Tutoriumsaufgaben

SS 2014
Prof. Dr. Franz Merkl
2. Übungsblatt
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Mi, 23.04.2013, 14:15 Uhr.
Tutoriumsaufgaben
T1.(Ein Affe an der Schreibmaschine.)
Ein Affe tippt an der Schreibmaschine unendlich lange einen zufälligen, i.i.d. verteilten
Text (Xn )n∈N , wobei jedes Schreibmaschinenzeichen α ∈ A = {a, . . . , z, A, . . . , Z, . . .}
positive Wahrscheinlichkeit P [X1 = α] > 0 besitzen soll. Zeigen Sie, dass er P -fast sicher
unendlich oft Goethes Faust tippt.
T2.(Unabhängigkeit und Produktmaße.)
Es sei (Xi : (Ω, A) → (Ωi , Ai ))i∈I eine Familie von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Zeigen Sie: Auch die Zusammensetzung
!
Y
O
X : (Ω, A) →
Ωi ,
Ai , X(ω) = (Xi (ω))i∈I
i∈I
i∈I
ist eine Zufallsvariable. Die Familie (Xi )i∈I ist unabhängig bzgl. P genau dann, wenn gilt:
O
LP (X) =
LP (Xi ).
i∈I
T3.(Terminale Ereignisse bei Summen.)
Es sei (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen.
a) Zeigen Sie, dass
n
1X
Xk
S := lim inf
n→∞ n
k=1
messbar ist bezüglich der terminalen σ-Algebra
\
T =
σ(Xk : k ≥ n).
n∈N
P∞
b) Zeigen
Sie, dass das Ereignis “ k=1 Xk konvergiert in R” terminal ist, das Ereignis
P
“ ∞
X
k konvergiert gegen a ∈ R” für gegebenes a ∈ R i.A. jedoch nicht.
k=1
T4.(Harmonische Reihe mit zufälligen Vorzeichen.)
Es seien (Xn )n∈N “faire Münzwürfe” mit Werten ±1, also i.i.d. Zufallsvariablen mit der
Verteilung LP ((Xn )n∈N ) = ( 21 (δ−1 +δ1 ))⊗N . Zeigen Sie: Die “harmonische Reihe mit zufälligen Vorzeichen”
∞
X
Xn
n
n=1
konvergiert P -fast sicher.
(bitte wenden für die Hausaufgaben!)
Hausaufgaben
H1.(Messbarkeit bezüglich einer fast sicher trivalen σ-Algebra.)
a) Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, F ⊆ A eine P -fast sicher triviale
Unter-σ-Algebra, d.h. P (A) ∈ {0, 1} für alle A ∈ F, und L : Ω → R ∪ {±∞} eine
bezüglich F messbare Zufallsvariable. Beweisen Sie, dass es ein a ∈ R ∪ {±∞} gibt,
so dass P -fast sicher L = a gilt.
b) Folgern Sie: Sind (Xn )n∈N unabhängige reellwertige Zufallsvariablen, so ist
n
lim inf
n→∞
1X
Xk
n k=1
(1)
fast sicher konstant.
H2.(Vererbung der Unabhängigkeit.)
a) Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Fi )i∈I eine unabhängige Familie von
Unter-σ-Algebren Fi ⊆ A und (Jk )k∈K eineSFamilievon paarweise disjunkten Teilmengen Jk ⊆ I. Zeigen Sie, dass auch σ i∈Jk Fi k∈K eine unabhängige Familie
von Unter-σ-Algebren ist.
b) Folgern Sie als ein Beispiel dazu: Ist (Xn )n∈N eine i.i.d. Folge reellwertiger Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ), so ist auch (X2m−1 + X2m )m∈N eine i.i.d. Folge.
H3.(Asymptotische Schranke für zufällige Summen.)
Es seien (Xn )n∈N unabhängige Zufallsvariablen mit verschwindender Erwartung EP [Xn ] =
0 für alle n ∈ N und beschränkter Varianz
s2 := sup VarP (Xn ) < ∞.
n∈N
Zeigen Sie für alle α > 1/2:
n−α
n
X
n→∞
Xk −→ 0 P -fast sicher.
k=1
Hinweis: Verwenden Sie die Ungleichung von Kolmogoroff.
H4.(Längste konstante Sequenzen bei Münzwürfen – untere Schranke.)
Wie in Aufgabe H2 von Blatt 1 sei (Xn )n∈N eine i.i.d. Folge von {0, 1}-wertigen Zufallsvariablen mit LP (Xn ) = pδ1 + (1 − p)δ0 mit 0 < p < 1,
Ln = sup{l ∈ N0 | ∃m ∈ {1, . . . , n} ∀j ∈ {0, . . . , l − 1} : Xm+j = 1}.
Zeigen Sie:
lim inf
n→∞
1
Ln
≥
P -fast sicher.
log n
| log p|
Hinweis: Gehen Sie so vor:
a) Gegeben β ∈]0, 1[, sei
βm log 2
lm :=
für m ∈ N0 ,
| log p|
m
2
km :=
für m ∈ N.
lm
Zeigen Sie für m ∈ N:
km lm ≤ 2m
und
X
exp(−km plm ) < ∞.
m∈N
b) Es sei
Am,β := {∃i ∈ {0, . . . , km − 1} ∀j ∈ {1, . . . , lm } : Xilm +j = 1}.
Zeigen Sie für alle m ∈ N: Wenn das Ereignis Am,β eintritt, dann gilt
für alle n ∈ N mit 2m ≤ n < 2m+1 . Folgern Sie
Ln ≥ lm ≥ β log(n/2)
| log p|
β
Ln
<
lim inf
⊆ lim sup Acm,β .
n→∞ log n
| log p|
m→∞
c) Zeigen Sie dass für alle m ∈ N gilt:
P [Acm,β ] ≤ (1 − plm )km ≤ exp(−km plm ).
d) Folgern Sie lim inf n→∞
Behauptung.
Ln
log n
≥
β
| log p|
P -fast sicher für alle 0 < β < 1 und hieraus die
Hinweis zu den Symbolen der Aufgaben: Aufgaben oder Teilaufgaben die mit einem gekennzeichnet sind, haben eine kurze Lösung. Aufgaben oder Teilaufgaben die mit einem
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gekennzeichnet sind, sind oft schwierig und/oder zeitaufwendig.