Stochastische Prozesse

Blatt 7
Stochastische Prozesse
SS 2007
H. Walk
Aufgabe 26. Man zeige, dass die Überlagerung endlich vieler unabhängiger Poisson–Prozesse
wiederum einen Poisson–Prozess ergibt.
Aufgabe 27. Xn gebe die Anzahl der Erfolge bei n Bernoulli-Versuchen mit jeweiliger Erfolgswahrscheinlichkeit 1/2 an. Zu ermitteln ist
lim P [Xn ist ein Vielfaches von 17].
n→∞
Aufgabe 28. Sei (Xn )n∈N eine homogene Markoff-Kette mit Zustandsraum Z := Menge der
ganzen Zahlen, für deren Übergangsmatrix (pjk )j,k∈Z die Beziehungen
pj,j+1 =
1
= pj,j−1
2
(j ∈ Z)
gelten. Man zeige, dass (Xn ) null-rekurrent ist.
Hinweis: Man fasse (Xn ) als eine — o. B. d. A. in 0 startende — Irrfahrt (Partialsummenfolge zu
einer unabhängigen Folge identisch verteilter Zufallsvariablen) auf und verwende die Waldsche
Gleichung.
Aufgabe 29. Über einem See herrscht am Tage nach einem nebelfreien Tag bzw. nach einem
Nebeltag mit Wahrscheinlichkeit 1/6 bzw. 2/3 Nebel. Das Wetter an den noch davor liegenden
Tagen hat keinen zusätzlichen Einfluss auf die angegebenen Wahrscheinlichkeitswerte.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass übermorgen bzw. am dritten Tag bzw. am
vierten Tag kein Nebel auftritt, wenn heute kein Nebel auftritt?
b) Besteht — wenn zusätzliche Einflüsse ausgeschlossen werden — die Möglichkeit, dass für
die einzelnen Tage Nebel mit ein und derselben Wahrscheinlichkeit auftritt? Wenn ja, wie
groß ist diese Wahrscheinlichkeit?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem sehr fernen Tag Nebel herrscht?
d) Wie groß ist im Mittel der Abstand zwischen zwei Nebeltagen?