¨Ubungsblatt 8 - Lösungen zu den Z
Werbung
Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik SS 2010
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Übungsblatt 8 - Lösungen zu den Z-Aufgaben
Aufgabe Z1:
Gesucht ist in allen Aufgabenteilen die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B).
a) A ist eine Teilmenge von B:
A ⊂ B ⇔ P (A|B) = 0.
Wenn A eine Teilmenge von B ist, gilt dass das Ereignis A nicht eintreten kann, wenn nicht gleichzeitig Ereignis B eintritt.
Anschaulich hier: A ist eine Teilmenge von B, dh. alle für die Kriterium A zutrifft (also alle
weiblichen Geschlechts) erfüllen auch Kriterium B (verfügen also über einen Bargeldbestand von
mehr als 10 Euro). Jemand der nicht über einen Bargeldbestand von mehr als 10 Euro verfügt,
kann demnach nicht weiblich sein. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist Null.
b) B ist Teilmenge von A:
B⊂A
P (A\B)
P (A|B) = P P(A∩B)
= 1−P
(B) =
(B)
P (A)−P (B)
1−P (B)
P (A \ B) = P (A) − P (B) gilt hierbei da der komplette Ereignisraum von B in A liegt.
Anschaulich: B ist eine Teilmenge von A, dh. alle mit einem Bargeldbestand größer als 10 Euro sind
weiblich. P (A|B) wäre dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand, der einen Bargeldbestand
von 10 Euro oder weniger hat, weiblich ist.
c) A und B schliessen sich gegenseitig aus.
A∩B =∅
P (A\B)
P (A)
⇒ P (A|B) = P P(A∩B)
= 1−P
(B) = 1−P (B)
(B)
Da A und B keinen gemeinsamen Ereignisraum haben gilt hier: A \ B = A
Anschaulich: A ∩ B = ∅ bedeutet, dass es keine einzige weibliche Person gibt mit einem Bargeldbestand von mehr als 10 Euro. P (A|B) ist der Anteil der Frauen an der Gesamtzahl derer mit weniger
als 10 Euro.
Aufgabe Z2:
Auch diese Aufgabe lässt sich mit Hile des Lösungsansatzes von Laplace lösen. Die Wahrscheinlichkeit
für ein Ereignis A ist dann:
g
P (A) = m
wobei g die Anzahl der Ausgänge in denen Ereignis A eintritt bezeichnet und m die gesamte Anzahl aller
möglichen Ausgänge des Laplace Experiments.
Seine S die Augensumme bei viermaligem Würfeln. Es gilt:
P (S ≤ 7) = P (S = 4) + P (S = 5) + P (S = 6) + P (S = 7)
denn eine Augensumme kleiner als 4 kann bei viermaligem Würfeln nicht auftreten.
Wieviele mögliche Ausgänge gibt es insgesamt bei viermaligem Würfeln?
m = 64 = 1296
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, dass eine Augensumme von 4 eintreten könnte?
(S = 4) = {(1111)}
1
Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik SS 2010
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Eine Augensumme von 4 kann nur eintreten, wenn viermal hintereinander eine 1 gewürfelt wird.
1
⇒ P (S = 4) = 1296
Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Augensumme von 5 eintreten könnte?
(S = 5) = {(2111), (1211), (1121), (1112)}
Es gibt 4 Möglichkeiten.
4
⇒ P (S = 5) = 1296
Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Augensumme von 6 eintreten könnte?
(S = 6) = {(3111), (1311), (1131), (1113), (1122), (1221), (2211), (1212), (2121), (2112)}
Es gibt 10 Möglichkeiten.
10
⇒ P (S = 6) = 1296
Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Augensumme von 7 eintreten könnte?
(S = 7) = {(4111), (1411), (1141), (1114), (1222), (2122), (2212), (2221), (1123), (1231), (2311), (1213), (2131), (2113),
(1132), (1321), (3211), (1312), (3121), (3112)}
Es gibt 20 Möglichkeiten.
20
⇒ P (S = 7) = 1296
35
⇒ P (S ≤ 7) = P (S = 4) + P (S = 5) + P (S = 6) + P (S = 7) = 1+4+10+20
= 1296
= 0, 027
1269
Die Wahrscheinlichkeit dafür bei viermaligem Würfeln eine Augensumme von 7 oder weniger zu erhalten,
beträgt 2,7%.
Aufgabe Z3:
a) Wieviele Elementarereignisse in Hinblick auf die zwei hintereinander gezogenen Objekte gibt es im
Fall mit Zurücklegen?
Beim ersten Ziehen gibt es fünf verschiedene Möglichkeiten. Da die gezogene Kugel danach zurück
gelegt wird, ändert sich an der Zahl der Möglichkeiten beim zweiten Ziehen nichts: Es sind wieder
fünf. Somit ergibt sich die Anzahl der Elementarereignisse als:
5 · 5 = 25
Die Elementarereignisse lassen sich in stilisierter Form wie folgt auflisten:
{(A,A),
(B,A),
M = (C,A),
(D,A),
(E,A),
(A,B),
(B,B),
(C,B),
(D,B),
(E,B),
(A,C),
(B,C),
(C,C),
(D,C),
(E,C),
(A,D),
(B,D),
(C,D),
(D,D),
(E,D),
(A,E),
(B,E),
(C,E),
(D,E),
(E,E)}
wobei M die Menge der Elementarereignisse bezeichnet.
Alternativ ließen sich die Elementarereignisse auch wie folgt darstellen:
M´ =
{(GW,GW),
(OW,GW),
(GK,GW),
(GW,OW),
(OW,OW),
(GK,OW),
(GW,GK),
(OW,GK),
(GK,GK)}
wobei GW einen beliebigen gelben Würfel, OW einen orangen Würfel und GK eine gelbe Kugel
bezeichnet.
Hierbei wird angenommen, dass nun nicht mehr alle fünf Objekte unterscheidbar sind: Es wird
nur noch nach Form und Farbe unterschieden, die Markierungen A bis E spielen keine Rolle. Es
bleiben nun noch 9 unterscheidbare Elementarereignisse. Die Anzahl der Elementarereignisse hängt
also entscheidend davon ab, ob die fünf Objekte alle voneinander unterscheidbar sind oder nicht.
Wichtig zu wissen ist es auch, dass in diesem Fall die aufgelisteten Elementarereignisse nicht mehr
2
Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik SS 2010
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten.
Wieviele Elementarereignisse in Hinblick auf die zwei hintereinander gezogenen Objekte gibt es im
Fall ohne Zurücklegen?
Beim ersten Ziehen gibt es auch hier wieder fünf verschiedene Möglichkeiten. Beim zweiten Ziehen
befindet sich nun jedoch eine Kugel weniger in der Urne: Es gibt nur noch vier Möglichkeiten.
Somit ergibt sich für die Anzahl der Elementarereignisse:
5 · 4 = 20
Die Elementarereignisse lassen sich in stilisierter Form wie folgt auflisten:
{(A,B),
(B,A),
M = (C,A),
(D,A),
(E,A),
(A,C),
(B,C),
(C,B),
(D,B),
(E,B),
(A,D),
(B,D),
(C,D),
(D,C),
(E,C),
(A,E),
(B,E),
(C,E),
(D,E),
(E,D)}
Im Falle der Nichtunterscheidbarkeit zweier gleichfarbiger Würfel würde sich auch hier die Anzahl
der unterscheidbaren Elementarereignisse ändern:
M´ =
{(GW,GW),
(OW,GW),
(GK,GW),
(GW,OW),
(OW,OW),
(GK,OW)}
(GW,GK),
(OW,GK),
b) Mit Zurücklegen:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zwei gelbe Objekte zu ziehen?
Sei X die Anzahl der gezogenen gelben Objekte bei zweimaligem Ziehen. Das genannte Experiment kann 25 verschiedene und gleich wahrscheinliche Ausgänge hervorbringen (siehe Auflistung
der Elementarereignisse). In einem solchen Fall spricht man von einem Laplace Experiment. Die
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist dann gegeben als:
g
P (A) = m
wobei g die Anzahl der Ausgänge in denen Ereignis A eintritt bezeichnet und m die gesamte Anzahl
aller möglichen Ausgänge des Laplace Experiments.
Hier gab es 9 Möglichkeiten zwei gelbe Objekte zu ziehen (siehe Auflistung der Elementarereignisse).
Somit folgt:
9
P (X = 2) = 25
= 0, 36
Alternativ lässt sich das im Fall mit Zurücklegen auch mit der Binomialverteilung lösen.
Ohne Zurücklegen:
Diesmal gibt es nur noch 6 Möglichkeiten zwei gelbe Objekte zu ziehen. Die Gesamtzahl der
möglichen Ausgänge beträgt 20. Somit folgt:
6
= 0, 3
P (X = 2) = 20
c) Hier wird nur noch der Fall ohne Zurücklegen betrachtet:
2
P (X = 0) = 20
= 0, 1
Es gibt nur zwei Möglichkeiten zwei nicht-gelbe Objekte zu ziehen: (C,D) und (D,C).
P (X = 1) = 12
20 = 0, 6
6
P (X = 2) = 20
= 0, 3
3
Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik SS 2010
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Alternativ lässt sich diese Aufgabe auch mit der hypergeometrischen Verteilung lösen.
Grafische Darstellung der Massenfunktion:
d) E(X) = Σni=1 P (X = xi ) · xi = P (X = 0) · 0 + P (X = 1) · 1 + P (X = 2) · 2 = 1, 2
e) Sei Y nun die Anzahl der gezogenen orangen Würfel im Fall ohne Zurücklegen.
Wenn kein oranger Würfel gezogen werden, bedeutet das gleichzeitig, dass dann zwei gelbe Objekte
gezogen werden. Somit gilt:
P (Y = 0) = P (X = 2) = 0, 3
Analog lassen sich auch die beiden anderen Wahrscheinlichkeiten errechnen:
P (Y = 1) = P (X = 1) = 0, 6
P (Y = 2) = P (X = 0) = 0, 1
E(Y ) = Σni=1 P (Y = yi ) · yi = P (Y = 0) · 0 + P (Y = 1) · 1 + P (Y = 2) · 2 = 0, 8
Grafische Darstellung der Massenfunktion:
f) Sei Z nun die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln im Fall ohne Zurücklegen. Da es nur eine gelbe
Kugel gibt, kann Z nur die Werte 0 oder 1 annehmen.
4
Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Statistik SS 2010
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Es gibt 12 Fälle in denen, die gelbe Kugel (E in der Auflistung der Elementarereignisse) nicht gezogen wird, also:
P (Z = 0) = 12
20 = 0, 6
Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse müssen sich zu 1 aufaddieren, daher gilt:
P (Z = 1) = 1 − P (Z = 0) = 0, 4
E(Z) = Σni=1 P (Z = zi ) · zi = P (Z = 0) · 0 + P (Z = 1) · 1 = 0, 4
5
