Ubungsblatt 2 - Chair of Financial Economics

Übungsblatt 2
Prof. Dr. Isabel Schnabel
Empirische Wirtschaftsforschung
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Sommersemester 2011
Aufgabe 1: Monte-Carlo-Simulation zur Illustration des Gesetzes der Großen Zahlen und des Zentralen Grenzwertsatzes
In dieser Aufgabe wollen wir die Abbildungen 2.8 und 2.9 aus Stock/Watson (2007) selbst
mit Hilfe von Simulationen erzeugen, um so das Konzept der Stichprobenverteilung des
Stichprobenmittels und deren Eigenschaften besser zu verstehen. Man spricht auch von
einer “Monte-Carlo-Simulation”. Das in der Übung verwendete Programm figure2 8.do
wird auf der Homepage bereitgestellt. Bitte beachten Sie, dass die Details der Programmierung in diesem Fall nicht so wichtig sind.
Wir werden in dieser Aufgabe selbst eine Zufallsstichprobe Y1 , Y2 , ...Yn generieren, wobei
n die Stichprobengröße bezeichnet. Wir nehmen an, dass die Yi identisch und unabhängig
verteilt sind gemäß einer Bernoulli-Verteilung mit p = 0, 78 (d. h., die Zufallsvariable
nimmt mit Wahrscheinlichkeit 0,78 den Wert 1 an und mit Wahrscheinlichkeit 0,22 den
Wert 0). Das Besondere an einer Simulation ist, dass wir die Verteilung der Zufallsvariablen
kennen, da wir sie selbst bestimmen. Das ist bei den Daten, die wir in der realen Welt
beobachten, nicht der Fall.
Die Simulation in figure2 8.do ist folgendermaßen aufgebaut:
Schritt 1: Zunächst definieren wir eine Prozedur (d. h., ein kleines Programm), mit dem
wir Bernoulli-Variablen mit den gewünschten Eigenschaften erzeugen können.
Schritt 2: Dann ziehen wir zufällig n Realisationen der beschriebenen Zufallsvariable und
berechnen den Mittelwert dieser Realisationen.
Schritt 3: Um die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts zu ermitteln, wiederholen wir diesen Schritt 10.000-mal. Beachten Sie, dass 10.000 die Anzahl der Simulationen
ist und nicht die Stichprobengröße (letztere beträgt n)! Jede Simulation führt zu einer neuen Zufallsstichprobe und daher auch zu einem neuen Stichprobenmittelwert, der jeweils
abgespeichert wird. Nach 10.000 Wiederholungen haben wir also 10.000 Stichproben mit
je n Beobachtungen gezogen und 10.000 Stichprobenmittelwerte errechnet.
Schritt 4: Anschließend betrachten wir die Verteilung des Stichprobenmittelwerts über die
10.000 Simulationen und analysieren deren Eigenschaften.
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Empirische Wirtschaftsforschung – Übungsblatt 2
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1. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der
Zufallsvariable Yi .
2. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung des
Stichprobenmittelwerts Y für eine Stichprobe der Größe n.
3. Setzen Sie n = 1, und führen Sie die beschriebene Simulation durch, indem Sie
das Programm figure2 8.do laufen lassen. Setzen Sie hierbei die Stichprobengröße
gleich 1:
simulate mean=r(mean), reps(10000): bernoulli, obs(1)
Wie ist das sich ergebende Histogramm zu interpretieren?
4. Setzen Sie n = 2, und berechnen Sie die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts. Führen Sie anschließend eine Simulation durch mit:
simulate mean=r(mean), reps(10000): bernoulli, obs(2)
5. Wiederholen Sie die Simulation mit n = 5, n = 25, n = 100 und n = 10.000. Stellen
Sie die Stichprobenverteilung jeweils als Histogramm dar mit dem Befehl:
hist mean, start(0) bin(90)
Interpretieren Sie die Ergebnisse.
6. Führen Sie dieselben Simulationen nun für den standardisierten Stichprobenmittelwert durch (d. h., Sie ziehen den Erwartungswert des Stichprobenmittels ab und
teilen durch die Standardabweichung des Stichprobenmittels):
replace ‘z’ = (‘z’-0.78)/0.4142*sqrt(n)
simulate mean=r(mean), reps(10000): bernoulli, obs(n)
Für n müssen Sie hier wieder die entsprechende Stichprobengröße eintragen. Betrachten Sie die Histogramme mit dem Befehl:
hist mean, start(-5) bin(90)
Interpretieren Sie die Ergebnisse.