Übungsblatt 3

Mathematik II/1 (für Physiker und Comp. Science)
Prof. Dr. Stollmann
Übungsblatt 3
30.10.2014
1. Gegeben ist das Anfangswertproblem
ẋ = t − x,
x(0) = 1.
(1)
(a) Bestimmen Sie mit dem Eulerverfahren eine approximative Lösung von (1) auf dem Intervall [0, 1]. Berechnen Sie hierfür das zugehörige Eulerpolygon zu den Stützstellen
{0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}.
(b) Bestimmen Sie mittels Substitution die exakte Lösung von (1) und vergleichen Sie.
2. Gegeben ist die Funktion f : R → R,


 1, x > 0
f (x) =
−1, x = 0


0, x < 0,
und das Anfangswertproblem
ẋ = f (x),
x(0) = x0 .
Diskutieren Sie die Lösbarkeit des AWP in Abhängigkeit vom Anfangswert x0 .
3. (Energiemethode) Zur Lösung der Differentialgleichung ẍ = f (x) multipliziere man mit ẋ
und beachte dtd ẋ2 = 2ẋẍ. Lösen Sie damit die Anfangswertaufgabe
ẍ = 2ex ,
x(0) = 0,
ẋ(0) = −2.
4. Auf Grund des Gravitationsgesetzes beschreibt das Anfangswertproblem
mr̈ = −γ
Mm
,
r2
r(0) = R,
ṙ(0) = v0
die Flugbahn eines Körpers der Masse m zur Erde hin bzw. von der Erde weg (M sei die
Erdmasse). Dabei sind r(t) der Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt zur Zeit t und γ die
Gravitationskonstante.
(a) Formen Sie geeignet um, und führen Sie die Differentialgleichung durch Integration in eine
erster Ordnung über. Berücksichtigen Sie die Anfangsbedingungen.
(b) Es soll die kleinste Geschwindigkeit v0 (Fluchtgeschwindigkeit von der Erde, zweite kosmische Geschwindigkeit) ermittelt werden, für die die Bewegung bis ins Unendliche reicht,
also nicht umkehrt. Dem entsprechen die beiden Forderungen r(t) → ∞ und ṙ(t) → 0 für
t → ∞.
(M = 5.97 · 1024 kg, γ = 6.673 · 10−11 m3 kg−1 s−2 , R = 6.370 · 106 m)
(c) Lösen Sie das Anfangswertproblem, falls v0 die zweite kosmische Geschwindigkeit ist.