine Zwischenfrequenz (ZF) umgewandelt, die für die weitere Verstärkung optimal ist. Der Zwischenfrequenzverstärker filtert und verstärkt das Signal so, dass die gesendete Information leicht zurück gewonnen werden kann. Der Demodulator überträgt die in der ZF befindliche Information in das Basisband. Die Signalaufbereitung verarbeitet das Signal so, dass es für die Ausgabe geeignet wird. Die Signalausgabe (Lautsprecher, Bildschirm, RC-Servo, usw.) wandeln die Information so um, dass sie vom Mensch (hören, sehen) oder von einer Maschine (Motor, Schalter usw.) weiter verarbeitet werden kann. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -7- 1.1 Dezibel – Definition und Anwendung In der Hochfrequenz- und Nachrichtentechnik hat sich zur Beschreibung von Verstärkungen, Dämpfungen und Signalpegel die Größe Bel mit ihrer in der Praxis üblichen Form des DeziBels bzw. Dezibel (dB) als nützliches Hilfsmittel erwiesen. Die Idee dahinter ist, Verhältnisse von Leistungen und in eingeschränkter Form von Spannungen oder Strömen durch ihre logarithmierte Form anzuwenden. Benützt man den natürlichen Logarithmus, erhält man die Größe Neper, setzt man den dekadischen Logarithmus ein, liefert das die Größe Bel. Da Spannungs-, Strom- und Leistungsverhältnisse stets dimensionslos sind, gibt es keine Schwierigkeiten bei der Logarithmierung. Sollen jedoch absolute Größen von Spannung, Strom oder Leistung im logarithmischen Maß angegeben werden, muss immer eine Bezugsgröße, z.B. 1kW, 1mW, 1μV usw. bekannt sein. Die Einführung des logarithmischen Maßes hat mehrere Vorteile. In Nachrichtensystemen bewegen sich die Signalpegel über einige Dekaden. Durch die Logarithmierung werden diese weiten Schwankungsbereiche auf wesentlich übersichtlichere Zahlenwerte abgebildet, die einfacher zu handhaben sind. Nachrichtensysteme können im Allgemeinen als Kettenschaltung einzelner Systemkomponenten angesehen werden. Beim Durchlaufen der einzelnen Stufen erfährt das Signal eine Änderung seiner Größe. Meistens ist die Größenänderung durch eine Multiplikation gegeben. Im logarithmischen Systemen wird die Multiplikation durch Addition und die Division durch Subtraktion ersetzt, weil sowohl log(ab) = log(a ) + log(b) als auch a log = log(a ) − log(b) b gilt. Bild 2: Zur Definition des Gewinns G und der Dämpfung a G= P2 P1 Gewinn a= P1 1 = P2 G Dämpfung Allgemein gilt für den Leistungspegel (in dB): GP P = 10 log 2 dB P1 Drückt man die Leistung aus Spannung und Widerstand aus, erhält man Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -82 U2 R2 2 2 U GP P2 U 2 R1 R = 10 log = 10 log 2 = 10 log 2 = 10 log 2 − 10 log 2 dB P1 R1 U1 U 1 R2 U1 R1 GP U R = 20 log 2 − 10 log 2 dB U1 R1 Unter der Voraussetzung, dass die Widerstände R1 und R2 den gleichen Wert haben, gilt GU U = 20 log 2 dB U1 Anlog dazu kann die Leistung aus Strom und Widerstand berechnet werden, und es gilt 2 2 I GP P I R R = 10 log 2 = 10 log 2 2 2 = 10 log 2 + 10 log 2 dB P1 R1 I 1 R1 I1 und unter der Voraussetzung, dass die Widerstände R1 und R2 den gleichen Wert haben, gilt GI I = 20 log 2 dB I1 und a G = − dB dB 1.2 Pegelrechnung 1.2.1 Leistungs- und Spannungspegel Das Dezibel gibt das Verhältnis zweier Größen an und ist daher dimensionslos. Wenn jedoch eine feste Bezugsgröße vereinbart wird, können auf diese Weise auch dimensionsbehaftete Größen logarithmisch dargestellt werden. Häufige Bezugsgrößen sind 1mW für Leistungspegel in dBm und 1μV für Spannungspegel in dBμV. P LP = 10 log dBm P0 mit P0 = 1mW für Leistungspegel U LU = 20 log dBm U0 mit U 0 = 1µ V für Spannungspegel Ein Vorteil der logarithmischen Pegel ist die einfache Berechnung von absoluten Pegeln in Übertragungsketten. Dem Zahlenwert des Eingangspegels (in dBm oder dBμV) ist der Zahlenwert der Verstärkung (in dB) zu addieren, egal, ob mit Spannungs- oder Leistungspegel gerechnet wird. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -9Diese Beziehungen gelten aber nur dann, wenn die Bezugsimpedanz in der gesamten Signalkette gleich bleibt. In der Hochfrequenztechnik ist der Bezugspegel 50Ω. Dann kann auch zwischen dBμV und dBm umgerechnet werden: Im 50Ω-System gilt: 2 10 − 6 V 1µ V 50 Ω = 0dBµ V = = 20 * 10 − 15 W = 20 * 10 − 12 mW = (13 − 120 ) dBm = − 107 dBm 50Ω ( ) 1.2.2 Rauschpegel Die Rauschleistung, die durch das thermische Rauschen an den Klemmen eines Bauelements auftritt, ist PN = k * T * ∆ f J k = 1.38 * 10 − 23 , die Boltzmann-Konstante, wobei K T die absolute Temperatur des Bauelements in Kelvin und ∆f die Rauschbandbreite ist. Weil die Raumtemperatur oft mit 300K gegeben ist, ist es naheliegend, die Rauschleistung bei dieser Temperatur und bei einer Rauschbandbreite von 1Hz in der Einheit dBm anzugeben, und man erhält 1 − 23 Ws * 300 K * ∆ f 1.38 * 10 − 23 K s = 10 log 1.38 * 10 * 300 + 10 log ∆ f LN = 10 log 1mW 1 Hz ∆f L N = − 173.83dBm + 10 log Hz 1.3 Dezibel in der Antennentechnik In der Antennentechnik werden die abgestrahlte Leistungsdichte, der Gewinn, die Direktivität im Allgemeinen bezogen auf einen isotropen Strahler, der nur theoretisch existiert und in der Praxis nicht realisierbar ist, angegeben. Obwohl der isotrope Strahler, der richtungsunabhängig abstrahlt bzw. empfängt, nicht realisierbar ist, wird er als Bezugselement eingesetzt. Würde die Sendeleistung Ps mit dem isotropen Strahler abgestrahlt werden, hätte man im Abstand r vom isotropen Strahler die Leistungsdichte (auf der Kugeloberfläche der Kugel mit dem Mittelpunkt im Zentrum des isotropen Strahlers mit dem Radius r) Ps S i (r ) = 4π r 2 und ist von der Richtung, die durch die Winkel δ und φ gegeben ist, unabhängig. Die Richtwirkung, die Direktivität einer praktisch realisierbaren Antenne ist richtungsabhängig. Daher S (r ,ϑ , ϕ ) kann für jede Antenne die Direktivität angegeben werden und es gilt D(r ,ϑ , ϕ ) = . S i (r , ϑ , ϕ ) Mit dem Grenzübergang für große Entfernungen von der Antenne, im Fernfeld, gilt S (r ,ϑ , ϕ ) S (ϑ , ϕ ) D(ϑ , ϕ ) = lim = . r → ∞ S (r , ϑ , ϕ ) S i (ϑ , ϕ ) i Berücksichtigt man die Verluste in der Antenne, kommt man zum Antennengewinn gegenüber dem isotropen Strahler Gi (ϑ , ϕ ) der bei vernachlässigbaren Verlusten gleich der Direktivität ist. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -10- 2 Der selektive Verstärker Unter einem selektiven Verstärker versteht man im Allgemeinen einen Verstärker, der in einem ausgewählten Frequenzbereich das Signal verstärkt und oberhalb und unterhalb dieses Frequenzbereichs das Signal abschwächt. Er stellt einen Bandpass dar. 2.1 Der Parallelschwingkreis Der Parallelschwingkreis besteht aus der Parallelschaltung einer realen, also einer verlustbehafteten Spule und einem realen, also einem verlustbehafteten Kondensator. Bild 3: Parallelschwingkreis Die Verluste in Spulen und Kondensatoren werden in der Hochfrequenztechnik durch die dimensionslose Güte Q ausgedrückt und ist der Quotient aus der Energie, die in dem Bauelement pro Periode gespeichert wird und der Energie, die pro Periode im Bauelement aus den ohmschen Verlusten gebildet wird. 2.1.1 Die Güte der Spule Der Spannung an der Spule ist proportional zur zeitlichen Änderung des Stromes durch die Spule. An einer Spule also nur dann eine Spannung abfallen, wenn sich de durch die Spule fließenden Strom im Laufe der Zeit ändert. An einer Spule kann nur Wechselspannung abfallen. ∆ i (t ) ∆t di (t ) u (t ) = L dt u (t ) ≈ L Bild 4: Spannungs- und Stromverlauf an der Spule Bleibt die Amplitude des (cos-förmigen) Wechselstromes an einer Spule konstant, so steigt die Spannung mit zunehmender Frequenz des Wechselstromes. U = IZ = Ijω L = Ij 2π fL 2.1.1.1 Die ohmschen Verluste in der Spule Der Verlustfaktor einer Induktivität wird durch die Energie, die in der Spule während einer Periode in Wärme umgesetzt wird, und der Energie, die während desselben Zeitraums in der Spule gespeichert wird, gegeben und es gilt Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -11tan δ = In Wärme umgesetzte Energie pro Periode gespeicherte Energie pro Periode In dieser Darstellung kann durch die Periodendauer gekürzt werden und man erhält den Verlustfaktor einer Induktivität durch die Quotientenbildung aus Wirkleistung, die in der Spule in Wärme umgesetzt wird, und der Blindleistung tan δ = Wirkleistung P = . Blindleistung Q Die Wirkleistung setzt sich aus sämtlichen Stromanteilen zusammen, die eine Erwärmung der Spule und ihres möglicherweise vorhandenen Spulenkerns bewirken. Im Wesentlichen ist sie durch den Strom, der in den Windungen der Spule fließt und den ohmschen Widerstand des Drahtes, sowie durch den Wirbelstrom, der im Kernmaterial auf Grund des Wechselfeldes induziert wird, bestimmt. Die Leitungswiderstandsverluste in dem sind von der Frequenz unabhängig, solange mit einer über den Leiterquerschnitt konstanten Stromdichte gerechnet werden kann. Die Wirbelstromverluste steigen mit steigender Frequenz, sind also frequenzabhängig. Bild 5: Einfache Ersatzschaltung der Spule mit Verlusten Der Serienwiderstand RCu beinhaltet die Verluste im Draht, RK repräsentiert die Verluste im Spulenkern. Wird die Impedanz dieser Schaltung berechnet, erhält man R * jω L RK ω L R ωL Z L = RCu + K = RCu + RK + jω L 2 K 2 2 2 2 2 R K + jω L RK + ω L RK + ω L Der Verlustwiderstand des Kernes bewirkt nicht nur ohmsche Verluste, er beeinflusst auch die Gesamtinduktivität der Anordnung. Bild 6: Serienersatzschaltung Daraus erkennt man, dass die Parallelschaltung aus Spule und Widerstand bei genau einer gegebenen Frequenz ω in eine Serienschaltung umgewandelt werden kann. Allgemein gilt (RK’=RS): RS = 1 RP 1 + ( R Pω C P ) 2 CS = CP 1 + ( R Pω C P ) 2 ( RPω C P ) 2 2 Durch RS und CS fließt der gleiche Strom. Daher gilt für die Wirkleistung P = I RS 1 2 für die Blindleistung Q = I . Daraus erhält man für den Verlustwinkel ω CS P tan δ = = Q Hochfrequenztechnik - ENTWURF und I 2 RS = RS ω C S 1 2 I ω CS Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -12Je kleiner der Verlustwinkel ist, desto geringer sind auch die Verluste. Je geringer die Verluste des Kondensators ausfallen, besser ist seine Qualität, seine Güte. Daher wird der Kehrwert des Verlustwinkels als Güte QC bezeichnet. 1 QC = tan δ Betrachtet man die Parallelschaltung aus RP und CP alleine, so erkennt man, dass an beiden U2 Bauelementen die gleiche Spannung U anliegt. Dann gilt für die Wirkleistung P = und RP für die Blindleistung Q = U 2ω C und schließlich für den Verlustwinkel P 1 tan δ = = Q R pω C P Der Verlustwinkel ist frequenzabhängig. Eine Angabe der Güte ohne die dazugehörige Frequenz ist daher sinnlos. Nun können die obigen Gleichungen umgeformt werden und man erhält 2 1 1 + QC RS = R C = C P 2 S P 2 1 + QC QC CP = CS 2 RP = (1 + QC ) RS QC 2 1 + QC 2 Anmerkung: Für QC > 10 gilt näherungsweise C P = C S und RP = QC RS . Da die Güten von Kondensatoren (im vorgesehenen Frequenzbereich) im Allgemeinen größer 1000 sind, können die Näherungen verwendet werden. 2 2.1.1.2 Der Skineffekt Der Skineffekt berücksichtigt die Tatsache, dass sich der Wechselstrom nicht gleichmäßig über den Querschnitt des Leiters verteilt. Die Stromdichte ist an der Oberfläche des Leiters am höchsten und nimmt mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche in den Leiter hinein x exponentiell ab. Es gilt S ( x) = S e − δ mit max 2 2ρ = . ωµκ ωµ Bei einer metallischen Abschirmung fließt der induzierte Strom, der sogenannte Wirbelstrom, nur auf der dem Magnetfeld zugewandten Seite. Für die Stromdichte im Leiter der Breite w δ = x und der Dicke t gilt S ( x) = S * e − δ . Für den Strom erhält man max x d − − d δ δ S d A = S w e dx = S w δ 1 − e max ∫ max ∫A∫ x= 0 für gegenüber der Materialdicke d geringe Eindringtiefen δ (δ << t) erhält man schließlich I= I = S max wδ Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -13Damit kann man argumentieren, dass der Strom nur in der dünnen Schicht mit der Dicke δ entlang der Oberfläche fließt. Der restliche Leiter ist nahezu stromlos. Damit wird der Widerstand des Leiters durch seine Drahtlänge LD, durch den spezifischen Widerstand ρ, nicht aber durch seine mechanische Dicke t, sondern durch die Eindringtiefe δ bestimmt, welche wiederum die effektive Querschnittsfläche angibt. ρ LD ρ LD R= = Aeff wδ Das ist im Allgemeinen eine wesentliche Erhöhung des Widerstandes, wie er bei der Berechnung für Gleichströme auftritt. In den Abschnitten 2.1.1.2.2 und 2.1.1.2.3 wird eine genauere Berechnung der Widerstandserhöhung durchgeführt. 2.1.1.2.1 Die Wirkung einer metallischen Abschirmung Das abzuschirmende Magnetfeld H1 auf der einen Seite der metallischen Abschirmung ruft im Metall eine Stromdichte S hervor, die an der dem Magnetfeld zugewandten Oberfläche ihren maximalen Wert aufweist und mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche in den Leiter x gemäß S ( x) = S e − δ abnimmt. An der dem Magnetfeld angewandten Oberfläche, also nach max t der Durchdringung der Metallschicht mit der Dicke t, ist die Stromdichte auf S (t ) = S e − δ max abgeschwächt. Diese Stromdichte bewirkt wieder ein magnetisches Feld H2 außerhalb der Abt schirmung, welches wie die Stromdichte um den Faktor e − δ geringer ist. Die Abschirmung dämpft das magnetische Feld auf − δt 20 log e dB = − 20 t log(e)dB = − 8.686 t dB δ δ des ursprünglichen Wertes. 2.1.1.2.2 Die Widerstandserhöhung auf Grund des Skin-Effekts bei Mikrostrip-Leitungen Bei Mikrostrip-Leitungen erfolgt der Energietransport im Dielektrikum hauptsächlich im Raum, oben von der Leitung und unten durch die Massefläche beschränkt ist. Durch diese Geometrie ist der wesentliche Stromfluss auf der dem Dielektrikum zugewandten Seite der x Leiterbahn. Da die Stromdichte gemäß S ( x) = S e − δ in den metallischen Leiter hinein abmax sinkt, kann der Strom durch den Leiter mit der Breite w berechnet werden. Es gilt für die im Leiter in Wärme umgesetzte Leistungsdichte p = S * E = S ρ S . Da das Material im Allgemeinen isotrop ist, gilt für die Leistungsdichte p= I t − δ wδ 1 − e e − x δ ρ I t − δ wδ 1 − e e − x δ und für die Verlustleistung P= ∫ ∫ ∫ pdV = V I 2 wLD t ρ w 2δ 2 1 − e t − δ Hochfrequenztechnik - ENTWURF 2 ∫e 0 −2 x δ −2 dx = I 2 ρ LD 1 − e t 2 wδ − δ 1− e Januar 2016 t δ − 2 = I 2ρ t δ L´ D 1 + e t − 2 wδ 1− e δ © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -14t 2δ − t 2δ ρ LD e + e ρ LD = I2 = I 2R t t − 2 wδ 2δ t 2 wδ tanh e − e 2δ 2δ und der Koeffizientenvergleich liefert für den Widerstand ρ LD R= t 2 wδ tanh 2δ der für den unendlich dicken Leiter (gleichbedeutend mit δ << t), der nur auf einer Seite vom Strom durchflossen wird, P = I2 R= ρ LD . 2 wδ 2.1.1.2.3 Die Widerstandserhöhung auf Grund des Skin-Effekts bei Leiterbahnen Wird der Leiter mit Dicke t auf der Deck- und Bodenfläche vom Strom durchflossen, gilt für die gesamte Stromdichte im Leiter die Überlagerung der Stromdichte in der Deckfläche und in der Bodenfläche. Das ist eine ausgezeichnete Näherung für den Stromfluss in Leiterbahnen, deren Breite w wesentlich größer als ihre Dicke t ist. t x− − x − 2t t x t 2 − − − δx x δ δ 2δ δ 2δ S ( x) = S max e + e = S max e e + e = S max 2e cosh δ Der Gesamtstrom kann aus der Integration über die Querschnittsfläche berechnet werden: t 2 I = w ∫ S ( x)dx = wS max e − t 2 − t 2δ t 2 x ∫t cosh δ dx = wS max 4e − − t t 2 2δ t − x t ∫0 cosh δ dx = wδ S max 4e 2δ sinh 2δ 2 Die maximale Stromdichte an der Deck- bzw. Bodenfläche ist t S max = Ie 2δ t . 4wδ sinh 2δ Die Verlustleistungsdichte im Leiter beträgt t t x x 2 − 2 − p = ρ S 2 ( x ) = 4 ρ S max e δ cosh 2 = 2 ρ S max e δ 1 + cosh δ δ und nach der Integration über das Leitervolumen t t t 2 −δ 2 −δ t 2 x P = 2 ρ LD wδ S max e cosh = 2 ρ LD wδ S max e + sinh . δ δ δ Wird die maximale Stromdichte aus dem Strom ausgedrückt, erhält man endlich t t sinh + ρ LD δ δ . P = I2 t 4 wδ cosh − 1 δ Der Koeffizientenvergleich liefert für den Widerstand Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -15 t t sinh + ρ LD δ δ R= t 4 wδ cosh − 1 δ der für den unendlich dicken Leiter (gleichbedeutend mit Strom durchflossen wird, R= t → ∞ ), der auf beiden Seiten vom δ ρ LD . 4 wδ Der ohmsche Widerstand ist auf Grund des Skin-Effekts frequenzabhängig. Die relative WiR AC derstandserhöhung gegenüber der gleichstromdurchflossenen Leiterbahn ist im Bild 7 R DC dargestellt. Bild 7: Die relative Widerstandserhöhung einer Leiterbahn gegenüber ihrem Wert bei Gleichstrom Der leicht ersichtliche Faktor ¼ bei dicken Leiterbahnen ergibt sich aus der Tatsache, dass die Stromdichte gegenüber der einseitig durchflossenen Leiterbahn bei gleichem Strom auf die Hälfte absinkt. Dadurch wird aber nur mehr ¼ der Verlustleistung in der Leitung in Wärme umgesetzt. 2.1.1.2.4 Die Widerstandserhöhung bei zylindrischen Leitern Eine gute Näherung für die Widerstandserhöhung bei zylindrischen Leitern kann für Eindringtiefen, die wesentlich kleiner als der Drahtdurchmesser d sind, aus der Überlegung gewonnen werden, dass der Strom nur in der effektiven Schichtdicke 2δ fließt. Dann gilt für den Widerstand L LD 4 LD 2 LD R= ρ D = ρ = ρ ≈ ρ 2 π 2 Aeff 2 π dδ π 2dδ − δ d − (d − δ ) 4 ( ) Hochfrequenztechnik - ENTWURF ( ) Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -16- 2.1.2 Die Güte des Kondensators Die Kapazität C eines Plattenkondensators ist von der Fläche A, vom Plattenabstand d und vom Isolationsmaterial zwischen den Platten abhängig. C= A A C= ε = ε 0ε r d d Bild 8: Plattenkondensator 2π ε L r ln 2 r1 (1) Bild 9: Zylinderkondensator Der Strom durch den Kondensator ist proportional zur zeitlichen Änderung der Spannung am Kondensator. Durch einen Kondensator kann also nur dann Strom fließen, wenn sich die angelegte Spannung am Kondensator im Laufe der Zeit ändert. Durch einen Kondensator kann nur Wechselstrom fließen. ∆ u (t ) ∆t du (t ) i (t ) = C dt i (t ) ≈ C Bild 10: Spannungs- und Stromverlauf am Kondensator Bleibt die Amplitude der (sinusförmigen) Wechselspannung an einem Kondensator konstant, so steigt der Strom mit zunehmender Frequenz der Wechselspannung. I= U = Z U = Ujω C = U 2 jπ fC 1 jω C 2.1.2.1 Die ohmschen Verluste im Kondensator Der Verlustfaktor eines Kondensators wird durch die Wirkleistung, die im Kondensator in Wärme umgesetzt wird, und der Blindleistung Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -17- tan δ = Wirkleistung P = Blindleistung Q beschrieben. Die Wirkleistung setzt sich aus sämtlichen Stromanteilen zusammen, die eine Erwärmung des Kondensators bewirken. Im Wesentlichen ist sie durch den Strom, der in den Kondensatorplatten fließt und den ohmschen Widerstand der Kondensatorplatten, sowie durch die elektrischen Kräfte, welche auf die Dipole des Dielektrikums wirken und die Dipole im Takt der angelegten Wechselspannung drehen und aneinander reiben, gegeben. Die Leitungswiderstandsverluste in den Kondensatorplatten sind von der Frequenz weitgehend unabhängig, die dielektrischen Verluste steigen mit steigender Frequenz, sind also frequenzabhängig. Auch die Kriech- und Leckströme bewirken eine Erwärmung des Kondensators. Bild 11: Ladungen im Kondensator ohne und mit Dielektrikum Daher gilt in erster Näherung das folgende Ersatzschaltbild des realen Kondensators: In RCu sind die ohmschen Verluste in den Kondensatorplatten und in den Zuleitungen zusammengefasst, RD beinhaltet die Verluste welche durch die Bewegung der Dipole im Dielektrikum entstehen und RK stellt die Verluste durch Kriechströme dar. Bild 12: Ersatzschaltung des Kondensators mit Verlusten Wird der Kondensator in seinem vorgesehenen Frequenzbereich eingesetzt, sind die frequenzabhängigen Reibungsverluste der Dipole im Dielektrikum vernachlässigbar. Dann gilt: Bild 13: Einfache Ersatzschaltung 1 RK RK RK (RK ω C ) 2 jω C 1 Z C = RCu + = RCu + = RCu + + 2 2 1 1 + R K jω C 1 + (RK ω C ) 1 + ( R K ω C ) jω C + RK jω C wobei der zweite Summand einen Verlustwiderstand darstellt, der bei der Frequenz ω genau so große Verluste verursacht wie der (physikalisch vorhandene) Widerstand RK. Die Parallelkapazität C muss auch verändert werden, sodass die Serienschaltung die gleichen Eigenschaften aufweist wie die Schaltung im Bild 13. Daraus erkennt man, dass die Parallelschaltung aus Kondensator und Widerstand bei genau einer gegebenen Frequenz ω in eine Serienschaltung umgewandelt werden kann. Bild 14: Serienersatzschaltung Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -18- Allgemein gilt (RK’=RS, CP’=CS): RS = 1 RP 1 + ( R Pω C P ) 2 CS = CP 1 + ( R Pω C P ) 2 ( RPω C P ) 2 2 Durch RS und CS fließt der gleiche Strom. Daher gilt für die Wirkleistung P = I RS 1 2 für die Blindleistung Q = I . Daraus erhält man für den Verlustwinkel ω CS und I 2 RS = RS ω C S 1 2 I ω CS Je kleiner der Verlustwinkel ist, desto geringer sind auch die Verluste. Je geringer die Verluste des Kondensators ausfallen, besser ist seine Qualität, seine Güte. Daher wird der Kehrwert des Verlustwinkels als Güte QC bezeichnet. 1 QC = tan δ Betrachtet man die Parallelschaltung aus RP und CP alleine, so erkennt man, dass an beiden U2 Bauelementen die gleiche Spannung U anliegt. Dann gilt für die Wirkleistung P = und RP tan δ = P = Q für die Blindleistung Q = U 2ω C und schließlich für den Verlustwinkel P 1 tan δ = = Q R pω C P Der Verlustwinkel ist frequenzabhängig. Eine Angabe der Güte ohne die dazugehörige Frequenz ist daher sinnlos. Nun können die obigen Gleichungen umgeformt werden und man erhält 2 1 1 + QC RS = R C = C P 2 S P 2 1 + QC QC CP = CS 2 RP = (1 + QC ) RS QC 2 1 + QC 2 Anmerkung: Für QC > 10 gilt näherungsweise C P = C S und RP = QC RS . Da die Güten von Kondensatoren (im vorgesehenen Frequenzbereich) im Allgemeinen größer 1000 sind, können die Näherungen verwendet werden. 2 Geht man von der Serienersatzschaltung Bild 14 aus, so erlaubt sie uns, die beiden Widerstände in einem Widerstand zusammenzufassen und die Gesamtgüte zu berechnen: RK 1 + ( RK ω C P ) 2 1 1 = ( RS + R K ' )ω C S = RS ω C S + ω C = RS ω C S + P 2 2 Q ges RK ω C P 1 + ( RK ω C P ) ( RK ω C P ) Hätte der Kondensator nur Verluste durch RS, wäre die Güte Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 QCS = 1 RS ω C S . © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -19Hätte der Kondensator nur Verluste durch RK, wäre die Güte QCK = R K ω C K . Hat der Kondensator Verluste aus beiden Widerständen, so gilt nach dem Einsetzen die allgemein gültige Formel 1 QC ges = 1 1 + QC S QC K 2.1.3 Die Güte des Parallelschwingkreises Der Parallelschwingkreis besteht aus der Parallelschaltung einer im Allgemeinen verlustbehafteten Induktivität mit einem verlustbehafteten Kondensator. Bild 15: Der Parallelschwingkreis Für die Admittanz dieser Schaltung gilt R R + j ( R L + RC )ω L − ω 2 R L RC LC 1 1 1 Y= + + + jω C = L C bzw. jω L R L RC jω LRL RC jω LR L RC 1 Z= = 2 1 1 1 ( ) + + + jω C R L RC + j R L + RC ω L − ω R L RC LC jω L R L RC Unter der Resonanzfrequenz versteht man jene Frequenz, bei welcher der Imaginärteil der Admittanz Y verschwindet, was gleichbedeutend mit dem Verschwinden des Imaginärteiles der Impedanz Z ist. Das ist in dieser Schaltung bei jener Kreisfrequenz ω0, bei welcher der Realteil des Nenner der Impedanz Null wird. Der Zähler ist eine imaginäre Größe, die durch den imaginären Nenner geteilt wird. Das Ergebnis ist eine reelle Größe, der Resonanzwider2 stand. Aus R L RC − ω R L RC LC = 0 erhält man die Resonanz(kreis)frequenz 1 ω0= LC und den Resonanzleitwert R + RC Y0 = L R L RC bzw. den Resonanzwiderstand R L RC Z0 = , R L + RC die Parallelschaltung der beiden Verlustwiderstände RL und RC. Durch Umformung der Ausgangsgleichung erhält man ω j ω 0 LR L RC jω LRL RC ω0 Z= = 2 R L RC + j ( RL + RC )ω L − ω 2 R L RC LC ω ω ω ω 0 2 RL RC LC R L RC + jR L ω 0 L + jRC ω 0 L − ω0 ω0 ω0 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -20- und berücksichtigt man, dass ω 2 0 LC = 1 und daraus folgend j man im nächsten Schritt Z = ω 0L = 1 ω 0C gilt, erhält ω ω 0L ω0 2 . Berücksichtigt man ω ω 1 1 1 1+ j + ω 0 L − ω 0 RC ω 0 C RL ω 0 nun auch noch die Definition der Güte der Spule bei einem parallel geschalteten VerlustwiRL derstand mit QL = und die Güte des Kondensators mit parallel geschalteten Verlustwiω 0L ω j ω 0L ω0 2 und bei der Resonanzfrequenz derstand mit QC = RC ω 0 C : Z = ω 1 1 ω − 1+ j + ω 0 QC QL ω 0 ω 0L Q Q Z0 = = ω 0L L C 1 1 QL + QC . gilt wieder für den Resonanzwiderstand + QC QL Es gilt also für die Güte des Parallelschwingkreises 1 1 1 = + Q ges QC Q L und für seine Impedanz ω jZ 0 ω0 Z0 Z= = ω 2 ω ω0 . ω 1 + jQ − + j ges Q ges 1 − ω 0 ω0 ω ω0 Der Ausdruck V = ω ω − 0 wird in der Hochfrequenztechnik absolute Verstimmung geω0 ω ω ω − 0 ist die relative Verstimmung und des gilt nannt, der Term Ω = Q ges ω 0 ω Z = Hochfrequenztechnik - ENTWURF Z0 Z0 = 1 + jQ gesV 1 + jΩ Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -21- Bild 16: Parallelschwingkreis mit Z0 = 1000Ω und verschiedenen Güten (1, 2, 5, 10) 2.1.3.1 Die Spule mit Anzapfung 2.1.3.2 Der kapazitive Spannungsteiler zur Impedanztransformation 2.1.4 Spulenlose Filter Es ist ein hoher technischer Aufwand zu betreiben, um die notwendigen Induktivitäten so zu realisieren, dass sie in einem vorgegebenen Temperaturbereich (z.B.: -30°C bis +70°C) ihre Kennwerte mit hinreichend kleiner Toleranz beibehalten. Da die Induktivitäten im Allgemeinen einen Spulenkern aus Ferrit besitzen, ist die Temperaturabhängigkeit des Ferrits bezüglich seiner relativen Permeabilität μr und seiner temperaturabhängigen Verluste zu berücksichtigen. Benötigt man die Filter nur bei kleinen Leistungen und Spannungsbereichen, die von Operationsverstärkern (OPV, Operational Amplifier, OP-AMP) verarbeitet werden können, ist der Einsatz von spulenlosen Filterschaltungen zu überlegen. Dabei wird jede Induktivität durch eine Schaltung mit OPVs, Widerständen und Kondensatoren eingesetzt. Dabei geht man von der folgenden Schaltung aus: Bild 17: Ausgangsschaltung zu FDNR- und Gyratorschaltungen Werden die beiden realen OPVs durch ideale OPVs ersetzt, erhält man die Ersatzschaltung, welche einfach zu berechnen ist, wobei U1+ die Spannung am nicht invertierenden Eingang, U1- die Spannung am invertierenden Eingang und U1 die Ausgangsspannung des OPV1 darstellt. Analog ist die Bezeichnung der Signale am OPV 2 durchgeführt. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -22- Bild 18: FDNR-Ersatzschaltung mit idealen Operationsverstärkern Dann gilt für die Eingangsspannungen an den OPVs: U 1+ = U in R5 U 2+ = U 1 R4 + R5 R3 R2 U 1− = U 1 + U2 R2 + R3 R2 + R3 U 2− = U 1− Aus der Bedingung am Eingang eines idealen OPVs, dass U+ = U-, erhält man R3 R3 R2 R2 R5 U in = U 1 + U2 U1 + U2 = U1 . R2 + R3 R2 + R3 R2 + R3 R2 + R3 R4 + R5 Nach dem Eliminieren von U1 aus den beiden Gleichungen erhält man R3 R5 U in = U 2 ( R3 R5 − R 2 R4 ) und für den Spannungsabfall an R1: R2 R4 U − U 2 = I in R1 = U 2 ( R3 R5 − R 2 R4 ) , woraus die Eingangsimpedanz Z in = R1 R3 R5 R2 R4 berechnet werden kann. Weiters ist bei der Aussteuerbarkeit der Schaltung zu berücksichtigen, dass die Ausgangsspannung des OPV1 R + R5 U 1 = U in 4 R5 und des OPV2 R R − R2 R4 U 2 = U in 3 5 R3 R5 ist. Die Ausgangsspannung des OPVs ist abhängig von seiner Versorgungsspannung und stellt so eine Schranke der Signalpegel dar. 2.1.4.1 Gyrator-Schaltung Ersetzt man in der Schaltung aus Bild 17 den Widerstand R4 durch den Kondensator C4, erhält man für die Eingangsimpedanz der Schaltung RRR Z in = jω C4 1 3 5 . R2 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -23- Bild 19: Gyratorschaltung zur Transformation der Kapazität C4 in eine Induktivität Die Schaltung zeigt einen induktiven Impedanzverlauf, und für die mit dieser Schaltung simulierten Induktivität gilt RRR L = C4 1 3 5 . R2 Es besteht auch die Möglichkeit, R2 durch den Kondensator C2 zu ersetzen und R4 belassen. Auch dann hat die Schaltung eine induktive Eingangsimpedanz und für die simulierte Induktivität gilt RRR L = C2 1 3 5 . R4 Mit dieser Schaltung kann eine mit einem Ende an Masse liegende Induktivität ersetzt werden. Die Einschränkung in der Verwendbarkeit dieser Schaltung besteht durch die Qualität der Operationsverstärker hinsichtlich ihrer Grenzfrequenz und Eigenrauschen. 2.1.4.2 FDNR-Schaltung Ersetzt man in der Schaltung aus Bild 17 den Widerstand R2 durch den Kondensator C2 und R4 durch C4, erhält man für die Eingangsimpedanz der Schaltung Z in = − ω 2 C 2 C 4 R1 R3 R 5 , einen negativen frequenzabhängigen Widerstand (frequency dependend negative resistor, FNDR), der als Superinduktivität bezeichnet wird, weil die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes von der Frequenz quadratisch ist. Werden zwei der WiderständeR3 und R5 durch die Kondensatoren C3 und C5 ersetzt, erhält man die Eingangsimpedanz R1 Z in = − 2 , ω C 3 C 5 R2 R 4 einen negativen frequenzabhängigen Widerstand, der als Superkapazität bezeichnet wird. Es R2 R4 gilt mit D = C 3C 5 R1 1 Z in = − 2 . ω D Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -24- Bild 20: FDNR als Superkondensator D Die Einschränkung in der Verwendbarkeit dieser Schaltung besteht durch die Qualität der Operationsverstärker hinsichtlich ihrer Grenzfrequenz und Eigenrauschen. Betreibt man den Superkondensator mit einem parallel geschalteten Widerstand und einer Kapazität zur Ankopplung der Signalquelle, stellt diese Anordnung die Eigenschaften eines Parallelschwingkreises dar: Bild 21: Beschalteter Superkondensator D als Ersatz eines Schwingkreises 1 R ω 2D = Für die Parallelschaltung aus R und D erhält man Z p = und für die 2 1 1 − ω RD R− 2 ω D R U2 Rjω C 1 − ω 2 RD = Verstärkung V = gilt V = . Die Resonanzfrequenz 2 R U1 1 + Rj ω C − ω RD + jω C 1 − ω 2 RD erhält man bei jener Frequenz, bei welcher der Imaginärteil der Übertragungsfunktion ver− R schwindet. Das ist dann, wenn der Realteil im Nenner Null wird, also Rj V = 1 + Rj ω ω 0C ω0 ω ω 2 ω 0C − 2 ω0 ω0 ω 0 = 1 RD ist. 3dB-Grenzfrequenzen erhält man aus der Bedingung, dass bei die- ω 2 ω sen der Realteil und der Imaginärteil betragsmäßig gleich groß sind: 1 − 2 = R ω 0 C oder ω0 ω0 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -25- ω0 ω 1 ω0 ω = 1 . Der Koeffizientenvergleich mit den Gleichun− = Rω 0 C bzw. − ω ω0 Rω 0 C ω ω 0 gen des Parallelschwingkreises aus R, L und C zeigt, die Güte des beschalteten Superkondensators Q= 1 Rω 0 C . 2.2 Die Verstärkung eines einstufigen selektiven Verstärkers 2.3 Das Konzept der Transferimpedanz Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -26- 2.4 Die relative Verstimmung Ausgehend vom Parallelschwingkreis wird seine frequenzabhängige Impedanz berechnet: Bild 22: Verlustbehafteter Schwingkreis 1 R Rjω L = = 2 1 1 + + jω C R jω C + 1 + 1 R 1 − ω LC + jω L mit der wohlbekannten Re jω L R jω L 1 1 sonanzfrequenz ω 0 = , bei der ω 0 L = gilt. ω 0C LC Damit kann die obige Gleichung umgeformt werden: R R R Z= = = ω ω 1 ω0 ω 1 ω0 ω + 1 R jω 0 C + 1 R jω 0 C R jω 0 C + − j − jω 0 C 0 + 1 ω 0 jω 0 L ω ω0 ω 0L ω ω0 ω R R Z= Z= ω ω ω ω und mit der in 2.1.3 definierten Güte: . Rjω 0 C − 0 + 1 jQ − 0 + 1 ω 0 ω ω 0 ω Wird der Schwingkreis bei seiner Resonanzfrequenz betrieben, ist er also nicht verstimmt, ist ω ω ω ω − 0 = 0 . Der Ausdruck − 0 wird absolute Verstimmung genannt. der Ausdruck ω0 ω ω0 ω Der Ausdruck Z= ( ) ω ω Q − 0 = Ω ω 0 ω ist die relative Verstimmung. Damit gilt für die Impedanz des Schwingkreises Z= R 1 + jΩ Bild 23: Impedanzverlauf zweier 470kHz-Schwingkreise mit unterschiedlicher Güte über der Frequenz Wird der Betrag des Impedanzverlaufs über der Frequenz dargestellt, ist der Verlauf bezüglich der Resonanzfrequenz unsymmetrisch (Bild 23). Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -27- Bild 24: Impedanzverlauf der obigen Schwingkreise über der absoluten Verstimmung Trägt man den Impedanzverlauf über der absoluten Verstimmung auf, so erhält man für jeden Schwingkreis auf Grund der nichtlinearen, normierten Frequenzachse den gleichen Verlauf, die Grenzfrequenzen liegen bei unterschiedlichen Werten der absoluten Verstimmung (Bild 24). Bild 25: Impedanzverlauf der obigen Schwingkreise über der relativen Verstimmung Wird die Impedanz über der relativen Verstimmung dargestellt, so unterscheiden sich die Funktionsverläufe nur mehr durch einen konstanten Faktor, der durch den Verlustwiderstand des Parallelschwingkreises gegeben ist. Die Grenzfrequenzen liegen unabhängig von der Güte bei Ω = ± 1 . 2.5 Die Kettenschaltung mehrerer gleicher selektiver Verstärker Bei der Kettenschaltung von mehreren selektiven Verstärkern wird davon ausgegangen, dass keine Rückwirkung in den einzelnen Verstärkerstufen auftritt. Das bedeutet in der Praxis, dass die Verstärkung jeder Stufe unabhängig vom Ausgangswiderstand der vorhergehenden Stufe und von der Belastung der nachfolgenden Stufe ist. Bild 26: Die Kettenschaltung von n selektiven Verstärkern Dann gilt für die Gesamtverstärkung der Anordnung V ges (Ω ) = V1 * V2 * ... * Vn = V01 1 1 * V02 1 + jΩ 1 1 + jΩ * ... * V0 n 2 1 1 + jΩ = n ∏ wobei V0i die Verstärkung der i-ten Stufe bei ihrer Resonanzfrequenz ω Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 n V0 i i= 1 0i 1 1 + jΩ i ist. © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -28Sind alle Schwingkreise in den einzelnen Stufen gleich (alle Resonanzfrequenzen gleich ω 01 = ω 02 = ... = ω 0 n = ω 0 und alle Güten gleich Q01 = Q02 = ... = Q0 n = Q0 ) erhält man für die Gesamtverstärkung V ges (Ω ) = 1 (1 + jΩ n ) ∏ n i=1 V0 i = V0 ges (1 + jΩ )n . Für den Betrag der Gesamtverstärkung gilt V0 ges V ges (Ω ) = Dann gilt für die 3-dB-Bandbreite V ges (Ω ) V0 ges (1 + Ω ) 2 n 1 = 2 = 1 (1 + Ω ) 2 n , woraus die relative Verstim- mung in Abhängigkeit der Anzahl der Verstärkerstufen berechnet werden kann und man erhält durch umstellen der obigen Gleichung Ω − 3 dB = n 2−1 wobei beide Lösungen beim Wurzelziehen zu beachten sind. Mit der Güte Q0 können daraus durch Umformen der Definitionsgleichung zur relativen Verstimmung die untere und obere Grenzfrequenz berechnet werden. 2.6 Bandfilter Unter einem Bandfilter versteht man die Zusammenschaltung mehrerer Schwingkreise unter Zuhilfenahme reziproker Bauelemente, also mit Hilfe von Widerständen (R), Induktivitäten (L), Kapazitäten (C) oder Übertrager (Ü). Es werden ausschließlich RLCÜ-Elemente verwendet. Bild 27: Bandfilter aus zwei magnetisch gekoppelten Schwingkreisen Im Folgenden werden nur die am meisten verwendeten Bandfilter aus zwei gekoppelten Schwingkreisen betrachtet. Die magnetische Kopplung (auch als magnetische Kopplung bezeichnet) hat die Eigenschaft automatisch in sich, dass die beiden Kreise voneinander galvanisch getrennt sind. Um die magnetische Kopplung analysieren zu können, ist eine entsprechende Modellierung der Energieübertragung zwischen den Schwingkreisen notwendig. 2.6.1 Die magnetische Kopplung Man geht davon aus, dass nicht der gesamte magnetische Fluss Φ1 der Spule L1 durch die Spule L2 dringt. Der Teil Θ 2 = kΘ 1 dringt durch die Spule L2, der restliche Teil dringt nur durch die Umgebung. Der Faktor k sei der magnetische Koppelfaktor und es gilt 0 ≤ k ≤ 1 , Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -29wobei k = 0 zwei getrennte magnetische Kreise und k = 1 zwei ideal gekoppelte Kreise bedeutet. Bild 28: die magnetische Kopplung und ihre Ersatzschaltung Der Zusammenhang zwischen den Spannungen und Strömen ist U1 L M I1 = jω 1 * . U2 M L2 I 2 Ist keine magnetische Streuung, gelangen also alle Feldlinien, die durch den Stromfluss in der Spule L1 erzeugt werden, durch die Spule L2, spricht man von idealer Kopplung, oder Kopplung k = 1 und es gilt M = L1 * L2 . Gelangen weniger Feldlinien durch die Spule L2, gilt . Dabei ist zu beachten, dass L1-M oder L2-M auch negativ werden kann. Diese Größen sind Rechengrößen und negative Werte bedeuten bloß, dass die Ersatzschaltung mit realen Bauelementen nicht realisiert werden kann. Es hat keinen weiteren Einfluss auf die physikalischen Gegebenheiten. Vs Mit Hilfe des magnetischen Leitwertes Λ, (Einheit [ Λ ] = A ) wird die Induktivität einer Spule 2 aus L = N Λ berechnet. In der Elektronik wird der magnetische Leitwert als AL-Wert der M = k* L1 * L2 Spule bezeichnet, wobei im Allgemeinen L=N2AL mit [AL] = nH verwendet wird. Dann kann die Gegeninduktivität auch aus M = kN 1 N 2 AL ausgedrückt werden. Beispiel 1: Die Auswirkung der Kopplung Zwei gekoppelte Spulen, deren Kern einen AL-Wert von 20nH hat, wird werden auf den Kern mit N1 = 20 Windungen und N2 = 10 Windungen umwickelt. L1 = N12AL L1 = 8μH L2 = N22AL L2 = 2μH Bei idealer Kopplung (k = 1) erhält man für M = k L1 L2 M1 = 4μH Bei einer Kopplung k = 0.25 erhält man Hochfrequenztechnik - ENTWURF M0.25 = 1μH Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -30Bild 29: Die Induktivitätswerte zum Beispiel 1 bei k = 1 und k = 0.25 Für das Spannungsverhältnis liefern die Ersatzschaltungen bei Leerlauf am Ausgang U2 M M = ü= = bei k = 1 ü1 = 0.5 ( L1 − M ) + M L1 U1 bei k = 0.25 ü0.25 = 0.125 und für das Stromverhältnis bei Kurzschluss am Ausgang 1 I2 j ω ( L2 − M ) M = − ü´= = bei k = 1 ü1’ = 2 1 1 I1 L2 + jω ( L2 − M ) jω M bei k = 0.25 ü1’ = 0.5 □ Nun gilt es die Frage der Eingangsimpedanz zu klären. Dabei wird am Ausgang der Schaltung mit einem Widerstand R belastet. Dann erhält man für die Eingangsimpedanz 2 − ω 2 L1L2 1 − k 2 + jω L1R ω 2 k 2 RL1L2 R 2 − ω 2 L2 1 − k 2 Z in = = 2 + j ω L 1 2 2 R + jω L2 R + ω 2 L2 R 2 + ω 2 L2 Für den rechnerisch einfachen Fall der idealen Kopplung vereinfacht sich dieser Ausdruck zu jω L1 R Zin = , der für große Werte der Induktivitäten (Transformator) gelten, R + jω L 2 ( ) ( ) 2 L n 1 Z in = R 1 = R 1 2 = R 2 L2 ü n2 2.6.2 Die Spannungskopplung oder Kopfkopplung Bei der Spannungskopplung werden die beiden Schwingkreise mit Hilfe einer Reaktanz (C3P bzw. L3P) gekoppelt. Bild 30: Die Spannungskopplung mit Hilfe eines Koppelkondensators C3P und die Spannungskopplung mit Hilfe der Koppelinduktivität L3P. 2.6.3 Die Stromkopplung oder Fußpunktkopplung Betrachtet man die Zusammenschaltung der Kondensatoren C1P, C2P und C3P, erkennt man ein kapazitives Π-Glied, welches in ein äquivalentes T-Glied, welches aus C1T, C2T und C3T besteht, umgeformt werden kann. Ebenso kann mit den Induktivitäten L1P, L2P und L3P verfahren werden. Das entsprechende T-Glied besteht aus L1T, L2T und L3T. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -31- Bild 31: Π-T-Transformation der Kapazitäten bzw. Induktivitäten Für die Umrechnung kann von den Transformationsgleichungen der Π-T-Transformation ausgegangen werden und es gilt C1P * C 2 P + C1P * C 3 P + C 2 P * C 3 P C1P C * C 2 P + C1P * C 3 P + C 2 P * C 3 P = 1P C2P C * C 2 P + C1P * C 3 P + C 2 P * C 3 P = 1P C3P C 2T * C 3T C1T + C 2T + C 3T C1T * C 3T = C1T + C 2T + C 3T C1T * C 2T = C1T + C 2T + C 3T C1T = C1P = C 2T C2P C 3T C3P Ebenso kann die Transformation für die induktive Kopplung durchgeführt werden: L1P * L3 P L1P + L2 P + L3 P L2 P * L3 P = L1P + L2 P + L3 P L1P * L3 P = L1P + L2 P + L3 P L1T * L2T + L1T * L3T + L2T * L3T L1T L * L2T + L1T * L3T + L2T * L3T = 1T L2T L * L2T + L1T * L3T + L2T * L3T = 1T L3T L1T = L1P = L2 T L2 P L3T L3 P Bild 32: Die Stromkopplung mit Hilfe des Koppelkondensators C3T bzw. mit der Koppelinduktivität Lk Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -32- 2.6.4 Das Übertragungsverhalten eines zweikreisigen Bandfilters Wie oben ausgeführt wurde, kann die Spannungs- und Stromkopplung rechnerisch ineinander übergeführt werden. Da der Berechnungsvorgang mit der Ersatzschaltung der Spannungskopplung am leichtesten Verständlich ist, wird die Berechnung nur für die Spannungskopplung durchgeführt. Sie kann mit Hilfe der Π-T-Transformation in die Stromkopplung bzw. magnetische Kopplung übertragen werden. Bild 33: Die Ersatzschaltung des spannungsgekoppelten Bandfilters Y1 symbolisiert den Schwingkreis aus L1, C1 und R1, Y2 symbolisiert den Schwingkreis L2, C2 und R2, Yk stellt den Koppelleitwert dar. Daraus können einfach die Vierpolparameter ange− Yk Y1 + Yk schrieben werden und es gilt Y = . Daraus können rasch die Z-Parameter Y2 + Y k − Yk Yk Y2 + Yk . Der Frequenzgang des Y Y1 + Yk ( Y1 + Yk )( Y2 + Yk ) + Yk k Bandfilters kann mit der Transferimpedanz (Kap. 2.3) ausgedrückt werden Z T = Z 21 : Yk ZT = . Die Spannung am Ausgang des Bandfilters ist U 2 = Z T I 1 . Dann gilt Y1Y2 + ( Y1 + Y2 )Y k für die Wirkleistung P2 am Ausgang in Abhängigkeit der Wirkleistung am Eingang P1 * * * * * U U R II R Z Z Z Z * Z Z P2 = 2 2 = I 1 I 1 T T 1 = 1 1 1 T T = P1 T T . Das Verhältnis 2 R2 2 R2 R1 2 R1 R2 R1 R2 1 berechnet werden: Z = P2 = Ab P1 2 = Ab Ab * = 2 ZT ZT R1 R2 triebsübertragungsmaßes * Ab = ist das Betragsquadrat des im Allgemeinen komplexen BeZT Y1 = R1 R2 . Setzt man für 1 + jΩ 1 1 + jΩ Y2 = , R1 R2 2 (Kap. 2.3) und Yk = jBk , kann das Betriebsübertragungsmaß für die beiden gekoppelten Schwingkreise berechnet werden. Eine wesentliche Vereinfachung in der Berechnung liefert die Annahme, 1 + jΩ dass beide Schwingkreise gleich sind. Damit gilt Y1 = Y2 = Y = R : jBk R jK jK Ab = = = , 2 2 (1 + jΩ ) + 2(1 + jΩ ) jBk R 1 + 2 jΩ − Ω + 2 jK − 2Ω K 1 − 2 KΩ − Ω 2 + 2 j ( K + Ω ) wobei K = Bk R , die relative Kopplung zwischen den beiden identischen Schwingkreisen ist. Das Betriebsübertragungsmaß ist nicht nur von der Verstimmung, also von der Frequenz abhängig, sondern auch davon, wie stark die beiden Kreise gekoppelt sind. Um den Effekt der Kopplung anschaulich darstellen zu können, wird der Betrag des Betriebsübertragungsmaßes K2 2 verwendet, und man erhält Ab = 2 2 . Um die Eigenschaften des 1 − 2 KΩ − Ω 2 + 4( K + Ω ) Verlaufs von Ab zu verstehen, ist eine Kurvendiskussion notwendig. Da es sich um eine stets ( Hochfrequenztechnik - ENTWURF ) Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -33positive Funktion handelt, Liegen die Extrema an der genau der gleichen Stelle wie die Extre2 ma von Ab . Das ist eine wesentliche Erkenntnis, und bedeutet eine enorme Vereinfachung bei der Kurvendiskussion. Die Minima der Kurve liegen dort, wo die Maxima des Kehrwerts der Funktion liegen. Das gleiche gilt auch für die Maxima des Funktionsverlaufs; eine weitere wesentliche Vereinfachung bei der Berechnung der Extrema. Also ist der Verlauf der Funkti1 on 2 zu untersuchen, der wesentlich weniger aufwendig gestaltet ist als die Diskussion Ab der Funktion Ab . Für die Bestimmung der Extrema ist notwendigerweise die erste Ableitung Null. Das gilt auch für das Quadrat der Funktion und auch für das Quadrat des Kehrwertes d 1 − 2 1 − 2 KΩ − Ω 2 ( K + Ω ) + 8( K + Ω ) = dieser Funktion: . Die Nullstellen liegen bei dΩ Ab 2 K2 ( ) Bild 34: Der Verlauf der Übertragungsfunktion AB(K, Ω) für Kopplungen von K = 0.5, K = 1, K = 2 und K = 3 in Abhängigkeit der Verstimmung Ω Bild 35: Der Verlauf der Übertragungsfunktion AB (K, Ω) bei der Resonanzfrequenz in Abhängigkeit der Kopplung K Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -34- Bild 36:Die dreidimensionale Darstellung der Übertragungsfunktion zweikreisiger Bandfilter Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -35- 3 Oszillatoren Oszillatoren sind Baugruppen, die aus der Leistung, die aus der Stromversorgung geliefert wird, eine Wechselspannung mit einer vorgegebenen Frequenz und Amplitude herstellen. Dazu sind aktive Bauelemente (z.B. Transistoren, Operationsverstärker, Dioden mit einem negativen dynamischen Widerstand, Elektronenröhren) notwendig. Eine Möglichkeit der Schwingungserzeugung besteht darin, einen Teil des Ausgangssignals eines Verstärkers so an den Eingang zurückzuführen, dass die Signaldämpfung des Rückkoppelnetzwerkes durch die Verstärkung ausgeglichen wird. Bild 37: Das Prinzip der Rückkopplung Dann gilt für die Eingangsspannung des Verstärkers U in = U 1 + KU 2 und für die Ausgangsspannung U 2 = VU in . Durch die Elimination von U in und Formelumstellung auf U 2 erhält man U2 = V U1 1 − KV 3.1 Die klassische Schwingbedingung Da der Oszillator ohne ein Eingangssignal, also wenn U 1 = 0 gilt, am Ausgang eine Wechselspannung liefern soll, kann das nur sein, wenn die Verstärkung des rückgekoppelten Verstärkers über alle Grenzen wächst, also unendlich groß ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Produkt KV = 1 ist. Das ist verbal ausgedrückt dann der Fall, wenn die Abschwächung K durch das Rückkoppelnetzwerk durch die Verstärkung V des Verstärkers aufgehoben wird. Diese Gleichung wird Schwingbedingung genannt und stellt eigentlich zwei reelle Gleichungen dar, weil sowohl die Verstärkung V, als auch die Dämpfung K komplexe Größen sind. KV = 1 < KV = 2nπ mit n ∈ ganze Zahlen wird als Amplitudenbedingung bezeichnet, wird Phasenbedingung genannt. Das kann auch durch Re( KV ) = 1 und Im(KV ) = 0 zum Ausdruck gebracht werden. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -36- 3.2 Die Schwingbedingung aus den Y-Parametern In der Hochfrequenztechnik ist es schwierig, den Oszillator in den Verstärker- und Rückkoppelteil zu trennen, da es im Verstärker schon zur Rückkopplung des Ausgangssignals auf den Eingang kommen kann. An Hand eines Oszillators mit einem Bipolartransistor wird der Sachverhalt dargestellt. Bild 38: Die Aufspaltung in einen „reinen“ Verstärker und ein „reines“ Rückkoppelnetzwerk Die parasitären Kapazitäten (Basis-Emitter-Kapazität Cbe, Kollektor-Emitter-Kapazität Cce und die Kollektor-Basis-Kapazität Ccb) des Transistors liegen parallel sowohl zum Verstärker als auch zum Rückkoppelvierpol. Sie werden vom Verstärkervierpol einfach in den Rückkoppelvierpol verschoben, ohne ihre die Wirkungsweise zu verändern. Dadurch erhält man im Allgemeinen einen nur aus reellwertigen Elementen bestehenden Verstärkervierpol und einen nur aus imaginärwertigen Elementen bestehenden Rückkoppelvierpol. Der Gesamtvierpol besteht aus der Parallelschaltung des „reinen“ Verstärkervierpols mit dem „reinen“ Rückkoppelvierpol. Aus den beiden Vierpolgleichungen I 1 = Y11U 1 + Y12U 2 und I 2 = Y21U 1 + Y22U 2 erhält man unter der Voraussetzung, dass am Eingang kein Signal eingespeist wird, also I1 Null ist: Y U 1 = − 12 U 2 . Einsetzten dieses Ausdrucks in die zweite Vierpolgleichung liefert unter der Y11 Y11Y22 − Y12Y21 U 2 . Diese Bedingung Voraussetzung, dass kein Strom am Ausgang fließt: 0 = Y11 kann nur dann physikalisch sinnvoll erfüllt werden, wenn Y11Y22 − Y12 Y21 = det(Y ) = 0 ist. Sie ist nur eine andere Form der Schwingbedingung und kann in KV = 1 transformiert werden. 3.3 Das Anschwingen des Oszillators 3.4 Typische Oszillatorschaltungen 3.4.1 RC-Oszillatoren 3.4.1.1 Der Wien-Robinson-Oszillator Der Wien-Robinson-Oszillator besteht im Wesentlichen aus einem Verstärker mit der Verstärkung V und einem frequenzabhängigen Rückkoppelnetzwerk aus R1, C1, R2 und C2 in der Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -37Form eines Spannungsteilers mit der Eingangsspannung U1 und der Ausgangsspannung U2. Das Ausgangssignal des Oszillators steht am Ausgang des Verstärkers als U1 zur Verfügung. Bild 39: Prinzipschaltung des Wien-Robinson-Oszillators Der Verstärker wird als ideal angenommen und hat daher einen unendlich hohen Eingangswiderstand und der Ausgangswiderstand ist vernachlässigbar gering. Für die Impedanz aus R1 R jω C1 + 1 1 = 1 und C1 erhält man Z 1 = R1 + , für die Impedanz aus R2 und C2 erhält man jω C1 jω C1 1 R2 jω C 2 R2 Z2 = = . Dann gilt für Übertragungsfunktion 1 R 2 jω C 2 + 1 R2 + jω C 2 R2 U Z2 R 2 jω C 2 + 1 R2 jω C1 K= 2 = = = R2 ( R1 jω C1 + 1)( R2 jω C 2 + 1) + R2 jω C1 U 1 Z 1 + Z 2 R1 jω C1 + 1 + jω C1 R 2 jω C 2 + 1 R 2 j ω C1 K = 1 + jω ( R1C1 + R 2 C1 + R2 C 2 ) − R1 R 2ω 2 C1C 2 Es wird von der Voraussetzung ausgegangen, dass der Verstärker keine Phasenverschiebung verursacht. Dann erhält man aus der Phasenbedingung, dass die Phasendrehung bei der Resonanzfrequenz Null ist, also der Imaginärteil der Übertragungsfunktion K Null ist. Da der Zähler von K rein imaginär ist, muss auch der Nenner bei der Resonanzfrequenz rein imaginär ω sein. Der Quotient wird dann reell. Also gilt bei der Resonanzfrequenz f 0 = 0 2π 1 − R1 R2ω 2 0 C1C 2 = 0 bzw. gilt bei Resonanz ω 0 = 1 R1 R2 C1C 2 . R2 C1 . R1C1 + R2 C1 + R2 C 2 Für die Funktion benötigt man einen Verstärker mit der Verstärkung 1 R1C1 + R2 C1 + R2 C 2 V = = . Dazu kann z.B. ein nicht invertierender Operationsverstärker K R2 C1 eingesetzt werden. Bei dieser Frequenz erhält man für die Übertragungsfunktion K = Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -38- Bild 40:Wien-Robinson-Oszillator mit einem nicht invertierenden Operationsverstärker R3 R2 C1 = . Einer der WiderR4 R1C1 + R2 C1 + R2 C 2 stände kann frei (aber sinnvoll) gewählt werden. Dann ist der andere Widerstand eindeutig festgelegt. Wegen der Verwendung eines Operationsverstärkers ist der Einsatzbereich dieser Schaltung höchstens bis zu einigen 100 kHz möglich. In diskreter Schaltungstechnik kann er bis zu einigen MHz sinnvoll realisiert werden. Für die Dimensionierung von R3 und R4 gilt 1 + 3.4.1.2 Der Phasenschieber-Oszillator Bild 41: Phasenschieber-Oszillator mit einem invertierenden Operationsverstärker 3.4.2 LC-Oszillatoren 3.4.2.1 Der Meissner-Oszillator 3.4.2.2 Der Hartley-Oszillator 3.4.2.3 Der Colpitts-Oszillator 3.4.3 Quarzoszillatoren 3.5 Die Stabilität von Oszillatoren Unter der Stabilität eines Oszillators versteht man im Allgemeinen die Unbeeinflussbarkeit seiner Schwingfrequenz auf Grund von Störgrößen, die den Oszillator beeinflussen. Die bedeutendste Größe, die den Störungen entgegenwirkt, ist die absolute Phasenempfindlichkeit dϕ 1 dϕ = . Sie gibt an um wie viel Radians sich die Phase der Rückkoppelschaltung ändω 2π df dert, wenn sich die Frequenz ändert. Je höher der Betrag dieser Größe ist, umso kleiner ist die Schwankungsbreite der Schwingfrequenz. Um Oszillatorschaltungen untereinander verglei- Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -39dϕ chen zu können, ist es besser, die relative Phasenempfindlichkeit dω zu betrachten. Sie gibt ω0 die Phasendrehung der Rückkoppelschaltung pro relativer Frequenzänderung, bezogen auf die Resonanzfrequenz an Dieser Wert ist von der Resonanzfrequenz des Netzwerks unabhängig. Das ist die Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -40- 4 Mischer Der Mischer hat die Aufgabe, ein Signal, welches in einem bestimmten Frequenzbereich vorliegt, in einen anderen, im Allgemeinen gleich breiten Frequenzbereich umzuwandeln. Dieser Vorgang kann mit Hilfe eines nicht linearen, zeitinvarianten Bauelement (non linear time invariant, NLTI) oder mit einem linearen, zeitvarianten (linear time variant, LTV) Bauelement erfolgen. Um die Mischung einfach darzustellen, wird von einem linearen Verstärker, der die Spannung u1(t) verstärkt und dessen Verstärkung von einer Spannung u2(t) abhängt, ausgeu 2 (t ) gangen. Es gilt v(t ) = . U ref Bild 42: Schaltsymbol eines Mischers Es wird ein Signal u1 (t ) = U1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) an den Eingang 1 und ein anderes Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) an den Eingang 2 des Mischers gelegt. Dann tritt am Ausgang a des idealen Mischers ein Signal auf, welches dem Produkt der Eingangssignale proportional ist und es gilt u (t ) U U u a (t ) = u1 (t )v(t ) = u1 (t ) 2 = 1 2 cos(ω 1t + ϕ 1 ) cos(ω 2 t + ϕ 2 ) . U ref U ref Die Anwendung des Summensatzes (17.1) liefert u a (t ) = U 1U 2 cos( (ω 1 + ω 2U ref 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 ) + U 1U 2 cos( (ω 1 − ω 2U ref 2 )t + ϕ 1 − ϕ 2 ) , zwei „neue“ Signale mit den „neuen“ Frequenzen ω 1 + ω 2 (Summenfrequenz) und ω 1 − ω 2 (Differenzfrequenz). Durch ein geeignetes Bandfilter kann aus diesem Frequenzgemisch das gewünschte Signal mit der Summen- oder Differenzfrequenz ausgefiltert werden. 4.1 Additiver Mischer Bei der additiven Mischung werden zwei Signale addiert und dieses Summensignal an ein Bauelement mit einer nicht linearen Übertragungskennlinie angelegt. Dann entstehen abhängig von der Art der Kennlinie Signalteile mit ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen und auch Summen- und Differenzfrequenzen ihrer jeweiligen ganzzahligen Vielfachen. 4.1.1 Mischung mit einem Feldeffekt-Transistor Die additive Mischung erfolgt beim Feldeffekt-Transistor an seiner quadratischen Übertragungskennlinie 2 2 U gs U gs U gs = I dss 1 − 2 I d = I dss 1 − + U . U U p p p Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -41- Bild 43: Typische Schaltung eines JFET-Mischers Die Gate-Source-Spannung setzt sich aus einer dem Arbeitspunkt bestimmenden Gleichspan Id0 = − I d 0 RS (wobei I d 0 den Gleichstrom im Arbeitspunkt darstellt) nung U gs 0 = U p 1 − I dss und den beiden Eingangswechselspannungen u1 (t ) und u 2 (t ) zusammen. Es gilt u gs (t ) = U gs 0 + u1 (t ) − u2 (t ) = U gs 0 + U1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) − U 2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) und 2 2 2 2 u gs (t ) = U gs 0 + 2U gs 0 u1 (t ) + u1 (t ) − 2U gs 0 u 2 (t ) + u 2 (t ) − 2u1 (t )u 2 (t ) . Setzt man diese Ausdrücke in die Kennliniengleichung des FETs ein und berücksichtigt man, dass die Spannung am Drain-Widerstand bzw. am Drain des FETs u d (t ) = U B − id (t ) R D ist, erhält man zuerst 2 2 2 2U gs 0 U gs 0 2U gs 0 i d (t ) u1 (t ) 2U gs 0 u 2 (t ) 2 2 = 1− − u1 (t ) − u 2 (t ) + + u ( t ) + − u ( t ) + + 1 2 2 2 2 2 2 I dss Up Up Up Up Up Up Up Up − 2u1 (t )u 2 (t ) Up 2 oder 2 2 2 2U gs 0 U gs 0 U gs 0 U gs 0 i d (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 2 2 = 1− − 1− u1 (t ) − 1− u 2 (t ) + + + + 2 2 2 I dss Up U p U p U p U p Up Up Up 2u (t )u (t ) − 1 22 Up wobei der Ausdruck 2 I dss Up U 1 − gs 0 = g m die Steilheit des FETs im Arbeitspunkt und U p 2 2U gs 0 U gs 0 = I , der Gleichstrom im Arbeitspunkt ist. Das verkürzt die SchreibI dss 1 − + d0 2 U U p p weise und liefert I 2I I 2 2 i d (t ) = I d 0 + g m u1 (t ) + g m u 2 (t ) + dss2 u1 (t ) − dss2 u1 (t )u 2 (t ) + dss2 u 2 (t ) . Up Up Up Das Einsetzen der cos-Funktionen führt auf Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -42i d (t ) = I d 0 + g mU 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) + g mU 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) + + I dss Up 2 2 U 1 cos 2 (ω 1t + ϕ 1 ) − 2 I dss Up 2 U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 )U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) + I dss Up 2 2 U 2 cos 2 (ω 2 t + ϕ 2 ) mit Hilfe der Summensätze (17.1) kann in einzelne Signalkomponenten aufgespaltet werden: i d (t ) = I d 0 + g mU 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) + g mU 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) + + − I dss U 1 (1 + cos( 2ω 1t + 2ϕ 1 ) ) + 2 2U p 2 I dss U 1U 2 ( cos( ( ω 1 + ω Up 2 2 I dss Up 2 U 2 (1 + cos( 2ω 2 t + 2ϕ 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 ) + cos( ( ω 1 − ω 2 2 )) )t + ϕ 1 − ϕ 2 ) ) Am Drain des FETs bzw. am Drainwiderstand dieses Mischers stehen also die • • Gleichspannungskomponente I I 2 2 U DC = U B − I d 0 + dss 2 U 1 + dss2 U 2 Rd 2U p Up Signale im Original-Frequenzbereich uω 1 (t ) = − g m Rd U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) uω 2 (t ) = − g m Rd U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) • Signale mit ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen I 2 u 2ω 1 (t ) = − dss 2 Rd U 1 cos( 2ω 1t + 2ϕ 1 ) 2U p u 2ω 2 (t ) = − • I dss 2U p Rd U 2 cos( 2ω 2 t + 2ϕ 2 2 sowie die Signale mit der Summen- und Differenzfrequenz I uω 1 + ω 2 (t ) = dss2 Rd U 1U 2 cos( ( ω 1 + ω Up uω 1 − ω 2 (t ) = I dss Up 2 Rd U 1U 2 cos( ( ω 1 − ω 2 ) 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 ) 2 )t + ϕ 1 − ϕ 2 ) zur weiteren Verarbeitung zur Verfügung. Betrachtet man den Mischer als Baugruppe mit einem Eingangssignal U1(ω1), welches auf das Signal U2(ω1±ω2) umgesetzt werden soll, können die Größen Mischsteilheit gc und Mischverstärkung Vc anschaulich gemacht werden. Der Index c soll auf die Frequenzumsetzung (conversion) hinweisen. Bild 44: der Mischer als Frequenzumsetzer Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -43- Die im Allgemeinen gewünschten Signale mit der Summen- bzw. Differenzfrequenz sind von den Kenndaten (Idss und Up) des FETs abhängig und werden durch die Wahl des Arbeitspunktes nicht beeinflusst. I (ω ± ω 2 ) I dss gc = a 1 = U2 2 U 1 (ω 1 ) Up Sie ist nur von der Spannung des lokalen Oszillators (linear) abhängig und wird durch die maximale Aussteuerbarkeit des FETs begrenzt. Für Eingangsspannungen U1 im μV- oder mVUp Bereich ist die maximale Aussteuerung U 2 max ≤ und die maximale Mischsteilheit ist 2 I g c max = dss . 2U p Sie ist nur von den Kennwerten des FETs abhängig. Analoge Überlegungen gelten auch für Vc = U a (ω 1 ± ω 2 ) I dss = Rd U 2 . 2 U 1 (ω 1 ) Up Vc max = I dss Rd 2U p 4.1.2 Mischung mit einem Bipolartransistor Die additive Mischung erfolgt beim Bipolartransistor an seiner exponentiellen Übertragungs UUBE kennlinie I c = I s e T − 1 . Bild 45: Typische Schaltung eines BJT-Mischers Die Basis-Emitter-Spannung setzt sich aus einer dem Arbeitspunkt bestimmenden GleichR2 − I E RE (wobei I E den Emitterstrom im Arbeitspunkt darstellt) spannung U BE 0 ≈ U B R1 + R2 und den beiden Eingangswechselspannungen u1 (t ) und u 2 (t ) zusammen. Es gilt u BE (t ) = U BE 0 + u1 (t ) − u 2 (t ) = U BE 0 + U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) − U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) . Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -44Einsetzen in die Übertragungskennlinie liefert U BE 0 + uU1 (t ) − u2 ( t ) UUBE 0 u1 ( t )U− u2 ( t ) T T Ic = Is β e − 1 = Isβ e T e − 1 . Sind die Spannungen u1 (t ) und u 2 (t ) klein gegenüber U T , kann die Exponentialfunktion in eine Potenzreihe entwickelt werden. Dafür bietet sich die Taylor-Reihenentwicklung an und es gilt ∞ x 0 x1 x 2 x 3 xn xn ex = + + + ... + + ... = ∑ . 0! 1! 2! 3! n! n = 0 n! Es treten im Gegensatz zum Mischer mit einer quadratischen Kennlinie (FET-Mischer) auch Potenzterme höherer Ordnung auf. Ist der Bereich, in welchem x liegt, hinreichend klein, kann die Potenzreihe nach dem kubischen Term abgebrochen werden. Dann gilt für die BJTu1 (t ) − u 2 (t ) Kennlinie mit x = UT 2 3 U BE 0 u1 (t ) − u 2 (t ) 1 u1 (t ) − u 2 (t ) 1 u1 (t ) − u 2 (t ) UT + − 1 i c (t ) = I s β e 1+ + UT 2 UT 6 UT 2 3 U BE 0 U BE 0 U 1 u1 (t ) − u 2 (t ) 1 u1 (t ) − u 2 (t ) U T u1 (t ) − u 2 (t ) T + i c (t ) = I s β e − 1 + Ise + U 2 U 6 U T T T Im normalen Betriebsfall ist die Basis-Emitter-Diode in Durchlassrichtung und es gilt mit ausgezeichneter Näherung 2 3 u1 (t ) − u 2 (t ) 1 u1 (t ) − u 2 (t ) 1 u1 (t ) − u 2 (t ) + = ic (t ) = I c 0 1 + + UT 2 UT 6 U T 2 2 3 2 2 3 u (t ) − u 2 (t ) u1 (t ) − 2u1 (t )u 2 (t ) + u 2 (t ) u1 (t ) − 3u1 (t )u 2 (t ) + 3u1 (t )u 2 (t ) + u 2 (t ) = I c 0 1 + 1 + + 2 3 U 2 U 6 U T T T Nun wird u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) und u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) substituiert. Unter Beachtung der Summensätze (17.1) und der Potenzen der Cos-Funktion (17.2) kann der Kollektorstrom berechnet werden. Er setzt sich zusammen aus: • Gleichstromkomponente 1 U 2 1U 2 1 2 + I c = I c 0 1 + 2 U T 2 U T • Signale im Original-Frequenzbereich U 1 1 U 1 3 1 U 1U 2 2 cos(ω 1t + ϕ 1 ) iω 1 (t ) = I c 0 + − 3 3 U 4 4 U U T T T • U 2 1 U 2 3 1 U 1 2U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) iω 2 (t ) = I c 0 + − 3 3 U 4 4 U U T T T Signale mit ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -452 i 2ω 1 (t ) = I c 0 1 U1 cos( 2ω 1t + 2ϕ 1 ) 4 UT 2 i 2ω 2 (t ) = I c 0 1 U2 cos( 2ω 2 t + 2ϕ 4 UT 2 i3ω 1 (t ) = I c 0 1 U1 cos( 3ω 1t + 3ϕ 1 ) 12 U T 3 2 2 ) 3 3 1 U2 i3ω 2 (t ) = I c 0 cos( 3ω 2 t + 3ϕ 12 U T 3 • 2 sowie die Signale mit der Summen- und Differenzfrequenzen 1 U 1U 2 iω 1 + ω 2 (t ) = − I c 0 cos( ( ω 1 + ω 2 UT 2 iω 1 − ω 2 (t ) = − I c 0 1 U 1U 2 cos( ( ω 1 − ω 2 UT 2 ) 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 ) 2 )t + ϕ 1 − ϕ 2 ) 2 i 2ω 1 + ω 2 (t ) = − I c 0 1 U1 U 2 cos( ( 2ω 1 + ω 8 UT 3 2 )t + 2ϕ 1 + ϕ 2 ) 2 )t + 2ϕ 1 − ϕ 2 ) 2 )t + ϕ 1 + 2 ) 2 1 U1 U 2 i 2ω 1 − ω 2 (t ) = − I c 0 cos( ( 2ω 1 − ω 8 UT 3 2 1 U 1U 2 iω 1 + 2ω 2 (t ) = − I c 0 cos( ( ω 1 + 2ω 8 UT 3 2ϕ 2 1 U 1U 2 cos( ( ω 1 − 2ω 2 ) t + ϕ 1 − 2ϕ 2 ) 8 UT 3 zur weiteren Verarbeitung zur Verfügung. Die Spannung am Kollektor erhält man aus u c (t ) = U B − ic (t ) Rc und die Ausgangswechselspannung kann durch unterdrücken des Gleichspannungsanteils in u c (t ) erhalten werden. Durch die Berücksichtigung der nichtlinearen Anteile die über de quadratischen Ordnung liegen, kann der Interceptpoint 3. Ordnung erläutert werden, der eine weiter wesentliche Kenngröße von Mischern ist. Der Interceptpoint 3. Ordnung ist jener Pegel an Eingang des Mischers, bei welchem die Amplitude des Eingangssignals U1 genau so groß wie die Amplitude der Ausgangssignals mit der 3-fachen Frequenz des Eingangssignals ist, wenn die Amplitude am zweiten Eingang des Mischers konstant gehalten wird. Dieser Pegel soll möglichst groß sein, um die Signalverzerrungen am Ausgang des Mischers möglichst gering zu halten. 3 1 U 1, IP 3 Rc folgt bei dem hier beschriebenen Mischer 3. OrdAus der Definition U 1, IP 3 = I c 0 12 U T 3 iω 1 − 2ω 2 (t ) = − I c 0 3 12U T nung einfach U 1, IP 3 = und ist vom Arbeitspunkt und vom Kollektorwiderstand abI c 0 Rc hängig. Um die Großsignalfestigkeit von Mischern zu beschreiben, müssen auch die Nichtlinearitäten höher als dritter Ordnung bei der Bestimmung des Interceptpoints berücksichtigt werden. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -46- 4.2 Multiplikativer Mischer 4.2.1 Mischung mit einem Analog-Multiplizierer 4.2.2 Gegentaktmischer Beim Gegentaktmischer werden Dioden als Schalter eingesetzt. Wird eine Diode in Sperrrichtung vorgespannt, wird ihre Ersatzschaltung im Wesentlichen durch die Sperrschichtkapazität, die typisch im Bereich weniger pF liegt, dargestellt. Wird die Diode in Flussrichtung betrieben, besteht ihre Ersatzschaltung aus dem dynamischen Widerstand im Arbeitspunkt U R D = T , einem niedrigen ohmschen Widerstand mit typischen Werten einiger weniger I2 Ohm. Diese Diodeneigenschaft wird bei den Diodenmischern ausgenutzt. Bild 46: Die Schaltung des Gegentaktmischers Für Eingangsspannungen u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) wesentlich kleiner als Die Flussspannung der Dioden gelten die folgenden Überlegungen: Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) positiv, sind die beiden Dioden in Flussrichtung gepolt und stellen einen kleinen ohmschen Widerstand dar. u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet. Bild 47: Die Ersatzschaltung des Gegentaktmischers bei positiver Spannung u2(t) Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) negativ, sind die beiden Dioden in Sperrrichtung gepolt und stellen die sehr klein Sperrschichtkapazität der Dioden dar und bewirken einen hohen Spannungsabfall, sodass u a (t ) ≈ 0 ist. Bild 48: Die Ersatzschaltung des Gegentaktmischers bei negativer Spannung u2(t) Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -47u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet. Das Eingangssignal wird mit im Takt des Signals ein- und ausgeschaltet, wie es im Bild 50 dargestellt ist. Bild 49: Die Signale an den Eingängen des Mischers (f1=1MHz, f2=10MHz) Bild 50: Das Signal am Ausgang des Mischers (f1=1MHz, f2=10MHz) Es werden am Eingang und Ausgang des Mischers symmetrische Übertrager eingesetzt, weil sich die Steuerströme für die Dioden in den Übertragern symmetrisch aufteilen und sich im der anderen Wicklung der Spule gegenseitig aufheben. Dadurch kommt theoretisch kein Signal der Quelle, die zur Steuerung der Dioden dient, am Eingang oder am Ausgang hinaus. In der Praxis treten diese Signale etwa 40dB bis 60dB gedämpft an den Wicklungen des Mischers auf. Der Mischer hat sowohl eine hohe LO-ZF-Isolation als auch eine hohe LO-In-Isolation. 4.2.3 Der Doppel-Gegentaktmischer oder Ringmischer Beim Doppel-Gegentaktmischer oder Ringmischer werden Dioden als Schalter eingesetzt. Werden zwei zusätzliche Dioden eingesetzt, kann die Multiplikation mit {0,1}durch eine Multiplikation mit {-1,1} ersetzt werden. Das bringt gegenüber dem Gegentaktmischer eine Steigerung der Mischverstärkung um 6 dB. Bild 51: Die Schaltung des Ringmischers Für Eingangsspannungen u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) wesentlich kleiner als Die Flussspannung der Dioden gelten die folgenden Überlegungen: Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -48Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) positiv, sind die Dioden D1 und D2 in Flussrichtung gepolt und stellen einen kleinen ohmschen Widerstand dar. Die Dioden D3 und D4 sind in Sperrrichtung gepolt und stellen eine kleine Kapazität dar. u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet. Da der Spannungsabfall an den Widerständen wesentlich kleiner als der Spannungsabfall an den Sperrschichtkapazitäten (welche einen umgekehrt gepolten Beitrag zur Ausgangsspannung liefern), ist das Ausgangssignal praktisch in Phase mit dem Eingangssignal. Das entspricht einer Multiplikation des Eingangssignals mit +1. Bild 52: Die Ersatzschaltung des Ringmischers bei positiver Spannung u2(t) Ist das Signal u 2 (t ) = U 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) negativ, sind die Dioden D1 und D2 in Sperrrichtung gepolt und bewirken eine hohe Impedanz im Zweig der direkten Durchverbindung. Die Dioden D3 und D4 sind in Flussrichtung gepolt und stellen einen kleinen ohmschen Widerstand dar. u1 (t ) = U 1 cos(ω 1t + ϕ 1 ) wird nahezu verlustlos über die beiden Übertrager auf den Ausgang geschaltet, ist aber gegenüber dem Eingangssignal um π (180°) phasengedreht. Das entspricht einer Multiplikation des Eingangssignals mit -1. Die Verhältnisse sind im Bild 55 dargestellt. Bild 53: Die Ersatzschaltung des Ringmischers bei negativer Spannung u2(t) Bild 54: Die Signale an den Eingängen des Mischers (f1=1MHz, f2=10MHz) Bild 55: Das Signal am Ausgang des Ringmischers (f1=1MHz, f2=10MHz) Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -49- 4.2.4 Ein multiplikativer Mischer mit einem Operationsverstärker Bild 56: Der Subtrahierverstärker Ausgehend vom Subtrahierverstärker Bild 56, gilt U a = U 2 R4 ( R1 + R2 ) R − U1 2 . Modifiziert R1 ( R3 + R4 ) R1 man die Schaltung, Bild 57: Der steuerbare Inverter Erhält man einen Verstärker (Bild 57) mit der Übertragungsfunktion 2x x− 1 U a = U1 − U1 = U1 . Ersetzt man den Widerstand xR durch einen Schalter, so erx+ 1 x+ 1 hält man, wenn der On-Widerstand des Schalters vernachlässigbar klein gegenüber R ist: U a = − U1 , für geschlossenen Schalter ( x = 0 ) : und wenn der Off-Widerstand sehr viel größer als R ist: U a = U1 (x = ∞ ) für offenen Schalter : Es kann also wie beim Ringmischer das Eingangssignal mit +1 bzw. mit –1 multipliziert werden. 5 Signale und Spektrum 5.1 Spektrum des Real- und Imaginärteils 5.2 Amplituden- und Phasenspektrum Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -50- 6 Modulation und Demodulation Unter Modulation versteht man die Veränderung eines konstanten Signals mit dem Signal, das die zu übertragende Information enthält. Im Folgenden wird das Informationssignal als Modulationssignal s m (t ) = S m cos(ω m t + ϕ m ) , das zu verändernde Signal als Trägersignal s 0 (t ) = S 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) bezeichnet. Dabei wird es sich meistens um Spannungen handeln. Es können die Amplitude S0, die Kreisfrequenz ω0 oder die Phase φ0 des Trägers verändert werden. Dann spricht man von • Amplitudenmodulation, • Frequenzmodulation oder • Phasenmodulation. Die Baugruppen dazu werden als Modulatoren bezeichnet. Wird die auf dem Träger modulierte Information wieder in den ursprünglichen Bereich zurück gewonnen, spricht man von Demodulation. Dazu dienen die Demodulatoren. Die • Polarisationsmodulation wird in diesem Kapitel außer Acht gelassen, im Kapitel wird darauf eingegangen. 6.1 Amplitudenmodulation Bei der klassischen Amplitudenmodulation (AM) wird die Amplitude des Trägersignals im Takt des Modulationssignals verändert. Dabei ist u 0 (t ) = U 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) das Trägersignal, u m (t ) = U m cos(ω m t + ϕ m ) ist das Modulationssignal. Das Ausgangssignal des Modulators wird „vergrößert und verkleinert“. Bild 58: Modulationssignal (Um=1Vs, fm=62.5 kHz) Bild 59: Trägersignal (U0=1Vs, f0=1MHz) Bild 60: modulierter Träger (U0=1Vs, f0=1MHz, Um=1Vs, fm=125 kHz) Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -51Um diese Modulation mit einem idealen Analog-Multiplizerer zu erzeugen, ist auch ein Gleichspannungssignal notwendig. Das DC- und das Modulationssignal werden addiert. Das Ergebnis daraus und das Trägersignal liegen an den beiden Eingängen eines Mischers. Bild 61: AM-Modulator mit Analog-Multiplizierer Am Ausgang des Mischers steht das Signal u AM (t ) = U 0U DC U U cos( ω 0 t + ϕ 0 ) + 0 m cos( ω 0 t + ϕ 0 ) cos( ω m t + ϕ U ref U ref m ) U 0U DC U U cos( ω 0 t + ϕ 0 ) + 0 m cos( ( ω 0 − ω m ) t + ϕ 0 − ϕ m ) + cos( ( ω 0 + ω m ) t + ϕ 0 + ϕ m ) U ref 2U ref zur Verfügung. Es entsteht eine Signalkomponente mit der Trägerfrequenz, der Träger, und zwei weitere Signale mit der Differenzfrequenz und Summenfrequenz aus dem Träger- und dem Modulationssignal. Die Komponente mit der Differenzfrequenz ist das untere Seitenband, die Komponente mit der Summenfrequenz ist das obere Seitenband. Im Träger steckt keine Information, er wird unabhängig vom Modulationssignal übertragen. In den beiden Seitenbändern befindet dieselbe Information. Die Information über die Amplitude des Modulationssignals befindet sich in der Amplitude der Seitenbänder, die Frequenzinformation ist in der Frequenz der Seitenbänder enthalten. Sie ist lediglich um ω0 im Spektrum verschoben. Die Phaseninformation ebenso im Argument der Cosinus-Funktion enthalten wie die Frequenzinformation. Es kann also die gesamte Information durch Demodulation wieder zurück gewonnen werden. u AM (t ) = Bild 62: Das Amplitudenspektrum, bestehend aus dem unteren Seitenband (937.5 kHz), dem Träger (1MHz) und dem oberen Seitenband (1.0625 MHz) Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -52- 6.1.1 Klassische Amplitudenmodulation Bild 63: prinzipieller Aufbau eines AM-Senders Bei der klassischen Amplitudenmodulation wird der Träger in seiner Amplitude vergrößert und verkleinert. Diese Modulationsart ist wegen ihrer Einfachheit seit den Anfängen der Hochfrequenztechnik erfolgreich im Einsatz. Die Modulation erfolgt am einfachsten, in dem ein Trägersignal mit Hilfe eines Oszillators generiert wird. Die Amplitude dieses Signals wird nur durch die Betriebsspannung der Senderendstufe begrenzt. Wird diese Spannung im Takt des Informationssignals variiert, ändert sich auch die Amplitude der Trägerschwingung. Dabei ist zu beachten, dass die gesamte Leistung in den beiden Seitenbändern durch die Leistung des Modulators aufgebracht werden muss. Eine Möglichkeit zur Realisierung der klassischen Amplitudenmodulation besteht darin, das Signal des lokalen so stark zu verstärken, dass das Ausgangssignal dieser Verstärkerstufe durch die Betriebsspannung begrenzt wird. So entsteht das Trägersignal. Wird nun die Betriebsspannung dieser Begrenzerstufe im Takt des Modulationssignals vergrößert bzw. verkleinert, entsteht das klassische Ausgangssignal eines AM-Senders. Da wegen der Begrenzung der Trägeramplitude auch Oberwellen, also ganzzahlige Vielfache der Trägerfrequenz entstehen, ist es unbedingt notwendig, die Oberwellen mit Hilfe eines geeigneten Tiefpasses zu unterdrücken. In der Hochfrequenztechnik gilt im Allgemeinen U DC = U ref und die Amplitude der Modulationsspannung wird auf die Spannung des Trägers bezogen: U m = mU 0 . m ist der Modulationsgrad. Er kann auch als ein Maß für die Lautstärke interpretiert werden. Bei der klassischen AM gilt 0 ≤ m ≤ 1 . Das liefert m u AM (t ) = U 0 cos( ω 0 t + ϕ 0 ) + cos( ( ω 0 − ω m ) t + ϕ 0 − ϕ m ) + cos( ( ω 0 + ω m ) t + ϕ 0 + ϕ m ) . 2 Und für die Leistungen erhält man 2 U Pc = 0 Leistung im Träger (Carrier) 2 RL 2 PLSB m2 U0 = 4 2 RL PUSB m2 U 0 = 4 2 RL Leistung im unteren Seitenband (lower sideband) 2 Leistung im oberen Seitenband (upper sideband) Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -532 U0 m2 1 + gesamte Leistung die an die Antenne übertragen wird. PAM = 2 RL 2 Die Leistung eines AM-Senders ist vom Modulationsgrad abhängig und beträgt maximal das 1.5-fache der Trägerleistung. 6.1.2 Klassische Amplitudendemodulation Die Demodulation, also die Rückgewinnung des Modulationssignals kann bei dieser Modulation einfach durch einen Gleichrichter stattfinden. Bild 64: einfache AM-Detektorschaltung Die Spannung am Schwingkreis ist im Bild 60 dargestellt. Nach der Einweggleichsichtung ohne den Ladekondensator CL hat die Detektorspannung den folgenden Verlauf: Bild 65: Detektorspannung uD(t) ohne Ladekondensator CL Bild 66: Das Spektrum des Detektorsignals ohne Ladekondensator Nach der idealen Gleichrichtung enthält das Detektorsignal eine Gleichspannungskomponente, die der Amplitude des Trägers entspricht. Die beiden Seitenbänder werden wieder in die ursprüngliche Frequenzlage geschoben, sodass durch einen geeigneten Tiefpass nur mehr das Gleichspannungssignal und das ursprüngliche Modulationssignal am Ausgang auftritt. Mit einem einfachen RC-Tiefpass können schon gute Ergebnisse erzielt werden. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -54- Bild 67: Das Spektrum des Detektorsignals am Ladekondensator CL (strichliert: Frequenzgang des Tiefpasses mit einer Grenzfrequenz = Modulationsfrequenz) Der Gleichspannungsanteil wird mit einem Hochpass abgetrennt, so dass nur mehr das Informationssignal mit seinen Oberwellen am Ausgang auftreten. Bild 68: Das rückgewonnene Informationssignal am Ausgang des einfachsten AM-Empfängers Das Signal ist gegenüber dem Originalsignal phasenverschoben. Das ist auf die Phasendrehung des Tiefpasses zurückzuführen. Das Signal ist auch nichtlinear verzerrt. Dabei entstehen zu den gewünschten Signalen auch weitere Spektralanteile, die auf die nichtlinearen Bauelemente (z.B. Gleichrichter) zurückzuführen sind. Das Signal im Bild 68 ist nichtlinear erzerrt, der Klirrfaktor beträgt 19.9%. Im AM-Mittelwellenrundfunk ist bei einer Modulationsfrequenz von 3.4 kHz (obere Grenze des Sprachfrequenzbereiches) und bei einer Trägerfrequenz von 1 MHz ein Klirrfaktor unter 1.5% erreichbar. Bild 69: Das Ausgangssignal bei fm = 3400 Hz und f0 = 1.0 MHz, k = 1.46% Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -55- 6.1.3 Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger, DSBSC Diese Modulationsform wird auch double sideband supressed carrier (DSBSC) genannt. Um diese Modulation mit einem idealen Analog-Multiplizerer zu erzeugen, kann die Schaltung, wie sie im Bild 61 dargestellt ist, eingesetzt werden. Das Gleichspannungssignal UDC. ist dabei Null. In diesem Fall wird die cos-förmige Trägerschwingung nur mit dem cos-förmigen Modulationssignal multipliziert, und es entstehen die Summen- und Differenzfrequenz aus Träger- und Modulationssignal, also nur die beiden Seitenbänder und kein Trägersignal. Am Ausgang des Modulators steht das Signal U U u DCBSC (t ) = 0 m cos( ω 0 t + ϕ 0 ) cos(ω m t + ϕ m ) U ref U 0U m cos( (ω 0 − ω m ) t + ϕ 0 − ϕ m ) + cos( (ω 0 + ω m ) t + ϕ 0 + ϕ m ) 2U ref zur Verfügung. Es entstehen zwei Signale mit der Differenzfrequenz und Summenfrequenz aus dem Träger- und dem Modulationssignal. Die Komponente mit der Differenzfrequenz ist das untere Seitenband, die Komponente mit der Summenfrequenz ist das obere Seitenband. In den beiden Seitenbändern befindet dieselbe Information. Die Information über die Amplitude des Modulationssignals befindet sich in der Amplitude der Seitenbänder, die Frequenzinformation ist in der Frequenz der Seitenbänder enthalten. u DSBSC (t ) = Bild 70: Das Modulationssignal (1Vs, 31.25kHz) Bild 71: Das Trägersignal (1Vs, 1MHz) Bild 72: Das Ausgangssignal des DSBSC-Modulators Die Amplitudeninformation des Modulationssignals steckt in der Amplitude des DSBSC-Signal, die Frequenzinformation ist im Frequenzunterschied zwischen der Trägerfrequenz und dem unteren Seitenband enthalten. Die selbe Information steckt auch im Frequenzunterschied zwischen dem oberen Seitenband und der Trägerfrequenz. Die Phaseninformation ist ebenso Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -56im Argument der Cosinus-Funktion enthalten wie die Frequenzinformation. Es kann also die gesamte Information durch Demodulation wieder zurück gewonnen werden. Bild 73: Das Amplitudenspektrum, bestehend aus dem unteren Seitenband (968.75 kHz) und dem oberen Seitenband (1.03125 MHz) 6.1.4 DSBSC mit Quadraturmodulator Unter DSBSC wird die Zweiseitenbandmodulation mit unterdrückten Träger (double side band supressed carrier) verstanden. Diese Modulationsart kann mit einem Ring- oder Gegentaktmodulator erreicht werden. Sollen aber zwei Informationen gleichzeitig moduliert werden, kann dazu der Quadraturmodulator eingesetzt werden. Er ist eine wesentliche Baugruppe in der Hochfrequenztechnik und kann zur Modulation und Demodulation von AM- und FM(PM-) Signalen eingesetzt werden. Ein (lokaler) Oszillator liefert zwei um 90° verschobene Signale mit der gleichen Kreisfrequenz ω0 und gleichen Amplitude, die in den weiteren Ausführungen mit 1V angenommen wird. Da die Signale um 90° zu einander phasenverschoben sind, spricht man von zwei Signalen die zu einander in Quadratur stehen. Die beiden Zeiger zu ihrer Entstehung stehen zueinander senkrecht, in Quadratur. Bild 74: das Prinzip des Quadraturmodulators Die Eingangssignale, welche auf dem Träger moduliert werden sollen, haben im Allgemeinen unterschiedliche Amplitude und unterschiedliche Frequenz. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -57- Bild 75: Die Eingangssignale um1(t) und um2(t) des Modulators Nach den beiden Analogmultiplizieren stehen im I- und Q-Zweig die folgenden Signale zur Verfügung: Bild 76: Signal im I-Zweig Bild 77: Signal im Q-Zweig Am Ausgang des Modulators stehen insgesamt vier Seitenbänder zur Verfügung, welche die Informationen der beiden Modulationssignale beinhalten. Bild 78: Das Ausgangssignal im Zeitbereich Es können mit dieser Anordnung gleichzeitig zwei Informationen übertragen werden, wobei jede der Informationen im oberen und unteres Seitenband steckt. Bild 79: Das Ausgangssignal im Frequenzbereich (Spektrum) Die beiden Seitenbänder stehen zueinander senkrecht, sie sind zueinander orthogonal und können im Empfänger wieder getrennt werden. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -58- 6.1.5 Demodulation der DSBSC mit Quadraturdemodulator Der Quadraturdemodulator ist prinzipiell gleich wie der Quadraturmodulator aufgebaut. Bild 80: Die Blockschaltung des Quadraturdemodulators Bild 81: Das Eingangssignal zur Demodulation Das Eingangssignal wird mit einem Signal mit der Trägerfrequenz multipliziert. Dadurch entstehen in den beiden Zweigen die Summen- und Differenzfrequenz. Der zeitliche Verlauf ist im Bild 82 und Bild 83dargestellt. Bild 82: Das Signal im I-Zweig Bild 83: Das Signal im Q-Zweig Weil man nur am Signal mit der Differenzfrequenz interessiert ist, wird das Signal an den Eingang eines Tiefpasses gelegt. Die Ausgangssignale sind im Bild 84 dargestellt. Sie entsprechen den Modulationssignalen aus Bild 75. Auf grund der unvermeidbaren Phasendrehung im Tiefpass kommt es lediglich zu einer Verzögerung der Signale entsprechend seiner Gruppenlaufzeit. Bild 84: Das Ausgangssignal im I- und Q-Zweig nach der Tiefpassfilterung Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -59- 6.1.6 Einseitenbandmodulation, SSB-Modulation 6.1.6.1 Filtertechnik Soll nur ein einzelnes Seitenband zur Übertragung gelangen, müssen alle anderen Frequenzkomponenten unterdrückt werden. Das kann mit geeigneten Filtern durchgeführt werden. 6.1.6.2 Hilbert-Transformator Mit dem Quadraturmodulator kann SSB-Modulation einfach erreicht werden. Dazu ist es notwendig, das Modulationssignal u m (t ) = U m cos(ω m t + ϕ m ) um 90° in der Phase zu drehen. Da es sich beim Modulationssignal im Allgemeinen um ein relativ breitbandiges Signal handelt, ist es schwierig, eine 90°-Phasendrehung, unabhängig von der Frequenz herzustellen. Sprachsignale liegen im Frequenzbereich von 300Hz bis 3400Hz; das entspricht einer Frequenzvariation von 11.3 : 1. Die 90°-Phasendrehung kann mit Hilfe eines digitalen Signalprozessors und dem Hilbert-Transformations-Algorithmus oder in analoger Schaltungstechnik durch geeignete RC-Phasenschieber (typisch: 24 RC-Glieder) realisiert werden. Bild 85: SSB-Modulation mit Quadraturmodulator und Hilbert-Transformator Auf Grund de exakten Phasendrehung um 90° und den exakt gleichen Amplitudengängen im I- und Q-Zweig kommt es zur völligen Auslöschung des unteren Seitenbandes. Es steht allein das Ausgangssignal mit der Summenfrequenz zur weiteren Verarbeitung zur Verfügung. Wird statt der Summenbildung des I- und Q-Signals die Differenz der beiden Größen gebildet, wird das obere Seitenband völlig unterdrückt, nur das untere Seitenband steht am Ausgang zur Verfügung. Durch Toleranzen bei der Phasendrehung von ±1° wird die völlige Unterdrückung nicht mehr möglich sein; man erreicht aber noch eine Abschwächung von 35dB. 6.1.6.3 Methode von Weaver Bei der Methode von Weaver wird der breitbandige Phasenschieber mit Hilfe eines Quadraturmodulators realisiert. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -60- Bild 86: SSB-Modulator nach Weaver Handelt es sich bei der Übertragung um Sprachsignale, so liegen diese im Allgemeinen im Frequenzbereich zwischen 300Hz und 3400Hz. Der erste lokale Oszillator schwingt also auf f m,min + f m ,max f '= = 1850 Hz . 2 Das dabei entstehende untere Seitenband liegt zwischen –1550Hz und +1550Hz. (Die „negativen Frequenzen“ bedeuten nichts anderes, als dass die der Modulationsfrequenzbereich von 300Hz bis 1550Hz im Spektrum an der Abszisse gespiegelt wird.) Das obere Seitenband im Frequenzbereich von 2150Hz bis 5250Hz wird durch die anschließenden Tiefpässe unterdrückt. An den Ausgängen der Tiefpässe liegt das Eingangssignal, im Spektrum um 1850Hz nach unten verschoben an. Die Signale an den beiden Ausgängen sind um 90° gegeneinander phasenverschoben, sie sind in Quadratur. Nun folgt ein Quadraturmodulator, wie in 6.1.6.2 ausgeführt. Soll das obere Seitenband (in Regellage) übertragen werden, ist bloß zu beachten, dass bei der Signalaufbereitung das Spektrum um 1850Hz nach unten verschoben wurde. Daher ist für die Schwingfrequenz des zweiten lokalen Oszillators eine um 1850Hz höhere Frequenz als in 6.1.6.2 zu wählen. Soll das untere Seitenband (in Kehrlage) übertragen werden ist für die Schwingfrequenz des zweiten lokalen Oszillators eine um 1850Hz niedrigere Frequenz als in 6.1.6.2 zu wählen, da das Signal wegen seiner Aufbereitung um 1850Hz im Spektrum nach oben verschoben wurde. Die Schwierigkeit bei der Realisierung dieses Modulators liegt in der Notwendigkeit des Gleichlaufs der Amplituden- und Phasengänge der Tiefpässe, weil die Genauigkeit des Gleichlaufs die Auslöschung des unerwünschten Seitenbandes beeinträchtigt. 6.1.7 Einseitenband-Demodulation, SSB-Demodulation 6.1.7.1 SSB-Demodulation mit Quadraturdemodulator Der Quadraturdemodulator kann günstig zur Demodulation eines SSB-Signals eingesetzt werden. Bild 87: Der Quadraturdemodulator als SSB-Detektor Das SSB-Signal wird beiden Zweigen gleichphasig zugeführt. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -616.1.7.2 SSB-Demodulation mit Tayloe-Demodulator 6.2 Frequenz- und Phasenmodulation, FM- und PM-Modulation 6.3 Frequenz- und Phasendemodulation, FM- und PM-Demodulation 7 Phasenregelkreis, Phase-Locked-Loop, PLL Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -62- 8 Leitungen Leitungen sind metallische oder dielektrische Gebilde, die zum Energietransport eingesetzt werden. Metallische Leitungen sind typischer Weise Paralleldrahtleitungen, welche, wie der Name sagt, aus zwei parallelen metallischen Drähten symmetrisch aufgebaut, bestehen. In der Hochfrequenztechnik sind auch metallische Koaxialleitungen wesentlich. Diese gehören zur Gruppe der unsymmetrischen Leitungen. Dielektrische Leitungen sind beispielsweise Glasfaserleitungen. 8.1 Leitungsgleichungen Eine Leitung kann durch Kettenschaltung kleiner Leitungsstücke dargestellt werden. Bild 88: Leitung aus einzelnen Elementen zusammengesetzt Die Bauelemente eines einzelnen Elements sind: • Ohmscher Serienwiderstand R • Serieninduktivität L • Leitungskapazität C • Ableitungsleitwert G An einem Leitungsstück der Länge Δx gilt Bild 89: Ein Leitungsstück der Länge Δx für die von der Zeit abhängigen Ausgangsspannung u ( x + ∆ x, t ) = u ( x, t ) − i ( x, t ) R − di ( x, t ) L dt und für den Strom du ( x + ∆ x, t ) C dt unter der Voraussetzung, dass alle Bauteilgrößen zeitlich konstant sind. Wird nun u(x, t) bzw. i(x, t) auf die jeweils linke Seite der Gleichung gebracht und durch die Leitungslänge dividiert, liefert dies i ( x + ∆ x, t ) = i ( x, t ) − u ( x, t )G − und mit u ( x + ∆ x, t ) − u ( x, t ) R di ( x, t ) L di ( x, t ) = − i ( x, t ) − = − i ( x, t ) R'− L' ∆x ∆x dt ∆ x dt i ( x + ∆ x, t ) − i ( x, t ) G du ( x + ∆ x, t ) C du ( x + ∆ x, t ) = − u ( x, t ) − = − u ( x, t )G '− C' ∆x ∆x dt ∆x dt Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -63• • • • R ∆x L L' = ∆x C C'= ∆x G G' = ∆x R' = Ω m H in m F in m S in m der ohmsche Widerstandsbelag in der Induktivitätsbelag der Kapazitätsbelag der Ableitungsbelag V Am Vs bzw. in Am As bzw. in Vm A bzw. in Vm bzw. in Macht man die Leitungslänge infinitesimal klein, führt man den Grenzübergang für ∆ x → 0 durch, gilt mit der Definition des Differentialquotienten, der ersten Ableitung einer Funktion f ( x + ∆ x) − f ( x) df = = f ' ( x) , angewendet auf die beiden obigen Gleichungen lim ∆x dx ∆ x→ 0 du ( x, t ) di ( x, t ) = − i ( x, t ) R '− L' dx dt und di ( x, t ) du ( x, t ) = − u ( x, t )G '− C' . dx dt Das sind zwei lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Differenziert man die zweite Gleichung nach t und setzt das Ergebnis daraus in die erste Differentialgleichung ein, erhält man d 2 u ( x, t ) du ( x, t ) d 2 u ( x, t ) ( ) = R ' G ' u ( x , t ) + R ' C ' + G ' L ' + L ' C ' dt dx 2 dt 2 und d 2 i ( x, t ) di ( x, t ) d 2 i ( x, t ) , ( ) = R ' G ' i ( x , t ) + R ' C ' + G ' L ' + L ' C ' dt dx 2 dt 2 zwei voneinander getrennte partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese Gleichungen beschreiben die Spannungs- und Stromwelle, die sich entlang der Leitung ausbreitet. 8.1.1 Leitungsgleichungen im Frequenzbereich Für die Lösung dieser Gleichungen im reellen Rechenbereich wird für die zeitabhängigen Spannungen und Ströme der Produktansatz mit harmonischen Funktionen gewählt: u ( x, t ) = U R ( x) cos(ω t ) + U I sin(ω t ) und i ( x, t ) = I R ( x) cos(ω t ) + I I sin(ω t ) oder u ( x, t ) = Re(U ( x )e jω t ) und i ( x, t ) = Re( I ( x)e jω t ) Geht man vom reellen Zahlenbereich auf die komplexe Ebene, wird die Rechnung wesentlich vereinfacht: u ( x , t ) = U ( x ) e jω t i ( x , t ) = I ( x ) e jω t und Dann gilt für die ersten Ableitungen nach der Zeit: du ( x, t ) di ( x, t ) = jω U ( x)e jω t = jω I ( x)e jω t und dt dt und für die zweiten Ableitungen nach der Zeit: Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -64d 2 u ( x, t ) = − ω 2U ( x)e jω t 2 dt und d 2 i ( x, t ) = − ω 2 I ( x ) e jω t . 2 dt Setzt man diese Ausdrücke in beiden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ein, erkennt man, dass durch e jω t gekürzt werden kann, und dass U (x) bzw. I (x) herausgehoben werden kann. d 2U ( x) = R ' G '+ jω ( R' C '+ G ' L') − ω 2 L' C ' U ( x) dx 2 d 2 I ( x) = R ' G '+ jω ( R ' C '+ G ' L') − ω 2 L' C ' I ( x) 2 dx ( ) ( ) nennt man die Leitungsgleichungen, wie sie von Thompson angeschrieben wurden. Für die Zusammenhänge zwischen Spannung und Strom erhält man dU ( x) dI ( x ) = − ( R '+ jω L') I ( x) = − ( G '+ jω C ')U ( x) und dx dx Die Leitungsgleichung für die Spannung entlang der Leitung wird mit dem Ansatz U ( x) = Ae − γ x + Be γ x gelöst und nach dem Einsetzen dieses Ausdrucks, der für alle beliebigen Amplituden A und B gelten muss, erhält man für die Ausbreitungskonstante γ = ± R ' G '+ jω ( R' C '+ G ' L') − ω 2 L' C ' oder γ = ± ( R'+ jω L ) ' ( G '+ jω C ') . A ist die Amplitude der Spannungswelle, die vom Generator zur Last vorläuft, B ist die Amplitude der Spannungswelle, die von der Last reflektiert wird und zum Generator zurückläuft. Bild 90: Vorlaufende und rücklaufende Welle Die Ausbreitungskonstante besteht aus einem Realteil α, welcher der Dämpfung pro Längeneinheit (in Neper / m) entlang der Leitung entspricht. Der Imaginärteil β entspricht der Phasendrehung pro Längeneinheit und wird rad / m angegeben. γ = α + jβ . Die Amplitude B der von der Last zurücklaufenden Spannungswelle ist proportional zur Amplitude A der zur Last vorlaufenden Welle und es gilt B = ρ A, wobei ρ den Reflexionsfaktor an der Übergangsstelle zwischen Leitungsende und Lastimpedanz darstellt. Der Zusammenhang zwischen der Spannung U (x) und dem Strom I (x) ist eine wesentliche dI ( x) = − ( G '+ jω C ')U ( x) und Einsetzen von Kenngröße der Leitung. Die Integration von dx U ( x) = Ae − γ x + Be γ x liefert Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -65G '+ jω C Ae − γ x − Be γ x . γ Das ist ein Zusammenhang zwischen den vor- und rücklaufenden Spannungen und den vorund rücklaufenden Strömen und hat die Dimension eines Leitwertes – eine reine Rechengröße. Der Kehrwert dieser Größe wird als Wellenwiderstand bezeichnet. ( I ( x) = ZW = γ G '+ jω C = ) R '+ jω L' G '+ jω C ' Dann liefert diese Überlegung, wenn für die Amplitude der vorlaufenden Spannungswelle U0 eingesetzt wird U ( x) = U 0 e − γ x + ρ e γ x = U + + U − für die Spannung entlang der Leitung und ( ) ( ) U0 −γx e − ρ eγ x = I + − I − für den Strom entlang der Leitung. Zw Bildet man den Quotienten aus diesen Größen, erhält man die Impedanz entlang der Leitung. I ( x) = U ( x) e − γ x + ρ eγ x = Zw − γx I ( x) e − ρ eγ x tungslänge (x = 0): Z ( x) = und speziell für eine verschwindend kurze Lei- 1+ ρ 0 . 1− ρ 0 Wird eine Leitung mit verschwindender Länge mit der Impedanz ZL abgeschlossen, ist Z (0) = Z L und es entsteht ein Reflexionsfaktor am Übergang zwischen der Leitung und dem 1+ ρ 0 Abschlusswiderstand, der aus Z L = Zw berechnet werden kann: 1− ρ 0 ZL −1 ZL − Zw Zw z− 1 ρ0= = = . ZL + Zw ZL z+ 1 +1 Zw Dabei ist zu beachten, dass der Reflexionsfaktor eine komplexe Größe ist. Ist die Leitung mit einem beliebigen, passiven Bauelement abgeschlossen, kann der Reflexionsfaktor nur innerhalb (und am Rand) eines Kreises mit dem Radius 1 liegen (|ρ|≤1). Nur beim Einsatz aktiver Bauteile kann der Betrag des Reflexionsfaktors größer eins sein. Wird in Z − Zw e − γ x + ρ 0 eγ x U ( x) ρ0 = L Z ( x) = = Zw − γx substituiert, gilt γ x für den Reflexionsfaktor ZL + Zw I ( x) e − ρ 0e Z (0) = Z w ZL ZL Z − L ZL e− γx + Z ( x) = Z w e− γx − + − + Zw γx e Zw ( Z + Z w ) e − γ x + ( Z L − Z w ) eγ x Z L eγ x + e − γ x − Z w eγ x − e − γ x = Zw L = Z w Zw γx ( Z L + Z w ) e − γ x − ( Z L − Z w ) eγ x Z w eγ x + e − γ x − Z L eγ x − e − γ x e Zw Hochfrequenztechnik - ENTWURF ( ( Januar 2016 ) ) ( ( © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling ) ) -66eγ x eγ x Z ( x) = Z w eγ x Z w − Z L γx e ZL − Zw − + − + e− γx e − γ x = Zw Z L − Z w tanh ( γ x ) . Z w − Z L tanh ( γ x ) e− γx e− γx Da die Leitung am Ende mit der Lastimpedanz ZL abgeschlossen ist, ergeben positive Werte für x die Verhältnisse auf der gar nicht mehr vorhandenen Leitung an. Um auf die Verhältnisse auf der Leitung zwischen der Last und dem Generator zu erhalten, ist die Leitung in negativer Ausbreitungsrichtung (von der Last zum Generator, „toward generator“) zu betrachten. Misst man also die Leitungslänge in der Richtung vom Generator zur Last „drehen sich die Vorzeichen beim x um“. Z + Z w tanh ( γ x ) Z ( x) = Z w L Z w + Z L tanh ( γ x ) Für die Eingangsimpedanz einer Leitung mit der Länge l, die am Ende mit ZL abgeschlossen ist, erhält man Z + Z w tanh ( γ l ) Z in (l ) = Z w L . Z w + Z L tanh ( γ l ) Ebenso kann man den Reflexionsfaktor in Abhängigkeit der Position x entlang der Leitung angegeben werden. ZL − Z ( x) −1 Zw Z − ρ ( x) = = w Z ( x) ZL − +1 Zw Zw − Z w tanh ( γ x ) −1 Z L tanh ( γ x ) Z − Z w tanh ( γ x ) − Z w + Z L tanh ( γ x ) = L Z w tanh ( γ x ) Z L − Z w tanh ( γ x ) + Z w − Z L tanh ( γ x ) +1 Z L tanh ( γ x ) Z − Z w tanh ( γ x ) − ρ ( x ) = L Z L + Z w tanh ( γ x ) + 1 = ρ 0 e 2γ x 1 − 2γ x Misst man die Position von der Last aus gesehen zum Generator, gilt ρ ( x ) = ρ 0 e und am Eingang Leitung, wenn sie am Ende mit der Impedanz ZL abgeschlossen ist: ρ in = ρ (l ) = ρ 0 e − 2γ l Eine wesentliche Kenngröße entlang Leitungen ist das Stehwellenverhältnis, welches stets auf Spannungen bezogen und mit VSWR (voltage standing wave ratio) bezeichnet wird. Da es auf Grund von Reflexionen am Leitungsende zu Interferenzen entlang der Leitung kommt, gibt es Orte entlang der Leitung, bei denen es zur Subtraktion der vorlaufenden und rücklaufenden Welle kommt. Um λ/4 von diesen Positionen entfernt, kommt es zur Addition der beiden Wellen. Das Verhältnis zwischen dem maximalen und minimalen Wert ist das VSWR: VSWR( x) = U max U 0 + ρ ( x) U 0 1 + ρ ( x) = = U min U 0 − ρ ( x ) U 0 1 − ρ ( x) Bild 91: Überlagerung aus vorlaufender und rücklaufender Welle Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -67- 8.1.2 Verlustlose Leitungen 8.2 Zweidrahtleitungen Zweidrahtleitungen sind elektrische Leiter, welche elektromagnetische Energie mit Hilfe einer Hin- und einer Rückleitung transportieren. 8.2.1 Paralleldrahtleitung Bild 92: Aufbau einer Paralleldrahtleitung Der Kapazitätsbelag einer langen Paralleldrahtleitung mit gleichen Drahtradien ist 2π ε C'= a2 − r 2 + (a − r ) 0 0 . ln 2 2 a − r0 − ( a − r0 ) Wenn der Drahtdurchmesser wesentlich kleiner als der Abstand zwischen den Leitungen ist, kann mit der ausgezeichneten Näherung πε C'= a arch d gearbeitet werden, wobei a der Abstand der Mittelpunkte der beiden Leiter und d der Drahtdurchmesser ist. Für den Induktivitätsbelag gilt µ 2a 1 L' = ln + π r0 4 und als Näherung für großen Leiterabstand kleinen Drahtdurchmesser µ L' = a . π arch d Damit wird der Wellenwiderstand der verlustlosen Paralleldrahtleitung µr 1 µ D 1 µ 0 µ r D Z D Zw = arch = arch = w0 arch , π ε π εr d π ε0 εr d d wobei Zw0 der Feldwellenwiderstand des leeren Raumes (377.6Ω ~ 120π Ω) , eine Naturkonstante ist. Dabei ist zu beachten, dass für die relative Dielektrizitätskonstante εr und die relative Permeabilitätskonstante μr die Werte des gesamten umgebenden Raumes einzusetzen sind und nicht nur die Werte der möglicherweise vorhandenen Kunststoff-Isolationsschicht. Bei sehr dünnen Isolationsschichten kann mit hervorragender Näherung die Isolationsschicht unberücksichtigt bleiben. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in der Leitung ist nur von den Materialeigenschaften des gesamten umgebenden Materials abhängig und ist c0 v ph = . ε rµ r Die Wellenlänge auf der Leitung ist v ph c0 1 1 1 λg = = = λ0 = λ0 , f f ε rµ r n ε rµ r Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -681 der Verkürzungsn faktor der Leitung ist. Die notwendige Leitungslänge, um eine Phasendrehung von φ zu erreiλg λ λ n λg ϕ = 0 = 0 = = chen, gilt l el n l el l el l mech . Durch Koeffizientenvergleich erkennt man den Zun sammenhang zwischen der elektrischen Leitungslänge lel und der mechanischen Leitungslänge lmech: l l mech = el , und die plausible Erklärung des Verkürzungsfaktors, da die mechanische Lein tungslänge stets kürzer als die elektrische Leitungslänge ist. wobei n = ε rµ r der Brechungsindex des umgebenden Materials und 8.2.2 Koaxialleitung Bild 93: Aufbau eines Koaxialkabels Der Kapazitätsbelag einer Koaxialleitung ist 2π ε 2π ε C'= = r D ln 0 ln , d r1 wobei r0 der Innenradius des Außenleiters und r1 der Radius des Innenleiters ist. D ist der Innendurchmesser des Außenleiters, d ist der Durchmesser des Innenleiters. Der Induktivitätsbelag ist 2 r2 2 r2 µ 0 r1 r2 L' = 2 ln + 2 2 ln − 2 2 2 . 4π r0 r r − r r − r 1 2 1 2 1 Ist die Eindringtiefe des magnetischen Feldes vernachlässigbar gegenüber r1, gilt r µ µ D L' = ln 0 = ln . 2π r1 2π d Damit wird der Wellenwiderstand der verlustlosen Koaxialleitung µr D 1 µ D 1 µ0 µr D Z Zw = ln = ln = w0 ln , 2π ε d 2π ε 0 ε r d 2π εr d wobei Zw0 der Feldwellenwiderstand des leeren Raumes (377.6Ω ~ 120π Ω) , eine Naturkonstante ist. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in de Leitung ist nur von den Materialeigenschaften des Dielektrikums abhängig und ist c0 v ph = . ε rµ r Die Wellenlänge auf der Leitung ist v ph c0 1 1 1 λg = = = λ0 = λ0 , f f ε rµ r n ε rµ r 1 der Verkürzungsfaktor der n Leitung ist. Die notwendige Leitungslänge, um eine Phasendrehung von φ zu erreichen, gilt wobei n = ε rµ r der Brechungsindex des Dielektrikums und Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -69- λg λ0 λ0 n λg = = = l el n l el l el l mech . Durch Koeffizientenvergleich erkennt man den Zusammenhang n zwischen der elektrischen Leitungslänge lel und der mechanischen Leitungslänge lmech: l l mech = el , und die plausible Erklärung des Verkürzungsfaktors, da die mechanische Lein tungslänge stets kürzer als die elektrische Leitungslänge ist. Die Koaxialleitung kann bis zu 4c0 2c 0 ωc = fc = bzw. (D + d) ε rµ r π (D + d) ε rµ r als obere Frequenzgrenze eingesetzt werden. Über dieser Cutoff-Frequenz können sich auch Ausbreitungsmoden höherer Ordnung ausbilden, die sich im Allgemeinen (wegen ihrer grundsätzlich anderen Ausbreitungsgeschwindigkeit) als Störquelle auswirken. ϕ = 8.2.3 Anpassung Unter Anpassung versteht man die Zusammenschaltung zweier Bauelemente oder Baugruppen so, dass keine Reflexion zwischen ihnen auftritt. Eine Bedingung für ein reflexionsfreies übertragen, als für Anpassung ist, dass der Reflexionsfaktor ρ Null ist. Betrachtet man klassische Bauelemente und Leitungen, so gilt, dass die Realteile der beiden Impedanzen gleich sind, und die Imaginärteile der beiden Impedanzen unterschiedliches Vorzeichen haben, also der Lastwiderstand ZL zum Generatorwiderstand ZG konjugiert ist: * Z L = Z G . Da das Anpassnetzwerk keine Dämpfung hervorrufen soll, liegt es nahe, nur mit Blindwiderständen, mit Induktivitäten und Kapazitäten das Auslangen zu finden. 8.2.3.1 Die Transformation von RL nach Rin mit Reaktanzen Es soll der reelle Lastwiderstand RL so transformiert werden, dass an den Klemmen der Schaltung der reelle Widerstand Rin gemessen wird. Bild 94: Die Transformation eines reellen Widerstandes Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = jX S + RL jX Q RL + jX Q , die den reel- len Wert Rin haben soll. Es gilt die Gleichung Rin ( R L + jX Q ) = jX S ( R L + jX Q ) + Rin * jX Q , welche für den Realteil und für den Imaginärteil erfüllt sein muss. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannte Größen XS und XQ: Rin RL = − X S X Q Ri n X Q = RL ( X S + X Q ) und Substituiert man die erste Gleichung in die zweite Gleichung, erhält man für die Querreaktanz X Q = RL Rin R L − Rin und für die Serienreaktanz Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -70XS = − RL Rin . XQ Dabei ist zu beachten, dass das Argument unter der Wurzel positiv sein muss, also RL ≥ Rin gelten muss. Da die Wurzelfunktion sowohl positive als auch negative Werte liefern kann, gibt es auch stets zwei Lösungen des Anpassproblems. Wird für die Querreaktanz XQ ein positiver Wert, also eine Induktivität eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS negativ, es ist ein Kondensator einzusetzen. Wird für die Querreaktanz XQ ein negativer Wert, also ein Kondensator eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS positiv, es ist eine Induktivität einzusetzen. Bild 95: Anpassung mit Hochpass (RL ≥Rin) Bild 96: Anpassung mit Tiefpass (RL≥Rin) Ist der Lastwiderstand RL jedoch niedriger als der Eingangswiderstand Rin, kann mit der obigen Schaltung nicht transformiert werden. Mit der folgenden modifizierten Schaltung ist diese Transformation möglich: Bild 97: Die Transformation eines reellen Widerstandes Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = jX S + ( RL + jX S ) jX Q RL + j ( X Q + X S ) , die den reellen Wert Rin haben soll. Es gilt die Gleichung Rin ( RL + j ( X Q + X S ) ) = jX S ( RL + j ( X Q + X S ) ) + ( RL + jX S ) jX Q , welche für den Realteil und für den Imaginärteil erfüllt sein muss. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannte Größen XS und XQ: Rin RL = − X S X Q RL X Q = Rin ( X S + X Q ) und Substituiert man die erste Gleichung in die zweite Gleichung, erhält man für die Querreaktanz X Q = Rin RL Rin − R L und für die Serienreaktanz XS = − Hochfrequenztechnik - ENTWURF RL Rin . XQ Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -71- Dabei ist zu beachten, dass das Argument unter der Wurzel positiv sein muss, also Rin ≥ R L gelten muss. Da die Wurzelfunktion sowohl positive als auch negative Werte liefern kann, gibt es auch stets zwei Lösungen des Anpassproblems. Wird für die Querreaktanz XQ ein positiver Wert, also eine Induktivität eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS negativ, es ist ein Kondensator einzusetzen. Wird für die Querreaktanz XQ ein negativer Wert, also ein Kondensator eingesetzt, ist der Wert für die Serienreaktanz XS positiv, es ist eine Induktivität einzusetzen. Bild 98: Anpassung mit Hochpass (Rin≥RL) Bild 99: Anpassung mit Tiefpass (Rin≥RL) 8.2.3.2 Die Transformation von ZL nach Zin mit Reaktanzen Es soll die komplexe Lastimpedanz ZL so transformiert werden, dass an den Klemmen der Schaltung die komplexe Eingangsimpedanz Zin gemessen wird. Bild 100: Transformation einer komplexen Impedanz Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = jX S + Z L jX Q Z L + jX Q , die den Wert Zin haben soll. Es gilt die Gleichung Rin R L − X in ( X L + X Q ) + j ( X in Rl + ( X L + X Q ) Rin ) = − X S X Q − X L X S − X L X Q + jRL ( X S + X Q ) welche für den Realteil und für den Imaginärteil erfüllt sein muss. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannte Größen XS und XQ: X in ( X L + X Q ) − Rin R L = X S X Q + X L X S + X L X Q X in Rl + ( X L + X Q ) Rin = R L ( X S + X Q ) Formt man die zweite Gleichung um, gilt also für die Serienreaktanz Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -72X S = X in − X Q − Rin (XL + XQ ) RL und für die Querreaktanz die quadratische Gleichung ( X Q ( R L − Rin ) + 2 X Q X L Rin + Rin X L − R L 2 2 2 ) mit ihren beiden Lösungen XQ = − X L Rin ± 2 2 ( 2 X L Rin − X L + R L 2 )( R L − Rin ) Rin R L − Rin Dabei ist zu beachten, dass das Argument unter der Wurzel, nicht negativ sein darf, also 2 2 2 2 X L Rin − X L + R L ( R L − Rin ) Rin ≥ 0 gelten muss. Ist die Diskriminante negativ, so kann ( ) * mit dieser Schaltung nicht angepasst werden. Durch die Substitution von Z Lneu = Z in und * Z inneu = Z L und dem „Umdrehen“ der Reihenfolge der Abfolge der Reaktanzen, kann auch in diesem Fall Anpassung erzielt werden, wobei Z* den konjugiert komplexen Wert von Z darstellt. Bild 101: Transformation komplexer Impedanzen mit „umgekehrter“ Reihenfolge Da die quadratische Gleichung im Allgemeinen zwei reelle Lösungen hat, gibt es auch stets zwei Lösungen des Anpassproblems. Es ist aber durchaus möglich, dass die Anpassung auch mit zwei Induktivitäten oder mit zwei Kapazitäten zu erfolgen hat. 8.2.3.3 Die Transformation von RL nach Rin mit einer λ/4-Leitung 8.2.3.4 Die Transformation von ZL nach Zin mit einer Leitung Es soll die komplexe Lastimpedanz ZL so mit einer verlustlosen Leitung transformiert werden, dass an den Klemmen der Schaltung die komplexe Eingangsimpedanz Zin gemessen wird. Bild 102: Die Transformation mit einer Leitung Für die Eingangsimpedanz an den Klemmen erhält man Z in = Z w net man daraus tan ( β l ) = Z w ( Z in − Z in ) Z L + jZ w tan ( β l ) . BerechZ w + jZ L tan ( β l ) , stellt dieser Ausdruck zwei Gleichungen, für den Re2 Z w − Z in Z in alteil und für den Imaginärteil dar. Das sind also zwei Gleichungen für die beiden unbekannten reellen Größen Zw und l: Man erhält Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -73- Z w ( Rin − R L ) = tan ( β l )( RL X in + X L Rin ) aus dem Realteil und ( ) Z w ( X in − X L ) = tan ( β l ) Z w − R L Rin + X L X in aus dem Imaginärteil 2 Dividiert man die beiden Gleichungen, liefert das Z w = Rin R L − X in X L + ( Rin X L + X in R L ) 2 Z w = Re( Z in Z L ) + Im( Z in Z L ) 2 X in − X L oder Rin − R L Im( Z in − Z L ) , Re( Z in − Z L ) eine leicht programmierbare Gleichung für Taschenrechner mit komplexer Arithmetik. Dabei ist zu beachten, dass nicht jede beliebige Lastimpedanz ZL auf jede beliebige Eingangsimpedanz Zin transformiert werden kann, da der Wellenwiderstand Zw reell sein muss, also Zw2 nicht negativ sein darf. Setzt man Zw in eine der beiden obigen Gleichungen ein, liefert das Z w ( Rin − R L ) Z Re( Z in − Z L ) = w . R L X in + Rin X L Im(Z in Z L ) Daraus kann die Leitungslänge bei gegebener Frequenz (oder gegebener Wellenlänge) berechnet werden. tan ( β l ) = Z w ( Rin − R L ) l 1 . = arctan λ 2π R L X in + Rin X L Um dem leidigen Problem der Einstellung des Taschenrechners (Radiant oder Grad) zu entgehen, ist es sinnvoll, die Gleichung in der Gestalt Z w ( Rin − R L ) arctan R X + R X l in L L in = λ 8 arctan(1) zu programmieren. 8.2.4 Leistungsteiler 8.2.5 Balun Für eine reflexionsfreie Leistungsübertragung ist es notwendig, dass für die Generator- und * Lastimpedanz Z G = Z L gilt. Das ist aber nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung, da außerdem die Feldbilder des elektrischen und des magnetischen Feldes an der Stelle des Übergangs von Generator zur Last gleich sein müssen. Da die Feldlinien auf der Koaxialleitung und der Zweidrahtleitung unterschiedlich aussehen, müssen sie durch geeignete Maßnahmen so verändert werden, dass sie gleich werden. Bei der Koaxialleitung spricht man von einer unsymmetrischen Leitung (unbalanced line), da der Außenleiter immer auf Massepotential liegt, während der Innenleiter entsprechend des zu übertragenden Signals auf einem wechselnden Potential liegt. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -74Bei der Zweidrahtleitung liegen die Potentiale der beiden Leitungen stets auf Potentialen, die symmetrisch bezüglich der Symmetrieebene zwischen den beiden Leitern ist. Man spricht von einer symmetrischen Leitung (balanced line). Bild 103: Elektrische Feldlinien einer Koaxleitung Bild 104: Elektrische Feldlinien einer Zweidrahtleitung Ein Balun ist ein Bauteil, welches das Feldbild einer „balanced line“ in das Feldbild einer „unbalanced line“ (und umgekehrt) umwandelt. Bild 105: Aufbau eines Baluns aus Koaxleitungen 8.2.6 Richtkoppler Bild 106: Richtkoppler aus diskreten Bauelementen Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -75- 8.3 Mikrostrip-Leitungen Mikrostrip-Leitungen sind die am häufigsten eingesetzten Leitungen in der Hochfrequenztechnik. Sie sind aus einem Substratmaterial („Printplatte“) mit einer durchgehenden Massefläche an der Unterseite und aus der Leiterbahn auf der Oberseite aufgebaut. Bild 107: Aufbau einer Mikrostripleitung Heute übliche Substratmaterialien sind glasfaserverstärktes Epoxidharz (FR4), Teflon (RTDuroid, Diclad), Aluminiumoxidkeramik (Al2O3), Teflon mit Keramikbeimengungen (Epsilam) oder Berylliumoxid (BeO) für außergewöhnliche Spezialanwendungen. Die relativen Dielektrizitätszahlen dieser Materialien sind typischerweise Material FR4 Teflon Al2O3 Epsilam10 BeO εr 3.8 .. 4.0 2.3 9.6 10 Tabelle 1: Relative Dielektrizitätszahl einiger Substratmaterialien Im Abschnitt 8.1.1 wurde die Bedeutung der Leitungskenngrößen Wellenwiderstand und Ausbreitungskonstante hingewiesen. Dann gilt für die Überlegungen über diese Größen, dass mit größer werdender Leiterbreite sich ein immer größerer Teil des magnetischen und elektrischen Feldes unter der Leiterbahn im Dielektrikum und ein geringer werdender Teil des Feldes in der Luft ausbreitet. Je breiter die Leitung wird, desto mehr wird ihre Eigenschaft von Dielektrikum alleine bestimmt. Für extrem breite Leitungen gilt für die wirksame relative Dielektrizitätszahl, dass sie praktisch der des Dielektrikums gleich ist (ε r ,eff ≈ ε r ) . Für extrem schmale Leitungen breitet sich das elektromagnetische Feld etwa zu gleichen Teilen im Dielektrikum und in der Luft aus. Da ist die wirksame Dielektrizitätszahl wird ungefähr der Mitε +1 telwert ε r ,eff ≈ r . Für den Wellenwiderstand gilt die Überlegung, dass mit breiter wer2 L' dender Leitung der Kapazitätsbelag C’ der Leitung größer wird und gemäß Z W = sinkt. C' Die mathematisch exakte Berechnung ist nur für wenige Spezialfälle möglich, da die entstehenden Differenzialgleichungen praktisch nur numerisch lösbar sind. Die Berechnungen werden jedoch mit Hilfe von Zahlenwertgleichungen näherungsweise möglich. Sie nähern die tatsächlichen Werte für übliche Anwendungen genau genug an. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -76- 8.3.1 Analysegleichungen Mit den aus /3/ entnommenen Analysegleichungen können die von der Geometrie abhängigen Eigenschaften der Mikrostrip-Leitung berechnet werden. Bild 108: die Geometrie der Mikrostrip-Leitung Die folgenden Gleichungen stellen eine hervorragende Näherung der tatsächlichen Eigent 1 schaften der Leitung dar und gelten unter der Voraussetzung, dass das Verhältnis ≤ ist. h 200 w für ≤ 1 gilt: h 2 ε +1 εr−1 1 1 w ε r ,eff = r + + 1− 2 2 h h 25 1 + 12 w 60 h 1 w Zw = ln 8 + ε r ,eff w 4 h und für w > 1 gilt: h ε r ,eff = Zw = 120π εr+1 εr−1 + 2 2 1 1 + 12 h w 1 w ε r ,eff w + 1.393 + 0.667 ln + 1.444 h h Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -77- Bild 109 εr,eff in Abhängigkeit von w/h bei vernachlässigter Leiterbahndicke t Bild 110: Zw in Abhängigkeit von w/h bei vernachlässigter Leiterbahndicke t Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -78- 8.3.2 Synthesegleichungen Die Fragestellung: wie breit muss die Leitung sein, dass der Wellenwiderstand den geforderten Wert Zw hat, ist mit den Analysegleichungen nur iterativ lösbar. Daher wurden auch die Synthesegleichungen entwickelt, welche die obige Fragestellung einfacher lösbar macht. Dabei gilt es, die Hilfsgröße Z ε r + 1 ε r − 1 0.1 0.23 + A= w + 60 2 ε r + 1 ε r und daraus w 8e A = 2A h e − 2 w w zu berechnen. Ist das Ergebnis ≤ 2 , so ist dieser Wert endgültig. Ist jedoch > 2 , muss h h mit den folgenden Synthesegleichungen gerechnet werden: 377π B= 2Z w ε r und ε − 1 w 2 0.61 = B − 1 − ln ( 2 B − 1) + r ln ( B − 1) + 0.39 − . h π 2ε r ε r Aus dem so erhaltenen Verhältnis kann die Leiterbahnbreite durch Multiplikation mit h erhalten werden. 8.3.3 Berücksichtigung weiterer Kenndaten der Mikrostrip-Leitung In den obigen Formeln wurde die Leiterbahndicke t vernachlässigt. Dadurch kann es bei geringen Leiterbahnbreiten zu Fehlern kommen, die durch eine Berücksichtigung der Leiterdicke t verringert werden können. Dazu muss in den obigen Gleichungen die mechanische Leiterbahnbreite w durch die effektiv wirksame Leiterbahnbreite weff ersetzt werden. Die folgenden Beziehungen sind dazu hilfreich und sind im Programm Mikrostrip-Analyse und Synthese im Anhang 17.13.11 implementiert: w 1 für ≥ gilt für die effektiv wirksame Leiterbahnbreite h 2π weff w t 2h = + 1 + ln h h πh t w 1 für < gilt h 2π weff w t 4π W = + 1 + ln h h πh t Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -79- 8.4 Mikrostrip-Diskontinuitäten 8.4.1.1 Offenes Ende 8.4.1.2 Leitungsknick 8.4.1.3 Leiterbreitenstufe 8.4.1.4 Leiterverzweigung 8.4.1.5 Ratrace-Ring Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -80- 9 Das Smith-Diagramm Das Smith-Diagramm ist ein hervorragendes Hilfsmittel zur Dimensionierung von Bauteilen und zur Darstellung von Eigenschaften einzelner Bauteile oder von Baugruppen. Es verknüpft Impedanzen und Admittanzen mit ihren entsprechenden Reflexionsfaktoren und kann sowohl bei konzentrierten Bauelementen (Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten, Transistoren) als auch bei verteilten Bauelementen (Leitungen) eingesetzt werden. Bild 111: Linien konstanten Realteiles und Linien konstanten Imaginärteiles in der Reflexionsebene Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -81- 10 Streuparameter 10.1 Definition der Streuparameter Die Streuparameter (scattering parameter, S-Parameter) beschreiben den Zusammenhang zwischen den zum Zweitor hinlaufenden Wellen mit den Amplituden a1 und a2, und den vom Zweitor rücklaufenden Wellen b1 und b2. Bild 112: Die zu den Toren hinlaufenden und von den Toren rücklaufenden Wellen Da es sich bei den verknüpften Größen um Wellen, also orts- und zeitabhängige Größen handelt, muss auch angegeben werden, an welcher Stelle die Parameter gelten. Diese Orte werden Referenzebenen genannt. Die S-Parameter sind eine lineare Verknüpfung der vor- und rücklaufenden Wellen und es gilt unter der Voraussetzung, dass Tor 1 der Eingang und Tor 2 der Ausgang sei: b1 S11 = b2 S 21 S11 = S12 = S 21 = S 22 = b1 a1 a2 = 0 b1 a2 a1 = 0 b2 a1 a2 = 0 b2 a2 a1 = 0 S12 a1 , wobei S 22 a 2 Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Ausgang Rückwirkung vom Ausgang zum Eingang bei Anpassung am Eingang vom Eingang zum Ausgang bei Anpassung am Ausgang Ausgangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Eingang Die Größen a und b stellen die vor- und rücklaufenden Wellen dar, die durch ai = U i+ Z wi = I i+ Z wi bi = U i− Z wi = I i − Z wi und die Dimension Leistung haben. Damit können die S-Parameter leicht aus Spannungen und Strömen berechnet werden. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -82- Bild 113: zur Berechnung der S-Parameter Z 1 − Z w1 Z 1 + Z w1 S11 = S 21 = S12 = a2 = 0 Z w2 Z w1 2U 2 U 01 S 22 = a1 = 0 2U 1 U 02 Z w1 Z w2 Z 2 − Z w2 Z 2 + Z w2 a2 = 0 a1 = 0 Es ist in der Praxis äußerst selten der Fall, dass die Wellenwiderstände an den Toren unterschiedliche Werte haben. Unter der Voraussetzung, dass die Wellenwiderstände gleich sind, gilt schließlich S11 = Z 1 − Z w1 Z 1 + Z w1 S 21 = 2U 2 U 01 S12 = a2 = 0 S 22 = a1 = 0 2U 1 U 02 a2 = 0 Z 2 − Z w2 Z 2 + Z w2 a1 = 0 10.1.1Der symmetrische T-Abschwächer Es soll ein symmetrisches T-Dämpfungsglied berechnet und dimensioniert werden. Bild 114: Der symmetrische T-Abschwächer Er soll bei Anpassung am Ein- und Ausgang das Eingangssignal gedämpft am Ausgang ausgeben. Die Berechnung kann auf verschiedenste Art und Weise durchgeführt werden. In diesem Abschnitt wird die Dimensionierung mit Hilfe der S-Parameter durchgeführt. Da S11 der Z in − Z w Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Ausgang ist, gilt: S11 = , wobei Z in + Z w R ( R + Z w ) R1 ( R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w ) Z in = R1 + 2 1 = , der Widerstand am Eingangstor R 1 + R2 + Z w R 1 + R2 + Z w des Abschwächers ist. Durch einfaches Einsetzen von Zin in die Gleichung des Eingangsreflexionsfaktors erhält man Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -83R1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w ( R1 + R2 )( R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w 2 . Für die Wirkung des Eingangs auf den Ausgangs, also für S21, gilt aus der Definition bei glei2U 2 U U' = 2 2 chen Wellenwiderständen am Ein- und Ausgang S 21 = . Mit Hilfe der SpanU 01 U ' U 01 Zw U2 = nungsteilerformel kann und U ' R1 + Z w R1 ( R1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w ) Z in R 1 + R2 + Z w U' = = U 01 Z in + R1 + Z w R1 ( R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w ) + R1 + Z w R 1 + R2 + Z w R1 ( R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w ) U' = leicht berechnet werden: U 01 R1 ( R 1 + R2 + Z w ) + R2 ( R1 + Z w ) + ( R1 + Z w )( R 1 + R2 + Z w ) S11 = 2Z w R2 ( R1 + Z w )( R1 + 2 R2 + Z w ) Da die Schaltung reziprok ist, ist die S-Matrix bezüglich ihrer Hauptdiagonale symmetrisch. Die Schaltung ist auch vom Ausbau symmetrisch ist – es können Ein- und Ausgang vertauscht werden – ist die S-Matrix auch bezüglich ihrer Nebendiagonale symmetrisch. Also können die S-Parameter angeschrieben werden: S12 = R1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w 2 ( R + R2 )( R1 + 2 Z w ) + R1 R2 + Z w S= 1 2 Z w R2 ( R1 + Z w )( R1 + 2 R2 + Z w ) 2 ( R1 + R2 )( R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w 2 Z w R2 ( R1 + Z w )( R1 + 2 R2 + Z w ) R1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w Aus der Bedingung, dass Anpassung herrschen soll (S11=0) und bei gegebene Abschwächung S21 stehen zwei Gleichungen für die Bestimmung von R1 und R2 zur Verfügung: Für AnpasR1 ( R1 + 2 R2 ) − Z w = 0 die Bedingung sung am Eingang erhält man aus ( R1 + R2 )( R1 + 2Z w ) + R1 R2 + Z w 2 2 R1 ( R1 + 2 R2 ) = Z w . Formt man auf fert das S 21 = 2 Z w − R1 = R2 und setzt in die Gleichung für S21 ein, lieR1 Z w − R1 bzw. Z w + R1 1 − S 21 1 + S 21 Substituiert man diesen Ausdruck in die Gleichung für R2, erhält man R1 = Z w R2= Zw 2S 21 1 − S 21 2 Für einen 3dB-Abschwächer (S21=-3dB) Zw = 50Ω erhält man S21 = 0.707 (S-Parameter beschreiben Wellen mit der Einheit Leistung ): R1 = 8.579Ω, R2 = 141.4Ω Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -84- 10.1.2Der symmetrische π-Abschwächer Bild 115: Der symmetrische π-Abschwächer Er soll bei Anpassung am Ein- und Ausgang das Eingangssignal gedämpft am Ausgang ausgeben. Die Berechnung kann auf verschiedenste Art und Weise durchgeführt werden. In diesem Abschnitt wird die Dimensionierung mit Hilfe der S-Parameter durchgeführt. Es erweist sich als günstig, in diesem Falle mit Leitwerten zu rechnen, der Rechenaufwand ist geringer als bei der Rechnung mit Widerständen. Da S11 der Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung Z in 1 1 −1 − Z in − Z w Z Z Z in Yw − Yin = w = w = am Ausgang ist, gilt: S11 = , wobei 1 1 Z in + Z w Z in Yw + Yin + +1 Z w Z in Zw G (G + Yw ) G1 ( G 1 + G2 + Yw ) + G2 (G1 + Yw ) Yin = G1 + 2 1 = , der Widerstand am Eingangstor des G 1 + G 2 + Yw G 1 + G 2 + Yw Abschwächers ist. Durch einfaches Einsetzen von Yin in die Gleichung des Eingangsreflexionsfaktors erhält man Yw − G1 (G1 + 2G 2 ) S 11 = . ( G1 + G 2 )( G1 + 2Yw ) + G1G 2 + Yw 2 Für die Wirkung des Eingangs auf den Ausgangs, also für S21, gilt aus der Definition bei glei2U 2 U U' = 2 2 chen Wellenwiderständen am Ein- und Ausgang S 21 = . Mit Hilfe der SpanU 01 U ' U 01 1 G1 + Y w U2 G2 = = nungsteilerformel kann und 1 1 U1 G2 + G1 + Y w + G1 + Y w G2 1 Yin Yw Yw U1 = = = 1 1 U 01 Y w+ Yin G1 ( G 1 + G2 + Yw ) + G2 (G1 + Yw ) + + G1 + Yw Yin Yw G 1 + G2 + Yw leicht berechnet werden und man erhält für: 2Yw G2 ( G1 + Yw )( G1 + 2G2 + Yw ) Da die Schaltung reziprok ist, ist die S-Matrix bezüglich ihrer Hauptdiagonale symmetrisch. Die Schaltung ist auch vom Ausbau symmetrisch ist – es können Ein- und Ausgang vertauscht werden – ist die S-Matrix auch bezüglich ihrer Nebendiagonale symmetrisch. Also können die S-Parameter angeschrieben werden: S12 = Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -852 Yw − G1 (G1 + 2G2 ) ( G + G2 )( G1 + 2Yw ) + G1G2 + Yw 2 S= 1 2Yw G2 ( G1 + Yw )( G1 + 2G2 + Yw ) ( G1 + G2 )( G1 + 2Yw ) + G1G2 + Yw 2 2Yw G2 ( G1 + Yw )( G1 + 2G2 + Yw ) 2 Yw − G1 (G1 + 2G2 ) Aus der Bedingung, dass Anpassung herrschen soll (S11=0) und bei gegebene Abschwächung S21 stehen zwei Gleichungen für die Bestimmung von G1 und G2 zur Verfügung: Für Anpas2 Yw − G1 (G1 + 2G2 ) = 0 die Bedingung sung am Eingang erhält man aus ( G1 + G2 )( G1 + 2Yw ) + G1G2 + Yw 2 2 2 Y − G1 = G2 und setzt in die Gleichung für S21 ein, G1 (G1 + 2G2 ) = Yw . Formt man auf w G1 G1 − Yw liefert das S 21 = bzw. G1 + Yw 1 − S 21 G1 = Yw 1 + S 21 Substituiert man diesen Ausdruck in die Gleichung für R2, erhält man 2 G 2 = Yw 2 S 21 1 − S 21 2 Für einen 3dB-Abschwächer (S21=-3dB) Zw = 50Ω (Yw = 20mS) erhält man S21 = 0.707 (S-Parameter beschreiben Wellen mit der Einheit Leistung ): G1 = 3.431mS, G2 = 56.57mS. Die Widerstandswerte sind R1 = 291.4Ω, R2 = 17.68Ω. 10.2 S-Parameter und Zuleitungen Im Allgemeinen ist es nicht möglich, an den Stellen der Bauelemente oder Baugruppen zu messen, an denen man an den S-Parametern interessiert ist. Zwischen den Toren des Zweitors und der Messebene der S-Parameter mögen Leitungsstücke eingefügt sein. Bild 116: Zweitor mit eingefügten Messleitungen Da S11 der Reflexionsfaktor am Tor1 ist, wird wegen der Leitung zwischen Tor1 und Tor1’ der Eingangsreflexionsfaktor − 2 jßl • S11 ' = S11e 1 , wie im Kapitel 8.1.1 abgeleitet. Analog dazu gilt Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -86− 2 jßl 2 • S 22 ' = S 22 e . In S12’ und S21’ stecken die Leitungslängen l1 und l2, die eine Verzögerung des Signals zwischen Tor1’ und Tor2’ bewirken und es gilt − jβ ( l + l ) • S12 ' = S12e 1 2 − jβ ( l1 + l 2 ) • S 21 ' = S 21e Damit gilt für die Streuparameter S12 e − jβ (l1 + l2 ) S11 ' S12 ' S11e − 2 jßl1 [ S '] = = − jβ ( l1 + l 2 ) S 22 e − 2 jßl2 S 21 ' S 22 ' S 21e und umgekehrt S12 ' e jβ (l1 + l2 ) S11 S12 S11 ' e 2 jßl1 [S] = = jβ ( l + l ) S 22 ' e 2 jßl2 S 21 S 22 S 21 ' e 1 2 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -87- 10.3 Die Berechnung der S-Parameter mit SPICE© Mit Hilfe des Softwarepakets SPICE© und unter Verwendung „theoretischer“ Schaltungen, die in der Praxis kaum realisierbar aber für die Simulation hervorragend geeignet sind, können die S-Parameter von Bipolartransistoren leicht berechnet werden. Dazu sind zwei Schaltungen notwendig. 10.3.1 Arbeitspunkteinstellung beim BJT mit Hilfe von SPICE© Bild 117: Schaltung zur Arbeitspunkteinstellung Die Spannungsquelle liefert die Spannung UCE für den Transistor, mit der Stromquelle IE wird der Emitterstrom auf dem gewünschten Wert gehalten. Mit dem nahezu idealen Verstärker (einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle) mit der Spannungsverstärkung V=108 wird die Basisspannung auf so einem Potential gehalten, dass der geforderte Strom IE fließt. Die physikalisch kaum realisierbaren Induktivitäten mit je 1H sollen verhindern, dass der Wechselstrom im Kollektor über die Spannungsquelle UCE fließt. Die Induktivität an der Basis verhindert einen Wechselstromfluss über den Ausgangswiderstand des Verstärkers. Die Kondensatoren mit je 1F, welche im Hochfrequenzbereich kaum herstellbar sind, verhindern den Gleichstromfluss und bewirken einen vernachlässigbaren Spannungsabfall. Die Wechselspannung U1 ist praktisch die Basis-Emitter-Wechselspannung, die Spannung U2 entspricht der Kollektor-Emitter-Wechselspannung des Transistors. 10.3.2 Die Berechnung von S11 und S21 mit SPICE© Nun gilt es, den Eingangsreflexionsfaktor bei Anpassung am Ausgang aus den auftretenden Spannungen am Tor 1 zu berechnen. Das kann durch die Bestimmung der rücklaufenden und vorlaufenden Spannungswelle am Tor 1 durchgeführt werden: S 11= U 1− U 1+ = Anpassung am Ausgang 2U 1 − U 01 U 01 Anpassung am Ausgang Für S21 gilt S 21= Hochfrequenztechnik - ENTWURF 2U 2 U 01 Anpassung am Ausgang Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -88Damit erhält man die folgende Schaltung: Bild 118: Messschaltung zur Bestimmung von S11 und S21 Da im eigentlichen SPICE© eine weitere Verknüpfung der Rechenergebnisse nicht vorgesehen ist, kann die Division durch U01 in den beiden obigen Gleichungen erspart werden, indem der Wert für U 01 = 1V gewählt wird. 10.3.3 Die Berechnung von S12 und S22 mit SPICE© Für die Berechnung des Ausgangsreflexionsfaktors bei Anpassung am Eingang aus den auftretenden Spannungen am Tor 2 zu berechnen. Das kann durch die Bestimmung der rücklaufenden und vorlaufenden Spannungswelle am Tor 2 durchgeführt werden: S 22 = U 2− U 2+ = Anpassung am Eingang 2U 2 − U 02 U 02 Anpassung am Eingang Für S12 gilt S 12 = 2U 1 U 02 Anpassung am Eingang Damit erhält man die folgende Schaltung: Bild 119: Messschaltung zur Bestimmung von S12 und S22 10.4 Mehrtore Unter Mehrtore versteht man Bauelemente bzw. Bauteile mindestens drei Toren, wobei die Leitungsverzweigung als Beispiel diene. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -89- Bild 120: Leitungsverzweigung Der Zusammenhang zwischen den hinlaufenden und rücklaufenden Wellen wird mit den verallgemeinerten Streuparametern beschrieben. Für das Dreitor gilt b1 S11 b2 = S 21 b S 3 31 S12 S 22 S 32 S13 a1 S 23 a 2 . S 33 a3 Für n-Tore in Vektorschreibweise gilt b = Sa • • mit Indizes i, k ∈ [1, n] Sii ist der Reflexionsfaktor am Tor i, wenn alle Tore angepasst abgeschlossen sind. Sik ist der Transmissionsfaktor vom Tor k zum Tor i bei Anpassung aller Tore. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -90- 11 Stabilität eines Verstärkers Unter der Stabilität eines Verstärkers versteht man seine Neigung zum Schwingen. Schwingen es Verstärkers kann auftreten, wenn die Rückwirkung vom Ausgang auf den Eingang so groß ist, dass die Rückwirkung, multipliziert mit der Verstärkung größer gleich eins ist. Dieser Fall ist bei der Konstruktion von Oszillatoren gewünscht und wurde im Kapitel 3: Oszillatoren behandelt. Die Schwingungen können auch auftreten, wenn der Eingangswiderstand oder Ausgangswiderstand des Verstärkers negativ sind. Nicht nur mit Hilfe von Operationsverstärkern kann eine negative Impedanz erzeugt werden, auch einfache Transistoren (BJT, FET, MOSFET) oder Dioden (Tunneldioden, Gunndioden, Impatt-Dioden) weisen Kennlinien auf, mit deren Hilfe negative Impedanzen realisiert werden können. Rin = U1 R1 = I 1 R2 − R3 Wählt man R3 > R2 erhält man einen negativen Widerstand. Bild 121: Operationsverstärker als negativer Widerstand Bild 122: Strom-Spannungskennlinie einer Tunneldiode Eine Impedanz mit negativen Realteil bedeutet, dass der Betrag des Reflexionsfaktors Re( Z ) + j Im(Z ) − Z W ρ = > 1 wird. „Es kommt mehr Signal vom negativen Widerstand Re( Z ) + j Im(Z ) + Z W zurück, als hingeschickt wird.“ Bild 123: zur Erläuterung der elektrischen Größen Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -91- In der Hochfrequenz-Schaltungstechnik wird der Eingangsreflexionsfaktor mit Γin, der Ausgangsreflexionsfaktor mit Γout bezeichnet. Der Reflexionsfaktor der Quelle (source) wird ΓS, der Reflexionsfaktor der Last (load) ΓL genannt. Leistungsanpassung herrscht, wenn auf der Eingangsseite ΓS = Γin* und auf der Ausgangsseite ΓL = Γout* erreicht wird. Das Anpassnetzwerk am Eingang hat die Aufgabe, die Impedanz der Quelle so zu transformieren, das nach der Transformation der Eingang den Reflexionsfaktor Γin* sieht. Das Anpassnetzwerk am Ausgang hat die Aufgabe, die Impedanz der Last so zu transformieren, das nach der Transformation der Ausgang den Reflexionsfaktor Γout* sieht. Dabei ist jedoch die Frage zu klären, ob bei dieser eingangs- und ausgangsseitigen Belastung des Zweitores das Zweitor stabil ist, als nicht schwingt. Ein Verstärker ist bei einer Arbeitsfrequenz unbedingt stabil, wenn ΓS < 1 ΓL < 1 S12 S 21Γ L <1 1 − S 22 Γ L Γ in = S11 + Γ out = S 22 + S12 S 21Γ S <1 1 − S11Γ S erfüllt ist. Der Eingangsreflexionsfaktor Γin hängt von den Transistoreigenschaften Sij und vom Lastreflexionsfaktor ΓL, also von der Lastimpedanz ab, der Ausgangsreflexionsfaktor Γout hängt von Sij und vom Quellreflexionsfaktor ΓS, also von der Generatorimpedanz ab. Für welche Werte von ΓL und ΓS sind die Bedingungen erfüllt? Dazu werden im ersten Schritt die Punkte bestimmt, auf welchen Γ in = 1 und Γ out = 1 ist. Die Lösung sind die Stabilitätskreise. Für den Reflexionsfaktor Γin am Eingang erhält man ΓL (S − − ∆ S11 22 ) * * 2 2 S 22 − ∆ CL = (S − ∆ S11 22 2 S 22 − ∆ = ) 2 S 22 − ∆ 2 S 22 − ∆ 2 mit ∆ = S11 S 22 − S12 S 21 und ( a + jb ) * = a − jb * * Mittelpunkt des Eingangsstabilitätskreises (Input Stability Circle) 2 S12 S 21 rL = S12 S 21 Radius des Eingangsstabilitätskreises 2 Für den Reflexionsfaktor Γin am Eingang erhält man Γ in (S − CS = rS = 11 − ∆ S 22 2 S11 − ∆ (S 11 − ∆ S 22 2 S11 − ∆ S12 S 21 2 S11 − ∆ 2 ) * * 2 ) = S12 S 21 2 S11 − ∆ 2 * * 2 Mittelpunkt des Ausgangsstabilitätskreises (Output Stability Circle) Radius des Ausgangsstabilitätskreises Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -92 0.45e j146° 0.336e j 69° Für einen Transistor mit S = erhält man für den Eingangsstabilitätsj 67° 0.18e j − 79° 3.20e kreis C L = − 0.472 − j 0.221 rL = 1.007 und und für den Ausgangsstabilitätskreis C S = 0.579 + j 0.148 rL = 1.198 . und Im Smith-Diagramm können diese Kreise eingetragen werden: Bild 124: Stabilitätskreise im Smith-Diagramm Nun sind die Grenzen bekannt, an welcher der Betrag des entsprechenden Reflexionsfaktors 1 wird. • Ist |S11|<1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Eingangsreflexionskreises, ist der Bereich innerhalb des Eingangsreflexionskreises stabil. Außerhalb des Bereiches ist der Verstärker nicht stabil. • Ist |S11|>1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Eingangsreflexionskreises, ist der Bereich innerhalb des Eingangsreflexionskreises nicht stabil. Außerhalb des Bereiches ist der Verstärker stabil. • Ist |S22|<1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Ausgangsreflexionskreises, ist der Bereich innerhalb des Ausgangsreflexionskreises stabil. Außerhalb des Bereiches ist der Verstärker nicht stabil. • Ist |S22|>1 gilt und liegt der Anpasspunkt innerhalb Ausgangsreflexionskreises, ist der Bereich innerhalb des Ausgangsreflexionskreises nicht stabil. Außerhalb des Bereiches ist der Verstärker stabil. Der Verstärker ist unbedingt stabil - für jeden beliebige passive Abschlussimpedanz stabil – wenn |Sii|<1 ist und der jeweilige Stabilitätskreis außerhalb des Smithdiagramms liegt. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -93Unbedingt stabil bedeutet am Eingang des Verstärkers, dass |S11| <1 und C L − rL > 1 ist. Unbedingt stabil bedeutet am Ausgang des Verstärkers, dass |S22|<1 und C S − rS > 1 ist. Bild 125: Der Anpasspunkt liegt innerhalb des Ausgangsstabilitätskreises und |S11|<1. Daher ist der Verstärker innerhalb des Ausgangsstabilitätskreises stabil (grau hinterlegter Bereich). Die Lastimpedanz muss im grauen Bereich liegen, sodass der Verstärker stabil ist. Bild 126: Der Anpasspunkt liegt innerhalb des Eingangsstabilitätskreises und |S2|<1. Daher ist der Verstärker innerhalb des Eingangsstabilitätskreises stabil (grau hinterlegter Bereich). Die Quellimpedanz muss im grauen Bereich liegen, sodass der Verstärker stabil ist. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -94- 12 Leistungsverstärkung Die Verstärkung GT - transcucer power gain – ist da Verhältnis zwischen der Leistung, die in der Last umgesetzt wird PL (power delivered to the load) und der von der Quelle abgegeben Leistung PAVS (power available from the source). 2 2 2 2 1− Γ S 1− Γ S 1− Γ L 2 1− Γ L 2 GT = S 21 = S 21 2 2 2 2 1 − Γ in Γ S 1 − S 22 Γ L 1 − S11Γ S 1 − Γ out Γ L die maximale Verstärkung erhält man bei Anpassung am Eingang und am Ausgang, also * wenn Γ S = S11 und Γ L = S 22 * erfüllt ist. Die Impedanz, mit der die Quelle ihr Signal an den Eingang des Verstärkers liefert ist die optimale Quellimpedanz, die Lastimpedanz, die keine Reflexionen verursacht, ist die optimale Lastimpedanz. Nun gilt es die Frage zu klären, in welchem Bereich die Quell- und Lastimpedanz liegen darf, dass die Verstärkung um den Faktor gi gegenüber der maximalen Verstärkung absinkt. 12.1 Verstärkung eines unbedingt stabilen Verstärkers Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -95- 13 Hohlleiter Unter Hohlleiter versteht man rohrförmige Leitungselemente, die nicht aus einem Hin- und Rückleiter bestehen und deren Abmessungen zwangsläufig in der Größenordnung der Wellenlänge sind. Um ein einfaches Vorstellungsmodell zu haben, kann man von der klassischen Zweidrahtleitung ausgehen. An diese Leitung wird eine kurzgeschlossene, λ/4-lange, kurzgeschlossene Leitung parallel geschaltet. Der Kurzschluss am Ende der Stichleitung wird an den Anfang der Stichleitung transformiert und erreicht einen unendlich hohen Widerstand. Der Kurzschluss beeinflusst weder Spannung noch Strom der Paralleldrahtleitung Bild 127: Paralleldrahtleitung mit λ/4-Stichleitung auf einer und auf zwei Seiten Im nächsten Gedankenschritt werden längs der Paralleldrahtleitung weitere λ/4-Leitungen angebracht. Es entsteht ein rechteckiges Rohr mit den Innenabmessungen a und b. Man spricht nun von einem Rechteckhohleiter mit der (inneren) Breite a und der (inneren) Höhe b. Bild 128: Der gedankliche Übergang von der Parallelleitung mit λ/4-Leitungen zum Rechteckhohlleiter Die Spannung im Hohlleiter verläuft von oben nach unten und ist an den linken und rechten Kurzschlüssen Null. Der Verlauf dazwischen ist analog zum Spannungsverlauf entlang der λ/ 4-Leitung, also sinusförmig. Die Breite des Hohlleiters ist λ/2. Daraus kann die Frequenz, bei der dieses Feldbild entsteht, berechnet werden und es gilt c c fc = 0 = 0 . λ c 2a Da in diesem Gedankenmodell de Strom in den λ/4-Leitungsstücken nur quer zur Ausbreitungsrichtung, quer zur Richtung der Paralleldrahtleitung ausbreiten kann, erhält man mit diesem Modell die untere Grenzfrequenz fc, die Cutoff-Frequenz. Signale mit tieferen Frequenzen sind nicht ausbreitungsfähig und werden stark gedämpft. Eine praktische Anwendung dieses Hochpassverhaltens ist im Mikrowellenherd: Die Tür ist mit einem Gitter mit Öffnungen von etwa 2mm x 2mm hinterlegt. Die Cutoff-Frequenz dieser Struktur liegt bei 75 GHz. Die Arbeitsfrequenz des Mikrowellenherdes liegt bei 2.45 GHz (λ = 122mm). Das elektromagnetische Feld des Mikrowellenofens wird also nicht durch die GitHochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -96terstruktur austreten können. Das sichtbare Licht hat eine Frequenz von etwa 750 THz (λ = 400nm) und kann die Öffnungen verlustlos passieren. 13.1 Wellengleichung im Rechteckhohlleiter Die Maxwell-Gleichungen ∂D ∂B rotH = S L + rotE = − ∂t ∂t divD = ρ wa divB = 0 bedeuten, dass • die Wirbel des magnetischen Feldes der Summe aus der Stromdichte im Leiter SL plus ∂D der Verschiebungsstromdichte entsprechen, ∂t • die Wirbel des elektrischen Feldes der zeitlichen Änderung der Induktion entspricht, • die Quellenstärke der elektrischen Verschiebung der wahren elektrischen Raumladungsdichte entsprechen, und • keine magnetischen Quellen existieren (es gibt keinen magnetischen „Nordpol“ alleine, es gibt keinen magnetischen „Südpol“ alleine). Aus diesen vier Grundgleichungen der Elektrotechnik können die Gleichungen, die das elektrische und magnetische Feld auf Leitungen beschreiben, abgeleitet werden und man erhält ∂ 2E + ∂ x2 ∂ 2H + ∂ x2 wobei v ph = ∂ 2E ∂ 2E 1 ∂ 2E + = ∂ y 2 ∂ z 2 v ph 2 ∂ t 2 ∂ 2H ∂ 2H 1 ∂ 2H + = 2 2 ∂ y2 ∂ z2 v ph ∂ t 1 , die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. εµ Setzt man voraus, dass die Vorgänge im Hohlleiter harmonische Vorgänge, also sinus- oder cosinusförmig sind, wird aus der Differentiation nach der Zeit, eine Multiplikation mit jω. Setzt man weiter voraus, dass die Wellenausbreitung im Hohlleiter nur in die z-Richtung erfolgt, wird aus der Differentiation nach z eine Multiplikation mit –jβH. Dann wird die Wellengleichung zu ∂ 2E + ∂ x2 ∂ 2H + ∂ x2 Hochfrequenztechnik - ENTWURF ∂ 2E 2 + ω 2ε µ − β H 2 ∂y ∂ 2H 2 + ω 2ε µ − β H 2 ∂y ( ) E = 0 ( ) H = 0 Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -97- Bild 129: Hohlleiter mit Flansch Es ist einfach einzusehen, dass die Feldstärke Ey an den senkrechten Wänden Null sein muss – die Feldstärkekomponente ist durch die metallische Wand kurzgeschlossen. Ebenso gilt für die Feldstärke Ex, dass sie durch die Deck- und Bodenfläche kurzgeschlossen ist. Der Feldstärkeverlauf der y-Komponente muss daher entlang der x-Achse sinusförmig sein. Der Verlauf dieser Komponente entlang der y-Richtung ist cosinusförmig und es gilt E y ( x, y ) = E 0 sin( k x x) cos(k y y ) , wobei kx und ky aus den Überlegungen sin( k x a ) = 0 und mπ nπ cos(k y b) = 1 gelten muss. Dann erhält man für k x = und für k y = . Es gibt also una b terschiedliche Ausbreitungsmoden im Hohlleiter. Allgemein kann man die Felder im Rechteckhohlleiter aus den elektrischen und magnetischen Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung, aus Ez und Hz ausdrücken. Man spricht von den modalen Lösungen. Ex = Ey = − j 2 ω εµ − β 2 H − j 2 ω εµ − β 2 H β β H H ∂ Ez ∂Hz + ωµ ∂x ∂y ∂ Ez ∂ Hz −ωµ ∂y ∂ x Hx = Hy = − j 2 ω εµ − β 2 H − j 2 ω εµ − β 2 H β β H H ∂ Hz ∂ Ez −ωε ∂x ∂y ∂Hz ∂ Ez + ωε ∂y ∂ x Aus diesen modalen Lösungen erkennt man, dass im homogenen Rechteckhohlleiter zwei prinzipiell unterschiedliche Wellentypen ausbreitungsfähig sind: Es können Wellen bestehen, die alleine durch die magnetische Feldkomponente Hz beschrieben werden können. Ex = − j 2 ωµ ∂ Hz ∂y Hx = ω εµ − β H ∂ Hz − j Ey = 2 ωµ 2 ∂x ω εµ − β H 2 − j 2 β ∂Hz ∂x ω εµ − β H − j ∂ Hz Hy = 2 β 2 ∂y ω εµ − β H 2 Man spricht von H-Moden oder auch TE-Moden, wobei TE bedeutet, dass das elektrische Feld nur aus x- und y-Komponenten beschrieben wird, also nur aus transversal (senkrecht) zur Ausbreitungsrichtung bestehenden Anteilen besteht. Da die magnetischen Feldlinien in sich Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -98geschlossen sein müssen (es gibt ja keine magnetischen Ladungen), muss es zu Hz auch weitere magnetische Feldkomponenten in x- und/oder y-Richtung geben. Das H-Feld hat eine Komponente in die Ausbreitungsrichtung, das elektrische Feld ist transversal zur Ausbreitungsrichtung. Es können Wellen bestehen, die alleine durch die elektrische Feldkomponente Ez beschrieben werden können. Die Komponente Ez des Feldes muss an jedem Seitenteil, an der Deckfläche und am Boden Null sein. Sie ist ja durch das Metall kurzgeschlossen und kann nur mπ nπ E z = E 0 sin x sin y a b lauten. Dann liefern die modalen Lösungen − jβ H ∂ Ez − jβ H Ex = 2 = E0 2 2 2 ω εµ − β H ∂x ω εµ − β H − jβ H ∂ Ez − jβ H Ey = 2 = E0 2 2 2 ω εµ − β H ∂y ω εµ − β H mπ mπ cos a a nπ mπ sin b a nπ x sin y b nπ x cos y b ∂ Ez − jω ε jω ε nπ mπ nπ Hx = 2 = E0 2 sin x cos y 2 2 ω εµ − β H ∂y ω εµ − β H b a b ∂ Ez − jω ε − jω ε mπ mπ nπ Hy = 2 = E0 2 cos x sin y 2 2 ω εµ − β H ∂x ω εµ − β H a a b Man spricht von E-Moden oder auch TM-Moden, wobei TM bedeutet, dass das magnetische Feld nur aus x- und y-Komponenten beschrieben wird, also nur aus transversal (senkrecht) zur Ausbreitungsrichtung bestehenden Anteilen besteht. Die modalen Lösungen zeigen, dass es zu Ez auch weitere elektrische Feldkomponenten in x- und/oder y-Richtung geben muss. Das E-Feld hat eine Komponente in die Ausbreitungsrichtung, das magnetische Feld ist transversal zur Ausbreitungsrichtung. 13.2 Cutoff-Frequenz und Hochpass-Eigenschaften Setzt man die eben hergeleiteten Feldkomponenten in die Wellengleichungen ein, erhält man 2 2 mπ nπ + + β a b 2 H = ω 2ε µ 2 und durch umstellen der Gleichung 2 mπ nπ , wobei zu beachten ist, dass die ungedämpfte Ausbreitung β H = ω εµ − − a b nur dann auftreten kann, wenn der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante, positiv ist. Die Frequenz, ab welcher die verlustlose Ausbreitung auftritt, ist 2 2 2 2 2 c0 mπ nπ mπ nπ ωc = + = + und für leere (oder luftgefüllte) εµ a ε rµ r a b b Hohlleiter gilt nach herausheben von π und anschließendem kürzen gilt 1 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -992 2 c0 m n + . 2 a b Diese für den Hohlleiter charakteristische Frequenz wird Cutoff-Frequenz genannt. Signale mit Frequenzen unterhalb der Cutoff-Frequenz werden stark gedämpft und sind praktisch nicht ausbreitungsfähig. Signale mit Frequenzen oberhalb der Cutoff-Frequenz sind nahezu ungedämpft im Hohlleiter ausbreitungsfähig. • Der Hohlleiter hat die Eigenschaften eines Hochpasses. fc = 13.3 Wellenlänge im Hohlleiter 2 2 2 mπ nπ Setzt man in die Gleichung + + β a b 2 2 4 fc m n ein, + = H = ω ε µ für 2 c0 a b 2π 2 2 und beachtet, dass ω c = 2π f c gilt, erhält man β H = ω 2 − ω c ε µ . Mit β H = gilt endlich λH 1 2 = f 2 − f c ε µ . Um dieses Ergebnis leichter verständlich zu manach kürzen durch 2π : 2 λH 1 chen, soll der Hohlleiter mit Luft (oder Vakuum) gefüllt sein. Dann ist ε µ = 2 und es gilt c0 c0 ohne Hohlleiter, im freien Raum λ 0 = . Drückt man die Wellenlänge im Hohlleiter λ H aus f der Wellenlänge im freien Raum λ 0 aus, liefert das 2 2 ( ( ) ) λH = λ0 f 1 − c f 2 . Der Nenner ist für ausbreitungsfähige Wellen stets kleiner als 1. • Die Wellenlänge im leeren Hohlleiter ist immer größer als die Wellenlänge im leeren Raum. 13.4 Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter Allgemein gilt λ = v ph f , wobei vph die Phasengeschwindigkeit und f die Frequenz der Welle ist. Diese Beziehung gilt immer, also auch im Hohlleiter. Setzt man nun die Wellenlänge im Hohlleiters und die Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter ein, erhält man das scheinbar verblüffende Ergebnis, dass v ph = λ H f = λ0 2 f = c0 2 f f 1 − c 1 − c f f • die Phasengeschwindigkeit im Hohlleiter höher als die Lichtgeschwindigkeit ist. Der Energie- oder Informationstransport erfolgt nicht mit der Phasengeschwindigkeit der Welle, sondern mit der Gruppengeschwindigkeit der Welle. Es gilt die Beziehung 2 v ph v g = c0 . Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -100- 13.5 Feldbilder im Rechteckhohlleiter 13.5.1 Hm,n- oder TEm,n-Moden Bild 130: E-Feld des H10-Modus Bild 131: E-Feld des H20-Modus Bild 132: E-Feld des H30-Modus Bild 133: E-Feld des H01-Modus Bild 134: E-Feld des H02-Modus Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -101- Bild 135: E-Feld des H11-Modus Bild 136: E-Feld des H21-Modus Bild 137: E-Feld des H22-Modus 13.5.2 Em,n- oder TMm,n-Moden Bild 138: H-Feld des E11-Modus Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -102- Bild 139: H-Feld des E21-Modus Bild 140: H-Feld des E31-Modus Bild 141: H-Feld des E32-Modus 13.6 Hohlleiter-Bauelemente 13.6.1 Hinterdrehter Flansch 13.6.2 E- und H-Krümmer 13.6.3 Twist, flexible Twist 13.6.4 Richtkoppler 13.6.5 Zirkulator 13.6.6 Isolator Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -103- 14 Antennen Antennen sind elektromagnetische Wellentypwandler. Sie wandeln leitungsgeführte elektromagnetische Wellen in Freiraumwellen bzw. elektromagnetische Freiraumwellen in leitungsgeführte Wellen um. Betrachtet man die Antenne im Sende- und Empfangsfall, ist theoretisch kein Unterschied in ihrer Wirkungsweise. Allein auf Grund von hohen Leistungen im Sendebetrieb ist darauf zu achten, dass die auftretenden Ströme in der Antenne verarbeitet werden können und dass hohe Spannungen nicht zur Funkenbildung führt. 14.1 Kenngrößen von Antennen 4π A G[ dBi ] = 10 log 2 λ l G[ dBi ] = 8.1 log + 11.4 λ d G[ dBi ] = 20 log + 7.3 λ Yagi-Uda-Antenne /5/ Parabolantenne /5/ IEEE microwave magazine for the Microwave & Wireless Engineer, Vol 12, Number 4, 2001, pp 62 - 73 14.2 Wellenausbreitung 14.2.1 Die Freiraumdämpfung Bei der Bestimmung der Freiraumdämpfung geht man vom isotropen Strahler aus, der richtungsunabhängig die Sendeleitung PS kugelförmig abstrahlt. Dann erhält man in der Entfernung r die Leistungsdichte PS W T= ..... m 2 4π r 2 Dabei wird nicht berücksichtigt, dass das Ausbreitungsmedium verlustbehaftet sein kann. Die Dämpfung durch atmosphärischen Besonderheiten (Dämpfung durch H2O in Form von Wasserdampf, Nebel oder Regen, die Dämpfung durch die Absorption von O2 und Ähnliches) ist unberücksichtigt. Die Empfangsantenne, die auch im ersten Berechnungsschritt ein isotroper Strahler im Abstand r von der Sendeantenne sei, empfängt die Leistung entsprechend ihrer wirksamen Antennenfläche AW und man erhält PS [W ] . PE = TAW = AW ..... 4π r 2 Da die Sendeantenne kein isotroper Strahler ist, muss der Gewinn GS berücksichtigt werden und es gilt bei in die Hauptstrahlrichtung ausgerichteten Antennen 2 PS G S PS G S G E λ 2 λ [W ] ..... PE = AW = = PS G S G E 4π r 2 4π r 2 4π 4π r wobei λ die Wellenlänge der benutzten Übertragungsfrequenz ist. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -1042 2 c λ = 0 entspricht dem Kehrwert der Freiaumdämpfung und wird in der Praxis in 4π r f 4π r dB angegeben, wobei eine Zahlenwertgleichung entsteht, da die Frequenz meistens in GHz und die Entfernung in km eingesetzt wird. Man erhält 2 c0 1 c0 1 1 1 1 = = 4π 1012 f a F 4π 109 f[GHz ] 103 r[ km ] [ GHz ] r[ km ] - 10 log a F = 20 log 2 c0 + 20 log f [GHz ] + 20 log r[ km ] 4π 1012 [ m / s ] a F [ dB ] = 92.4 + 20 log f [GHz ] + 20 log r[ km ] und für die Empfangsleistung gilt PE[ dBm ] = PS [ dBm ] + G S [ dBi ] + G E[ dBi ] − a F [ dB ] oder PE[ dBm ] = PS [ dBm ] + G S [ dBi ] + G E [ dBi ] − 92.4 − 20 log f [GHz ] − 20 log r[ km ] Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -105- 15 Rauschen PN = kTB Ts = Tr + Ta Ts Tr Ta Rauschleistung Rauschtemperatur des Systems Rauschtemperatur des Empfängers (receiver) Rauschtemperatur der Antenne NF Tr = 290 10 10 − 1 /5/ NF Rauschzahl (noise figure) des Enpfängers SNR = Pr − Pn = Pt + Gt + L + Gr − Pn Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -106- 16 HF-Anwendungen 16.1 Funknavigation 16.1.1 Peilsender 16.1.1.1 Vorwärts einschneiden 16.1.1.2 Rückwärts einschneiden 16.1.2 Radar Dämpfung (path loss) /5/ η d 2λ 2 L[ dB ] = 10 log 2 4 , wobei (16π ) r d Durchmesser des rückstrahlenden Objekts λ Wellenlänge des gesendeten Signals r Abstand zwischen Sender und Objekt η „Wirkungsgrad“ der reflektierenden Fläche 16.1.3 Navstar Global Positioning System (Navstar GPS) 16.1.4 LORAN 16.2 Radio Frequency Identificaction RFID Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -107- 17 Anhänge 17.1 Summensätze Aus cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β ) cos(α − β ) = cos(α ) cos( β ) + sin(α ) sin( β ) liefert die Addition cos(α + β ) + cos(α − β ) = 2 cos(α ) cos( β ) Durch Umformen erhält man schließlich cos(α ) cos( β ) = cos(α − β ) + cos(α + β ) 2 . Die Subtraktion liefert cos(α − β ) − cos(α + β ) = 2 sin(α ) sin( β ) Durch Umformen erhält man schließlich sin(α ) sin( β ) = cos(α − β ) − cos(α + β ) 2 Aus sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β ) sin(α − β ) = sin(α ) cos( β ) − cos(α ) sin( β ) liefert die Addition sin(α + β ) + sin(α − β ) = 2 sin(α ) cos( β ) Durch Umformen erhält man schließlich sin(α ) cos( β ) = sin(α − β ) + sin(α + β ) 2 . 17.2 Potenzen von cos(x) und sin(x) Mit Hilfe der komplexen Rechnung und dem binomischen Lehrsatz erhält man n e jx + e − jx n 1 1 n n 1 n n n = n e jx + e − jx = n ∑ e jkx e − j ( n − k ) x = n ∑ e j ( 2 k − n ) x . cos ( x) = 2 2 2 k= 0 k 2 k= 0 k Ebenso gilt n e − jx + e jx 1 − jx 1 n n − jkx j ( n − k ) x 1 n n j ( n− 2k ) x n jx n cos ( x) = = n ∑ e e = n ∑ e = 2n e + e k 2 2 2 k= 0 k k = 0 cos n ( x) + cos n ( x) = 1 cos ( x) = n 2 n 1 2n ( ) ( ) n 1 ∑k = 0 k e j ( 2k − n ) x + 2 n n n 1 ∑k = 0 k e j ( n− 2k ) x = 2 n n n e j ( n− 2k ) x + e − j ( n− 2k ) x 1 = n ∑k = 0 k 2 2 n Hochfrequenztechnik - ENTWURF n j ( n− 2k ) x e + e − j ( n− 2k ) x k= 0 k n ∑ ( ) n cos( n − 2k ) x k= 0 k n ∑ Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -108Allgemein gilt cos n ( x) = 1 2n n cos( n − 2k ) x k= 0 k n ∑ . An Hand dieser Gleichung erkennt man, dass bei geradzahligen n nur geradzahlige und bei ungeraden n nur ungeradzahlige Vielfache von x im Argument auftreten. Weiters kann man n 2 n cos n ( x) = cos(nx) + 0 n cos((n − 1 n unter der Berücksichtigung, dass = k fassen. Dann gilt für gerades n: n n cos((− n + 2) x ) + cos(− nx ) 2) x ) + ... + n − 1 n n und cos( x ) = cos(− x) gilt, weiter zusammen n − k n n n + cos((n − 2) x) + ... + n = 1 n − 1 2 n n n = 2 cos(nx) + 2 cos((n − 2) x) + ... + n 0 1 2 n n 1 2 n n cos ( x) = n − 1 ∑ cos((n − 2k ) x ) + n für gerades n 2 k= 0 k 2 n n 2 cos ( x) = + cos(nx) + 0 n n n Für ungerades n gilt n n 2 cos ( x) = + cos(nx ) + 0 n n n n n n n + cos((n − 2) x) + ... + n − 1 + n + 1 cos( x) = 1 n − 1 2 2 n = 2 cos(nx) + 0 cos n ( x) = 1 2 n− 1 n 2 cos((n − 2) x) + ... + 1 n 2 n − 1 cos( x ) 2 n− 1 2 n cos((n − 2k ) x) für ungerades n k= 0 k ∑ 17.3 Taylorreihe 17.4 Klirrfaktor Der Klirrfaktor k beschreibt das quadratische Verhältnis zwischen der Leistung im Störsignal und der tatsächlich vorhandenen Leistung im Gesamtsignal. P k 2 = stör Pges Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -109- 17.5 Skineffekt ∂D ∂B , rot E = − , div D = ρ wa und div B = 0 ∂t ∂t sowie aus den Materialgleichungen S = κ E , D = ε E und B = µ H erhält man für zeitlich ∂ harmonische Vorgänge ( = jω ) rot H = ( κ + jω ε ) E und nach nochmaliger rot-Bildung ∂t und Multiplikation mit µ : rotrot µ H = rotrot B = µ ( κ + jω ε ) rot E = − jω µ ( κ + jω ε ) B . Aus den Maxwell-Gleichungen: rot H = S L + ( ) Es gilt rotrot () = graddiv () − ∇ () . (mit Nabla-Operatoren im dreidimensionalen Raum: 2 ( ) ∇ × ∇ × F = ∇ ∇ F − ( ∇ ∇ ) F ). Mit dieser Identität wird die obige Gleichung zu graddiv B − ∇ 2 B = − jω µ ( κ + jω ε ) B , und da ja die vierte Maxwellgleichung zu erfüllen ist, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu ∇ 2 B − jω µ ( κ + jω ε ) B = 0 . In kartesischen Koordinaten und ohne weitere Einschränkung der Allgemeinheit liefert die ∂2 ∂2 ∂2 2 + + Identität ∇ = und der Produktansatz B = B 0 e − λ x die charakteristische Glei∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 1+ j ωε ω µ κ 1+ j . Für Materialien, in welchen κ 2 der Verschiebungsstrom, gegenüber dem Leitungsstrom vernachlässigbar gering ist, gilt ωµκ x ωµκ − ( 1+ j ) x − ( 1+ j ) . und schließlich λ = (1 + j ) 2 δ B = B e = B e 0 0 2 chung λ 2 − jω µ ( κ + jω ε ) = 0 bzw. λ = δ = 2 1 = ωµκ λ Aus der Größe der magnetischen Induktion B kann die Leitungsstromdichte S L berechnet werden. Dazu wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit eine magnetische Induktion nur in ∂ Bz ex ey ez ex e y ez ∂y ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ Bz = = − z-Richtung herangezogen: S L = rot H = . ∂x ∂y ∂z µ ∂x ∂y ∂z µ ∂x 0 Hx H y Hz 0 0 Bz Da die Induktion in y-Richtung konstant ist, entsteht nur ein Strom in y-Richtung. Seine Dichte ist x x − ( 1+ j ) − ( 1+ j ) 1 ∂ B z B0 z (1 + j ) e δ = H 0 z (1 + j ) e δ . S Ly ( x) = − = µ ∂x µδ δ Der Leiter sei unendlich dick. Dann liefert die Integration über die Querschnittsfläche den Strom im Leiter: x ∞ − ( 1+ j ) H δ I = 0 z (1 + j ) w ∫ e dx = H 0 z w δ 0 x und man erhält schließlich für die Stromdichte S ly ( x) = Hochfrequenztechnik - ENTWURF − ( 1+ j ) I (1 + j ) e δ wδ Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -110Sρ S * erhält man die Verlustleistung im Leiter. 2 x x x ∞ − ( 1+ j ) − ( 1− j ) −2 I I* ρ II * δ δ δ (1 + j ) e (1 − j ) e dx = wLD 2 2 ∫ e dx wδ wδ 2 wδ 0 Aus der Wirkleistungsdichte p = P= ρ 2 * ∫ ∫ ∫ SS dV = V ∞ ρ wLD ∫ 2 0 1 * ρ LD I 2 R II * R 2 P = II . Der Koeffizientenvergleich mit P = U eff I eff = I eff R = liefert = 2 2 wδ 2 2 R= ρ LD 2wδ Die effektive Querschnittfläche eines unendlich dicken, ebenen, wechselstromdurchflossenen Leiters ist A.eff = 2wδ . 17.6 Koordinatensysteme In diesem Abschnitt werden nur dreidimensionale Koordinatensysteme zur Beschreibung der Lage eines Punktes im Raum betrachtet. Bild 142: Koordinaten im Raum 17.6.1 Kartesisches Koordinatensystem Die Lage des Punktes kann durch die Lage des Punktes P’ in der x-y-Ebene und seines Normalabstandes z von dieser Ebene festgelegt werden. Die Einheitsvektoren sind unbeweglich im Raum angeordnet. Sie haben die Länge 1 und zeigen in die Richtung der Raumachsen. Wird P’ durch die Achsabstände x und y beschrieben, spricht man von kartesischen Koordinaten. Die Lage des Punktes P kann durch die Koordinatenabschnitte auf der x-Achse, y-Achse und z-Achse eindeutig angegeben werden. Schreitet man entlang des Weges s, gilt für ein differentielles Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -111• Wegelement • Flächenelement • Volumenelement ds = dxe x + dye y + dze z , für ein dA = dxdye z + dxdze y + dydze x und für das dV = dxdydz . 17.6.2 Zylinderkoordinaten Wird die Lage des Punktes P’ in der x-y-Ebene durch seinen Abstand vom Ursprung 0P’ und den Winkel φ beschrieben, spricht man in der x-y-Ebene von Polarkoordinaten. Soll der Punkt P im Raum definiert werden, muss zum Abstand und Winkel noch die Entfernung von der zy-Ebene herangezogen werden. 17.6.3 Kugelkoordinaten 17.7 Das zweikreisige Bandfilter mit unterschiedlichen Kreisen 17.8 Die Gleichrichtung kleiner Spannungen 17.9 Der Detektorempfänger bei kleinen Signalen 17.10 90°-Phasenschiebernetzwerk für Sprachsignale Bild 143: 90°-Phasenschieber für den Sprachsignal-Frequenzbereich Werden die Eingänge in1 und in2 an eine Spannungsquelle mit der Spannung UA angeschlossen, und die Eingänge in3 und in4 an eine Spannungsquelle mit der gleichen Amplitude, aber um 180° phasenverschoben („invertiert“) verbunden, so ist die Phasenverschiebung zwischen den Ausgängen out2 und out1 90°, zwischen out3 und out1 180° und zwischen den Ausgängen out4 und out1 270°. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -112- 17.11 Kapazität typischer Elektrodenanordnungen 17.11.1 Kugelelektrode 17.11.1.1 C = 4π ε r0 Q ϕ = 4π ε r Einzelne Kugel gegenüber Unendlich E = Q 4π ε r 2 17.11.1.2 Kugelelektroden in großen Abstand 4π ε C≈ 1 1 2 + − r1 r2 d ϕ ≈ Q 1 1 − 4π ε x d − x E ≈ Q 4π ε 1 1 2 + 2 x ( ) d − x 17.11.1.3 Kugelkondensator 1 C = 4π ε − r1 Q 1 − ϕ = 4π ε r1 1 4π ε r1 r2 = r2 r2 − r1 17.11.2 Zylinderelektrode 17.11.2.1 Langer koaxialer Zylinderkondensator 17.11.2.2 Langer, nicht koaxialer Zylinderkondensator 17.11.2.3 Koaxialer Zylinderkondensator mit geschichteten Dielektrika 17.11.2.4 Einzelleiter über leitender Ebene 17.11.2.5 Lange Paralleldrahtleitung mit unterschiedlichen Durchmesser 17.11.2.6 Lange Paralleldrahtleitung mit gleichen Durchmesser 17.11.2.7 Endlich langes Drahtstück senkrecht zu leitender Ebene 17.11.2.8 Endlich langes Drahtstück parallel zu einer leitenden Ebene 17.12 Induktivität typischer Leiteranordnungen 17.12.1 Zwei parallele zylindrische Leiter L= µ π l ln 1 4π ε r1 r2 = r2 r2 − r1 E = Q 4π ε r 2 1 + r1 r2 4 d Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -113- 17.12.2 L= Zwei rechteckige, nahe beieinander liegende Leiter 2µ b l ln 1 + π b+ h 17.12.3 Lange koaxiale Leiter 4 µ r1 µ 3 r2 l µ1 L= l+ l ln + 8π 8π r0 2π r2 2 − r1 2 ( Hochfrequenztechnik - ENTWURF ) 2 ( )( r2 3r2 2 − r1 2 r2 2 − r1 2 ln − 4 r 4r2 1 Januar 2016 ) © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -114- 17.13 Taschenrechner-Programme am TI-84 In diesem Abschnitt sind einige Programmlistings von hilfreichen Programmen, die am HP42s, HP48, HP50, TI-84 und TI-nspire entwickelt wurden, zusammengestellt. 17.13.1 Optimale Widerstandswerte bei Serienschaltung :ClrHome:Disp “OPTIMAL VALUES“:DISP ““ :Input “ R : “,R:0→E:1→I:abs(R)→R :While R≥10:.1R→R:E+1→E:End :While R<1:10R→R:E-1→E:End:E→G :{1,1.2,1.5,1.8,2.2,2.7,3.3,3.9,4.7,5.6,6.8,8.2,10}→L1 :While R≥L1(I):I+1→I:End :I-1→I:L1(I)→S:R-S→T:100→F :If T>0:Then :1→J:While T<1:10T→T:G-1→G:End :While T≥10:.1T→T:G+1→G:End :While T≥L1(J):J+1→J:End :If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End :L1(J)→T:End :100((S-R)+T10^(G-E))/R→F:E→D :S10^E→A:T10^G→B:F→C :While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E *) :I-1→I:If I≤0:Then :dim(L1)-1→I:D-1→D:End :L1(I)→S:R-S10^(D-E)→T:E→G :While T<1 and T>0:10T→T:G-1→G:End :1→J:While T≥L1(J) and T>0:J+1→J:End :If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End :L1(J)→T:100(S10^(D-E)+T10^(G-E))/R-1)→F :If abs(F)≤abs(C):Then :F→C:S10^D→A:T10^G→B:End:End :Output(4,3,“R1 =“):Output(4,8,A) :Output(5,3,“R2 =“):Output(5,8,B) :Output(6,3,“F =“):Output(6,8,C) :Disp ““: Disp ““:Disp ““ Anmerkung: Dieses Programm berechnet jene Widerstandskombination, welche die kleinste Abweichung zwischen R und R1+R2 aufweist. Ist der Eingabewert bereits ein Wert aus der Reihe die in L1 gespeichert ist, wird keine Widerstandskombination berechnet. Sind zwei Kombinationen gleichwertig (z.B. 112Ω = 100Ω + 12Ω = 56 Ω+ 56Ω) wird die Kombination ausgegeben, bei der die Widerstandswerte am weitesten auseinander liegen. Wird die mit *) markierten Zeile durch :While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E ersetzt, berechnet das Programm die Widerstandskombination, deren Werte möglichst nahe beieinander liegen. Dabei ist auch die Möglichkeit gegeben, dass beim Sollwert 100Ω die Werte 82Ω + 12Ω errechnet werden. Die Kombination 82Ω und 12Ω liegt zueinander näher als 100Ω und 0Ω. Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -115- 17.13.2 Optimale Widerstandswerte bei Serien- und Parallelschaltung :{1,1.2,1.5,1.8,2.2,2.7,3.3,3.9,4.7,5.6,6.8,8.2,10}→L1 :Repeat R>0: :ClrHome:Disp “OPTIMAL VALUES“ :Input “ R : “,R:End:0→Z :Repeat Z>1:0→E:1→I :While R≥10:.1R→R:E+1→E:End :While R<1:10R→R:E-1→E:End:E→G :While R≥L1(I):I+1→I:End :I-1→I:L1(I)→S:R-S→T:1→F :If T>0:Then :1→J:While T<1:10T→T:G-1→G:End :While T≥10:.1T→T:G+1→G:End :While T≥L1(J):J+1→J:End :If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End :L1(J)→T:End :((S-R)+T10^(G-E))/R→F:E→D :S10^E→A:T10^G→B:F→C :While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E *) :I-1→I :If I≤0:Then:dim(L1)-1→I:D-1→D:End :L1(I)→S:R-S10^(D-E)→T:E→G :While T<1 and T>0:10T→T:G-1→G:End :1→J:While T≥L1(J) and T>0:J+1→J:End :If L1(J)-T>T-L1(J-1):Then:J-1→J:End :L1(J)→T:((S10^(D-E)+T10^(G-E))/R-1)→F :If abs(F)≤abs(C):Then :F→C:S10^D→A:T10^G→B:End:End :If Z:Then :A-1→A:(B+e-20)-1→B:-C→C :Output(6,1,“R1P =“):Output(7,1,“R2P =“) :Output(8,2,“FP =“):Else :Output(3,1,“R1S =“):Output(4,1,“R2S =“) :Output(5,2,“FS =“):End :Output(3+3Z,7,A):Output(4+3Z,7,B) :Output(5+3Z,7,100C) :Z+1→Z:(R10^E)-1→R:10L1-1→L1:SortA(L1):End Anmerkung: Dieses Programm berechnet je eine Widerstandskombination für die optimale Auswahl zweier Widerstände aus der Normreihe E12 so, dass sowohl bei der Serienschaltung aus R1S und R2S als auch bei der Parallelschaltung von R1P und R2P die kleinste Abweichung zwischen dem Sollwert R und der jeweiligen Widerstandskombination auftritt. Ist der Eingabewert bereits ein Wert aus der Reihe E12 die in L1 gespeichert ist, wird keine Widerstandskombination berechnet. Sind zwei Kombinationen gleichwertig (z.B. 112Ω = 100Ω + 12Ω = 56 Ω+ 56Ω) wird die Kombination ausgegeben, bei der die Widerstandswerte am weitesten auseinander liegen. Wird die mit *) markierten Zeile durch :While abs(F)>0 and 2S10^D≥R10^E Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -116ersetzt, berechnet das Programm die Widerstandskombination, deren Werte möglichst nahe beieinander liegen. Dabei ist auch die Möglichkeit gegeben, dass beim Sollwert 100Ω die Werte 82Ω + 12Ω errechnet werden. Die Kombination 82Ω und 12Ω liegt zueinander näher als 100Ω und 0Ω. Da die Anzeige am Taschenrechner im Programmausdruck zwischen Speicherplatz E und dem Befehl Enter Exponent E (mit der Tastenbeschriftung EE) nur durch die Schriftgröße unterscheidet, ist es unumgänglich, die Programmzeile :A-1→A:(B+e-20)-1→B:-C→C näher zu erläutern. Die Sequenz e-20 bedeutet die Tastenfolge EE (-) 2 0 und bedeutet die Zahl 10-20. 17.13.3 Einlagige Zylinderspule :ClrHome:Disp “SINGLE LAYER COIL“:Disp““ :Input ”D CORE(MM):”,D:Input ”LENGTH(MM): ”,E :Input ”D Wire(MM):”,F:Input ”WINDGS : ”,N :Disp ””:E/N-F→A :If A<0:Then :Output(6,1,”MISSING SPACE”) :Else :Output(6,1,”GAP =”):Output(6,8,A) :D+F→X:2.18N2X/(2.2E/X+1)→L :Output(7,1,”L0(NH)= ”):Output(7,8,L) :A/X→X:((-.02211X+.3463)X-.3981)N(D+F)→Y :(Y+L)e-9→L :Output(7,1,” L(NH)=”):Output(6,8,Le9) 17.13.4 Einlagige Flachspule :ClrHome:Disp ”FLAT SPIRAL COIL”:Disp ”” :Input ”DOUT(MM):”,D:Input ”PITCH(MM):”,S :Input ”WINDGS :”, N:Disp ”” :2.15e-9N2(D-NS)2/(D+1.72NS)→L :Output(6,1,”L(NH) =”):Output(6,8,Le-9) 17.13.5 Einlagige Rechteckspule :ClrHome:Disp ”RECTANGULAR COIL”:Disp ”” :Input ”A(M) : ”, A:Input ”B(M) : ”,B:Input ”D(M) : ”, D :.7788D/2→G:(Aln(2AB/G/(√(A2+B2)+A))+Bln(2AB/G(√(A2+B2)+B))+ 2(√(A2+B2)-A-B+G))4e-7→L :Disp ””:Disp ”” :Output(7,1,”L(H) =”):Output(7,8,L) 17.13.6 Komplexe Π-T-Transformation :ClrHome:Disp ” PI TO T” Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -117:Input ”Z12:”,A:Input ”Z13:”,B:Input ”Z23:”,C :Disp ””:Disp ”” :Output(5,1”Z1 =”):Output(5,5,AB/(A+B+C)) :Output(6,1,”Z2 =”):Output(6,5,AC/(A+B+C)) :Output(7,1,”Z3 =”):Output(7,5,BC/(A+B+C)) 17.13.7 Komplexe T-π-Transformation :ClrHome:Disp ” T TO PI” :Input ”Z1 :”,A:Input ”Z2 :”,B:Input ”Z3 :”,C :Disp ””:Disp ”” :Output(5,1,”Z12=”):Output(5,5,A+B+AB/C) :Output(6,1,”Z13=”):Output(6,5,A+C+AC/B) :Output(7,1,”Z23=”):Output(7,5,B+C+BC/A) 17.13.8 Duale Impedanz :ClrHome:Disp ” DUAL IMPEANCE”:Disp C :Input ”Z :”,A:Output(5,1,”ZD =”) :If abs(A)=0:Then:Output(5,5,”INFINITE”):Stop:End :If real(A)imag(A)=0:Then:Output(5,5,A):Stop:End :Output(5,5, abs(A)2(real(A)-1+i/imag(A))) 17.13.9 Transformation von Zl nach Zin mit L und C :ClrHome:Disp ”MATCH ZL WITH LC”:0→C :Input ” ZL : ”,A:Input ”ZIN : ”,B :If real(A)real(B)=0:Then :Output(5,2,”NOT REALIZABLE”):Stop:End :Lbl 01 :(imag(A)real(B))2-abs(A)2(real(B)-real(A))real(B)→D :If D<0:Then :conj(A)→D:conj(B)→A:D→B:1→C:Goto 01: :If real(A)=real(B):Then :1e99→Q:Q→R:imag(B-A)→S:S→T :Else :(-imag(A)real(B)+√(D))/real(B-A)→Q :(-imag(A)real(B)-√(D))/real(B-A)→R :imag(B)-Q+real(B)/real(A)(imag(A)+Q)→S :imag(B)-Q+real(B)/real(A)(imag(A)+R)→T:End :Disp ““:Disp““ :Disp ““:Disp““ :If C=1:Then:conj(A)→C:conj(B)→A:C→B :Output(3,1,”XS1=”):Output(3,5,S) :Output(4,1,”XQ1=”):Output(4,5,Q) :Output(5,1,”XS2=”):Output(5,5,T) :Output(6,1,”XQ2=”):Output(6,5,R) :Else Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -118:Output(4,1,”XS1=”):Output(4,5,S) :Output(3,1,”XQ1=”):Output(3,5,Q) :Output(6,1,”XS2=”):Output(6,5,T) :Output(5,1,”XQ2=”):Output(5,5,R):End :Output(7,1,”ZIN=”) :Output(2,1,”ZL =”):Output(2,5,A) 17.13.10 Transformation von Zl nach Zin mit einer Leitung :ClrHome:Disp ”MATCH ZL TO ZIN”:Disp ”” :Input ” ZL : ”,B:Input ”ZIN : ”,A :Disp ””:Disp ”” :If real(A-B):Then:imag(AB)→D :√(real(AB)-Dimag(A-B)/real(A-B))→C :If imag(C)=0:Then :Output(5,1,” ZW =”):Output(5,8,C) :If D=0:Then:.25→D :Else:tan-1(Creal(A-B)/D)/(8tan-1(1))→D:End :While D<0:D+.5→D:End :While D≥.5:D-.5→D:End :Output(6,1,”L/LAM=”):Output(6,8,D) :Else:Output(6,1,”CANT BE MATCHED”):End :Else:Output(6,1,” MAKE RIN ≠ RL”):End 17.13.11 Mikrostrip-Analyse und Synthese :ClrHome:Disp ”MICROSTRIP-LINE”:Disp ”” :Menue(””,”ANALYSE”,1,”SYNTHESE”,2) :Lbl 1: :Input ” W : ”,W:Input ” H : ”,H :Input ” T : ”,T:Input ” E,R : ”,E :T+1E-9→T:W/H→V :If >V>2-1π-1:Then:V+T(1+ln(2H/T)/πH)→V :Else:V+T(1+ln(4πW/T)/(πH)→V:End :If V≤1:Then:(E+1+(E-1)(1/√1+12/V)+.04(1-V)2))/2→F :60ln(8/V+V/4)/√(F)→Z :Else :(E+1+(E-1)(1/√1+12/V))/2→F :120π/(√(F)*(v+1.393+.667ln(V+1.444)))→Z:End :Output(6,1,”E,EFF =”):Output(6,9,F) :Output(7,1,” ZW =”):Output(7,9,Z) :Goto 3 :Lbl 2 :Input ” ZW : ”,Z:Input ” E,R : ”,E :Input ” T : ”,T:Input ” H : ”,H :T+1E-9→T:Z/60√((E+1)/2)+(E-1)/(E+1)(.23+.11/E)→A :8e^(A)/(e^(2A)-2)→V :If V>2:Then:60π2/(Z√(E))→B :2(B-1-ln(2B-1)+(E-1)/(2E)(ln(B-1)+.39-.61/E))/π→V Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -119:End :If 2πV>1:Then:V-T(1+ln(2H/T)/π/H→V :Else:V-T(1+ln(4πW/T)/π/H→V:End :VH→W :Output(6,1,” W/H =”):Output(6,9,V) :Output(7,1,” W =”):Output(7,9,W) :Lbl 3 17.13.12 Arbeitspunkteinstellung eines Bipolartransistors :ClrHome: Disp “ BJT-BIAS-POINT“,““ :Input „TMIN:“,A :Input „TMAX:“,B:Input „T0 :“,C :Input “UB :”,M :ClrHome :Input „DUBE/DT:“,D :Input „UBEMIN:“,E:Input „UBEMAX:“,F :Input “BMIN :”, G: Input “BMAX :”, H :E+D(B-C)→Z:F+D(A-C)→Y :G*1.01^(A-C)→W:H*1.01^(B-C)→V :ClrHome:Fix 3:Normal :Output(3,1,“UBETMIN=“):Output(3,9,Y) :Output(4,1,“UBETMAX=“):Output(4,9,Z):Fix 1 :Output(5,1,“BTMIN =“):Output(5,9,W) :Output(3,1,“BTMAX =“):Output(6,9,V) :Input „ITETMIN:“, I:Input „IETMAX:“,J :ClrHome:Lbl P :Input „RS:“, K:Input „RE:“,L :ClrHome:Fix 2:Eng:If L≤0:Return :(Z-Y+L(J-I))/(I/(1+W)-J/(1-V))→U:Fix 2:Eng :Output(3,1,“R12=“):Output(3,6,U) :U/(1+V)+L)J+Z→T:Fix 3 :Output(4,1,“UH =“):Output(4,6,T):(U-K)/TM→S:Fix 2 :Output(5,1,“R1 =“):Output(5,6,S):ST/(M-T)→R :Output(6,1,“R2 =“):Output(6,6,R):M/(I+J)-L/2→Q :Output(7,1,“RC =“):Output(7,6,Q):M-(Q+L)(I+J)/2→P :Output(8,1,“UCE=“):Output(8,6,P):Pause „<ENTER> TO CONT:“ :Normal:Fix 3:ClrHome: :Output(3,1,“S,TMIN=“):Output(3,9,I/(A+273.16)11609) :Output(4,1,“S,TMAX=“):Output(4,9,J/(B+273.16)11609) :Goto P 17.14 Taschenrechnerprogramme am Tinspire 17.14.1 Optimale Widerstandswerte bei Serien- und Parallelschaltung Define LibPub e12(r)= Prgm Local r0, ra, rb, r1, r2, e1, e2, ea, eb, err, del, w Local i, j, k, m w:={1.,1.2,1.5,1.8,2.2,2.7,3.3,3.9,4.7,5.6,6.8,8.2,10.0} r0:=1.0*|r| For m, 1, 2 If r0>0 Then If m=2 Then: r:=r^-1: w:=w^-1: SortA w: EndIf Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -120r0:=|r0|: e0:=0: i:=1 While r0<w[1]: e0:=e0-1: r0:=10*r0: EndWhile While r0>=w[dim(w)]: e0:=e0+1: r0:=0.1*r0: EndWhile While w[i]<=r0: i:=i+1: EndWhile err:=|r| For j, i-1-(dim(w)-1)/4, i-1 ra:=w[mod(j-1, dim(w)-1)+1] If j<1: ra:=0.1*ra rb:=r0-ra: eb:=e0: k:=1 If rb>0 Then While rb<=w[1]: eb:=eb-1: rb:=10*rb: EndWhile While w[k]<=rb: k:=k+1: EndWhile If w[k]-rb<rb-w[k - 1] Then: rb:=w[k]: Else: rb:=w[k-1]: EndIf del:=(ra-r0)*10^e0+rb*10^eb If |del|<|err| Then err:=del: r1:=ra: r2:=rb: e2:=eb EndIf EndIf EndFor If m=1 Then Disp r0*10^e0, " = ", r1*10^e0, " + ", r2*10^e2, ", ", 100*err/ r0*10^e0), "%" Else Disp 1.0*r0^-1*10^-e0, " = ", 1(r1*10^e0, " // ", 1/(r2*10^e2, ", ", -100*err*((r0*10^e0), "%" EndIf EndIf EndFor EndPrgm Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling -121- 18 Literaturverzeichnis (1) E. Philippow: Taschenbuch Elektrotechnik, VEB Verlag Technik Berlin, 1976 (2) J. Detlevsen, U. Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik, 3. Auflage, OldenburgVerlag, München, 2009 (3) G. Gonzales: Microwave Transistor Amplifiers, Analysis and Design, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 07632, 1984 (4) Pieter L.D. Abrie: The Design of Impedance - Matching Networks for Radio-Frequency and Microwave Amplifiers, Artech House, Inc., 610 Washington Street, Dedham, MA 02026, 1985. (5) Allen Katz, Marc Franco: „Targeting the Moon“, IEEE Microwave Magazine for the Microwave & Wireless Engineer, Vol. 12, Number 4, 2011, pp 62 - 73 Hochfrequenztechnik - ENTWURF Januar 2016 © Dipl. Ing. Dr. Peter Fröhling
