4.¨Ubung zur Mathematik für Informatiker I

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. G. Dirr
PD Dr. K. Hüper, S. Mutzbauer
Winterersemester
2009/2010
Würzburg, den 12.11.2009
4. Übung zur Mathematik für Informatiker I
4.1. (a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die folgende Identität gilt:
1+
n
X
4k 3 − 6k 2 + 4k − 1 = n4 .
k=0
(b) Bestimmen Sie alle n ∈ N, welche die Abschätzung n2 ≤ 2n erfüllen. (3+3 Punkte)
4.2. Sei n ∈ N0 := N ∪ {0}. Wir bezeichnen im Weiteren mit n! die Fakultät von n, d.h.
0! := 1
und
n! := 1 · 2 · · · · · (n − 1) · n. (∗)
Ferner definieren wir für n, k ∈ N0 und k ≤ n den Binomialkoeffizienten
n
n!
.
:=
k!(n − k)!
k
n
k
wie folgt
Zeigen Sie:
(a) Für n, k ∈ N, und 1 ≤ k ≤ n gilt:
n
n
n+1
+
=
.
k−1
k
k
(b) Für alle n ∈ N und alle a, b ∈ R gilt:
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
ak bn−k .
(3+3 Punkte)
4.3. Sei p ∈ N und bezeichne ∼p die durch
x ∼p y :⇐⇒ p(x − y)
definierte Äquivalenzrelation auf Z. Weiterhin bezeichne [n] die Äquivalenzklasse von n ∈
Z und Zp die Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. ∼p . Wir definieren auf Zp die folgende
Addition bzw. Multiplikation
(∗) [n] + [m] := [n + m]
und
(∗∗) [n] · [m] := [n · m].
Dabei bezeiche + und · innerhalb der eckigen Klammern die normale Addition bzw. Multiplikation von ganzen Zahlen.
Hinweis: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass Zp genau p verschiedene Elemente enthält,
nämlich Zp = {[0], [1], . . . , [p − 1]}. Wir bezeichnen im Weiteren 0, 1, . . . , p − 1 als die
kanonischen Repräsentanten der Äquivalenzklassen von ∼p .
(a) Ergänzen Sie die folgenden Additions- und Multiplikationstabellen für Z3 und Z4 .
Verwenden Sie hierfür nur die Symbole [0], [1], [2] bzw. [0], [1], [2], [3].
· [0] [1] [2]
[0] [0]
[1]
[2]
[2]
+ [0] [1] [2]
[0] [0]
[2]
[1]
[2]
[1]
· [0] [1] [2] [3]
[0] [0]
[1]
[2]
[2]
[3]
[3]
+ [0] [1] [2] [3]
[0]
[1]
[1]
[2] [2]
[1]
[3]
(b) Untersuchen Sie z.B. mit Hilfe der obigen Additions- und Multiplikationstabellen, ob
es sich bei den beiden Strukturen Z3 und Z4 um kommutative Ringe mit Eins handelt?
(Bemerkung: Auf den Nachweis der Assoziativität und Distributivität dürfen Sie
jeweils verzichten.) Ist eine der beiden Strukturen Z3 oder Z4 sogar ein Körper?
(c) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [2] · x + [2] = [0] in Z3 und Z4 .
(d) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung x2 + [2] · x + [1] = [0] in Z3 und Z4 .
(e∗ ) (Zusatzaufgabe) Zeigen Sie, dass die Definitionen (∗) und (∗∗) wohldefiniert sind,
d.h. dass die definierenden Ausdrücke [n + m] bzw. [n · m] unabhängig von der Wahl
der Repräsentanten n und m sind, oder genauer gesagt, dass [n + m] = [n0 + m0 ] bzw.
[n · m] = [n0 · m0 ], falls [n] = [n0 ] und [m] = [m0 ].
(4+4+2+2+4 Punkte)
Abgabe Ihrer schriftlichen Lösungen zu diesem Blatt bis Mittwoch, den 18.11.2009, 12:00 Uhr
(in dem zuständigen Briefkasten vor der Teilbibliothek Mathematik).
Wichtiger Hinweis:
• Am Buß- und Bettag (Mittwoch 18.11.) entfallen alle Lehrveranstaltungen bis 12:00. Die Übungsteilnehmer der Übungsgruppen Nano3 (Mi 8-10, SE3), Nano4 (Mi 8-10, SE4), TeFun1 (Mi 8-10,
SE7) und TeFun2 (Mi 8-10, SE4) müssen daher in dieser Woche eine der folgenden anderen
Übungsgruppen besuchen:
Nano1
Nano2
Physik1
Physik2
Info1
Info2
(Di 17.11.2009 08:15-09:45, SE3)
(Di 17.11.2009 08:15-09:45, SE5)
(Di 17.11.2009 08:15-09:45, SE II)
(Mi 18.11.2009 15:30-17:00, PR A034)
(Do 19.11.2009 10:00-11:30, SE I)
(Do 19.11.2009 10:00-11:30, SE II)
Physik3
Physik4
Info3
Info4
Info5
(Fr
(Fr
(Fr
(Fr
(Fr
20.11.2009
20.11.2009
20.11.2009
20.11.2009
20.11.2009
08:15-09:45,
08:15-09:45,
08:15-09:45,
13:30-15:00,
15:15-16:45,
SE E08)
S107)
SE II)
SE I)
SE I)