H12 Strom und Elektronenverteilungsfunktion

Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV-2)
6. Hausaufgabe, Abgabe: 3. Juni 2014, 10 c. t. (Kasten im Hörsaal)
berechnen, was uns den Beweis liefert.
b) Durch Taylorentwicklung um δk = 0 erhält man in erster Ordnung
f (k − δk) ≈ f (k) +
H12 Strom und Elektronenverteilungsfunktion
Mit
Sie betrachten ein Elektron mit Impuls k im elektrischen Feld E. Dieses erhält durch das
Feld eine Impulsverschiebung δk = − eE
τ , wobei angenommen ist, dass τ nicht von k
~
abhängt.
Die Stromdichte aller Elektronen mit Ladung −e und Geschwindigkeit vk ist als
1 X
j=
(−evk )f (k − δk)
V k
gegeben.
Für geringe Temperaturen können Sie die Fermiverteilungsfunktion f (k) durch eine Heaviside’sche Sprungfunktion nähern, d.h. f (k) ≈ θ(εF − ε(k − δk)), wobei ε(k) =
~2 k 2
.
2m
df (ε)
a) Zeigen Sie zunächst, dass dε = −δ(εF −ε), wobei f (ε) = θ(εF −ε) (Tipp: Nutzen Sie
das Verhalten der Delta-Distribution unter einem Integral und denken Sie an partielle
Integration)
b) Es ist praktisch immer der Fall, dass |δk| ≪ kF . Entwickeln Sie f (k − δk) bis zur
ersten Ordnung in δk, um eine einfache Näherung zu erhalten. Verwenden Sie hierbei
.
auch vk = ~k
m
c) Zeigen Sie zunächst, dass δ(εF − ε(k)) =
unter einem Testintegral vorstellen)
m
~ 2 kF
δ(k − kF ). (Hinweis: Sie dürfen sich δ
d) Berechnen Sie die Stromdichte für dieses genäherte f (k−δk), argumentieren Sie auch,
weshalb der Term 0. Ordnung in der Näherung von f (k − δk) nicht zur Stromdichte
beiträgt. Legen Sie derhBequemlichkeit
halber die x-Achse entlang E. Verwenden Sie
i
V
4π 3
außerdem, dass N = 2 (2π)
k
die
Gesamtzahl der Elektronen ist.
3 3
F
e) Die Leitfähigkeit σ wird durch j = σE definiert. Lesen Sie aus Ihrer Stromdichte
σ ab und vergewissern Sie sich, dass Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis der klassischen
2
Betrachtung σ = nem τ übereinstimmt (n = N
ist die Teilchendichte).
V
Lösung:
R
a) Für eine Delta Funktion gilt ab dxg(x)δ(x − k) = g(k), wobei g(x) beliebig ist und
k ∈ (a, b). Betrachten wir nun eine Testfunktion g(ε), so können wir
Z
εF +a
dεg(ε)
εF −b
partielle Integration
Z εF +a
{z
}
df (ε) |
dg(ε)
ε +a
f (ε)
=
[g(ε)f (ε)]|εF −b −
dε
F
dε
dε
εF −b
,
Z εF
dg(ε)
f (ε)=θ(εF −ε)
=
−g(εF − b) −
= −g(εF )
εF −b dε
Kettenregel und Aufgabe a)
|
{z
}
df (k)
dε
δε(k)
=
f (k) − δ(εF − ε) (−δk)
dε
dk
k
vk := ~
m
dε
~2 | {z }
=
~vk
=
k
dk
m
und eigesetztem δk ergibt sich schließlich
f (k − δk) ≈ f (k) − δ(εF − ε)eτ (vk E)
c)
δ(εF − ε(k)) = δ
= δ(
2
2
~2 2
~
~
(kF − k2 ) = δ
(k − kF )(k + kF ) = δ
(k − kF )(kF + kF )
2m
2m
2m
m
~2
kF (k − kF )) = 2
δ(k − kF )
m
~ kF
Alternativ:
Z
Z
1
dkf (k)δ(εF − ε(k)) =
dε(k) dε(k) g(ε(k))δ(εF − ε(k)) =
dk
=
Z
1
dε(k)
dk
k=kF
g(ε(k))δ(k − kF )dk =
1
dε(k)
dk
Z
g(ε(k))
ε(k)=εF
m
f (k)δ(k − kF )dk
~2 k F
d) Aufgrund der Symmetrie der Fermikugel f (−k) = f (k) verschwindet der Term 0.
Ordnung.
Da jeder Platz auf der Fermikugel wegen Spins doppelt besetzt sein darf, ergibt sich
für die Stromdichte
Z
1
e2 τ
d3 k(vk E)vk δ(εF − ε(k))
j=2
3
(2π)
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man die Berechnung auf die x-Komponente
beschränken (wenn man die x-Achse entlang E legt d.h. Ex = E). Die k-Integration
wird in Kugelkoordinaten ausgeführt.
Z π
Z ∞
m ~2
1
2
e
τ
2π
sin
θdθ
k 2 dk(kE)kx δ(k − kF )
jx = 2
(2π)3
~2 kF m2 0
0
Z ∞
Z 1
4π e2 τ
k 2 E cos2 θk 2 dkδ(k − kF )
d
cos
θ
=
(2π)3 mkF −1
0
1 Z ∞
4π e2 τ
cos3 θ =
E
k 4 δ(k − kF )dk
(2π)3 mkF
3 −1 0
4π e2 τ
V 4π 3 e2 τ
2 4
1
ne2 τ
=
E kF
=
2
kF
=
E
3
3
(2π) mkF 3
V
(2π) 3
m
m
{z
}
|
=N
e) Durch Ablesen erhält man σ =
ne2 τ
m
.
H13 Impulsrelaxationszeit bei T = 0
Es sei
Ĥel−ph
iC X
= √
V k,q
s
~
q(c†k−q ck (a−q − a†q ))
2ρωq
der Hamiltonian, der die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Phononen beschreibt.
Hiebei ist ωq = cs q, wobei cs die Schallgeschwindigkeit der longitudinalen Phononen ist.
Es sind hierbei ck die fermionischen Vernichter für die Elektronen und ak die bosonischen
Vernichter für die Phononen.
Da die Zahl der Phononen bei T = 0 als nq = 0 angenommen werden kann (keine
Phononen), könnte man zunächst intuitiv klassisch vermuten, dass Elektronen nicht streuen
können, es also keinen Widerstand gibt. Dies ist allerdings nicht der Fall, weil ein Elektron auch Phononen abstrahlen kann. Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit von
einem Zustand |ai zu einem Zustand |bi ist nach Fermis goldener Regel als
Wab =
2π
| hb| Ĥel−ph |ai |2 δ(E(a) − E(b))
~
gegeben. Für kurze Zeitintervalle τ ist die Änderung eines Impulses k in x-Richtung als
dkx
= kτx gegeben, denn wir betrachten hier nur ein Elektron, also keine Fermi-Besetzung,
dt
damit statt δkx der Gesamtimpuls kx verwendet werden kann. Für die Impulsrelaxationx
szeit τ wird die folgende Definition zu Grunde gelegt: τ1 = k1 dk
.
x dt
Wenn ein Elektron nach Emission eines Phonons mit Impuls q mit Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit Wq den Impuls ∆kx = −qx entlang der Richtung des Impulses k
verliert, ist die Relaxationszeit gleich
X
X
qx
q
1
=
Wq
=
Wq cos Θ,
τ
k
k
q
q
wobei Θ den Winkel zwischen k und q bezeichnet
a) Überlegen Sie sich, welche Ausgangs- und Endzustände bei Phononenemission auftreten.
b) Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit.
c) Berechnen Sie hiermit die Impulsrelaxationszeit τ . (Hinweise: Die Elektronengeschwindigkeit
~k
ist viel größer als die Schallgeschwindigkeit cs , zudem tragen im auftauchenden
m
Integral hauptsächlich Terme mit Θ ≈ 0 bei. Machen Sie sich an der auftauchenden Energie-δ-Distribution klar, dass eine Phononenabstrahlung nur in “Vorwärtsrichtung” möglich ist und das Winkelintegral somit auf natürliche Weise beschränkt ist.)
Lösung:
a) Wie bereits in der Aufgabenstellung beschrieben, tauchen bei T = 0 in erster Näherung
nur Zustände mit nq = 0 auf, dieser wird mit |k, 0i bezeichnet. Als Streuprozess
tritt in unserem Modell nur Abstrahlen eines Phonons mit Impuls q auf, womit der
Endzustand |k − q, 1q i ist.
b) Die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Phonons mit Impuls q durch ein Elektron mit Impuls k pro Zeit ist gegeben durch Fermis goldene Regel:
q
(k − q, 1q ; k, 0) =
WE
2π
|hk − q, 1q | Ĥel−ph |k, 0i|2 δ(εk − εk−q − ~ωq )
~
Der Operator der Elektron-Phonon Wechselwirkung hat die Gestalt
s
~
iC X
qc†k−q ck a−q − a†q
Ĥel−ph = √
V q,k 2ρqcs
Die Auswertung des Matrixelements ergibt:
|hk − q, 1q | Ĥel−ph |k, 0i|2 =
C 2 ~q
2V ρcs
c) Die q-Summation wird in ein Integral umgewandelt:
Z qD
Z 1
q
V
C 2 ~ 2π
1
dq q 3 δ(εk − εk−q − ~ωq ) cos Θ =
d(cos Θ)
=
2π
3
τ
(2π) 2V ρcs ~
k
0
−1
Z 1
Z qD
C2
~2
q
=
d(cos Θ)
dq q 3 δ(
(2kq cos Θ − q 2 )) cos Θ =
4πρcs −1
2m
k
0
Im letzten Schritt wurde dabei folgendes ausgenutzt:
εk − εk−q − ~ωq =
2m
~2
~2
(2kq cos Θ − q 2 −
cs q) ≈
(2kq cos Θ − q 2 ),
2m
~
2m
c q << kq cos Θ (elektronische Geschwindigkeit größer als Schallgeschwindigkeit).
da 2m
~ s
1
δ(x) der Delta-Distribution folgt:
Und mit der Eigenschaft δ(ζx) = |ζ|
1
C 2 2m
=
τ
4πρcs ~2
Z
1
−1
d(cos Θ)
Z
0
qD
dq q 2 δ(2k cos Θ − q)
q
cos Θ
k
Da das Argument der Delta-Distribution für cos Θ < 0 nie Null wird, lassen sich die
Integrationsgrenzen über Θ einschränken.
Z 1
Z qD
C 2m
1
d(cos
Θ)
cos
Θ
=
dq q 3 δ(2k cos Θ − q) =
τ
2πρcs ~2 k 0
0
Z 1
C 2m
4C 2 mk 2
3
d(cos Θ) cos4 Θ =
8k
2
2πρcs ~ k
5πρcs ~2
0