Markowitz powered by Bayes

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Markowitz powered by Bayes
THEORIE & PRAXIS: PORTFOLIOOPTIMIERUNG
D
Die französische Fondsboutique Finaltis optimiert ihre Aktienportfolios mithilfe des Bayes’schen
Theorems der bedingten Wahrscheinlichkeiten – die Ergebnisse sind bisher äußerst vielversprechend.
er „Werkzeugkasten“ von
Romy Croisille und Christophe Olivier wirkt auf den
ersten Blick vergleichsweise
antiquiert. Croisille ist Head of Research
der Pariser Investmentboutique Finaltis und
Olivier ist der CIO des quantitativ arbeitenden Asset Managers. Das Konzept der beiden basiert im Kern auf der mehr als 60
Jahre alten Modernen Portfoliotheorie
(MPT) von Harry Markowitz . Die gilt zwar
als „Relativitätstheorie der Kapitalanlage“,
weist aber eine gravierende prinzipielle
Schwäche auf. Um damit brauchbare Ergebnisse zu erzielen, wären korrekte Schätzungen für Erträge, Volatilitäten und Korrelationen der einzelnen Assetklassen nötig,
und genau die lassen sich bekanntlich nicht
einmal halbwegs treffsicher prognostizieren.
Dass Markowitz’ Ansatz auch Leerverkäufe
und den Einsatz von Hebeln voraussetzt, erscheint da fast nur mehr als Randproblem.
Croisille und Olivier ließen sich davon
dennoch nicht entmutigen. Sie wollten Markowitz treu bleiben, dabei aber dem Dilem-
ma der hohen Schätzfehler der Inputparameter entgehen.
Wir kennen heute eine Reihe von Lösungen, die versuchen, das Schätzdilemma zu
entschärfen. Trifft man etwa die Annahme,
alle Korrelationen lägen bei null und unterstellt man weiters, dass die Erträge je Assetklasse gleich sind, gelangt man zum RiskParity-Konzept. Trifft man hingegen die
Annahme, dass die Erträge proportional zur
Volatilität ausfallen, landet man beim Maximum-Diversification-Ansatz.
Beide Ideen werden in der Praxis umgesetzt und erzielen – phasenweise – gute
Ergebnisse, allerdings kann das nicht über
den Makel hinwegtäuschen, dass ihre Annahmen nicht mit der beobachtbaren Realität übereinstimmen.
Ihre Lösung fanden Croisille und Olivier
(unter anderem) in Form eines noch wesentlich älteren mathematischen Meilensteins:
dem Bayes-Theorem der bedingten Wahrscheinlichkeiten (siehe Kasten). Das 1763
erstmals publizierte Konzept vom Thomas
Bayes erlaubt nämlich eine Revision von
Parameterschätzungen auf der Basis von
Beobachtungen und den Wahrscheinlichkeiten dieser Beobachtungen. Indem man sich
mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit
an die Volatilität von einzelnen Aktien in
einem quantitativen Prozess herantastet,
verbessert man die Schätzergebnisse, was
dann zu besseren Ergebnissen führt.
„Effizientes Beta“
Finaltis nennt dieses Konzept „EfficientBeta-Methode“ und hat es sich als Marke
schützen lassen. Die Franzosen nutzen das
Bayes-Theorem, um eine Schätzung der erwarteten Volatilität zu erhalten, die von der
allgegenwärtigen Standardabweichung abweicht. Dabei verwendet der Ansatz von Finaltis nicht nur die individuellen historischen
Informationen jeder Aktie, sondern bezieht
auch Beobachtungen von Volatilitäten der
Gesamtheit mit ein. Zusätzlich wird, durch
einen selbst entwickelten probabilistischen
Ansatz die mit Schätzgrößen einhergehende
Unsicherheit in das Modell integriert.
Interessante Verteilung der Aktienvolatilitäten
Pro Quartal gibt es vier bis fünf Volatilitätshäufungen der Euro-Stoxx-Aktien.
4,5 %
Bucket 1
4,0 %
Bucket 2
3,5 %
Bucket 3
2,5 %
Bucket 4
2,0 %
Bucket 5
1,5 %
1,0 %
0,5 %
0,0 %
14 %
24 %
34 %
44 %
54 %
64 %
74 %
84 %
Am Beispiel des Histogramms der realisierten Volatilitäten der Euro-Stoxx-Aktien des 4. Quartals 2015 zeigt sich eine fünffache Clusterbildung („Buckets“), die näherungsweise durch die
Quelle: Finaltis AM
mehrgipfelige Kurve kalibriert wurde.
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Observations
3,0 %
Calibrated
Realised
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THEORIE & PRAXIS: PORTFOLIOOPTIMIERUNG
Konkret geschieht das
dergestalt, dass man die Volatilitäten und Korrelationen
aller Aktien des Index während der letzten 20 Jahre
quartalsweise erfasst und
analysiert. Im Fall der realisierten Aktienvolatilitäten
bildete man pro Quartal ein
Volatilitätshistogramm und
stellte fest, dass es regelmäßig zwischen vier und fünf
Häufungen von Aktien in
Bezug auf bestimmte Volatilitätsniveaus gibt (siehe
Grafik „Interessante Verteilung der Aktienvolatilitäten“). Bei Finaltis ging man
nun daran, das Aktienuniversum so zu modellieren,
als ob es nur fünf verschiedene Volatilitätsniveaus aufweisen würde. Mathematisch ausgedrückt, kann die
beobachtete Dichtefunktion
näherungsweise
korrekt
durch eine Linearkombination von fünf Chi-QuadratVerteilungen
dargestellt
werden
(siehe
Grafik
„Dichtefunktion hervorragend approximiert“).
Im Dezember 2015 bedeutete die daraus abgeleitete Erkenntnis, dass die BeHarry Markowitz’ Portfoliotheorie ist zwar genial, weist in der Praxis aber gravierende Schwächen auf. Kombiniert man sie jedoch – wie das die
französische Fondsboutique Finaltis tut – mit dem Bayes’schen Theorem der bedingten Wahrscheinlichkeiten, wird ein leistungsfähiges Werkzeug daraus.
obachtungen der realisierten
Volatilitäten es erlauben, sogenannte Volatilitätskörbe – Finaltis
nennt sie „Buckets“ – mit den dazugeRealisierte Volatilitätsverteilung gut eingefangen
hörigen Wahrscheinlichkeiten wie folgt
zu definieren: Bucket 1 bestand aus 30
P(Realised Vol < X)
100 %
Prozent der Aktien mit einer Volatilität
Calibrated
von 23,3 Prozent, Bucket 2 aus 45,2
Realised
Prozent der Aktien mit einer Volatilität
80 %
von 29,7 Prozent. In Bucket 3 fanden
sich Ende Dezember 2015 dann 13,1
60 %
Prozent der Indextitel mit einer Volatilität von 36,9 Prozent, in Bucket 4 waren
40 %
es 7,9 Prozent der Aktien mit einer Volatilität von 43,3 Prozent und in Bucket
5 schließlich 3,8 Prozent der Titel mit
20 %
einer Volatilität von 67,6 Prozent. „Jedes
Quartal wechseln nun die Volatilitäts0%
niveaus
und korrespondierenden Wahr14 %
24 %
34 %
44 %
54 %
64 %
74 %
84 %
scheinlichkeiten der fünf Buckets, doch
Diese Zusatzinformation über die Verteilung der quartalsweisen realisierten Volatilitäten (hier: Q4/(2015, per 18. 12. 2015) wird
das zugrunde gelegte Fünf-Bucket-MoQuelle: Finaltis AM
verwendet, um bessere Volatilitätsschätzwerte für die Portfoliooptimierung zu erzielen.
dell bleibt gültig“, beschreibt Olivier.
Dichtefunktion hervorragend approximiert
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Mit dem Finaltis-Ansatz findet man sich
im klassischen Bayes’schen Rahmenwerk für
Einzelaktien wieder. Setzt man Bayes’ Formel ein, ändert das Niveau der realisierten
Volatilität quartalsweise die Zuordnung einer
Aktie auf die fünf Buckets.
Intuitiv ist das nicht auf Anhieb nachvollziehbar, etwas
leichter verständlich wird es
anhand eines Beispiels (siehe
Grafik „Verbesserte VolaSchätzungen dank Bayes“).
Die französische Veolia-Aktie
wies am 18.12.2015 eine realisierte 65-Tage-Volatilität von
23,9 Prozent auf. Mithilfe von
Bayes kann man herleiten,
dass Veolia mit einer fast 90-prozentigen
Wahrscheinlichkeit in Bucket 1 (Vola 23,3
Prozent) und mit etwas mehr als zehn Prozent Wahrscheinlichkeit in Bucket 2 (Vola:
29,7 Prozent) zu finden sein wird. Für die
restlichen Buckets 3 bis 5 errechnet sich eine
Wahrscheinlichkeit von null Prozent.
Daraus kann Finaltis nun seine Volatilitätsschätzung ableiten, die nicht mit der
Standardabweichung übereinstimmt. Sie bezieht nicht nur die individuelle Aktienvolatilität, sondern auch die kollektive Information der Beobachtungen von allen anderen
Einzelaktien in die Betrachtung mit ein und
integriert über die Wahrscheinlichkeitsrechnung die Unsicherheit des Schätzwerts.
Remi Croisille: „Dieser revidierte Volatilitätsschätzer, der von den Bayes’schen
Wahrscheinlichkeiten abgeleitet ist, dazu ein
ähnlicher Schätzer für die Korrelation sowie
tis, führt aus: „Bei der Berechnung der erwarteten Korrelation verwenden wir ebenfalls denselben Ansatz von Bayes. Die mathematische Umsetzung weist jedoch große
Unterschiede auf.“ In Zeiten mit geringerer
Volatilität weist die Dichtefunktion der Kor-
» Nicht nur individuelle Aktieninformation
fließt in den Vola-Schätzer ein, sondern auch
kollektive Information aller Volatilitäten. «
Christophe Olivier, Chief Investment Officer von Finaltis Asset Management, Paris
eine Methode, die von Markov-Ketten inspiriert ist, um die Migration zwischen
Buckets und einen Optimierungsalgorithmus zu modellieren, versetzen Finaltis’ EfficientBeta-Methode in die Lage, ohne zusätzliche künstliche Einschränkungen optimale Portfolios zu generieren.“ Diese weisen dann Risiko-Ertrags-Charakteristika auf,
die jenen der Benchmark überlegen sind.
Apropos Korrelationsschätzer: Hier
konnte Finaltis mithilfe der historischen
Analyse im Gegensatz zur Volatilität nur
drei Häufungen (anstatt fünf) identifizieren.
Mark Grobien, International Sales bei Final-
relationsverteilung ein deutlich anderes
Muster auf als in Zeiten hoher Volatilität.
Die Gegenüberstellung von simulierter und
kalibrierter Dichte der Korrelationen in
hochvolatilen Zeiten findet sich in der Grafik „Herausfordernde Dichtefunktion der
Korrelation“.
Anderer Min-Var-Ansatz
Der Minimum-Varianz-Ansatz von Finaltis unterscheidet sich von klassischen Ansätzen des Mitbewerbs dadurch, dass er als
Input nicht nur ausschließlich historische
Verbesserte Volatilitätsschätzungen dank Bayes
Pro Quartal gibt es vier bis fünf Volatilitätshäufungen der Euro-Stoxx-Aktien.
On 18 December 2015, the stock Veolia (Bloomberg Ticker : VIE FP Equity)
has a 65 day realised volatility of 23,9 %. We can therefore deduce a probability of …
89,9 % of being
in bucket 1
10,1 % of being
in bucket 2
0 % of being
in bucket 3, 4 and 5
BUCKET 2
Volatility
23,3 %
30,0 % of
stocks
Volatility
29,7 %
BUCKET 3
Volatility
36,9 %
45,2 % of
stocks
13,1 % of
stocks
BUCKET 4
Volatility
43,3 %
7,9 % of
stocks
BUCKET 5
Volatility
67,6 %
3,8 % of
stocks
Volatility buckets
Am Beispiel des Histogramms der realisierten Volatilitäten der Euro-Stoxx-Aktien des 4. Quartals 2015 zeigt sich eine fünffache Clusterbildung, die näherungsweise durch die
mehrgipfelige Kurve kalibriert wurde.
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Quelle: Finaltis
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BUCKET 1
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O
Der Nachlass des Reverend Thomas Bayes (1702–1761)
Seine Berechnungen zu bedingten Wahrscheinlichkeiten wurden erst posthum publiziert.
b das einzige von ihm bekannte
Porträt tatsächlich authentisch ist,
kann man nicht mit Bestimmtheit
sagen. Zeit seines Lebens hatte er nur
zwei Werke publiziert, denn erst nach seinem Ableben hat ein Freund sein mathematisches Werk über bedingte Wahrscheinlichkeiten in der 1763 veröffentlichten Abhandlung „An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances“ ans Licht der Öffentlichkeit gebracht.
Es wird seither auch als Formel von Bayes
oder Bayes-Theorem bezeichnet. Dieses
wurde später von Laplace als wissenschaftlich korrekt validiert.
In seiner einfachen Form lautet das
Theorem von Bayes wie folgt:
P(A|B) =
P(B|A) P(A)
P(B)
Dabei bedeutet P(A) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, P(B)
steht für die Wahrscheinlichkeit, dass das
Ereignis B eintritt. P(B|A) steht für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass B dann
eintritt, wenn zuvor das Ereignis A eingetreten ist. P(A|B) steht für die bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A
dann eintritt, wenn zuvor B eingetreten ist.
Die Formel macht es einfach, bedingte
Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Bayes’
Theorem ermöglicht es, Schätzungen von
Wahrscheinlichkeiten zu revidieren, wenn
man über neue Informationen verfügt.
Damit wird Unsicherheit verringert. Der
Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinne
auch die Umkehrung von Schlussfolgerungen. So geht man von einem bekannten
Wert P(B|A) aus, ist aber eigentlich an
dem Wert P(A|B) interessiert. Zum besseren Verständnis kann ein Entscheidungsbaum oder auch eine Vierfeldertafel herangezogen werden. Das Verfahren wird
jedenfalls auch Rückwärtsinduktion genannt. Mitunter wird der Fehlschluss praktiziert, direkt von P(B|A) auf P(A|B) schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) zu berücksichtigen, beispielsweise indem angenommen wird, die
beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten
müssten ungefähr gleich groß sein. Wie
der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur
122
Thomas Bayes: Sein wichtigstes Werk „An Essay towards
Solving a Problem in the Doctrine of Chances“ wurde erst
postum 1764 veröffentlicht. Es wurde zum Standardwerk für
bedingte Wahrscheinlichkeiten und inspiriert heute noch
Mathematiker, Statistiker – und Asset Manager.
dann der Fall, wenn auch P(A) und P(B)
ungefähr gleich groß sind. Ebenso ist zu
beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten per se nicht dazu geeignet sind,
einen bestimmten Ursache-Wirkungs-Zusammenhang nachzuweisen.
Anwendungsfall Gameshow
Ein typisches Beispiel ist die US-Gameshow namens „Let’s Make a Deal“. Der
P(A2|T3) =
man dort stehenbleiben, wo man gerade
ist. Die anderen sagen sich, dass es ursprünglich eine Ein-Drittel-Chance gab,
das Auto zu gewinnen. Wenn man dort
stehenbleibt, wo man gerade ist, hat sich
an der Drittelwahrscheinlichkeit nichts geändert. Geht man als Kandidat zur anderen, noch freien Tür, muss man daher
eine Zwei-Drittel-Chance haben, weswegen es besser ist, diese andere Tür anzusteuern.
Tatsächlich handelt es sich dabei um
ein klassisches Problem der bedingten
Wahrscheinlichkeit, sodass die Anwendung von Bayes’ Theorem Abhilfe schafft.
Trifft man die Annahme, dass der Kandidat ursprünglich Tür 1 und der Gastgeber
danach die Tür 3 gewählt hat, kann man
in Analogie zu oben folgende Wahrscheinlichkeiten ausmachen: P(A2) ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto
hinter Tür 2 befindet; P(T3) die Wahrscheinlichkeit, dass der Gastgeber die Tür
3 öffnet; P(A2|T3) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter
Tür 2 befindet, wenn der Gastgeber Tür 3
geöffnet hat. P(T3|A2) steht für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Gastgeber
Tür 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tür 2
anzutreffen ist. Dank Bayes ist die Lösung
nun leicht zu ermitteln:
P(A2) x P(T3/A2) 1/3 x 1/1
=
= 2/3
1/2
P(T3)
Kandidat steht vor drei verschlossenen Türen, wobei sich hinter einer ein Auto, hinten den zwei anderen jeweils eine Ziege
verbirgt. Der Kandidat beginnt nun, indem
er eine Tür auswählt. Der Gastgeber, der
weiß, hinter welcher Tür sich der Hauptpreis verbirgt, öffnet dann eine der beiden
anderen Türen, die der Kandidat zuvor
eben nicht gewählt hat, hinter der sich
immer eine Ziege verbirgt. Meist befragt
dann der Kandidat das Publikum, welche
Tür er endgültig wählen soll.
Was sollte der Kandidat tun, um seine
Chancen zu verbessern? Grundsätzlich
gibt es zwei Arten von Kandidaten: Die
einen sagen, es gibt zwei Chancen mit 50
Prozent Wahrscheinlichkeit, daher könne
Schließlich gilt ja in dem Beispiel Folgendes: Der Gastgeber kann ja Tür 1 nicht
wählen, weil die der Kandidat blockiert.
Falls der Gastgeber nicht wüsste, hinter
welcher Tür sich das Auto verbirgt, hätte
er zwei Wahlmöglichkeiten (P = ½). Da er
aber weiß, dass Tür 2 ausscheidet, kann
er nur Tür 3 wählen (P=1). Das Essenzielle
ist, dass man durch den Schritt des Gastgebers, Tür 3 zu öffnen, eine Zusatzinformation erhalten hat, die man als Kandidat
mithilfe des Konzepts bedingter Wahrscheinlichkeiten zur Verbesserung seiner
Gewinnchancen nutzen kann.
Finaltis nutzt das Konzept, um aus der Zusatzinformation bessere Volatilitätsschätzer
zu gewinnen.
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THEORIE & PRAXIS: PORTFOLIOOPTIMIERUNG
Volatilitäts- und Korrelationendaten verwendet, sondern auch die Schätzwerte, die
mit der konditionellen Wahrscheinlichkeitsrechnung ermittelt wurden.
Grobien: „Das macht unseres Wissens
kein anderes Haus. Die Titelauswahl wird
aufgrund der Ergebnisse unseres Modells
getätigt, die als Resultat des Ansatzes ein diversifiziertes Portfolio ergeben.“ Gewöhnliche Min-Var-Modelle führten hingegen beim Output
zu stark konzentrierten Portfolios,
die durch die Einführung von Nebenbedingungen wie geografischen
und sektoralen Beschränkungen diversifiziert werden müssten.
Exzellente Ergebnisse
Die zentrale Frage gilt natürlich den praktischen Ergebnissen dieses Investitionsansatzes. Er kommt beim Aktienfonds Finaltis
EfficientBeta
Euro
(FR0011603794) seit Dezember
2013 zum Einsatz. Finaltis EfficientBeta Euro investiert in Large
Caps der Eurozone und hat seitdem
die Benchmark, den Euro Stoxx
Net Return (Bloomberg ID: SXXT
Index), erheblich übertroffen, wie
die Grafik „Vorneweg“ belegt. In
den 31 Monaten seit Jahresultimo
2013 konnte sie um annualisiert
858 Basispunkte pro Jahr geschlagen werden, und auch den Ossiam ETF Europe Minimum Variance 1C konnte Finaltis um
jährlich 280 Basispunkte hinter sich lassen.
Der Vollständigkeit halber muss hier er-
Vorneweg
wähnt werden, dass das Investitionsuniversum des Finaltis EfficientBeta Euro und des
Eurostoxx NR (Aktion Europa Eurozone)
nicht exakt jenem des Ossiam ETF Europe
Min Var (Aktien Europa) gleicht.
Der mathematisch anspruchsvolle Ansatz
von Finaltis zur besseren Modellierung der
» Unser proprietärer Ansatz zur Schätzung
von Volatilität und Korrelation basiert
auf dem Theorem von Bayes. «
Remy Croisille, Head of Research und Senior-Fondsmanager von Finaltis Asset Management, Paris
Volatilitäten und Korrelationen und der Einsatz von Markov-Ketten vermindern offensichtlich die Schätzfehler, die dem Markowitz-Modell ansonsten heftig zusetzen.
erregt dank exzellenter Ergebnisse erhöhte Aufmerksamkeit bei Institutionellen. «
Mark Grobien, International Sales von Finaltis Asset Management, Paris
Der 1761 verstorbene Pfarrer und Mathematiker Thomas Bayes hätte es sich wohl
nicht träumen lassen, einmal Jahrhunderte
später als Retter des Ansatzes zur Portfoliooptimierung von Nobelpreisträger Harry
40 %
n Finaltis EfficientBeta Euro
n Ossiam ETF Europe Minimum Variance 1C
n EURO STOXX NR
Deutliche Unterschiede in Zeiten unterschiedlicher Volatilitäten (Momentaufnahme)
Verteilung
der Korrelationen
Eurozone
per 18.06.2004
1,4 %
1,2 %
1%
0,8 %
20 %
0,6 %
10 %
Schätzwerte
Kalibrierungen
0,4 %
0,2 %
2014
2015
2016
In den 31 Monaten vom 31.12.2013 bis 31.7.2016 konnte der Finaltis EfficientBeta
Euro den Euro Stoxx NR annualisiert um 8,58 Prozent im Jahr geschlagen werden, und
auch der Ossiam ETF Europe Minimum Variance 1C blieb um 2,80 Prozent pro Jahr im
Quelle: Bloomberg
Hintertreffen.
124
Herausfordernde Dichtefunktion der Korrelation
1,6 %
30 %
0%
Stoxx zumindest gehalten werden, entsteht
hier eine ernsthafte Konkurrenz zu den klassischen Minimum-Variance-Fonds, seien sie
aktiv oder passiv als ETF gemanagt.
DR. KURT BECKER
0%
-30 %
-10 % 0 % 10 %
30 %
50 %
70 %
90 %
Die Dichtefunktion der Korrelationen unterscheidet sich in hochvolatilen Zeiten deutlich
von jener bei niedriger Volatilität. Beide sind ganz anderer Gestalt als die Dichtefunktion
der Volatilitätsverteilung und erfordern anspruchsvolle mathematische Kalibrierung. Die
Werte können sich zwar ändern, die Struktur der drei Häufungen ist beständig. Quelle: Studie
No. 3/2016 | www.institutional-money.com
F OTO : © F I N A LT I S
50 %
ficientBeta Euro Ende dieses Jahres alt
genug sein wird, um einen dreijährigen
Track Record vorweisen zu können. Sollte
die Outperformance gegenüber dem Euro
» Unser anspruchsvoller Quant-Ansatz
Finaltis EfficientBeta Euro schlägt Min-Var-ETF und Benchmark deutlich.
60 %
Markowitz vor den Vorhang gebeten zu
werden.
Das französische Investmenthaus darf angesichts seiner bisher erzielten Ergebnisse
jedenfalls auf einen deutlichen Sprung bei
den Assets under Management hoffen.
Nicht zuletzt deshalb, weil der Finaltis Ef-