Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse prüfen Aufgabe

STOCHASTIK | Unabhängigkeit und Erwartungswert
Lösungscoach
Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse prüfen
Aufgabe
Ein Laplace-Würfel wird einmal geworfen. Beurteile die stochastische Abhängigkeit der folgenden Ereignisse:
A: Die gewürfelte Zahl ist gerade.
B: Die gewürfelte Zahl ist größer als 1.
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Die stochastische Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit beschreibt das Verhältnis zwischen zwei1
Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeit vom Eintreten des jeweils anderen Ereignisses abhängt
bzw. nicht abhängt. Anders formuliert: A und B sind stochastisch abhängig, wenn das Eintreten
von B die Wahrscheinlichkeit von A beeinflusst.
Im vorliegenden Fall kann man den Begriff wie folgt konkretisieren:
A und B sind stochastisch abhängig, wenn die Kenntnis, dass mindestens eine 2 gewürfelt
wurde, einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, dass die Zahl gerade ist.
Mathematisch präziser wäre folgende Definition:
A und B sind stochastisch abhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der
Bedingung B ungleich der Wahrscheinlichkeit von A ohne Voraussetzung von B ist, d. h.
P(A|B) = P(A).
Diese hat aber den Nachteil, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit nur für den Fall definiert
ist, dass die Bedingung eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Außerdem werden Gleichungen
in Definitionen gegenüber Ungleichungen bevorzugt, so dass man statt der stochastischen
Abhängigkeit lieber die Unabhängigkeit definiert. Daher hat sich folgende Definition etabliert:
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:
Unabhängigkeit von A und B:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Ansonsten sind sie stochastisch abhängig.
Mit dieser Formel kann man also ganz einfach stochastische Unabhängigkeit prüfen, auch
ohne im Detail die Abhängigkeiten der Wahrscheinlichkeiten von A und B zu analysieren.
Man braucht stattdessen nur die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) und P(A ∩ B). Eine kurze
1
Es gibt den Begriff auch für eine beliebige Anzahl von Ereignissen, aber im Abitur beschränkt man sich auf
(Un-)Abhängigkeit zweier Ereignisse.
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Rechnung zeigt, dass diese Definition im Falle P(B) > 0 mit der Definition über die bedingte
Wahrscheinlichkeit übereinstimmt:
P(A ∩ B)
= P(A) ⇐⇒ P(A|B) = P(A).
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ⇐⇒
P(B)
Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten berechnen
Um die Formel im obigen Merkkasten anzuwenden, brauchen wir die Wahrscheinlichkeiten
P(A), P(B) und P(A ∩ B):
Das Ereignis A beinhaltet die Ergebnisse 2, 4 und 6, also 3 von insgesamt 6 möglichen Würfelergebnissen. Nach der Formel von Laplace ist also P(A) = 63 = 12 .
Das Ereignis B beinhaltet die Ergebnisse 2, 3, 4, 5 und 6, also 5 von insgesamt 6 möglichen
Würfelergebnissen. Nach der Formel von Laplace ist also P(B) = 56 .
Das Ereignis A ∩ B beinhaltet die Ergebnisse 2, 4 und 6, also 3 von insgesamt 6 möglichen
Würfelergebnissen. Nach der Formel von Laplace ist also P(A ∩ B) = 36 = 12 .
Schritt 2: Gleichung für stochastische Unabhängigkeit prüfen
A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ist. Im
vorliegenden Fall ist nach Schritt 1
P(A∩B) =
1
2
sowie P(A) =
1
2
und P(B) = 65 , also ist die rechte Seite P(A)·P(B) = 21 · 56 =
5
.
12
Es ist 21 6= 56 , also in unserem Fall P(A ∩ B) 6= P(A) · P(B), d. h. die Ereignisse A und B sind
stochastisch abhängig.
Bemerkung:
Bei dieser Aufgabe ist die Situation einfach genug, dass man sich die stochastische
Abhängigkeit auch anhand der anschaulichen Definition klar machen kann: Die Wahrscheinlichkeit von A (gerade Zahl) ist 21 , wenn B (Zahl > 1) nicht vorausgesetzt wird.
Wenn aber B eintritt, dann kommen nur noch die Zahlen 1 bis 5 in Frage, von denen
drei (nämlich 2, 4 und 6) gerade sind, d. h. die Wahrscheinlichkeit von A unter der
Bedingung B ist 53 , also nicht mehr 21 . Daher sind A und B stochastisch abhängig.
Lösung:
A und B sind stochastisch abhängig.
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