Einführung in die Mathematische Statistik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
A. Neuenkirch
B. Niese
A. Rößler
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2006
31.05.2006
Einführung in die Mathematische Statistik
6. Tutorium - Lösungsvorschlag
Aufgabe 1 (Normalverteilte Zufallsvariablen)
Nach Folgerung 1, S. 82 (Lehn/Wegmann) sind auch Y1 und Y2 normalverteilt, und zwar
Y1 ∼ N (0, 20) und Y2 ∼ N (0, 4 + 16a2 ).
1. Wir standardisieren Y1 und benutzen die Verteilungsfunktion Φ der N (0, 1)-Verteilung:
−1 − 0
Y1 − 0
2 − 0
√
≤ √
≤ √
20
20
20
2 −1 = Φ √
−Φ √
20
20
2 1 = Φ √
− 1−Φ √
20
20
≈ 0.674 − (1 − 0.587) = 0.261 .
P (−1 ≤ Y1 ≤ 2) = P
2. Mit dem gleichen Konzept wie in a) erhält man:
P (|Y1 | ≤ 3) = P (−3 ≤ Y1 ≤ 3)
3 −3 = Φ √
−Φ √
20
20
3 3 = Φ √
− 1−Φ √
20
20
3 = 2Φ √
−1
20
≈ 2 · 0.749 − 1 = 0.498 .
3. Wegen E(Y1 ) = E(Y2 ) = 0 gilt hier Cov(Y1 , Y2 ) = E(Y1 · Y2 ). Wir formen zunächst
den Term Y1 · Y2 um und nutzen dann die Linearität des Erwartungswerts und wegen
der Unabhängigkeit von X1 und X2 die Beziehung E(X1 · X2 ) = E(X1 ) · E(X2 ). Mit
Hilfe von E(X 2 ) = V ar(X) + E(X)2 berechnet man E(X12 ) = 5 sowie E(X22 ) = 17.
Cov(Y1 , Y2 ) = E(Y1 · Y2 ) = E((X1 + X2 ) · (X1 − aX2 − (1 + a)))
= E(X12 ) + (1 − a)E(X1 · X2 ) − aE(X22 ) − (1 + a)[E(X1 ) + E(X2 )]
= 5 − 1 + a − 17a − 0 = 4 − 16a .
Alternative mit Satz 2.72, 2. Teil:
Cov(X1 + X2 , X1 − aX2 − (1 + a)) = V ar(X1 ) − aV ar(X2 ) = 4 − 16a .
4. Y1 und Y2 sind genau dann unkorreliert, wenn Cov(Y1 , Y2 ) = 0 gilt. Wegen c) ist das
äquivalent zu 4 − 16a = 0, d.h. a = 41 .
5. Nach Folgerung 2, S. 82 (Lehn/Wegmann) sind unkorrelierte, normalverteilte Zufallsvariablen sogar unabhängig, so daß wir mit Folgerung 1 Y1 + Y2 ∼ N (0, 25) schließen
können. Daraus folgt:
P (|Y1 + Y2 | > 5) = 1 − P (−5 ≤ Y1 + Y2 ≤ 5)
5 − 0
−1
= 1 − 2Φ √
25
= 2 − 2 · 0.841 = 0.318 .
Aufgabe 2 (Normalverteilte Zufallsvariablen)
Wir interessieren uns für den Abstand zwischen den Aufenthaltsorten von Elster und Amsel,
der im dreidimensionalen Raum durch
p
(X1 − X2 )2 + (Y1 − Y2 )2 + (Z1 − Z2 )2
gegeben ist. Die Zufallsvariablen X1 − X2 , Y1 − Y2 und Z1 − Z2 sind nach Folgerung 1,
S. 82 (Lehn/Wegmann) normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 169. Wegen der
Unabhängigkeit der einzelnen Zufallsvariablen sind auch die drei durch Differenz gebildeten
Zufallsvariablen voneinander unabhängig. Daher ist
X − X 2 Y − Y 2 Z − Z 2
1
2
1
2
1
2
+
+
13
13
13
als Summe von drei quadrierten, unabhängigen, identisch N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen
χ23 -verteilt. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man damit:
p
P ( (X1 − X2 )2 + (Y1 − Y2 )2 + (Z1 − Z2 )2 > 9.9)
= P ((X1 − X2 )2 + (Y1 − Y2 )2 + (Z1 − Z2 )2 > 98.01)
X − X 2 Y − Y 2 Z − Z 2 98.01 1
2
1
2
1
2
=P
+
+
>
13
13
13
169
X − X 2 Y − Y 2 Z − Z 2
1
2
1
2
1
2
=1−P
+
+
≤ |{z}
0.58
13
13
13
|
{z
}
2
∼χ23
χ3 ;0.1
= 1 − 0.1 = 0.9 .
Aufgabe 3 (Cauchy-Verteilung)
(1) Es gilt
Z
a
b
1
f (t) dt =
π
Z
a
b
1
1
dt = (arctan(b) − arctan(a)).
2
1+t
π
Da weiterhin limb→∞ arctan b = π/2 and lima→−∞ arctan a = −π/2 ist, folgt
Z ∞
π
f (t) dt = = 1.
π
−∞
(2) Es gilt
∞
Z
E |X| =
−∞
Da
Z
0
b
|x|
dx = 2
1 + x2
∞
Z
0
x
dx = lim
b→∞
1 + x2
b
Z
0
2x
dx.
1 + x2
2x
2
2
dx
=
ln
1
+
b
−
ln(1)
=
ln
1
+
b
1 + x2
ist, folgt
Z
∞
xf (x) dx = lim ln 1 + b2 = ∞.
b→∞
−∞
(3) Die Verteilungsfunktion einer Cauchy-verteilten Zufallsvariable ist durch
F (y) =
1
1
arctan(y) + ,
π
2
y∈R
gegeben.
(i) Sei a, b ∈ [−π/2, π/2]. Dann gilt
P (a ≤ Y ≤ b) = P (a ≤ arctan(X) ≤ b) = P (tan(a) ≤ X ≤ tan(b))
Da X Cauchy-verteilt ist, folgt
P (a ≤ Y ≤ b) = P (tan(a) ≤ X ≤ tan(b)) =
b−a
,
π
für a, b ∈ [−π/2, π/2].
(ii) Für a, b ∈ R gilt weiterhin
P (a ≤ Y ≤ b) = P (tan(max{a, −π/2}) ≤ X ≤ tan(min{b, π/2})) ,
also ist Y = arctan(X) eine R([−π/2, π/2])-verteilte Zufallsvariable.