Empirie des makroökonomischen Transmissionsmechanismus

Prof. Dr. Isabel Schnabel
Professur für Volkswirtschaftslehre, insb. Financial Economics
Lösungsskizze zur ersten Übung, Aufgabe 1
Vorlesung „Empirische Wirtschaftsforschung“
Sommersemester 2008
Aufgabe 1:
(i) Gesetz der Großen Zahlen (Verwendung der nicht standardisierten Zufallsvariable)
Lasst uns kurz das am Anfang der Übung real durchgeführte Zufallsexperiment ins Gedächtnis
rufen: Ein Würfel sei fair, so dass Pr(Augenzahl 1) = Pr(Augenzahl 2) = … = Pr(Augenzahl 6) =
1/6 ist. Wir interessieren uns dafür, wie oft man die Augenzahl Sechs würfelt. Die Zufallsvariable
dieses Zufallsexperimentes ist Bernoulli-verteilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass man keine Sechs
würfelt, (X=0) beträgt Pr(X=0) = 5/6. Mit Pr(X=1) = 1/6 wird eine Sechs (X=1) gewürfelt. Man
könnte nun ein groß angelegtes Experiment durchführen und 100-mal, 1000-mal oder gar 10 000mal würfeln und die relativen Häufigkeiten aufschreiben. Man würde Folgendes beobachten: Je
länger eine Versuchsreihe ist, umso näher wird die relative Häufigkeit der Erfolge (wir ziehen eine
Sechs) an 1/6 herankommen.
Wir interessieren uns im Folgenden für die Verteilung des Stichprobenmittelwerts eines Zufallsexperimentes, in dem eine Stichprobe der Größe n gezogen wird, wobei die einzelne Ziehung wieder
einer Bernoulli-Verteilung unterliegt. Wir würfeln also nicht mit einem, sondern mit n Würfeln und
berechnen jeweils den Stichprobenmittelwert der Ausprägungen (0 oder 1). Um die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts zu ermitteln, werden wir 10 000-mal (mit jeweils n Würfen)
würfeln. Allerdings erscheint es nicht realistisch, solch ein Experiment tatsächlich mit Würfeln
durchzuführen. So bedient man sich computergenerierter Zufallsvorgänge, die in beinahe beliebig
großem Umfang simuliert werden können. 1 Jede Simulation führt zu einer neuen Zufallsstichprobe
und daher auch zu einem neuen Stichprobenmittelwert. Nach 10 000 Wiederholungen haben wir
1
Sowohl das real durchgeführte als auch das computerbasierte Experiment beschreiben eine Monte-Carlo
Simulation.
1
also 10 000 Stichproben mit jeweils n Beobachtungen gezogen und 10 000 Stichprobenmittelwerte berechnet. Beachten Sie, dass der Stichprobenmittelwert in Fall eines Bernoulli-Experimentes
gerade der relativen Häufigkeit des Auftretens einer Sechs (X=1) entspricht.
Solch ein Experiment soll nun in der ersten Aufgabe durchgeführt werden, um die Grundidee des
Gesetzes der Großen Zahlen zu verdeutlichen
Zur Übungsaufgabe:
Mittels des in der Übung verwendeten Programms Figure2_8.do erzeugen wir zunächst einmal
eine Bernoulli verteilte Zufallsvariable:
p = 0,78
⎧1 mit
Y =⎨
⎩0 mit (1 − p ) = 0,22
(1)
Das bedeutet, dass Y nur die Werte 0 und 1 annehmen kann, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten Pr(Y = 0) = 1 − p =0,22 und Pr(Y = 1) = p =0,78. Weiterhin gilt:
E (Y ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1 − p ) = p und
(2)
Var (Y ) = p(1 − E (Y )) 2 + (1 − p)(0 − E (Y )) 2
(3)
= p(1 − p) 2 + (1 − p)(0 − p) 2 = p(1 − p)
(4)
2
(a) Teilaufgabe 1:
Erzeugen einer Zufallsvariable, die einer
Bernoulli Verteilung folgt!
Teilaufgabe 1: Stata soll mit diesem Befehl die Zufallsvariable mean
generieren. Hierbei soll er eine Stichprobe mit n=1 (obs(1)) 10 000mal
(reps(10000)) simulieren!
0
20
Density
40
60
80
Für n = 1 ergibt sich nach Ausführen des Programms:
0
.2
.4
.6
.8
1
r(mean)
⇒ Informativ ist auch der tab-Befehl (die genauen Zahlen werden natürlich variieren!):
tab mean
r(mean) |
Freq.
Percent
Cum.
------------+----------------------------------0 |
2,157
21.57
21.57
1 |
7,843
78.43
100.00
------------+-----------------------------------
3
Total |
10,000
100.00
In diesem Fall entspricht der Mittelwert ja gerade der Ausprägung der Bernoulli-Variablen. Wir
sehen, dass sich in ca. 22% der Fälle eine 0 ergibt, in ca. 78% der Fälle eine 1.
(b) Teilaufgabe 2:
Erwartungswert = 0,78 (siehe (2) und VL)
Varianz = 0,1716 (siehe (3) und VL)
Standardabweichung =
0,1716 = 0,4142
(c) Teilaufgabe 3:
Erwartungswert des Stichprobenmittels :
⎡1
⎤ np
E (Y ) = E ⎢ (Y1 + Y2 + ... + Yn )⎥ =
= p = 0,78
⎣n
⎦ n
Varianz des Stichprobenmittels (bei Unabhängigkeit der Ziehungen!):
1
p(1 − p) 0.1716
⎡1
⎤ 1
=
Var (Y ) = Var ⎢ (Y1 + Y2 + ... + Yn )⎥ = 2 Var [(Y1 + Y2 + ... + Yn )] = 2 np(1 − p ) =
n
n
n
⎣n
⎦ n
Standardabweichung des Stichprobenmittels:
Var (Y ) =
p (1 − p) 0.4142
=
n
n
Für n = 1 ergeben sich diese Werte näherungsweise aus dem su-Befehl (s. Log):
su mean
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------mean |
10000
.7843
.4113276
0
1
4
(d) Teilaufgabe 4:
In dieser Zeile kann der Stichprobenumfang n
durch „obs(2)“ veränderten werden.
0
20
Density
40
60
Für n=2 ergibt sich in einer neuen Simulation:
0
.2
.4
.6
.8
1
r(mean)
. su mean
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------mean |
10000
.78155
.2936209
0
1
5
Der Mittelwert des Mittelwerts entspricht wieder in etwa dem Erwartungswert, die (empirische) Standardabweichung entspricht in etwa der theoretischen Standardabweichung von
0,2929 (=
0,4142
).
n
(e) Teilaufgabe 5:
0
10
Density
20
30
40
n = 5:
0
.2
.4
.6
.8
1
.6
.8
1
r(mean)
0
5
Density
10
15
20
n = 25:
0
.2
.4
r(mean)
6
0
2
4
Density
6
8
10
n = 100:
0
.2
.4
.6
.8
1
r(mean)
0
20
Density
40
60
80
n = 10 000:
0
.2
.4
r(mean)
.6
.8
Hier sieht man jetzt ganz deutlich das Gesetz der Großen Zahlen. Wenn die Stichprobe gegen Unendlich geht, konzentriert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts um den Erwartungswert.
Informativ sind auch die deskriptiven Statistiken:
. su mean
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------mean |
10000
.7799573
.004117
.7646
.7954
Die Standardabweichung ist jetzt fast gleich Null.
n = 100 000 (dies kann etwas länger dauern)
7
100
Density
50
0
0
.2
.4
r(mean)
.6
.8
. su mean
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------mean |
10000
.7800135
.0013147
.77523
.78549
(ii) Zentraler Grenzwertsatz (Verwendung der standardisierten Zufallsvariable)
Unter (i) haben wir gesehen, dass:
Y ⎯⎯p → μ
Y
Hinreichende Bedingungen für Konsistenz:
E (Y ) = μY
(5)
limVar(Y ) = lim σ Y2 = lim
n →∞
n →∞
n →∞
σ Y2
n
=0
(6)
Daraus folgte, dass sich die Verteilung des arithmetischen Mittels immer enger um μ zusammenzieht. In vielen Anwendungen genügt es aber nicht, nur die ersten beiden Momente (Erwartungswert und Varianz) zu kennen, man wüsste gerne mehr über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable. Im Prinzip könnte diese Verteilungsfunktion aus der Ausgangsverteilung der Zufallsvariablen Yi berechnet werden, was aber nur in speziellen Fällen unkompliziert ist. So wissen wir ja, dass
die Summe von identisch und unabhängig verteilten Bernoulli-Variablen –definitionsgemäß- binomialverteilt ist. Auch die Summe von binomialverteilten Zufallsvariablen ist wieder binomialverteilt, wenn sie den gleichen Parameter p haben. Diese Reproduktionseigenschaft findet man
ebenfalls bei der Poisson-Verteilung, der Exponentialverteilung und der Normalverteilung. In den
meisten anderen Fällen stellt sich die Berechnung der Verteilungsfunktion eher schwieriger dar. Es
ist ganz und gar unmöglich, wenn die Ausgangsverteilung unbekannt ist, wie es oftmals in der Pra-
8
xis der Fall ist. Hier hilft uns der Zentrale Grenzwertsatz. Der entscheidende Aspekt liegt darin,
dass er keinerlei Anforderungen an die Ausgangsverteilung stellt: Wie auch immer die –identisch
und unabhängige- Verteilung der Yi beschaffen sein mag, konvergiert die Verteilungsfunktion des
standardisierten arithmetischen Mittels stets gegen die Standardnormalverteilung. Und genau diese
Eigenschaft wollen wir im Folgenden mit Stata zeigen.
Im Programm figure2_8.do müssen allerdings zwei Veränderungen vorgenommen werden:
In dieser Zeile erfolgt die Standardisierung. Zu Aktivierung, muss man das Sternchen zu Beginn der Zeile entfer-
Der Stichprobenumfang n muss
jetzt an zwei Stellen verändert
werden!
Aufgrund
der Standardisierung
(N(0,1)) muss
das
Histogramm angepasst werden. Hierzu die zweite Zeile
aktivieren und erste deaktivieren.
(f) Teilaufgabe 6:
0
5
Density
10
15
n = 1:
-6
-4
-2
0
r(mean)
9
Einziger Unterschied zu oben: Die Graphik ist so verschoben, dass der Mittelwert ungefähr bei 0
liegt (wegen Standardisierung).
. su mean
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------mean |
10000
-.0072429
1.00502
-1.883148
.5311444
0
2
4
Density
6
8
10
n = 2: (n muss an 2 Stellen angepasst werden!)
-6
-4
-2
r(mean)
0
2
0
2
Density
4
6
n = 5:
-6
-4
-2
r(mean)
0
2
10
0
.5
1
Density
1.5
2
2.5
n = 25:
-6
-4
-2
r(mean)
0
2
0
.2
Density
.4
.6
.8
1
n = 100:
-6
-4
-2
0
2
4
r(mean)
0
.1
Density
.2
.3
.4
n = 10 000:
-6
-4
-2
0
2
4
r(mean)
Hier sieht man jetzt ganz deutlich den Zentralen Grenzwertsatz. Im Gegensatz zu vorher wird die
Verteilung nicht zu einer Spitze, sondern nähert sich einer Standardnormalverteilung an (durch die
11
Standardisierung wird die Verteilung gestreckt). Dies sieht man auch an den deskriptiven Statistiken (hier detailliert):
. su mean, detail
r(mean)
------------------------------------------------------------Percentiles
Smallest
1%
-2.31772
-3.597295
5%
-1.690004
-3.452438
10%
-1.303717
-3.452438
Obs
10000
25%
-.7001442
-3.380009
Sum of Wgt.
10000
50%
6.87e-07
Mean
Largest
-.0181693
Std. Dev.
.9991956
75%
.6518597
3.428296
90%
1.255433
3.452439
Variance
.9983918
95%
1.617577
3.549011
Skewness
-.014056
99%
2.317722
3.597297
Kurtosis
2.954163
Wir stellen fest: Der Mittelwert ist nahe Null, die Standardabweichung nahe 1. Die Schiefe ist nahe
0, und die Kurtosis ist ungefähr 3.
12