Stichworte aus der 9. Vorlesung: Q E E E E
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Zur Erinnerung ,1 Ekin ,2 Q Stichworte aus der Einteilung von Stößen: Ekin ,1 Ekin , 2 Ekin 9. Vorlesung: Q = 0 „elastische Stöße“ die Summe der inneren Energie der Teilchen (Schwingung und Rotation) bleibt unverändert, Q > 0 „unelastische Stöße“ kinetische Energie wird in innere Energie der Teilchen (oder Reibungswärme) umgewandelt Q < 0 „super-elastische“ Stöße innere Energie der Teilchen wird in kinetische Energie umgewandelt Zentrale Stöße Nicht-zentrale Stöße Energie- und Impulserhaltung Experimentalphysik I SS 2010 10-1 Zur Erinnerung Elastischer Abweichung vom idealen Ablenkwinkel von 90° nicht-zentraler Stoß mit m1 = m2: Erhaltung der Gesamtenergie Erhaltungssätze Translation Impuls p1 p1 p2 p12 p12 p22 Energie 2m1 2m1 2m2 Erhaltungssätze Rotation Energie ,1 Erot ,2 Erot ,1 Erot , 2 Erot 0 0 Impuls L1 L2 L1 L2 0 Experimentalphysik I SS 2010 0 0 Drehimpuls bleibt erhalten, aber Translationsenergie wird in Rotationsenergie umgewandelt!! 10-2 5. Dynamik starrer ausgedehnter Körper Allgemeines: Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunktes und der Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. „starr“ Abstand | rik | = |ri - rk | = const. Für beliebige Volumenelemente i und k Rotationsachse ω muss nicht raumfest sein vollständige Beschreibung erfordert Angabe von rS (t ) xS (t ), yS (t ), z S (t ) (t) x(t), y(t), z(t) sechs Koordinaten, sechs „Freiheitsgrade“ Fixierung (z.B.) des SP: es bleiben drei Freiheitsgrade zusätzliche Fixierung einer Drehachse: es bleibt ein Freiheitsgrad Experimentalphysik I SS 2010 10-3 Volumenintegrale Kartesische Koordinaten: Experimentalphysik I SS 2010 10-4 Volumenintegrale Kartesische Koordinaten: Experimentalphysik I SS 2010 10-5 Volumenintegrale Zylinderkoordinaten: Experimentalphysik I SS 2010 10-6 Volumenintegrale Kugelkoordinaten: Experimentalphysik I SS 2010 10-7 Massenschwerpunkt Ausgedehnter, unregelmäßig geformter Körper mit nicht konstanter Dichte ρ: Experimentalphysik I SS 2010 10-8 Bewegung eines starrenKörpers Allgemeines: ri Ortsvektor zum Volumenelement dVi rS Ortsvektor zum Schwerpunkt riS ri rS Ortsvektor von dVi im SPS Starrer Körper riS const. riS 0 riS viS vi v S d 2 riS 0 2riS v iS 0 riS v iS dt wegen v r v iS riS v i v S riS Translation Experimentalphysik I SS 2010 + Rotation 10-9 Bewegung eines starrenKörpers Kräfte am starren Körper: Angriffspunkt der Kraft ist entscheidend Zerlegung in: a) Drehmoment bezüglich Schwerpunkt S b) Translation von S FH 1 FH 2 0 D Rotation: Translation: Experimentalphysik I SS 2010 1 riS F1 1 riS FH2 D1 D2 2 2 F1 FH 2 ( D1 D2 ) D riS F1 DS FH 1 F1 M a S 10-10 Drehmomente für unterschiedliche Angriffspunkte Omas Garnrolle: Experimentalphysik I SS 2010 10-11 Kräfte am starren Körper F1 Wirkung von F1 ? FH,1 F1 und FH,2: Drehung FH,1= M aS Translation S ri,s i z FH,1 + FH,2 = 0 rs |FH,i| = |F1| FH,2 O x D = ½ (ri,s F1) – ½ (ri,s FH,2) = ri,S F1 = DS Drehmoment Drehung um Achse durch Schwerpunkt S Experimentalphysik I SS 2010 10-12 Kräfte am starren Körper Fixierung einer Drehachse durch den Schwerpunkt: Fz Drehachse Fn Drehachse Ft Fz Ft Fn D r F r ( Fz Fn Ft ) D r Fz r Fn r Ft Experimentalphysik I SS 2010 D r Fz 0 unwirksam wg. Lagerung (Fz = M aS : Translation durch Lagerung verhindert) D r Fn 0 unwirksam wg. Lagerung (Fn = M aS Translation durch Lagerung verhindert) D r Ft 0 Drehung um die Achse 10-13 Kräfte am starren Körper D1 = (r Fz) 0 D1 – Drehung unwirksam durch Lagerung F D3 = (r Ft) D3 bewirkt Drehung um die Achse Experimentalphysik I SS 2010 Fn Achse Fz Ft Fz Ft D2 = (r Fn) D2 = 0 da r ⇈ Fn Beschleunigung Fn = M a durch Lagerung verhindert Fz⇈ Achse Ft Fn r Fn r Achse D = r F = r (Fz + Fn + Ft) D = (r Fz) + (r Fn) + (r Ft) D= D1 + D2 + D3 10-14 Kräfte am starren Körper Drehmomente durch DS die Schwerkraft: N N r dF r g dm i i i 1 i i dmi dVi i 1 DS r g dV g r dV g rdm V V V Definition des Schwerpunktes: rS 1 rdm MV DS g rdm g MrS 0 rS 0 V Bei der Lagerung im Schwerpunkt wirken keine Drehmomente durch die Schwerkraft (die Lage des Körpers ist stabil). Experimentalphysik I SS 2010 10-15 Dynamik der Drehbewegung Allgemeines: Dynamik der Drehbewegung wird wesentlich bestimmt durch die Dichte-Verteilung der Masse gleiche Masse, verschiedene Masse-Verteilung verschiedenes Trägheitsmoment (s.u.) kinetische Energie bei Drehbewegung (bzw. Rollbewegung) darstellen durch Translation des Schwerpunktes und Rotation um Achse durch Schwerpunkt (hier: Trägheitsmoment wichtig) Experimentalphysik I SS 2010 10-16 Dynamik der Drehbewegung 1 Ekin ,i mi vi2 , 2 ri ri , z ri , y ri , x ri , y ri , x ri vi i ri ri : Abstand zur Drehachse 1 2 Ekin ,i mi ri , z ri i 2 1 (ri , z i ) ri , z i 0 Ekin ,i mi ri2 i2 2 1 N Ekin Erot lim mi ri2 i2 mi 0 2 i 1 1 i i Erot 2 r2 dV 2 V Trägheitsmoment: I r2 dV r : Abstand zur Drehachse V Experimentalphysik I SS 2010 10-17 Dynamik der Drehbewegung Kinetische Energie der Rotation: Trägheitsmoment: 1 Erot 2 r2 dV 2 V I r2 dV r2 dm V V Trägheitsmoment I wird bestimmt durch die Abstandsverteilung der Massen um die Drehachse Experimentalphysik I SS 2010 10-18 Drehimpuls ausgedehnter starrer Körper L m r v Li mi ri v i Li mi ri ri ri ri Li mi ri 2 i L Li mi ri 2 i mi ri 2 i Drehimpuls, Trägheitsmoment, kinetische Energie Experimentalphysik I SS 2010 i L r 2 dV L I Erot i L2 1 2 I 2 2I 10-19 Drehimpuls ausgedehnter starrer Körper Trägheitsmoment einer homogenen Kugel: Experimentalphysik I SS 2010 10-20 Größen der Translation und Rotation „Übersetzungstabelle“: Translation Masse m Impuls p Kraft F Geschwindigkeit v Beschleunigung a Rotation Trägheitsmoment I Drehimpuls L Drehmoment D Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung d/dt Kinetische Energie der 1 2 Translation/Rotation: Ekin mv 1 Erot I 2 2 2 Impuls/Drehimpuls: p m v Kraft/Drehmoment: F m a Bewegungsgleichung: Experimentalphysik I SS 2010 mx Dx x Lr p L I D rF d I DI dt lineare DrehSchwingung I D 10-21 Drehimpuls, Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit Drehstuhlversuch: sei Drehmoment D = 0 Drehimpuls L bleibt konstant Veränderung der Massenverteilung führt zu einer Veränderung des Trägheitsmomentes I1 2mr12 1 Erot I 2 2 Experimentalphysik I SS 2010 I 2 2mr22 I1 I 2 , 1 2 Energiebilanz ?? 10-22 Drehimpuls, Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit Energiebilanz: 1 Erot ,1 I1 12 2 Zusammenhang I 1 Erot , 2 I 222 2 L1 I1 1 I 2 2 L2 2 Drehimpulserhaltung I1 1 1 I 1 Erot , 2 I 2 22 I 2 1 1 I2 2 2 I2 1 I I Erot , 2 I1 1 12 Erot ,1 1 2 I2 I2 da Experimentalphysik I SS 2010 I1 1 I2 Erot , 2 Erot ,1 2 Woher kommt die Energie?? 10-23 Drehimpuls, Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit Arbeit gegen die Zentrifugalkraft: Experimentalphysik I SS 2010 10-24 Trägheitsmoment für beliebige Achsen Satz von Steiner: Verbindung von IB um beliebige Achse B mit IS des Körpers bezogen auf eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt I B r dm rS a dm 2 2 I B rS dm a 2 dm 2a rS dm 2 IS M 0 IB IS M a2 Wenn das Trägheitsmoment um Achse durch SP bekannt ist, dann ist das Trägheitsmoment um eine beliebige dazu parallele Achse mit dem Satz von Steiner bestimmbar. Experimentalphysik I SS 2010 10-25 Steinerscher Satz Beispiel: Experimentalphysik I SS 2010 10-26 Trägheitsmomente Zusammenfassung: Das Trägheitsmoment eines Körpers ist immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen. gegebene Massenverteilung, verschiedene Drehachsen verschiedene Trägheitsmomente !! gegebene Drehachse, verschiedene Massenverteilung verschiedene Trägheitsmomente !! (wichtig, da bei gegebenem ω Drehimpuls L = I ω und Erot = ½ ω2 I von I = ∫ r2 ρ dV bestimmt werden. Trägheitsmoment I berechenbar wenn ρ (r) bekannt, bei symmetrischen Massenverteilungen relativ leicht auszuwerten falls Drehachse nicht durch Schwerpunkt geht: Steinerschen Satz (s.u.) nutzen Experimentalphysik I SS 2010 Molekülphysik 10-27 Steinerscher Satz Rollender Zylinder auf D I I schiefer Ebene: Mgr sin I S Mr 2 Translationsbewegung des Schwerpunktes: aS s r r Mgr sin g sin I S Mr 2 1 I S Mr 2 Je größer das Trägheitsmoment, desto geringer die Beschleunigung E pot ( S ) Ekin ( S ) Erot ( S ) Mgs sin 2 gs sin I 1 S Mr 2 1 Mgs sin Mv 2 2 vg2 2 gs sin vr2 vr2 Experimentalphysik I SS 2010 rollend gleitend, keine Drehung 10-28 Momentane Drehachse und Beschleunigung des Schwerpunktes Ft as R momentane Drehachse F Im Sinne des Steiner´schen Satzes ist R der Abstand der Drehachse vomSchwerpunkt. Experimentalphysik I SS 2010 10-29 Momentane Drehachse und Beschleunigung des Schwerpunktes ds ds = R d R ds = R dt d 2s d as = R 2 dt dt Experimentalphysik I SS 2010 d momentane Drehachse 10-30 Momentane Drehachse und Beschleunigung des Schwerpunktes momentane Drehachse Experimentalphysik I SS 2010 10-31 Hauptträgheitsachsen Beziehung zwischen der momentanen Winkelgeschwindigkeit ω und dem Drehimpuls L es gilt: im Allgemeinen muss der Drehimpuls L eines beliebig starren Körpers nicht parallel zur momentanen Drehachse, d.h. parallel zu ω sein! Der Zusammenhang zwischen den Vektoren ω und L ist bestimmt durch die Massenverteilung im starren Körper Ziel: allgemeine Aussagen über Trägheitsmomente eines gegebenen Körpers es gibt „beliebig viele“ Drehachsen! beliebig viele (unabhängige) Trägheitsmomente? (durch Steiner’schen Satz reduzierbar auf beliebige Achse durch den Schwerpunkt) Ergebnis: Problem ist reduzierbar auf Trägheitsmoment für Drehung um drei ausgezeichnete Achsen: Hauptträgheitsachsen mit Hauptträgheitsmomenten Experimentalphysik I SS 2010 10-32
