Wahrscheinlichkeitstheorie 1

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07.30 Uhr oder 13.15 Uhr
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Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Aufgabenblatt 7
Prof. B. Kirstein
Sommersemester 2015
Abgabe ausschließlich in der Vorlesung am Mittwoch
Aufgabe 7.1. Zeigen Sie:
Seien n ∈ N \ {1}, Ωn := {1, . . . , n} sowie νn die diskrete Gleichverteilung auf
(Ωn , P(Ωn )). Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es ist (Ωn , P(Ωn ), νn ) ein W-Raum.
(b) Seien A, B ∈ P(Ωn ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) A und B sind stochastisch unabhängig bezüglich νn .
(ii) Es ist n · card(A ∩ B) = card A · card B.
(c) Sei n keine Primzahl und seien k und l dann existierende Zahlen aus {2, . . . , n},
für welche k · l = n erfüllt ist. Weiterhin sei A := {1, . . . , k} sowie B := {r ·
k : r ∈ {1, . . . , l}}. Dann gilt {A, B} ⊆ P(Ωn ) \ {∅, Ωn } und es liegt stochastische
Unabhängigkeit von A und B bezüglich νn vor.
(d) Folgende Aussagen sind äquivalent:
(iii) Es ist (Ωn , P(Ωn ), νn ) frei von stochastischer Unabhängigkeit.
(iv) Es ist n eine Primzahl.
Aufgabe 7.2. Zeigen Sie:
Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum. Weiter sei (Ak )3k=1 eine bezüglich P stochastisch unabhängige
Folge aus A. Dann sind A1 ∪ A2 und A3 stochastisch unabhängig bezüglich P .
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Aufgabe 7.3. Zeigen Sie:
Es seien Ω := [0, 1), A := B1 ∩ Ω sowie P := Rstr.A λ(1) . Für n ∈ N sei
An :=
n−1 2[
j=1
2j − 2 2j − 1
,
2n
2n
.
Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es sei n ∈ N. Dann ist An ∈ A.
(b) Es sei n ∈ N. Dann gilt P (An ) = 1/2.
(c) Die Folge (An )n∈N ist stochastisch unabhängig bezüglich P .
Aufgabe 7.4. Zeigen Sie:
Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum. Weiter seien n ∈ N und (Aj )nj=1 eine Folge von bezüglich P
stochastisch unabhängigen Ereignissen aus A. Dann gelten folgende Aussagen:
S
Q
(a) Es ist P ( nj=1 Aj ) = 1 − nj=1 [1 − P (Aj )].
T
Q
(b) Es ist P ( nj=1 (Ω \ Aj )) = nj=1 [1 − P (Aj )].
(c) Sei n ∈ N \ {1}. Dann gilt

P
n
[
j=1


Aj ∩ 

\
(Ω \ Ak )
k∈{1,...,n}\{j}
=
n
X
j=1
2

P (Aj ) ·

Y
k∈{1,...,n}\{j}
[1 − P (Ak )] .