Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kapitel 4: Die Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen. Zwei Fragen: sagt
das Verfehlen des Zeitkriteriums im 100m Lauf etwas über die negative Weite beim Ballwurf?
Dasselbe kann man auch andersrum fragen.
Einfacher: wenn ich was über A weiss, was kann ich über B sagen?
Wichtig: A und –A, B und –B müssen erst klar definiert werden. Sowohl A als auch –A können
INHALTLICH negative Vorfälle sein!
Wir führen ein Zufallsexperiment durch: stelle fest, ob ein Kind eine negative Weite geworfen
hat (A) und stelle fest, ob es beim 100m Lauf die Kriterien nicht erreicht hat (B).
p(A) = 0,12; p(B) = 0,05; p(AB) = 0,04
OMEGA enthält AB A-B –AB –A-B
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Ereignis B tritt ein GEGEBEN DASS Ereignis A schon eingetreten
ist. P(B|A)= Verbundwahrscheinlichkeit p(AB) / Grundwahrscheinlichkeit p(A). Hier: der
Anteil aller AB an A > B|A
Bedingte Wahrscheinlichkeit geht aus von einer eingeschränkten Anzahl aus der Grundmenge
OMEGA.
Bei Laplace stimmt dies überein mit der Idee Günstige / Mögliche Ergebnisse. Kolmogorov
konnte diesen Zusammenhang nicht herleiten und er sah sich gezwungen, ein viertes Axiom
einzuführen: p(B|A)=p(AB)/p(A).
Verbundwahrscheinlichkeit ist unabhängig von der Reihenfolge der
Grundwahrscheinlichkeiten. Die Formel kann also auch umgeformt werden zu:
Multiplikationssatz: p(AB)=p(B|A) * p(A) Das gilt auch für p(BA)=p(A|B) * p(B)
In der Praxis hat das bedeutende Folgen.
Stochastische Unabhängigkeit: die Wahrscheinlichkeit beim Würfel ist für 1 = 1/6. Diese hängt
nicht davon ab, ob vorher ein anderes Ereignis schon eingetreten ist (z.B. Münzwurf).
p(B) = p(B|A) ist stochastische Unabhängigkeit. Dem Würfel ist die Münze egal.
p(AB)=p(B|A)*p(A)=p(B)*p(A)
Wenn alle Ereignisse stochastisch unabhängig sind, kann man Grundwahrscheinlichkeiten
einfach multiplizieren. Dies gilt nicht für abhängige Ereignisse. Lottziehung: bei der zweiten
Ziehung sind weniger Kugeln in der Lostrommel! p(x1)=1/49, p(x2|x1)=1/48!
Verallgemeinerter Multiplikationssatz: p(A1A2…Ak)=p(A1)*p(A2)*…*p(Ak), wenn alle
Ereignisse stochastisch unabhängig sind!
Disjunktheit hat nichts mit S.U. zu tun! S.U. muss theoretisch begründet werden, nicht aber
durch Experimente oder Theorie.
Stochastisch unabhängig: wenn A s.u. von B, dann auch B s.u. von A. Dasselbe trifft zu auf ~A
und ~B. Dasselbe gilt für alle Kombinationen aller Ereignisse und Gegenereignissen.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Beispiel Torte mit Stücken A1+A2+…+Ak = A >>>
p(A1)+p(A2)…+p(Ak).
Wahrscheinlichkeitsbäume im Vergleich mit Venn-Diagramm >>> Partitionierung kommt
wieder zurück. Wahrscheinlichkeiten lassen sich bei Venn aber schlecht einzeichnen: der
Baum ist hier besser.
Die Grundwahrscheinlichkeit wird jeweils an die Linie zum Teilereignis geschrieben.
Teilereignisse müssen den gesamten Stichprobenraum darstellen > Summe der
Grundwahrscheinlichkeiten muss 1 sein.
Zweite Ebene: zeigt dann p(Bi|Ai), p(bii|Ai), etc.
Wie berechnet man die Verbundwahrscheinlichkeit? Multiplikationssatz wird benützt: alle
Verbundwahrscheinlichkeiten müssen wieder zu 1 addieren.