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Vorlesungsskript Elektrodynamik
B. Esser
12. Juni 2008
1
II MAGNETFELD STATIONÄRER STRÖME
UND MAGNETOSTATIK
1 Kontinuitätsgleichung und Stationaritätsbedingung
Zur Beschreibung des Ladungsflusses benötigen wir den Vektor der Stromdichte, oder kurz Stromdichtevektor !j. Der Betrag des Stromdichtevektors
ergibt die Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit durch die Flächeneinheit fließt,
q
die senkrecht zur Stromrichtung steht, j = A·t
( A Querschnitt, t Zeit und q
!
Ladung ). Der Vektor j entsteht, wenn man j mit dem Einheitsvektor in Richtung des Flusses multipliziert. Wegen des Gesetzes der Ladungserhaltung
sind der Vektor !j und die Ladungsdichte " nicht unabhängig voneinander,
sie sind vielmehr über die Kontinuitätsgleichung miteinander verbunden.
Diese Gleichung ist der mathematische Ausdruck der Erhaltung der Ladung
( diese Gleichung gilt in ähnlicher Weise für andere Erhaltungsgrößen, wie
z.B. der Masse ). Zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung betrachten wir die
Bilanz zwischen gesamten Ladungsfluß durch eine geschlossene Fläche S und
der Änderung der von dieser Fläche umschlossenen Ladung Q im Volumen
V . Wegen der Ladungserhaltung gilt dann
!
!j · df! + dQ = 0
dt
S
Wir können diesen Zusammenhang für einen "beliebigen Fluß auch in differentieller
Form darstellen. Die integrale Form !j · df! + dQ
= 0 läßt sich mit
dt
"
Q = "·dV , wo " die Ladungsdichte ist, in die differentielle Form überführen,
wenn man das Flußintegral mit dem mathematischen Gaußschen Satz umformt
!
!
!j · df! =
div!j · dV .
S
V
"
Dann wird V (div!j + ∂"
) · dV = 0, wobei V beliebig ist. Die differentielle
∂t
Form der Kontinuitätsgleichung lautet demnach
∂"
div!j +
=0
∂t
Für den stationären Fall ist die Dichte nicht von der Zeit abhängig, ∂"
= 0,
∂t
und es folgt
div!j = 0 .
Das stationäre Stromdichtefeld !j hat also keine Quellen oder Senken.
19
2 Grundgleichungen des Magnetfeldes stationärer Ströme
1. Grundgleichung
Das magnetische Feld des Stromflusses !j betrachten wir zunächst im Vakuum.
Die erste Grundgleichung des Magnetfeldes stationärer Strome verknüpft das
! mit dem Stromdichtevektor !j
Magnetfeld B
! = µ0 · !j
rotB
! und MaBei Abwesenheit von magnetischen Stoffen können wir Induktion B
!
!
!
gnetfeld H als gleich betrachten und B wie H einfach als Magnetfeld bezeich! = µ0 · H.
!
nen, da ihr Unterschied nur durch eine Konstante µ0 bedingt ist, B
Wir halten außerdem fest, daß die 1. Grundgleichung die Stationarität des
! = µ0 · div!j =⇒ div!j = 0.
Stromfeldes impliziert: div
rotB
# $%
&
=0
! = 4π · !j .
Kommentar :Im cgs-System wird die erste Grundgleichung zu rotB
c
2. Grundgleichung
Das Magnetfeld hat keine Quellen oder Senken, es existieren also keine magnetischen Monopole. Dies bedeutet
! =0
div B
Mit der Elektrostatik vergleichend stellen wir fest, daß die Grundgleichungen
!
der Elektrostatik, in der das E-Feld
ein reines Quellenfeld ist, offensichtlich
! = 0 und div E
! = 1 · ".
genau umgekehrt sind: rotE
$0
!
Das Potential in der Elektrostatik lautet E = −gradϕ. In der Magnetostatik
! = rotA
! mit A
! als Vektorpotential einzuführen, es ist dann div B
! =0
ist B
! = 0.
erfüllt, wegen div rotA
Untersuchen wir noch die Eindeutigkeit des Vektorpotentials:
!! =A
! + gradχ, wobei χ eine beliebige skalare Funktion ist.
Es sei A
!
!
!
!
! + gradχ) = rotA
!
!
B = rotA = rot(A
# $% & + rot gradχ = B
#
%
B
$%
0
&
! und A
! ! erzeugen also das gleiche Feld B.
!
A
!
!!=E
!
Vergleich zur Elektrostatik: E = −gradϕ, ϕ! = ϕ + const =⇒ E
In der Magnetostatik muß χ jedoch keine Konstante sein. Durch diesen
Spielraum“ kann man bei der Wahl des Potentials zusätzlichen Bedingun”
gen, den Eichbedingungen, genügen. Im weiteren wird die Coulomb-Eichung
! = 0. Dieser Bedingung kann durch einer Eichtransforverwendet: div A
”
mation“ immer entsprochen werden. Gehen wir nämlich vom Gegenteiligen
! = χ1 #= 0, dann wählen wir A
!! = A
! + gradχ2 , so daß wegen
aus, div A
20
! erzeugt wird. Nun wird div A
!! = 0
rot · gradχ2 = 0 das gleiche Feld B
!
gefordert, 0 = div A + div grad χ2 , d. h. ∆χ2 = −χ1 . Es kann aus dieser
#
$%
&

= ex ·(
∆
Gleichung ein χ2 gefunden werden, d.h. es existiert eine Eichtransformation,
! ! = 0 ist.
so daß div A
! = µ0 · !j und B
! = rotA
! läßt sich aus
Mit der zweiten Grundgleichung rotB
2
zwei Gleichungen erster Ordnung eine Gleichung zweiter Ordnung finden:
! = µ0 · !j.
rot rotA
! x berechnet werden
Im folgenden soll (rot rotA)

!=
rotA

ex
ey
ez
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az



!=
rot rotA

∂Az ∂Ay
∂Ax ∂Az
∂Ay ∂Ax
−
)+ey ·(
−
)+ez ·(
−
)
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
ex
ey
ez
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z



=?
!
!
!
(rotA)x (rotA)y (rotA)z
! x einfach bestimmen (mit den
Mit der Unterdeterminante läßt sich (rot rotA)
y- und z-Komponenten wird analog verfahren)
2
2
2
2
! x = ∂ ( ∂Ay − ∂Ax ) − ∂ ·( ∂Ax − ∂Az ) = ∂ Ay − ∂ Ax − ∂ Ax + ∂ Az
(rot rotA)
∂y ∂x
∂y
∂z # ∂z $% ∂x & ∂y∂x ∂y 2
∂z 2 ∂z∂x
#
$%
&
% y
(rotA)
% z
(rotA)
=
∂ 2 Ay ∂ 2 Az ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ay ∂ 2 Az
∂ ∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
−
−
−
=
·(
+
+
)−∆Ax
2
2
2
2
∂y∂x ∂z∂x ∂x
∂x
∂y
∂z
∂x ∂x
∂y
∂z
#
$%
&
−∆Ax
∂
! − ∆Ax
div A
∂x
! = 0 und rotB
! = µ0 · !j und Berücksichtigung
Mit der Coulomb-Eichung div A
! folgt dann:
der anderen Komponenten von A
! x=
(rot rotA)
! = −µ0 · !j
∆A
Die Lösung dieser Gleichung läßt sich analog zur Lösung der Poissongleichung
der Elektrostatik finden: ∆ϕ = − $10 · " wird mit im Unendlichen verschwindendem Potential gelöst:
ϕ(!r) =
1
·
4π '0
!
2
dV ! ·
"(!r ! )
|!r − !r ! |
Hier im Sinne von Vektorgleichungen, also im 3-dimensionalen insgesamt vier Gleichungen, eine vektorielle und eine skalare.
21
In der Magnetostatik ist Ax analog zu ϕ und µ0 · jx analog zu $10 · " und
! die wir dann zur Lösung
entsprechendes für die anderen Komponenten von A,
! r ) = µ0 ·
A(!
4π
!
dV
!
!j(!r ! )
|!r − !r ! |
! einer beliebigen räumlich begrenzten Stromdichfür das Vektorpotential A
teverteilung zusammenfassen können.
3 Magnetfeld eines stromdurchflossenen dünnen
Leiters (Stromfaden)
! um einen beliebig geformten dünnen Leiter gesucht. Dieses
Es sei das Feld B
!
! r), wo A(!
! r) der Ausdruck ist den wir im vorhergekann mit B(!r) = rot%r A(!
henden Abschnitt abgeleitet haben, berechnet werden:
! r) = rot%r A(!
! r ) = rot%r µ0 ·
B(!
4·π
!
dV ! ·
!j(!r ! )
|!r − !r ! |
Ziehen wir die Operation rot%r ( nach der Variablen !r ! ) unter das Integral
so finden wir
=
µ0
·
4·π
!
dV ! · rot%r
#
!j(!r ! )
|!r − !r ! |
$%
rot f ·%a
;
f=
1
|!r − !r ! |
;
!a = !j(!r ! )
&
Für die Rotation eines beliebigen Produktes gilt:
rot f · !a = f · rot!a + [grad f × !a]
Im vorliegenden Fall ist rot%r!j(!r ! ) = 0, sodaß nur der Term mit dem Gradienten verbleibt. Bestimmen wir
grad%r
1
1
!r − !r !
=
−
·
|!r − !r ! |
|!r − !r ! |2 |!r − !r ! |
und setzten ein, so finden wir
rot%r
!j(!r ! )
[(!r − !r ! ) × !j(!r ! )]
=
−
|!r − !r ! |
|!r − !r ! |3
! läßt sich dies zum Gesetz von Biot-Savart (1820) zusamMit !r − !r ! = R
menfassen:
22
! r ) = µ0 ·
B(!
4π
!
dV ! ·
!
[!j(!r ! ) × R]
R3
Oft ist die Verteilung des Stromes !j(!r ) über den Querschnitt des Leiters nicht
bekannt, sondern nur der Gesamtstrom I und die geometrische Form des
Leiters. In diesem Fall ist es vorteilhaft zum Stromfaden überzugehen. Es sei
!r ! ein Ortsvektor auf dem Leiter, !r liege außerhalb des Leiters. Wir setzen ein
Volumenelement innerhalb des Leiters dV ! in Form eines kleinen Zylinders
an, wobei dV ! das Produkt aus Deckfläche und Länge ist, dV ! = dσ · dl. Wir
wählen dl in Richtung des Stromflusses !j, sodass gilt !j · dl = j · d!l. Dann kann
das Integral über den Querschnitt, welcher senkrecht zum Stromfluß steht,
wie folgt ausgeführt werden
!
!
!
!
! !
! !
! r ) = µ0 · dσ dl · [j × R] = µ0 · dσ j [dl × R] .
B(!
4π
R3
4π # $% &
R3
I
Für den Stromfaden kann das Gesetz von Biot-Savart dann so formuliert
werden
!
!
[d!l × R]
! r ) = µ0 · I
B(!
4π L R3
Damit ist die Integration nur noch von der geometrischen Form des Leiters
abhängig, die Stromstärke
geht als skalierender Vorfaktor ein. Äquivalent zu
! = " dB,
! wobei dB
! durch d!l bedingt ist. Für dB
! erhalten wir
obigem ist B
L
die differentielle Form des Biot-Savartschen Gesetzes
! =
dB
!
µ0 · I [d!l × R]
·
.
4π
R3
4 Kräfte zwischen zwei Leiterschleifen
Die Ströme I1 und I2 in den Leitern L1 und L2 erzeugen Magnetfelder, durch
die die Leiterschleifen gegenseitig wechselwirken. Das Resultat ist eine Kraft,
die zwischen den Leiterschleifen wirkt und die wir nun berechnen wollen.
Nach dem Biot-Savartsches Gesetz erzeugt der Leiter L1 ein Feld im Raumbereich des Leiters L2 . Dieses Feld wirkt seinerseits auf die Ladungsträger
! wo q die Ladung eines
im Leiter L2 über die Lorentzkraft, F! = q · [!v × B],
! das Feld innerhalb
einzelnen Ladungsträgers, !v seine Geschwindigkeit und B
von L2 sind. Wir bezeichnen mit !r1 bzw. !r2 die Ortsvektoren auf die Punkte
P1 und P2 der Leiter L1 und L2 , die Differenz dieser Vektoren bezeichnen wir
23
! 21 = !r2 − !r1 . Wir finden zunächst den Ausdruck für die Lorentzkraft
mit R
!
dF21 , die von L1 auf L2 wirkt
! 1]
dF!21 = "2 · dV2 ·[!v2 × B
# $% &
dq
mit "2 als Ladungsdichte bei P2 , !v2 als Geschwindigkeit der Ladungen bei P2
! 1 als Magnetfeld der Leiterschleife L1 am Ort
dV2 als Volumenelement und B
P2 . Zerlegen wir nun das Volumenelement dV2 = dσ2 · dl2 in das Produkt des
Querschnittes dσ2 senkrecht zum Fluß und des Längenelementes dl2 parallel
zum Fluß, so erhalten wir mit dl2 · !v2 = v2 · !l2 und dem Ausdruck für den
Stromdichtevektor !j2 = "2 · !v2 ,
! 1] .
dF!21 = j2 · dσ2 · [d!l2 × B
Integrieren wir nun über den Querschnitt mit
!
so erhalten wir
F!21 =
!
dσ2 · j2 = I2 ,
dF!21 = I2 ·
-
L2
! 1] .
[d!l2 × B
! 1 (!r2 ), welches die Leiterschleife L1 am Punkt P2
Nun setzen wir das Feld B
erzeugt
! 21 ]
[d!l1 × R
! 1 (!r2 ) = µ0 · I1 ·
B
3
4π
R21
L1
in den obigen Ausdruck ein. Als Ergebnis erhalten wir das Ampéresches Gesetz der Wechselwirkung von zwei Leiterschleifen in Form eines Doppelintegrals
! 21 ]]
µ0
[d!l2 × [d!l1 × R
F!21 =
· I1 · I2 ·
·
3
4π
R21
L1
L2
bzw.
µ0
F!12 =
· I1 · I2 ·
4π
-
L1
·
-
L2
! 12 ]]
[d!l1 × [d!l2 × R
3
R21
Hier gibt F!21 die Kraft mit der die Leiterschleife L1 auf die Leiterschleife L2
wirkt, und F!12 die Kraft mit der die Leiterschleife L2 auf die Leiterschleife
L1 wirkt an. Wir können diese Ausdrücke noch umformen. Dazu benutzen
wir den Ausdruck für das Kreuzprodukt: [!a × [!b × !c]] = !b · (!a · !c) − !c · (!a · !b)
und erhalten
! 12 ]] = d!l2 · (d!l1 · R
! 12 ) − R
! 12 · (d!l1 · d!l2 ) .
[d!l1 × [d!l2 × R
24
Beim Einsetzen beider Teile in die rechte Seite des Integrals liefert der erste
Summand integriert Null. Um dies zu sehen benutzen wir den Stokeschen
Satz :
! 12 )
(d!l1 , R
!1 1 )
=
−
(d!l1 , ∇
3
R12
R12
L1
L1
=−
-
! 1· 1 = 0.
df1 · rot1 · ∇
#
$%
& R12
S1
rot grad=0
Es ist also nur der zweite Summand von Null verschieden
µ0
F!12 = −
· I1 · I2 ·
4π
-
L1
·
-
L2
·
! 12
R
· (d!l1 · d!l2 )
3
R12
! 21 = −R
! 12 überzeugt man sich leicht davon, daß das 3. Newtonschen
Mit R
Gesetz gilt: F!21 = −F!12 .
Ein einfacher Anwendungsfall sind zwei unendlich lange parallele Leiter L1
und L2 mit den Strömen I1 und I2 . Hier sind zwei Fälle möglich: Die Ströme
können parallel oder antiparallel fließen. Wir wollen nur die Richtung des
Gesamtausdruckes der Kraft untersuchen, d. h. ob die Leiter sich anziehen
oder abstoßen. Diese Richtung wird durch das Vorzeichen des Skalarpoduktes
(d!l1 , d!l2 ) ( im Falle paralleler Leiter ändert sich das Vorzeichen längs des
Integrationsweges nicht ) bestimmt:
1. Fall, die Ströme fließen parallel:
! 12 festgelegt
(d!l1 , d!l2 ) > 0, das Vorzeichen der Kraft F!12 wird dann durch −R
! 12 = R
! 21 , L2 zieht also L1 an.
F!12 ∼ −R
2. Fall, die Ströme fließen antiparallel:
Nun wird (d!l1 , d!l2 ) < 0, die Leiter stoßen sich ab.
5 Das Magnetische Moment (der magnetische
Dipol)
Es wird eine Multipolentwicklung für das Vektorpotential einer räumlich begrenzten stationären Stromverteilung, die analog zur Multipolentwicklung in
der Elektrostatik ist, durchgeführt. Für einen Stromfluß !j(!r ! ) sei das Vek! r ) an einem entfernten Punkt !r gesucht. Allgemein gilt
torpotential A(!
! r ) = µ0 ·
A(!
4π
!
dV
25
!
!j(!r ! )
.
|!r − !r ! |
Es sei nun |!r ! | << |!r | und wir führen eine Entwicklung nach kleinem |!r ! |
durch
1
1
(!r , !r ! )
=
+
+ ...
|!r − !r ! |
|!r| |!r − !r ! |
Es ist dV ! = dσ ! · dl! und wegen der Stationärität der Gesamtstrom durch S,
!
S
dσ ! · !j(!r !) = 0
folglich ist der nullte“ Term, oder auch Monopolterm genannt,
”
!
! r) = µ0 · dV ! · !j(!r ! ) ≡ 0
A(!
4π
es existieren keine magnetischen Monopole. Der erste Term der Multipolentwicklung wird:
µ0 !
(!r, !r ! )
!
A(!r ) =
dV ! 3 · !j(!r ! )
4π
r
und kann mit
!
1
dV (!a, !r ) · !j(!r ! ) = − · !a ×
2
!
.
!
!
[!r ! × !j(!r ! )]dV
!
/
wobei !a ein beliebiger, nicht von !r ! abhängiger Vektor ist, umgeformt werden.
Als Ergebnis kann das Vektorpotential einer räumlich begrenzten Stromverteilung durch ihr magnetisches Moment m
! wie folgt dargestellt werden
! × !r ]
! r ) = µ0 · [m
A(!
,
4π
r3
wo das magnetische Moment
m
! =
1! ! ! !
[!r × j(!r )] dV
2
!
ist.
Für das magnetisches Moment sind zwei Spezialfälle von Bedeutung:
1. Magnetisches Moment eines ebenen
Stromkreises
"
Für eine Stromschleife ist m
! = 12 · I · [!r ! × d!l ! ] = I · F! , mit F! als gerichteter
Fläche. Damit entsteht die Möglichkeit der Erklärung magnetischer Momente der Magnetika : m
! wird durch mikroskopische Ströme in kleinen
Bereichen eines Stoffes erzeugt. Die Magnetisierung des Gesamtsystems ist
! = 0m
dann M
! i.
26
2. System diskreter Punktladungen
Benutzen wir die diskrete Darstellung des Stromdichtevektors in m
!:
!j(!r ) =
1
! i) ;
qi · !vi · δ(!r − R
i
so ergibt sich
m
! =
m
! =
!
1 1
! i ) · dV
·
qi · [!r ! × !vi ] · δ(!r ! − R
2 i
!
1 1 !
·
qi [Ri × !vi ] .
2 i
Bezüglich des oben auftretenden Kreuzproduktes kennen wir aus der Mecha! = 0 !li :
nik als analogen Ausdruck den Drehimpuls L
!li = mi · [R
! i × !vi ] =⇒ L
! =
1
! i × !vi ] .
mi · [R
i
Als Anwendung betrachten wir den für die magnetischen Eigenschaften der
Stoffe wichtigen Fall des Elektronensystems eines Atoms oder Moleküls. Dann
sind alle Ladungen und Massen der Teilchen gleich, qi = e und mi = me .
Somit gilt
m
! =
1
1
! i × !vi ] ;
· e · [R
2
i
! = me ·
L
1
! i × !vi ] =⇒
[R
i
!
2m
!
L
=
e
me
e
Die Größe m
= 2·m
, die hier aus der klassischen Mechanik folgt, wird als
L
e
gyromagnetisches Verhältnis bezeichnet. In dieser Form gilt es für die
Bahnbewegung (orbitale Bewegung) des Elektrons. Für die Eigendrehung des
Elektrons, dem Spin, ist das gyromagnetische Verhältnis doppelt so groß, wie
in der Quantenmechanik gezeigt wird. Dann gilt mit dem Spin S als Drehimpuls: m
= mee . Das gyromagnetische Verhältnis des Elektronenspins ist also
S
doppelt so groß wie das seiner orbitalen Bewegung. Das gesamte magnetische Moment eines Elektronensystems addiert sich aus seiner orbitalen und
Spinbewegung. Wir halten noch fest, daß die Energie eines magnetischen Mo! ist. Diese Formel ist analog zur Energie
mentes im äußeren Feld E = −m
! ·B
! im äußeren elektrischen Feld und erklärt
des elektrischen Dipols E = −!p · E
die vorzugsweise Ausrichtung der magnetischen Momente in Richtung des
äußeren Magnetfeldes ( Paramagnetismus ).
6 Magnetostatik der Materie
! gilt immer
Für das mikroskopisch wirkende Magnetfeld, die Induktion B,
! = µ0 · !j, wo !j die mikroskopische stationäre Stromdichte ist. Für die
rotB
makroskopische Beschreibung verwendet man die mittlere Stromdichte: !j =
27
!jext + !jmagn mit !jext als Ströme der freien, nicht gebundenen Ladungen ( z.B.
den elektrischen Strom in Metallen ) und !jmagn als mittlerer Stromdichte der
gebundenen Ladungen, welche die Magnetisierung aufbauen. Wir führen den
! mit !jmagn = rotM
! ein. Setzen wir in die obige
Vektor der Magnetisierung M
Gleichung ein, so ergibt sich
1
! − rotM
! = !jext = rot( 1 B
! − M)
! = rotH
!
rotB
µ0
µ0
! ist ein Hilfsfeld, welches nur durch die freien Ströme bedingt
Das Feld H
! der magnetischen Induktion, wie folgt
ist und mit dem wirkenden Feld B,
! = µ 0 (H
! +M
! ). Berücksichtigen wir noch die Quellfreiheit
zusammenhängt B
!
des B Feldes ( es existieren keine magnetischen Monopole ), so erhalten wir
die Grundgleichungen der Magnetostatik
! = !jext
rotH
! =0
div B
Um die Gleichungen der Magnetostatik zu lösen, müssen wie in der Elektrostatik die Materialgleichungen eingeführt werden, die hier den materialabhängigen Zusammenhang zwischen der Magnetisierung und dem Magnetfeld angeben. Für ein isotropes lineares Medium gilt der Zusammenhang
! = χm · H
! mit χm als magnetischer Suszeptibilität. Zwischen der InduktiM
! und dem Magnetfeld H
! folgt dann nach Einsetzen, B
! = µ0 · µ · H,
! wo
on B
µ = 1 + χm die Permeabilität ist.
Den Spezialfall der Abwesenheit äußerer Ströme und Ladungen kennen wir
als Magnetostatik der Permanentmagneten. Dieser war historisch früher bekannt als Ladungen und Ströme. Vergleichen wir diesen Fall mit der Elektrostatik
! = 0 ; div B
! = 0 (Magnetostatik) und
rotH
! = 0 ; div D
! = 0 (Elektrostatik)
rotE
! und E,
! aus der sich auch
so erkennen wir die formale Analogie zwischen H
! als Magnetfeld erklärt. In diesem Fall kann man für
die Bezeichnung für H
!
! = −gradϕm einführen.
H wie in der Elektrostatik ein Potential ϕm mit H
!
! =B
! − µ0 · M,
! so
Benutzen wir noch die Quellenfreiheit div B = 0 in µ0 · H
! = −div M
! = 1 "m , wo formal die Größe der magnetischen
erhalten wir div H
µ0
! = −gradϕm kann dann wie in der ElekLadung "m eingeführt wurde. Mit H
trostatik für ϕm eine Poissongleichung abgeleitet werden
∆ϕm = −
28
"m
.
µ0