Ubungen zur Theoretischen Physik I

Übungen zur Theoretischen Physik I
SoSem 2013
Übungsblatt 9
Ausgabe: 19.06.2013
Abgabe: 26.06.2013
Besprechung: 02./04.07.2013
Aufgabe 9.1: Runge-Lenz-Vektor
Zur algebraischen Bestimmung der Bahnkurven des Kepler-Problems V (r) = k/r ist der Runge-Lenz
Vektor äußerst hilfreich. Er lautet
1
r
p×L+k ,
m
r
A=
wobei m die Masse, p der Impuls und L der Bahndrehimpuls des Körpers im betrachteten Potential
V (r) ist, k bezeichnet einen Parameter i.d.R. < 0.
a) Zeigen Sie, dass der Runge-Lenz-Vektor eine Erhaltungsgröße ist, und dass L · A = 0 gilt.
(1 Punkt)
b) Zeigen Sie, dass die Poisson-Klammer
[f, g] =
X ∂f ∂g
∂f ∂g
−
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i
des Runge-Lenz-Vektors mit der Hamiltonfunktion H = (2m)−1 p2 + k/r des Kepler-Problems,
verschwindet. (1 Punkt)
Aufgabe 9.2: Sphärischer Oszillator
Zwei Teilchen an den Orten r1 und r2 ziehen sich mit der Kraft F12 = −F21 = k(r1 − r2 ) gegenseitig
an, dabei ist k eine Konstante > 0.
a) Reduzieren
Sie das Zweiteilchenproblem auf ein äquivalentes Einkörperproblem, indem Sie Schwerpunkts1 P
(R = M
i mi ri ) und Relativkoordinaten (r = r1 − r2 ) einführen. Wie lauten die Bewegungsgleichungen in diesen Koordinaten? (0,5 Punkte)
b) Bestimmen Sie das effektive Potential Veff (r) für einen gegebenen, erhaltenen Gesamtdrehimpuls L
indem Sie einen Ausdruck für die Gesamtenergie finden und mit E = T +V vergleichen. Betrachten
Sie qualitativ die möglichen Lösungen. Tipp: Benutzen Sie geeignete Koordinaten. (1 Punkt)
m2
F
12
L
z
x
F
21
y
ne
pla
o
of m
tion
m1
c) Berechnen Sie die Umkehrpunkte für r in Abhängigkeit vom Gesamtdrehimpuls und der Gesamtenergie, geben Sie auch für den nicht schwingenden Fall den Abstand rstat an. (0,5 Punkte)
d) Im allgemeinen Fall würde man zur Lösung der Bewegungsgleichungen im Zentralkraftfeld nun Gl.
(1) von Blatt 3 mit V (s) = Veff (s) integrieren um einen Ausdruck für r(t) zu erhalten. Mit dem
Zusammenhang für den erhaltenen Gesamtdrehimpuls L = µr2 ϕ̇ ergibt sich dann ϕ(t). Warum
ist es für das gegebene Problem zweckmäßiger wieder auf kartesische Koordinaten zu wechseln,
um die Bewegungsgleichung
für r zu lösen? Lösen Sie die Bewegungsgleichung und stellen Sie den
p
2
Verlauf von r(t) = x(t) + y(t)2 grafisch dar! (1 Punkt)
Aufgabe 9.3: Periheldrehung
Das einfache Gravitationspotential V ∝ 1/r berücksichtigt nicht die allgemeine Relativitätstheorie. In
erster Näherung können allgemeinen-relativistische Effekte durch das modifizierte Potential
V (r) =
α
a
+ 2 , α < 0, a > 0
r
r
in der klassischen Betrachtungsweise berücksichtigt werden. Zeigen Sie, dass dieses modifizierte Potental zu einer Drehung der Planetenellipsen (= Periheldrehung) führt, indem Sie die allgemeine
Gleichung
dϕ =
l
dr
q
m r2 2 (E − V (r))
eff
m
der Bahnkurve (hier gilt M m) in Anlehnung an das Kepler-Problem der Planetenbewegung integrieren, invertieren und die Lösung interpretieren. (2,5 Punkte)
Aufgabe 9.4: Streuung
In der Vorlesung wurde die Rutherford’sche Streuformel hergeleitet. Nun soll ein Teilchen an einer
Potentialmulde mit V (r) = −V0 für 0 ≤ r ≤ R und V (r) = 0 sonst, elastisch gestreut werden. Zeigen
Sie, dass in diesem Fall für den Stoßparameter b der Zusammenhang
b2 =
R2 q 2 sin2
θ
2
1 − 2q cos 2θ + q 2
p
mit dem Streuwinkel θ gilt. Wobei q =
1 + V0 /E, mit der Energie E, ist (diese ist gleich der
kinetischen Energie des einfallenden Teilchens). Tipp: Was gilt für den Gesamtdrehimpuls?
(2,5 Punkte)