vxyzab S ϕ d - Institut für Theoretische Physik

Übungsblatt VI
Präsenzübungen
Theoretische Physik I
Prof. Dietrich Zawischa
20. und 21. November 2001
[P1] Ballistisches Pendel : Eine homogene Platte der Masse M mit den Kantenlängen a und b
sei um die x-Achse frei drehbar (physikalisches Pendel ).
(1) Wie lautet die Lagrangefunktion und die daraus folgende Bewegungsgleichung?
Nun soll die Geschwindigkeit eines Geschosses mit dem Pendel bestimmt werden. Zum
Zeitpunkt t = 0 trifft das Geschoß der Masse m auf die Platte. Der Abstand zwischen der
Drehachse und dem Auftreffpunkt sei d. Ferner dürfen Sie m ≪ M annehmen.
(2) Welche Erhaltungssätze gelten, und welche nicht? Unterscheiden Sie bei Ihren Überlegungen die beiden Phasen während und nach dem Stoß.
(3) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω(t = 0 + ε) = ω0 des Pendels.
(4) Wie hängt die maximale Auslenkung ϕmax des Pendels mit der unbekannten Geschwindigkeit v0 des Geschosses zusammen?
z
y
b
d
S
x
v0
ϕ
a
[P2] Bewegung im Zentralpotential : Ein Teilchen der Masse m bewege sich im Zentralkraftfeld
F (r) = −mg(r)êr . Das Teilchen bewege sich zunächst auf einer Kreisbahn mit Radius r0 .
Untersuchen Sie den Einfluß kleiner Störungen:
(1) Verwenden Sie die Drehimpulserhaltung, um die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate aufzustellen. Welche Bedingung muß r0 erfüllen?
(2) Betrachten Sie eine kleine Störung der Kreisbahn, r(t) = r0 + ε(t) mit ε(t) ≪ r0 für alle
Zeiten t. Zeigen Sie, dass für ε die Bewegungsgleichung
ε̈(t) + ω 2 ε(t) = 0
gilt. Welchen Wert hat ω ?
(3) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für ε. Welche Fälle sind zu unterscheiden?
sind stabile Kreisbahnen möglich?
(4) Für welche Potentiale der Form V (r) = − mA
rα
(5) Für die spezielle Wahl α = 1 erhält man das Kepler-Problem. Es existiert für diesen
speziellen Fall eine weitere Erhaltungsgröße, der Runge-Lenz-Vektor
1
1
p×L− r.
2
mA
r
Zeigen Sie, dass Λ in der Tat eine Erhaltungsgröße ist.
(6) Welche anschaulich geometrische Bedeutung hat Λ ?
Λ=
1
Übungsblatt V
Hausübungen
Theoretische Physik I
Prof. Dietrich Zawischa
Abgabe 23. November 2001
[H1] Periheldrehung: Betrachten Sie das Kepler-Problem, also die Bewegung im Zentralpotential V (r) = −α/r. Für dieses spezielle Potential sind die elliptischen Bahnen geschlossen
und die Perihelrichtung konstant. Bestünde das Sonnensystem nur aus der Sonne und
einem einzigen Planeten, gäbe es nichts mehr zu tun. Der gegenseitige Einfluß der Planeten verursacht jedoch eine geringe Modifikation des Potentials und damit eine langsame
Periheldrehung. Durch Störungsrechnung kann man zeigen, dass der Einfluß der anderen
Planeten beim Merkur eine Periheldrehung von etwa 531 Sekunden pro Jahrhundert bewirkt. Man beobachtet allerdings 574 sec/Jahrhundert. Der Unterschied von 43 sec kann
nur durch die allgemeine Relativitätstheorie erklärt werden. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie weicht das Gravitationspotential in erster Näherung um δV (r) = β/r 2 vom
Kepler-Gesetz ab. Die addition einer kleinen Größe δV (r) zum Kepler-Potential hat eine
Periheldrehung δϕ zur Folge. Berechnen Sie diese Periheldrehung für
(1) δV (r) = β/r 2 und
(2) δV (r) = γ/r 3 .
(4 P.)
[H2] Ein Satellit mit Raketenantrieb bewege sich auf einer Kreisbahn mit Radius r0 um die
Erde. Um den Satelliten in eine andere Umlaufbahn zu bringen, wird der Raketenantrieb
für eine kurze Zeit gezündet. Dabei erhöht der Satellit seine Geschwindigkeit in Bewegungsrichtung um q = 8%.
(1) Welche maximale Entfernung vom Erdmittelpunkt erreicht der Satellit auf seiner neuen
Umlaufbahn?
(2) Wie lautet die Gleichung r = r(ϕ) für die neue Bahn?
(3) Skizzieren Sie die beiden Bahnen und stellen Sie die Auswirkungen dieses “tangentialen
Stoßes” in einer Skizze der effektiven Potentiale dar.
(3 P.)
[H3] Umschlagendes Seilende: Ein Seil der Länge ℓ wird senkrecht in die Luft geworfen. Das
Seil sei sehr flexibel, so dass der Knick über das ganze Seil laufen kann.
(1) Verwenden Sie die Größen h1 und h2 als generalisierte Koordinaten und stellen Sie die
Bewegungsgleichungen auf.
(2) Substitutieren Sie h1 − h2 ≡ x und stellen Sie die damit Bewegungsgleichung für das
Wandern der Knickstelle auf. Zeigen Sie, dass ẋ gegen Unendlich geht, wenn der Knick
das Seilende erreicht.
(3) Berechnen Sie die Seilspannung Z = ρ s (ḧ2 + g) in einem beliebigen Punkt P . Dabei
sei ρ die Masse pro Längeneinheit. erklären Sie mit Ihren Resultaten, warum plötzlich
umschlagende Seilenden eine verheerende Wirkung haben können.
(3 P.)
h1
P
s
h2
2
h