Grundlagen und Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie
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Grundlagen und Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie
Definitionen:
D1 : Mehrere Versuche unter denselben Bedingungskomplex und mit nicht
vorhersagbarem Ausgang bilden ein Zufallsexperiment ( ZE ).
D2 : Ein Ereignis ist genau dann Elementarereignis _i , wenn es nicht als Vereinigung
disjunkter Ereignisse, die von _ verschieden sind, darstellbar ist.
D3 : Kolmogoroff , Laplace
D4 : Allgemeine Wahrscheinlichkeit bei unendlicher Merkmalsmenge:
f(_) : Wahrscheinlichkeitsbelag.
D5 : Wahrscheinlichkeiten nach D4 mit f(_) = const. heißen geometrische
Wahrscheinlichkeiten.
D6 : Bedingte Wahrscheinlichkeit :
D7 : Ereignis A ist stochastisch unabhängig von B, falls :
D8 : A1, A2, ..., An heißen vollständig stochastisch unabhängig, wenn für jede
Auswahl von zwei und mehr Ereignissen Ai1, ..., Aik mit verschiedenen Indizes gilt :
für 2 _ k _ n ( · 2n - n - 1 Möglichkeiten )
D9 : ZE1 und ZE2 heißen stochastisch unabhängig, wen für alle Elemente von _1 x _2
gilt : P(_1i, _2k)=P(_1i)·P(_2k) _ i,k
D10 : Das Bernoulli-Experiment besteht aus der n-maligen Durchführung des
Einzelexperiments
mit :
- Einzelereignisse sind stochastisch unabhängig.
- gleiche Einzelwahrscheinlichkeiten in allen Einzelexperimenten P(A1) = P(A2) = ... =
P(An) = p
D11 : Eine Zuordungsvorschrift, die jedem Element aus _ eindeutig eine reelle Zahl
zuordnet, heißt Zuordnungsvariable X(_) ( Zufallsgröße ), wobei gilt : P(x = -_) = 0,
P(x = +_) = 0
D12: Verteilungsfunktion der ZV X : FX(x) = P(X _ x)
D13: In der Regel ist Fy(y) nicht geschlossen angebbar. Es sind meist
Fallunterscheidungen notwendig.
D14: Erwartungswert :
D15:
D16: Varianz:
Sätze
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten:
S3.1 Disjunkte Ereignisse : A _ B = _ _ : unmögliches Ereignis.
K I P(A) _ 0
K II P(_) = 1 _ : sicheres Ereignis
K III P(A_B) = P(A) + P(B) für disjunkte Ereignisse A und B
L I _ = {_1, _2, ..., _m} m endlich
L II P(_1) = P(_2) = ... = P(_m) alle Elementarereignisse
L III
S3.2 Bernoulli - Theorem
Allgemeine Wahrscheinlichkeiten:
S4.1
S4.2
·
S4.3 P(_) = 0
S4.4 P(B) _ P(A) für A _ B
S4.5 P(A_B) = P(A) + P(B) - P(A_B) Verallgemeinerung von K III
S4.6
S4.7
S4.8 Multiplikationssatz P(A_B) = P(A / B) P(B) = P(B / A) P(A)
S4.9 vollständige Wahrscheinlichkeit
S4.10 Bayessche Formel
Stochastische Unabhängigkeit:
S5.1
für A stochastisch unabhängig von B
S5.2 P(A_B) = P(A) P(B) vgl. K III
S5.3 Disjunkte Ereignisse sind immer stochastisch unabhängig.
S5.4 Aus der vollst. stoch. Unabhängigkeit folgt immer die paarweise stoch.
Unabhängigkeit.
S5.5 A1, A2, ..., An seien stochastisch unabhängig. Ersetzt man beliebig viele Ai durch
, dann bleiben die Ereignisse vollständig stochastisch unabhängig.
Verbundereignisse:
S6.1 n Dinge, von denen n1, n2, ..., nr gleich sind, können insgesamt auf
Arten angeordnet werden.
S6.2 Binomialverteilung
S6.3 sicheres Ereignis
S6.4 Polynomialverteilung
Zufallsvariablen:
S7.1 Eigenschaften: F(-_) = 0 F(_) = 1
S7.2 aus x1<x2 folgt F(x2)_F(x1) · FX(x) ist monoton steigend.
S7.3 P(X>x) = 1 - FX(x)
S7.4 P(x1<X_x2) = F(x2) - F(x1)
S7.5 rechtseitiger Grenzwert:
linksseitiger Grenzwert :
S7.6 P(X = x) = F(x+) - F(x-)
S7.7
S7.8
Transformation von Zufallsvariablen:
S8.1
S8.2 P(X _ _) = P(Y _ y) = Fy(y) mittels FX(x) ermitteln.
S8.3
transformierte Dichtefunktion
Momente und Zentralmomente von ZV
S9.1 Erwartungswert tranformierter ZV
S9.2 Linearitätsgesetz E(aX + b) = a E(X) + b
S9.3 Bei symmetrischen Funktionen liegt der Schwerpunkt immer auf xs. Daher gilt :
E(X) = xs
S9.4 E((X - _x)2) = E(X2) - _x2
