Extensive Spiele und Existenz von Nash

Prof. Dr. S. Dempe, M. Sc. M. Pilecka,
Institut für Numerische Mathematik und Optimierung
Spieltheorie (WS 2016/17)
Übung vom 03.11.
Extensive Spiele und Existenz von Nash-Gleichgewichten
Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und
insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.
(Albert Einstein)
Aufgabe 1
Beim Nim-Spiel sind k Reihen mit nj , j = 1, . . . , k, Streichhölzern vorhanden. Zwei Spieler nehmen abwechselnd Streichhölzer aus einer der Reihen weg. Wie viele sie nehmen spielt keine Rolle,
es muss jedoch mindestens ein Streichholz sein und es dürfen bei einem Zug nur Streichhölzer
einer einzigen Reihe genommen werden. Derjenige Spieler, der den letzten Zug macht, also die
letzten Streichhölzer wegnimmt, gewinnt.
Für den Fall k = 2 und n = (2, 1) stelle man das Spiel in extensiver Form (Spielbaum) dar.
Welcher Spieler besitzt eine Gewinnstrategie?
Anschließend betrachte man den allgemeinen Fall und untersuche in Abhängigkeit von k und
(nj )j=1,...,k welcher der beiden Spieler eine Gewinnstrategie besitzt und wie diese aussieht. Außerdem stelle man einen möglichen Verlauf der Gewinnstrategie für n = (7, 5, 3, 2) dar.
Aufgabe 2
Die folgenden beiden Spiele lassen sich in extensiver Form, d.h. also als Spielbaum darstellen.
Problematisch ist in beiden Fällen allerdings die Größe der Spielbäume. Daher überlege man
sich ohne Spielbaum, ob einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie besitzt und gebe diese
gegebenenfalls an.
(a) Zwei Spieler wählen abwechselnd je eine Zahl von 1, . . . , 10. Diese Zahlen werden aufaddiert. Verloren hat derjenige Spieler, der die Summe als erster auf 100 oder mehr bringt.
(b) Zwei Spieler wählen abwechselnd je eine Zahl von 1, . . . , 6. Diese Zahlen werden aufaddiert.
Gewonnen hat derjenige Spieler, der die Summe als erster auf 25 oder mehr bringt.
Aufgabe 3
Betrachtet sei ein n-Personenspiel G mit den Auszahlungsfunktionen fi und Strategiemengen
n
N
Si . Definiert man nun S =
Si und H : S × S 7→ R , wobei
i=1
H(x, y) =
n
X
fi (x1 , . . . , xi−1 , yi , xi+1 , . . . , xn ) =
i=1
n
X
fi (yi , x−i )
i=1
so zeige man, dass x genau dann ein Nash-Gleichgewicht für G ist, wenn für alle y ∈ S die
Ungleichung H(x, y) ≤ H(x, x) gilt.
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Prof. Dr. S. Dempe, M. Sc. M. Pilecka,
Institut für Numerische Mathematik und Optimierung
Aufgabe 4
Betrachtet sei ein (Zwei-Personen-)Nullsummenspiel mit einem Nash-Gleichgewicht (s1 , s2 ) und
Wert v. Des Weiteren sei (t1 , s2 ) eine zulässige Strategie mit f (t1 , s2 ) = v. Man zeige oder
widerlege, dass t1 Teil eines Nash-Gleichgewichtes ist.
Aufgabe 5
Die beste Antwortfunktion eines Spiels sei eine Kontraktion, d.h. d(B(s1 ), B(s2 )) ≤ λd(s1 , s2 )
mit 0 ≤ λ < 1. Man zeige, dass dann dieses Spiel höchstens ein Nash-Gleichgewicht besitzt.
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