Online Algorithmen I, SS 2005 ¨Ubungsblatt 4 Universität Bonn
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Online Algorithmen I, SS 2005 Übungsblatt 4 Universität Bonn, Institut für Informatik I 1 ..., 5 bei den Aufgaben sind ein Maß für den SchwierigDie Ziffern , 1 für ’sehr leicht’ keitsgrad der jeweiligen Aufgabe bzw. Teilaufgabe, mit 5 für ’sehr schwer’. und Aufgabe 1: 2 , 1 , 2 , 2 3 Nimm , Das Spiel Nimm funktioniert wie folgt: Am Anfang gibt es k Häufchen aus unterschiedlich vielen Streichhölzern ni (i = 1, . . . , k). Nun nehmen Weiß und Schwarz abwechselnd Hölzer weg. Dabei dürfen in jedem Zug nur Hölzer von einem Haufen entfernt werden, beliebig viele, aber mindestens eins. Gewonnen hat der Spieler, der das letzte Streichholz weg nimmt. a) Betrachten Sie das Spiel mit der Anfangsstellung (2, 2), d.h., es gibt k = 2 Häufchen, und jeder Haufen besteht aus genau 2 Streichhölzern. Stellen Sie das Spiel durch einen extensiven Spielbaum dar! Nehmen Sie dabei zur Reduktion der Knotenzahl an, dass die Haufen immer nach absteigender Größe sortiert sind. Das heißt, dass z.B. die Fälle (1, 2) und (2, 1) nicht unterschieden werden. b) Beschriften Sie die Blätter des Baumes, bei denen Weiß gewinnt, mit 1, und diejenigen, bei denen Schwarz gewinnt, mit -1. Pflanzen Sie nun analog zum Beispiel in der Vorlesung die Knotenbeschriftung durch Maximum- bzw. Minimumbildung von den Blättern ausgehend nach oben fort! Was ist der Wert des Spieles? c) Zählen Sie alle möglichen Strategien für Weiß und für Schwarz auf! d) Geben Sie die Auszahlungsmatrix des Spieles an! Ist das Spiel eindeutig? Wie könnten Sie die Antwort ohne Rechnung begründen? Finden Sie alle Sattelpunkte der Auszahlungsmatrix! Muss es Sattelpunkte geben? Gibt es eine Gewinnstrategie? Für wen und wie lautet sie? e) Betrachten Sie nun alle möglichen Ausgangssituationen (n1 , n2 ) mit zwei Haufen. Nehmen wir an, dass beide Spieler optimal spielen. Wann gewinnt dann Weiß und wann Schwarz? Beschreiben Sie eine Gewinnstrategie! bitte wenden! 1 Aufgabe 2: 3 Negatives Nimm Man kann genauso gut die umgekehrte Variante von Nimm betrachten. Hier verliert der Spieler, der das letzte Streichholz entfernt. Betrachten Sie wieder alle möglichen Ausgangssituationen mit zwei Haufen. Und wieder sollen beide Spieler optimal spielen. Wann gewinnt Weiß und wann gewinnt Schwarz? Ist dies genau entgegengesetzt zum positiven Nimm? Aufgabe 3: 3 2x2-Auszahlungsmatrizen a) Geben Sie ein Beispiel einer 2 × 2-Auszahlungsmatrix an, bei der das zugehörige Spiel nicht eindeutig ist. b) Geben sie ein Beispiel einer 2 × 2-Auszahlungsmatrix eines eindeutigen Spieles an, bei der ein Matrixeintrag existiert, der gleich dem Wert ν des Spieles aber kein Sattelpunkt ist. Aufgabe 4: 3 Randomisiertes Nimm Betrachten Sie noch einmal die Nimm-Variante aus der Vorlesung, also negatives Nimm mit einem Haufen mit 4 Hölzern, bei der jeweils der entsprechende Spieler pro Zug nur entweder 1 oder 2 Hölzer wegnehmen darf. In der Vorlesung waren schon der Spielbaum und alle Strategien untersucht worden. Nun werfe Weiß bei jeder nötigen Entscheidung eine faire Münze. Und Schwarz benutzt einen Zufallsgenerator, der sich mit Wahrscheinlichkeit 1/3 für das Entfernen von einem Holz und mit Wahrscheinlichkeit 2/3 für das Nehmen von zwei Hölzern entscheidet. a) Wenn man sich vorstellt, dass die nötigen Zufallsentscheidungen im voraus getroffen werden, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung resultiert dann für die Strategien von Weiß bzw. die Strategien von Schwarz? b) Weiterhin werde ein Sieg von Weiß mit 1 und ein Sieg von Schwarz mit -1 gewertet. Was ist dann der Erwartungswert des Spieles? Aufgabe 5: 4 BeiSpiel für gemischte Strategien Nach dem MiniMax-Theorem hat jedes endliche Zwei-Personen-Nullsummen-Spiel mit gemischten Strategien einen Wert ν = maxp minq Ã(p, q) = minq maxp Ã(p, q). Berechnen Sie ν für die folgende Matrix A: A := −2 −1 5 1 −2 −3 ! Berechnen Sie außerdem eine (gemischte) optimale Strategie für Weiß und eine ebensolche für Schwarz! Besprechung: Donnerstag, 16.06., 13:30, Raum N 327 2
