Theorie zu Kombinatorik

Kombinatorik
1. Mathematische Einordnung
Kombinatorik
1.
Mathematische Einordnung
Stochastik
Kurz: Mathematik des Zufalls
Beschreibung und Untersuchung von Zufallsexperimenten
Bsp.: Werfen von Würfeln, Werfen von Münzen,
Ziehen von Kugeln aus einer Urne
bla
Kombinatorik
2.
Wahrscheinlichkeitstheorie
Statistik
Produktregel
Einstiegsbeispiel:
In einer Werkstatt stehen zwei Fräsmaschinen F1 und F2 , drei Bohrmaschinen B1 , B2 und B3 sowie zwei Schleifmaschinen S1 und S2 .
Wie viele Wege gibt es für ein Werkstück, das im Fertigungsprozess zuerst gefräst, dann gebohrt und zum Schluss
geschliffen werden muss?
Regel:
Produktregel der Kombinatorik
Ein Versuch wird in k Stufen durchgeführt. Auf der
1. Stufe gebe es n1 mögliche Ergebnisse,
2. Stufe gebe es n2 mögliche Ergebnisse,
3. Stufe gebe es n3 mögliche Ergebnisse,
···
k. Stufe gebe es nk mögliche Ergebnisse.
Sind die Ergebnisse einer Stufe unabhängig von den Ergebnissen der vorangehenden Stufen, dann gibt es bei dem
Versuch insgesamt die folgende Anzahl mögliche Ergebnisse:
n = n1 · n2 · n3 · . . . · nk
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3.
3. Permutationen, Variationen und Kombinationen
Permutationen, Variationen und Kombinationen
Einstiegsbeispiele:
1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Autos auf 4 freie Parkplätze zu stellen? Versuchen Sie, dafür auch eine
allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie n Autos und n freie Parkplätze haben.
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine dreistellige Zahl mit den Ziffern 3 und 7 zu bilden? Versuchen Sie, dafür
auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie k-stellige Zahlen mit n verschiedenen Ziffern
haben.
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3. Permutationen, Variationen und Kombinationen
3. Anja, Bettina, Chris, Doris, Eva, Fabienne und Gaby nehmen an einem Schwimmwettkampf teil. Ein Reporter
der Lokalzeitung möchte von den ersten drei auf dem Siegerpodest ein Foto machen. Wie viele verschiedene
Möglichkeiten können vorkommen? Versuchen Sie, dafür auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie n verschiedene Mädchen und das Podest k Plätze hat. Sie dürfen zusätzlich davon ausgehen,
dass k kleiner als n ist.
4. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Männer, 3 Frauen und 4 Kindern auf 9 vorhandene Stühle zu setzen? Versuchen
Sie, dafür auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie n Stühle, k1 Männer, k2 Frauen
und k3 Kinder vorhanden sind. Sie dürfen zusätzlich davon ausgehen, dass k1 + k2 + k3 = n.
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3. Permutationen, Variationen und Kombinationen
Permutationen
Definition:
Jede Anordnung aller Elemente einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge heisst Permutation der Elemente.
Definition:
Die Fakultät ist das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl:
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n
(sprich: n Fakultät)
Weiter ist definiert:
0! := 1
TI-89:
unter ’CATALOG’
alle Elemente sind verschieden
Satz:
Zu einer Menge mit n verschiedenen Elementen gibt es
1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n!
Permutationen oder Anordnungen.
Beweisidee:
ki Elemente sind gleich
Satz:
Zu n Elementen, von denen jeweils k1 , k2 , . . . , kr gleich sind, gibt es
n!
k1 ! · k2 ! · . . . · kr !
Permutationen mit Wiederholungen.
Beweisidee:
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3. Permutationen, Variationen und Kombinationen
Variationen
Ziehen mit Zurücklegen
Satz:
Gegeben seien n Elemente für jede Position (mit Wiederholung). Somit gibt es
nk
Anordnungen.
Beweisidee:
Ziehen ohne Zurücklegen
Satz:
Gegeben seien einmalig n Elemente (ohne Wiederholung). Somit gibt es
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Anordnungen.
Beweisidee:
Exkurs:
d Pascalsches Dreieck
Die Zahlen des Pascalschen Dreiecks werden zur Entwicklung von binomischen Termen benötigt. Es gilt:
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
(a + b)6
..
.
=
1
=
1a + 1b
=
1a2 + 2ab + 1b2
3
=
1a + 3a2 b + 3ab2 + 1b3
4
=
1a + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4
5
=
1a + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + 1b5
6
= 1a + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + 1b6
..
..
.
.
Die Koeffizienten von den binomischen Termen bilden das Pascalsche Dreieck.
Solch ein Binomialkoeffizient wird auch mit nk bezeichnet und ist folgendermassen definiert:
n
n!
(sprich: n tief k)
:=
k! · (n − k)!
k
c
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3. Permutationen, Variationen und Kombinationen
Kombinationen
Einstiegsbeispiele:
5. Aus einer Urne mit 49 durchnummerierten Kugeln werden 6 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen entnommen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn es dabei nicht auf die Reihenfolge der Kugeln ankommt?
6. 6 Äpfel sollten auf 3 Kinder verteilt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
7. 8 Auto-Mechanikern stehen 4 nicht-unterscheidbare Wagenheber zur Verfügung. Auf wie viele Arten können die
Heber verteilt werden?
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3. Permutationen, Variationen und Kombinationen
Satz:
Aus einer Menge mit n Elementen kann man auf
n
n!
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
=
k
k!(n − k)!
1 · 2 · 3 · ... · k
Arten k Teilmengen (k ≤ n) ohne Wiederholung auswählen.
Hinweis:
n
k
=
n
n−k
Zahlenbsp.:
10
8
=
10
2
= 45
Beweisidee:
TI-89:
Unter Catalog: nCr
Satz:
Aus einer Menge mit n Elementen kann man auf
n+k−1
k
Arten k-Teilmengen mit Wiederholung auswählen.
Beweisidee:
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4.
4. Entscheidunghilfe
Entscheidunghilfe
Werden alle Elemente angeordnet?
Ist die Reihenfolge wichtig?
Permutationen
Variationen
5.
Kombinationen
Urnenmodell
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