Beispiele

1. Beispiel:
Cholesterin ist eine Kohlenstoffverbindung, die eine beherrschende Rolle
beim Fettstoffwechsel und bei der Arterienverkalkung spielt. Um seinen
Umsatz im menschlichen Körper zu studieren, fassen wir Blut und Organe zu einem Kompartiment K1 zusammen und den Rest des Körpers
zu einem Kompartiment K2 ; K3 sei die Außenwelt, in die hinein die
Exkretion erfolgt. Für i = 1, 2 bedeute ui (t) die Abweichung vom
normalen Cholesterinniveau in Ki , z.B. nach dem Verzehr eines Weihnachtsbratens. Die Exkretion erfolge nur aus K1 . Mit Hilfe eines radioaktiven “Tracers” fand man, daß die Übertragungsrate von K1 nach
K2 etwa 0,036, von K2 nach K1 etwa 0,02 und von K1 nach K3 etwa
0,098 beträgt. Von K2 nach K3 findet kein Abbau statt.
Bestimmen Sie aus diesen Angaben ein Differentialgleichungssystem für
u1 , u2 und bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
2. Beispiel:
Ein Tank K1 enthalte 100 ` Wasser, in dem 5 kg Salz aufgelöst sind,
ein Tank K2 300 ` Wasser mit 5 kg Salz. Beginnend zum Zeitpunkt
t0 = 0 werden pro Minute ständig 10 ` Salzlösung von K1 nach K2 und
10 ` von K2 nach K1 gepumpt und sofort verrührt. Wie groß ist der
Salzgehalt mi (t) in Ki zur Zeit t > 0? Auf welchem Niveau stabilisiert
sich schließlich der Salzgehalt in Ki ?
3. Beispiel:
Im Dickdarm befinden sich E-Kolibakterien. Bei schwacher körperlicher
Verfassung können sie in eine Niere vordringen und Nierenbeckenentzündung verursachen. Die Infektion macht sich bemerkbar, sobald etwa 108
Kolibakterien in der Niere sind. Kolibakterien verdoppeln ihre Anzahl
etwa alle 20 Minuten.
Angenommen, 100000 Kolibakterien seien in die linke Niere gelangt.
Wieviele Stunden dauert es, bis sie die kritische Größe (108 ) erreicht
haben? Dabei soll angenommen werden, daß keine Bakterien durch
Harnableitung entfernt werden.
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4. Beispiel:
Laut Aufzeichnungen über Breslau erkrankten um 1700 jährlich 1/8 der
suszeptiblen Bevölkerung an Pocken, und rund 1/8 der Krankheitsverläufe
endeten tödlich. Die durchschnittliche Lebenserwartung betrug 26 Jahre
und 7 Monate. Man fragte sich, in welchem Ausmaß die Einführung
einer verpflichtenden Impfung gegen die Pocken die Lebenserwartung
vergrößern würde. Hierauf versuchte D. Bernoulli eine Antwort zu
finden. Hierfür betrachtete er die Anzahl y(t) der Mitglieder einer
Geburtenkohorte (mit ursprünglich y(0) = 1300 Personen), die den tten Geburtstag erleben. Von den das Alter t erlebenden Personen mögen
x(t) suszeptibel, d.h. dem Risiko einer Pockeninfektion ausgesetzt sein.
Bernoulli faßte sowohl x(t) als auch y(t) als differenzierbare Funktionen
auf und stellte für beide Funktionen Differentialgleichungen auf, wobei er
das mit der Impfung verbundene Risiko vernachlässigte. Hierfür führte
er folgende Notationen ein:
p bezeichne den Anteil an Suszeptiblen, der pro Zeiteinheit an Pocken
erkrankt. s sei der Anteil der an Pocken Erkrankten, der pro Zeiteinheit
an der Erkrankung stirbt. m bezeichne den Anteil an Personen, der pro
Zeiteinheit nicht pockenbedingt stirbt.
Stellen Sie anhand dieser Informationen jeweils eine Differentialgleichung
für die auf die Zeiteinheit bezogene Anzahl an Suszeptiblen und für die
Anzahl der Überlebenden auf.
Da die Funktion x(t) der Beobachtung nicht zugänglich ist, ist es vorteilhaft zunächst die Funktion v(t) = x(t)/y(t) zu betrachten. Welcher Differentialgleichung genügt v(t)? Bestimmen Sie die Funktion v(t) unter
der Annahme, daß v(0) = x(0)/y(0) = 1 ist.
Die Werte der Funtkion y(t) konnte Bernoulli aus den Sterbetafeln von
Breslau entnehmen. So war z.B. y(1) = 1000. Berechnen Sie mit diesem
Wert x(1). Wie groß ist die mittlere Anzahl der Suszeptiblen unter
einem Jahr? Wieviele von diesen Personen sterben in dem betrachteten
Zeitintervall an Pocken?
Bernoulli konnte mit seinen Berechnungen von fiktiven Sterbetafeln “nachweisen”, daß die mittlere Lebenserwartung durch Einführung einer allgemeinen Impfpflicht gegen Pocken um rund drei Jahre zunehmen würde.
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