) = ∑ - Unix-AG

FORMELSAMMLUNG V03 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Alle Formeln ohne Gewähr auf Korrektheit
1) Wahrscheinlichkeitsbegriff und Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Relative Häufigkeit
r N  A =
h N  A
N
Es Existiert kein Grenzwert:
=
Abs. Häufigkeit
P  A = lim
r N  A
N ∞
Anz. Versuche
Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov:
Laplace­Experiment:
KI:
P  A≥0
LI:
={ 1 , ... , m }
KII:
P =1
LII:
P 1 =...= P m 
KIII:
P  A∪B= P  A P  B
LIII:
für A∩ B=∅
KIII: für Paarweise disjunkte Ereignisse
∞
∞
∑ P  A i
P( ∪ Ai ) =
i=1
P A=
Endliches 
Anz. günstigeten Fälle
Anz. der möglichsten Fälle
Gegenereignis:

P  A=1−
P  A
i=1
Erweiterung von KIII :
Weitere Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit:
P  A∪B= P  A P  B−P  A∩B
P A≤1
für A∩B≠∅
P∅=0
P A≤P  B für A⊂ B (A zieht B nach sich)
Bedingte Wahrscheinlichkeit :
P  A/ B=
P  A∩ B
Multiplikationssatz:
P  A∩B= P  A/ B⋅P  B=P  B/ A⋅P A
P  B
Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit
n
P  B=∑ P  B/ Ai⋅P  A i
i=1
Satz von Bayes:
P B/ A k ⋅P  A k 
P  Ak / B= n
∑
i= 1
P B/ Ai⋅P Ai 
2) Stochastisch unabhängige Ereignisse
Bedingungen zu Stochastischen Unabhängigkeit

P  A/ B= P  A/ B
P  A= P  A/ B
P  A∩B= P  A⋅P  B
Merke:
Ist A unabhängig von B so ist auch B unabhängig von A
3) Disjunkt vs. Stochastisch unabhängig ?
A,B Disjunkt
A,B Stochastisch unab.
Gilt immer !
P  A∪ B
P  A P  B
P  A P  B−P  A⋅P b
P  A∩ B
∅
P  A⋅P  B
P  AP  B−P  A∩ B
P A/ B⋅P B
P  B/ A⋅P A
Merke:
●
●
Sich nachziehende Ereignisse sind nie disjunkt und immer stochastisch abhängig
Disjunkte Ereignisse sind immer stochastisch abhängig
Vollständig Stochastisch unabhängig:
P  Ai ∩ Ai ∩ ... ∩ Ai = P  Ai ⋅P  Ai ⋅P  Ai ⋅ ... ⋅P  Ai 
1
k
2
1
1
k
2
4) Verbundexperimente
Merkmalsmenge eines VE:
Binominalwahrscheinlickeitsverteilung:

 V = 1×2
P n , k=
n
k
n−k
⋅P  A ⋅1−P  A
k
HIER KÖNNTE
Summe aller Werte:
IHRE
n
∑ Pn , k
= 1
WERBUNG STEHEN
k=0
5) Zufallsvariablen – Verteilungs und Dichtefunkton
Definition der Zufallsvariablen:
Zufallsvariable X :
 ℝ
P  X =−∞ = 0
P  X = ∞ = 0
Definition der Verteilungsfunktion:
F X  x= P  X ≤x
(die Verteilungsfunktion ist monoton steigend)
Eine Zufallsvariable heist:
diskret ­ wenn es endlich / abzählbar unendlich viele Elemente gibt stetig – wenn es überabzählbar unendlich viele Elemente gibt
Weitere Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
F X −∞=0 ,
F X ∞=1
P  X  x =1− F X  x 
P  xq  X ≥x2 = F X  x2 − F x  x 2 
Definition der Dichtefunktion:
f X  x=
dF X  x
dx
Eigenschaften der Dichtefunktion:
∞
∫
−∞
f X  x dx = 1
Analog:
x
F X  x= ∫ f X  d 
−∞
Weitere Eigenschaften der Dichtefunktion:
f  x≥0
da F  x monoton steigend.
f −∞=0 ,
f ∞=0
6) Momente – Erwartungswert und Standardabweichung
Erwartungswert bei stetiger ZV
Erwartungswert bei diskreter ZV
∞
n
E  X = X = ∫ x⋅f X  x dx
E  X = X =∑ xi⋅P  X = xi 
−∞
i=1
Varianz:
Zusammenhang von E und F
∞
∞
E  X = X = ∫ [1−F X  x−F X − x] dx
−∞



2
 X = ∫ x− X ⋅f X  x dx
−∞
Zusammenhang zwischen Varianz und µx:
Standardabweichung:
 X= 
2
 2X =E  x 2 −2X
2
X
7) Spezielle Verteilungen:
Stetige Gleichverteilung:
{
1
f X  x= b− a
0
ab
2
2
b−a
2
 X=
12
X =
}
für x∈[ a , b]
sonst
Expotentialverteilung:
{
− x
f X  x= ⋅e
0
}
für x≥0 mit 0
sonst
Erlangverteilung:
{
}
− x
⋅e
n−1
f X  x= n−1!⋅ x
0
sonst
1
X =

1
 2X = 2

1
X =

1
 2X = 2

Standardnormalverteilung:
f X  x=
1
 2⋅
⋅e
−x
2
2
 X =0
2
 X =1
Standardnormalverteilung:
f X  x =
1
 X  2⋅
Transformation
G= G⋅xG
2
− x− X 
⋅ e
2
2
X
8) Spezielle Verteilungen:
Definition Verbundsverteilungsfunktion:
F XY  x , y=  { X ≤ x}∩{Y ≤ y}
Kurzschreibweise:
F XY  x , y= X ≤x , Y≤ y
Definition Verbunddichtefunktion:
2
f XY  x , y=
∂ F XY  x , y
Analog:
x
Eigenschaften der Verbundverteilungsfunktion:
F XY −∞ , y=0
F XY  x ,−∞=0
F XY ∞ , ∞=1
Eigenschaften der Verbunddichtefunktion:
∞
∞
∫ ∫ f XY  x , y
∂ x∂ y
−∞ −∞
y
f XY  x , y≥0
F XY  x , y= ∫ ∫ f XY  , d  d 
d xd y = 1
−∞ −∞
Gebietsintegral:
P  x1 X ≤ x 2, y1Y ≤ y 2
x2 y 2
= ∫ ∫ f XY  x , y dx dy
Y1
G
Y2
x1 y 1
X1
X2
P  x1 X ≤ x2, y1 Y ≤ y2  = P  X ≤ x2, Y ≤ y 2 − P X ≤x 1, Y ≤ y2  −  X ≤x 2, Y ≤ y1   P X ≤ x1, Y ≤ y 1
= F XY  x 2, y 2 − F XY  x 1, y 2  − F XY x 2, y1   F XY  x 1, y1 
Randverteilung:
F XY  x , ∞ =P  X ≤ x , Y ≤∞=P  X ≤ x=F X  x
F XY ∞ , y=P  X ≤∞ ,Y ≤ y= P Y ≤ y=F Y  y
Randdichtefunktion:
∞
f X  x=∫ f XY  x , ydy
−∞
∞
f Y  y= ∫ f XY x , y dx
−∞
Falls X und Y stochastisch unabhängig:
F XY  x , y = F X  x ⋅ F Y  y
f XY  x , y = f X x  ⋅ f Y  y
Zweidimensionaler Dirac Impuls:
  x , y=  x⋅  y
9) Momente – Erwartungswert und Standardabweichung bei zweidimensionaler ZV
Transformation:
Z=h X , Y 
Erwartungswert:
∞
∞
EZ= Z= ∫ ∫ h x , y⋅f XY x , y dxdy
−∞ −∞
Transformation Summe zweier ZV:
Z=h X , Y = X Y
 E XY =E X EY 
Transformation Produkt zweier ZV:
Z=h X , Y = X ⋅Y
Für Stochastisch unabhängig gilt:
 E X⋅Y =E X ⋅EY 
Allgemein:
Z=h X 1, X 2, ... , X n = X 1 X 2 ... X n
 E X 1, X 2, ... , X n = E X 1  E X 2 ...E  X n 
Covarianz:
C XY = E XY − X⋅Y
Vgl Varianz:
 2X =E X 2 −2X
Die Dichtefunktionder Summe zweier stochastisch unabhängiger ZV ist die Faltung:
∞
f Z z=f X z∗f Y z=∫ f X z−⋅f Y d 
−∞
10) Mathematische Statistik
Stichprobenmittelwert:
n
 ≠ X
 = 1⋅∑ X i X
X
n i=1
Stichprobenvarianz:
n
1
 2 S2≠2X
S2 =
⋅∑  X i − X
n−1 i= 1
Stichprobenmittelwert:
n
1
 Y i−Y

S XY =
⋅∑  X i− X
n−1 i=1
Stichprobenkorrelationskoeffizient:
S XY
R XY =
S2X⋅S2Y
Definition „Der Wahre Parameter“:

Wahrer Parameter:  Schätzwert: 
Schätzer:

 n = g n  X 1, X 2,... , X n  = g n  X
Ein Schätzer n heisst erwartungstreu falls gilt:
Eine Folge n ,n1 heisst asymptotisch erwartungstreu wenn gilt:
E n =

lim
 = 
E 
n ∞
Beispiel an Erlangverteilung

n
= x

n

 2X = 2  2X =
= s2

2
 x und
 = ⋅
 2⋅s2
 n
n=
X =
n

n
 X =
Einsetzen:
 x= 2⋅s2
⋅
 2
x= ⋅s
 x
=

2
s
 x2⋅s2
n=
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