Der Nachlass des Reverend Thomas Bayes

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THEORIE & PRAXIS: PORTFOLIOOPTIMIERUNG
O
Der Nachlass des Reverend Thomas Bayes (1702–1761)
Seine Berechnungen zu bedingten Wahrscheinlichkeiten wurden erst posthum publiziert.
b das einzige von ihm bekannte
Porträt tatsächlich authentisch ist,
kann man nicht mit Bestimmtheit
sagen. Zeit seines Lebens hatte er nur
zwei Werke publiziert, denn erst nach seinem Ableben hat ein Freund sein mathematisches Werk über bedingte Wahrscheinlichkeiten in der 1763 veröffentlichten Abhandlung „An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances“ ans Licht der Öffentlichkeit gebracht.
Es wird seither auch als Formel von Bayes
oder Bayes-Theorem bezeichnet. Dieses
wurde später von Laplace als wissenschaftlich korrekt validiert.
In seiner einfachen Form lautet das
Theorem von Bayes wie folgt:
P(A|B) =
P(B|A) P(A)
P(B)
Dabei bedeutet P(A) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, P(B)
steht für die Wahrscheinlichkeit, dass das
Ereignis B eintritt. P(B|A) steht für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass B dann
eintritt, wenn zuvor das Ereignis A eingetreten ist. P(A|B) steht für die bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A
dann eintritt, wenn zuvor B eingetreten ist.
Die Formel macht es einfach, bedingte
Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Bayes’
Theorem ermöglicht es, Schätzungen von
Wahrscheinlichkeiten zu revidieren, wenn
man über neue Informationen verfügt.
Damit wird Unsicherheit verringert. Der
Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinne
auch die Umkehrung von Schlussfolgerungen. So geht man von einem bekannten
Wert P(B|A) aus, ist aber eigentlich an
dem Wert P(A|B) interessiert. Zum besseren Verständnis kann ein Entscheidungsbaum oder auch eine Vierfeldertafel herangezogen werden. Das Verfahren wird
jedenfalls auch Rückwärtsinduktion genannt. Mitunter wird der Fehlschluss praktiziert, direkt von P(B|A) auf P(A|B) schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) zu berücksichtigen, beispielsweise indem angenommen wird, die
beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten
müssten ungefähr gleich groß sein. Wie
der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur
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Thomas Bayes: Sein wichtigstes Werk „An Essay towards
Solving a Problem in the Doctrine of Chances“ wurde erst
postum 1764 veröffentlicht. Es wurde zum Standardwerk für
bedingte Wahrscheinlichkeiten und inspiriert heute noch
Mathematiker, Statistiker – und Asset Manager.
dann der Fall, wenn auch P(A) und P(B)
ungefähr gleich groß sind. Ebenso ist zu
beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten per se nicht dazu geeignet sind,
einen bestimmten Ursache-Wirkungs-Zusammenhang nachzuweisen.
Anwendungsfall Gameshow
Ein typisches Beispiel ist die US-Gameshow namens „Let’s Make a Deal“. Der
P(A2|T3) =
man dort stehenbleiben, wo man gerade
ist. Die anderen sagen sich, dass es ursprünglich eine Ein-Drittel-Chance gab,
das Auto zu gewinnen. Wenn man dort
stehenbleibt, wo man gerade ist, hat sich
an der Drittelwahrscheinlichkeit nichts geändert. Geht man als Kandidat zur anderen, noch freien Tür, muss man daher
eine Zwei-Drittel-Chance haben, weswegen es besser ist, diese andere Tür anzusteuern.
Tatsächlich handelt es sich dabei um
ein klassisches Problem der bedingten
Wahrscheinlichkeit, sodass die Anwendung von Bayes’ Theorem Abhilfe schafft.
Trifft man die Annahme, dass der Kandidat ursprünglich Tür 1 und der Gastgeber
danach die Tür 3 gewählt hat, kann man
in Analogie zu oben folgende Wahrscheinlichkeiten ausmachen: P(A2) ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto
hinter Tür 2 befindet; P(T3) die Wahrscheinlichkeit, dass der Gastgeber die Tür
3 öffnet; P(A2|T3) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter
Tür 2 befindet, wenn der Gastgeber Tür 3
geöffnet hat. P(T3|A2) steht für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Gastgeber
Tür 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tür 2
anzutreffen ist. Dank Bayes ist die Lösung
nun leicht zu ermitteln:
P(A2) x P(T3/A2) 1/3 x 1/1
=
= 2/3
P(T3)
1/2
Kandidat steht vor drei verschlossenen Türen, wobei sich hinter einer ein Auto, hinten den zwei anderen jeweils eine Ziege
verbirgt. Der Kandidat beginnt nun, indem
er eine Tür auswählt. Der Gastgeber, der
weiß, hinter welcher Tür sich der Hauptpreis verbirgt, öffnet dann eine der beiden
anderen Türen, die der Kandidat zuvor
eben nicht gewählt hat, hinter der sich
immer eine Ziege verbirgt. Meist befragt
dann der Kandidat das Publikum, welche
Tür er endgültig wählen soll.
Was sollte der Kandidat tun, um seine
Chancen zu verbessern? Grundsätzlich
gibt es zwei Arten von Kandidaten: Die
einen sagen, es gibt zwei Chancen mit 50
Prozent Wahrscheinlichkeit, daher könne
Schließlich gilt ja in dem Beispiel Folgendes: Der Gastgeber kann ja Tür 1 nicht
wählen, weil die der Kandidat blockiert.
Falls der Gastgeber nicht wüsste, hinter
welcher Tür sich das Auto verbirgt, hätte
er zwei Wahlmöglichkeiten (P = ½). Da er
aber weiß, dass Tür 2 ausscheidet, kann
er nur Tür 3 wählen (P=1). Das Essenzielle
ist, dass man durch den Schritt des Gastgebers, Tür 3 zu öffnen, eine Zusatzinformation erhalten hat, die man als Kandidat
mithilfe des Konzepts bedingter Wahrscheinlichkeiten zur Verbesserung seiner
Gewinnchancen nutzen kann.
Finaltis nutzt das Konzept, um aus der Zusatzinformation bessere Volatilitätsschätzer
zu gewinnen.
No. 3/2016 | www.institutional-money.com