Mathematik III (SGA12) – Serie 5

Fachbereich Wasser- & Kreislaufwirtschaft
Prof. Dr. rer. nat. habil. Andreas Felgenhauer
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Mathematik III (SGA12) – Serie 5
A Gewöhnliche Differentialgleichungen
1)
2) a) C1 e−4x + (3x + C2 )e4∗x
b) (C1 + C2 x + 2 ∗ x3 )e2x
c) (C1 + x8 ) sin(2x) + (C2 +
3)
1
16 ) cos(2
∗ x) ∗ C1 +
x
8
a) y(x) = 2ex + e−4x + 2xe−x
b) y(x) = −1 − x − x2 − x3 + e3(1−x) − 2e3(x−1)
4) y (4) + 4y 000 + 12y 00 − 4y 0 − 13y = 0
5) a) y 000 − 2y 00 − y 0 + 2y = 0
b) y 00 − 6y 0 + 9y = 0
c) y 00 − 4y 0 + 8y = 0
6)
y
1
1
3
1
(1 − x2 ) + (1 + x)ex + e−x + cos x + sin x
2
4
4
2
=
B: Kombinatorik
n
7) 1.Weg: Binomischer Satz (x
+ y) =
Pn
n
n
n
(1 + 1) = 2 = k=0 k .
2.Weg: Kombinatorik
Pn
k=0
n
k
xk y n−k setze x = 1, y = 1 ein:
a)
n-Teile
0
1
..
.
n
b) n Teile
1 2
0 0
0 0
..
..
.
.
L
L
..............
..............
Auswahl
n
0
n
1
..
..............
.
n
..............
n
⇒ Kennzeichnen 0 oder L
... n
... 0
... L
..
.
...
L
Wieviel Zahlen lassen sich binär darstellen? −→ 2n .
8) Anzahl der Möglichkeiten aus n Eckpunkten zwei herauszugreifen (die dann
verbunden werden). [ohne Wdh. und ohne Beachtung der Reihenfolge].
−→ n2
n Kanten subtrahieren !
−→ Diagonalenzahl :
n
2
−n=
n(n−3)
.
2
1
H2FMpSs
9) 1.Weg: Variation mit Wdh.
−→ nk mit n = 2, k = 5.
−→ 32 Protokolle.
2.Weg: Die Kombination 5i gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie oft z.B. Zahl“bei 5
”
Würfen genau i–mal vorkommt.
Die Anzahl der Versuchsprotokolle ergibt sich somit als Summe:
P5
5
5
i=0 i = 2 = 32 Protokolle.
10) Anzahl der Mögl. für 4 Richtige:
6
4
Wkt. für Vierer:
·
6
4
·
43
2
43
2
49
= 0.0009686
6
11)
10
4
= 210
12)
13
= 78
2
2
= 13545
C: Elementare Wahrscheinlichkeiten
13)
p=
14)
a)
b)
10!
12!
=
10!·3!
12!
74
= 34.26%
216
1
132
=
1
22
15)
a) A : 1. Produkt gut
B : 2. Produkt gut
P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A)
4 7 4
8
·
·
V2
P (A ∩ B) = 1 120 · 1 110 = 0.424 oder bei Durchnumerierung: 82 = 0.424
V12
1
1
b) P (A ∩ B) =
8 8
4
·
= = 0.4
12 12
9
D: Zufällige Ereignisse
16)
A: rote Lampe brennt,
B: weiße Lampe brennt.
a) Ea = A ∩ B
b) Eb = A ∩ B
c) Ec = A ∩ B
d) Ed = A ∩ B
e) Ee = Ec ∪ Ed
f) Ef = A ∪ B
g) Eg = Eb ∪ Ec ∪ Ed = A ∪ B = A ∩ B
17) A : von 5 Werkstücken sind nicht genau 3, d.h. 0, 1, 2, 4 oder 5, normgerecht.
B : von 5 Werkstücken sind weniger als 3, d.h. 0, 1, 2, normgerecht.
A ∩ B = A. A ∪ B = B.
18) B = (A1 ∪ A2 ) ∪ (A3 ∩ (A4 ∪ A5 ) ∩ A6 ) ∪ A7 .
B = (A1 ∪ A2 ) ∩ (A3 ∩ (A4 ∪ A5 ) ∩ A6 ) ∩ A7 .
P - Parallelschaltung
PB = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A 7
PB = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A 7
R - Reihenschaltung
RB = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A7
RB = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A7
4
;
10
6·6
16
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A1 ∩ A2 ) = 1 −
=
;
10 · 10
25
4
4
4·4
16
bzw. P (B) = P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) =
+
−
=
.
10 10 10 · 10
25
19) Mit Zurücklegen: P (A1 ) = P (A2 ) =
3
4
;
10
4·3
6·4
4
P (A2 ) = P (A1 ∩ A2 ) + P (A1 ∩ A2 ) =
+
=
;
10 · 9 10 · 9
10
Ohne Zurücklegen:
P (A1 ) =
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A1 ∩ A2 ) = 1 −
6·5
2
= ;
10 · 9
3
bzw. P (B) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) =
20)
P(
n
S
P(
i=1
n
T
Ai )
≥
0.9
Ai )
≤
0.1
0.8n
≤
0.1
i=1
Also n ≥ 11.
4
4
4
4·3
2
+
−
= .
10 10 10 · 9
3