Mathematische und statistische Methoden II statistische Methoden II

Statistik &
Methodenlehre
e ode e e
Prof. Dr. G. Meinhardt
6. Stock, Wallstr. 3
((Raum 06-206))
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung und
nach der Vorlesung.
g
Mathematische und
statistische Methoden II
Dr. Malte Persike
} [email protected]
http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/methods/
SS 2010
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Statistik &
Methodenlehre
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Bedingte Wk
Satz von
Bayes
Mengenlehre
Wk-Theorie
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( A ∩ B)
P ( B | A) =
P ( A)
Ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B,
B gegeben dass
das Ereignis A bereits eingetreten ist (lies: „B gegeben A“).
Die Wahrscheinlichkeit P(A) wird
als Grundwahrscheinlichkeit
bezeichnet.
P(B | A) wird bedingte
Wahrscheinlichkeit genannt.
A A∩B B
Im Venn Diagramm kann P(B | A) als Anteil der Fläche
A ∩ Ban der Fläche A interpretiert werden (und nicht
mehr am gesamten Stichprobenraum Ω).
Ω
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Methodenlehre
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Bedingte Wk
Mengenlehre
Wk-Theorie
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Im Laplace Ansatz
Satz von
Bayes
Es seien
a die für das Ereignis A günstigen Elementarereignisse
b die für das Ereignis B günstigen Elementarereignisse
c die für das Ereignis A ∩ B günstigen Elementarereign.
n die Menge aller Elementarereignisse.
Dann ist zunächst
P(A) = a / n
P(B) = b / n
P(AB) = c / n
Aus dem Venn Diagramm sieht man auch:
P(B | A) = c / a
Durch n/n teilen ergibt
c
P( A ∩ B)
n
=
P ( B | A) =
a
P ( A)
n
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Methodenlehre
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Bedingte Wk
Mengenlehre
Wk-Theorie
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Im Kolmogoroff Ansatz
Satz von
Bayes
In der axiomatischen Definition der Wahrscheinlichkeit kann
die Berechnungsvorschrift für bedingte Wahrscheinlichkeiten
nicht bewiesen werden.
Deshalb muss die bedingte Wahrscheinlichkeit hier definiert
werden:
! P( A ∩ B)
P ( B | A) =
P ( A)
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Methodenlehre
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Bedingte Wk
Mengenlehre
Wk-Theorie
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Das Multiplikationstheorem
Satz von
Bayes
gilt:
Man sieht sofort dass g
P(A ∩ B) = P(B ∩ A)
Damit erhalten wir durch Umformen
P( B | A) =
P( A ∩ B)
P( A)
⇔ P( A ∩ B) = P( B | A) ⋅ P( A)
P( A | B) =
P( A ∩ B)
P( B)
⇔ P( A ∩ B) = P( A | B) ⋅ P( B)
Multiplikationstheorem
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Mengenlehre
Wk-Theorie
Bedingte Wk
Wahrscheinlichkeitsbäume
Satz von
Bayes
Additions- und Multiplikationstheorem für bedingte
Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut an einem
Wahrscheinlichkeitsbaum veranschaulichen.
Ereignis
g B,
gegeben A
Ereignis A
P(B1|A1)
A1
B1
Multiplikations
Multiplikationstheorem für Wk‘ten
P(B1|A1)P(A1)
P(B2|A1)
B2
P(A1)
P(B1|A2)
S
P(A
( 1)
B1
A2
P(B2|A1)P(A1)
P(B1|A2)P(A2)
P(A1B1∪A2B1 ∪A3B1)=
P(B2|A2)
B2 P(B |A )P(A )
2 2
2
P(A
( 1)
P(B1|A3)
B1
A3
P(B1|A3)P(A3)
P(B2|A3)
B2
Man sieht
auch:
P(B2|A3)P(A3)
P(B1|A1)P(A1)+
P(B1|A2)P(A2)+
P(B1|A3)P(A3)
Statistik &
Methodenlehre
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Bedingte Wk
Satz von
Bayes
Mengenlehre
Wk-Theorie
Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit
Wenn die Ereignisse B1, B2, … Bk paarweise disjunkt sind und
das Ereignis A immer mit einem der Bi auftritt, gilt
A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bk)
Mit dem Additionsthorem erhalten wir
P ( A) = P( A ∩ B1 ) + … + P ( A ∩ Bk )
Ω
Bk
…
B1 B2
… …
…
…
A
Und mit dem Multiplikationssatz wird daraus
P ( A) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P( B2 ) P( A | B2 ) + … + P ( Bk ) P( A | Bk )
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
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Bedingte Wk
Satz von
Bayes
Mengenlehre
Wk-Theorie
Satz von Bayes
Wir sehen anhand des Multiplikationstheorems, dass
P(B | A) P(A) = P(A | B) P(B)
Damit gilt
P( B | A) =
P( A | B) P( B)
P ( A)
bzw.
P( A | B) =
P( B | A) P ( A)
P( B)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
gegeben B ist zu berechnen aus der Wahrscheinlichkeit
für B gegeben A und den Grundwahrscheinlichkeiten von
A und B.
Diese Beziehung ist der Satz von Bayes.
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Bedingte Wk
Mengenlehre
Wk-Theorie
Satz von Bayes
Verallgemeinerung
Satz von
Bayes
Hat man mehrere Ereignisse B1, B2, …, Bk wird beim Satz
von Bayes
P( A | Bi ) P ( Bi )
P ( Bi | A) =
P ( A)
vorausgesetzt, dass die Grundwahrscheinlichkeit für A
vorausgesetzt
bekannt ist. Häufig kennt man aber nur alle P(A|Bi).
Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man
aus dem Satz von Bayes diese allgemeine Bayes-Formel:
P( Bi | A) =
P( A | Bi ) P( Bi )
P( A | B1 ) P( B1 ) + P( A | B2 ) P( B2 ) + … + P( A | Bk ) P( Bk )