Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kapitel 9: Bernoulli-Experimente
Ist es blöd, ein Experiment ständig zu wiederholen.
Binominalverteilung , Poisson-Verteilung.
Unterschied zwischen eine Sache zweimal machen oder zwei Sachen einmal.
Sport, Mathestudenten, Lieder: wie Lotto. Die zweite Ziehung hat mit der ersten etwas zu tun:
beim Lotto ist bei der zweiten Ziehung eine Kugel weniger. Der Bedingungskomplex Xi ist beim
zweiten Wurf anders. Das Experiment ist ANDERS.
Jakob Bernoulli hat kurz vor 1700 Zufallsexperimente durchgeführt. Zufallsexperimente die
wiederholt mit denselben Voraussetzungen durchgeführt wird = Bernouilli Experimente. Diese
Trials müssen stochastisch unabhängig sein. Keine Beeinflussung eines Trials durch einen
anderen. Typisch: Münzwurf: die Wahrscheinlichkeit bleibt dieselbe.
Physiker, Chemiker … alle empirischen Wissenschaften führen einen Trial oftmals durch um
sicher zu sein. Der Komplex Xi bleibt unverändert, die Versuche sind stochastisch unabhängig
= Bernoulli Experiment. Trial = mehrfache Durchführung des Experiments, das meist 2
mögliche Ergebnisse hat (=binär).
Würfelwurf sprengt schon den Rahmen. Trotz der praktischen Beschränkung gibt es diese
Experimente in der Praxis oft. Medikamentetest: wirkt es oder nicht. Mechaniker:
Metallstrebe hält oder nicht. Psychologe: Kind ist agressiv oder nicht.
Bernoulli Experiment ist ein Meta-Experiment.
Münzwurf: Xi = eine Münze wird einmal geworfen (ohne Kante).
Zufallsvariable:
Bsp: Münzwurf wird 5-mal durchgeführt. Geht, weil sich die Münze nicht verändert, und damit
auch die Wahrscheinlichkeit nicht.
Stichprobenraum: ZZZZZ ZZZZK, etc. Die Reihenfolge ist wichtig!
1 mal 6 aus 49 = 6 mal 1 aus 49.
Wieviele verschiedene Ergebnisse von Kopf und Zahl? 32 Kombinationen > Zufallsvariable z ist
eine Zahl, die je einer Kombination zuerkannt wurde. Hier also: z von 1-32. Hiermit ist jedes
Ergebnis numerisch kodierbar geworden.
Wenn Kopf = 0 und Zahl = 1
00000, 00001, 00010, etc.
Ergebnisse: Baumdiagram. Zahl im letzten Wurf, selbe Wahrscheinlichkeit = 0,5.
Wahrscheinlichkeitsbaum. Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse:
Wahrscheinlichkeit EINES Ergebnisses. Hier sind alle W. gleich, aber dies gilt natürlich nicht
immer! Gezinkter Würfel, z.B.
Die Definition der Zufallsvariable hat Bernoulli anders vorgenommen. Er hat nur die Anzahl
der günstigen Treffer interessiert.
Zufallsexperiment mit dichotomen Variablen: nur zwei mögliche Ergebnisse: günstig und
ungünstig. “Niete“ und „Treffer“. 0 und 1. Würfelwurf: wenn man sagt, dass günstig 1 oder 6
wäre, ungünstig 2,3,4 oder 5, dann haben wir wieder eine dichotome Variable! Die
Reihenfolge ist für Bernoulli uninteressant.
Das Ergebnis ist also einfach die Summe der günstigen Ereignisse im Trial. Dies geht aber nur,
wenn man die Verteilung 0 und 1 wie oben einrichtet. 1 und 2 funktionieren mit Sicherheit
nicht.
0-1 Variablen sind perfekt geeignet für Bernoulli Experimente.