ExPhys 1, Vorlesung 10, 29.11.2010

Zur Erinnerung
 ,1  Ekin
 ,2  Q
Stichworte aus der Einteilung von Stößen: Ekin,1  Ekin, 2  Ekin
9. Vorlesung:
Q = 0 „elastische Stöße“
die Summe der inneren Energie der Teilchen (Schwingung
und Rotation) bleibt unverändert,
Q > 0 „unelastische Stöße“
kinetische Energie wird in innere Energie der Teilchen (oder
Reibungswärme) umgewandelt
Q < 0 „super-elastische“ Stöße
innere Energie der Teilchen wird in kinetische Energie
umgewandelt
Zentrale Stöße
Nicht-zentrale Stöße
Energie- und Impulserhaltung
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-1
Zur Erinnerung
Elastischer Abweichung vom idealen Ablenkwinkel von 90°
nicht-zentraler Stoß
mit m1 = m2: 
Erhaltung der Gesamtenergie
Erhaltungssätze
Translation
Impuls
p1  p1  p2
p12
p12
p22
Energie


2m1 2m1 2m2
Erhaltungssätze
Rotation
 ,1  Erot
 ,2
Erot ,1  Erot , 2  Erot
Energie 
 
0
0
Impuls L1  L2  L1  L2
 
0
Experimentalphysik I WS 2010/11
0

0

Drehimpuls bleibt erhalten,
aber Translationsenergie wird
in Rotationsenergie
umgewandelt!!
10-2
5. Dynamik starrer ausgedehnter Körper
Allgemeines:
Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich immer
zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunktes
und der Rotation des Körpers um den Schwerpunkt.
„starr“  Abstand | rik | = |ri - rk | = const. Für beliebige
Volumenelemente i und k
Rotationsachse ω muss nicht raumfest sein
vollständige Beschreibung erfordert Angabe von
rS (t )   xS (t ), yS (t ), z S (t ) 


(t)   x(t),  y(t),  z(t) 
sechs Koordinaten,
sechs „Freiheitsgrade“
Fixierung (z.B.) des SP: es bleiben drei Freiheitsgrade
zusätzliche Fixierung einer Drehachse: es bleibt ein
Freiheitsgrad
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10-3
Volumenintegrale
Kartesische
Koordinaten:

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10-4
Volumenintegrale
Kartesische
Koordinaten:
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10-5
Volumenintegrale
Zylinderkoordinaten:
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10-6
Volumenintegrale
Kugelkoordinaten:
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10-7
Massenschwerpunkt
Ausgedehnter,
unregelmäßig
geformter
Körper mit nicht
konstanter Dichte ρ:
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10-8
Bewegung eines starrenKörpers
Allgemeines:
ri
Ortsvektor zum Volumenelement dVi
rS
Ortsvektor zum Schwerpunkt
riS  ri  rS
Ortsvektor von dVi im SPS
Starrer Körper 
riS  const.

riS  0
riS  viS  vi  v S
d 2
r  0  2riS v iS  0  riS  v iS
dt iS
wegen
v    r  v iS    riS
 v i  v S    riS
Translation
Experimentalphysik I WS 2010/11
+
Rotation
10-9
Bewegung eines starrenKörpers
Kräfte am starren
Körper:
Angriffspunkt der Kraft ist entscheidend
Zerlegung in:
a) Drehmoment bezüglich Schwerpunkt S
b) Translation von S
FH 1  FH 2  0 
D
Rotation:
Translation:
Experimentalphysik I WS 2010/11
1
riS  F1   1 riS  FH2   D1  D2
2
2
F1  FH 2
( D1  D2 )
 D  riS  F1   DS
FH 1  F1  M  aS
10-10
Drehmomente für unterschiedliche Angriffspunkte
Omas Garnrolle:
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10-11
Kräfte am starren Körper
F1
Wirkung von F1 ?
FH,1
F1 und FH,2: Drehung
FH,1= M aS Translation
S
ri,s
i
z
FH,1 + FH,2 = 0
rs
|FH,i| = |F1|
FH,2
O
x
D = ½ (ri,s  F1) – ½ (ri,s  FH,2) = ri,S  F1 = DS
Drehmoment  Drehung um Achse durch Schwerpunkt S
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10-12
Kräfte am starren Körper
Fixierung einer
Drehachse durch
den Schwerpunkt:
Fz 
Drehachse
Fn 
Drehachse
Ft  Fz
Ft  Fn
D  r  F  r  ( Fz  Fn  Ft )
D  r  Fz  r  Fn  r  Ft
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D  r  Fz  0
unwirksam wg. Lagerung (Fz = M aS :
Translation durch Lagerung verhindert)
D  r  Fn  0
unwirksam wg. Lagerung (Fn = M aS
Translation durch Lagerung verhindert)
D  r  Ft  0
Drehung um die Achse
10-13
Kräfte am starren Körper
D1 = (r  Fz)  0
D1 – Drehung unwirksam
durch Lagerung
F
D3 = (r  Ft)
D3 bewirkt Drehung um
die Achse
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Fn  Achse
Fz
Ft  Fz
Ft
D2 = (r  Fn)
D2 = 0 da r ⇈ Fn
Beschleunigung
Fn = M a durch
Lagerung verhindert
Fz⇈ Achse
Ft  Fn
r
Fn
r  Achse
D = r  F = r  (Fz + Fn + Ft)
D = (r  Fz) + (r  Fn) + (r  Ft)
D=
D1
+
D2
+
D3
10-14
Kräfte am starren Körper
Drehmomente durch DS 
die Schwerkraft:
N
N
 r  dF   r  g  dm
i 1
i
i
i 1
i
i
dmi    dVi 
DS   r  g     dV   g   r    dV   g   rdm
V
V
V
Definition des Schwerpunktes:
rS 
1
rdm 

MV
DS   g   rdm   g  MrS  0
rS  0
V
Bei der Lagerung im Schwerpunkt wirken keine
Drehmomente durch die Schwerkraft (die Lage des
Körpers ist stabil).
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10-15
Dynamik der Drehbewegung
Allgemeines: Dynamik der Drehbewegung wird wesentlich bestimmt
durch die Dichte-Verteilung der Masse
gleiche Masse, verschiedene Masse-Verteilung

verschiedenes Trägheitsmoment (s.u.)
kinetische Energie bei Drehbewegung (bzw.
Rollbewegung) darstellen durch Translation des
Schwerpunktes
und
Rotation um Achse durch Schwerpunkt
(hier: Trägheitsmoment wichtig)
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-16
Dynamik der Drehbewegung
1
Ekin ,i  mi vi2 ,
2
ri  ri , z  ri , y  ri , x
 ri , y  ri , x  ri 
vi  i  ri
ri  : Abstand zur
Drehachse
1
2
 Ekin ,i  mi ri , z  ri   i 
2
1
(ri , z  i )  ri , z  i  0  Ekin ,i  mi ri2  i2
2
1 N

 Ekin  Erot  lim   mi ri2  i2 
mi 0 2
 i 1

1
i    i 
Erot   2  r2   dV
2 V
Trägheitsmoment: 
I   r2   dV
r  : Abstand zur Drehachse
V
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10-17
Dynamik der Drehbewegung
Kinetische Energie
der Rotation:
Trägheitsmoment:
Erot
1 2 2
   r   dV
2 V
I   r2   dV   r2 dm
V
V
Trägheitsmoment I wird bestimmt durch die
Abstandsverteilung der Massen um die Drehachse
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10-18
Drehimpuls ausgedehnter starrer Körper
L  m  r  v  Li  mi  ri  v i

Li  mi  ri    ri 

ri    ri

 

Li  mi  ri 2  i


L   Li   mi  ri 2  i     mi  ri 2
i
Drehimpuls,
Trägheitsmoment,
kinetische Energie
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
i

L     r 2    dV


L  I 
 Erot
i
1 2
L2
  I
2
2I
10-19
Drehimpuls ausgedehnter starrer Körper

Trägheitsmoment
einer homogenen
Kugel:
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-20
Größen der Translation und Rotation
„Übersetzungstabelle“: Translation
Masse m
Impuls p
Kraft F
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Rotation
Trägheitsmoment I
Drehimpuls L
Drehmoment D
Winkelgeschwindigkeit 
Winkelbeschleunigung d/dt
Kinetische Energie der
1 2
E

mv
Translation/Rotation:
kin
1
Erot  I 2
2
2
Impuls/Drehimpuls: p  m  v
Kraft/Drehmoment: F  m  a
Bewegungsgleichung:
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mx   Dx x
Lr p

L  I 
D  rF

d
DI
 I  
dt
lineare
DrehSchwingung
I   D
10-21
Drehimpuls, Trägheitsmoment und
Winkelgeschwindigkeit
Drehstuhlversuch:
sei Drehmoment D = 0  Drehimpuls L bleibt konstant
Veränderung der Massenverteilung führt zu einer
Veränderung des Trägheitsmomentes
I1  2mr12
1
Erot  I 2
2
Experimentalphysik I WS 2010/11
I 2  2mr22
 I1  I 2 , 1  2
Energiebilanz ??
10-22
Drehimpuls, Trägheitsmoment und
Winkelgeschwindigkeit
Energiebilanz:
1
Erot ,1  I112
2
Zusammenhang
I
 
1
Erot , 2  I 222
2
L1  I1  1  I 2  2  L2
Drehimpulserhaltung

I
1
1 I
2  1 1  Erot , 2  I 2  22  I 2   1 1 
I2
2
2  I2 
2

1 I
I
Erot , 2  I1 1  12  Erot ,1 1
2 I2
I2
da
Experimentalphysik I WS 2010/11
I1
1
I2

Erot , 2  Erot ,1
Woher kommt
die Energie??
10-23
Drehimpuls, Trägheitsmoment und
Winkelgeschwindigkeit
Arbeit gegen die
Zentrifugalkraft:
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-24
Trägheitsmoment für beliebige Achsen
Satz von Steiner:
Verbindung von IB um beliebige
Achse B mit IS des Körpers
bezogen auf eine zu B parallele
Achse durch den Schwerpunkt
I B   r 2 dm   rS  a  dm
2
I B   rS dm  a 2  dm  2a  rS dm



2
IS
M
0
I B  I S  M  a2
Wenn das Trägheitsmoment um Achse durch SP bekannt
ist, dann ist das Trägheitsmoment um eine beliebige dazu
parallele Achse mit dem Satz von Steiner bestimmbar.
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-25
Steinerscher Satz
Beispiel:
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-26
Trägheitsmomente
Zusammenfassung: Das Trägheitsmoment eines Körpers ist immer auf
eine bestimmte Drehachse bezogen.
gegebene Massenverteilung, verschiedene Drehachsen
 verschiedene Trägheitsmomente !!
gegebene Drehachse, verschiedene Massenverteilung
 verschiedene Trägheitsmomente !!
(wichtig, da bei gegebenem ω Drehimpuls L = I ω und
Erot = ½ ω2 I von I = ∫ r2 ρ dV bestimmt werden.
Trägheitsmoment I berechenbar wenn ρ (r) bekannt,
bei symmetrischen Massenverteilungen relativ leicht
auszuwerten
falls Drehachse nicht durch Schwerpunkt geht:
Steinerschen Satz (s.u.) nutzen

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Molekülphysik
10-27
Steinerscher Satz
Rollender Zylinder auf D  I
  I
schiefer Ebene:
 Mgr sin   I S  Mr 2 
Translationsbewegung des Schwerpunktes:
aS  s  r  r
Mgr sin 
g sin 

I S  Mr 2 1  I S
Mr 2
Je größer das Trägheitsmoment, desto geringer die
Beschleunigung
E pot ( S )  Ekin ( S )  Erot ( S )  Mgs sin 
2 gs sin 
I
1 S
Mr 2
1
Mgs sin   Mv 2
2
 vg2  2 gs sin   vr2
 vr2 
Experimentalphysik I WS 2010/11
rollend
gleitend, keine
Drehung
10-28
Momentane Drehachse und
Beschleunigung des Schwerpunktes
Ft
as
R
momentane Drehachse
F
Im Sinne des Steiner´schen Satzes ist R der Abstand der
Drehachse vomSchwerpunkt.
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-29
Momentane Drehachse und
Beschleunigung des Schwerpunktes
ds
ds = R d
R
ds
= R
dt
d 2s
d
=R
 as
2
dt
dt
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d
momentane Drehachse
10-30
Momentane Drehachse und
Beschleunigung des Schwerpunktes
momentane Drehachse
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-31
Hauptträgheitsachsen
Beziehung zwischen der momentanen Winkelgeschwindigkeit ω und dem Drehimpuls L
es gilt: im Allgemeinen muss der Drehimpuls L eines
beliebig starren Körpers nicht parallel zur momentanen
Drehachse, d.h. parallel zu ω sein!
Der Zusammenhang zwischen den Vektoren ω und L ist
bestimmt durch die Massenverteilung im starren Körper
Ziel: allgemeine Aussagen über Trägheitsmomente eines
gegebenen Körpers
es gibt „beliebig viele“ Drehachsen!
 beliebig viele (unabhängige) Trägheitsmomente?
(durch Steiner’schen Satz reduzierbar auf beliebige Achse
durch den Schwerpunkt)
Ergebnis:
Problem ist reduzierbar auf Trägheitsmoment für Drehung
um drei ausgezeichnete Achsen:
Hauptträgheitsachsen mit Hauptträgheitsmomenten
Experimentalphysik I WS 2010/11
10-32