Binomialverteilung, Tschebyscheff

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Aufgabe 20 (Binomialverteilung, Tschebyscheff-Ungleichung)
Bei einer Werbeaktion eines Versandhauses sollen die ersten 1000 Einsender
einer Bestellung eine Damen– bzw. Herrenarmbanduhr als Geschenk erhalten. Nehmen Sie an, dass sich beide Geschlechter gleichermaßen von dem
Angebot angesprochen fühlen. Benutzen Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung, um abzuschätzen, wie viele Damen– bzw. Herrenuhren das Kaufhaus
vorrätig haben sollte, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
98% alle einsendenden Frauen und mit Wahrscheinlichkeit von mindestens
98% alle einsendenden Männer eine passende Uhr erhalten.
Lösungsskizze
Man definiere die Zufallsvariable Xi durch Xi = 1 (bzw. = 0), wenn der
i–te Einsender männlich (bzw weiblich) ist. Nach Annahme sind die Xi un1000
P
abhängig und zum Parameter p = 1/2 Bernoulli–verteilt. Setze S =
Xi ;
i=1
das gibt die Anzahl der männlichen Einsender an. Hält der Anbieter x − 1
Herrenuhren vor, so soll das Ereignis {S ≥ x} eine Wahrscheinlichkeit ≤ 0.02
haben; d.h. die Forderung an x ist P (S ≥ x) ≤ 0.02 . Die Zufallsvariable S ist
B(1000, 1/2)–binomialverteilt; also ist E(S) = np = 500 und Var(S) = 250.
Nach der Tschebyscheffschen Ungleichung gilt
P (S − E(S) ≥ x − 500) ≤ P (|S − E(S)| ≥ x − 500) ≤
Var(S)
(x−500)2
=
250 .
(x−500)2
Also ist eine hinreichende Bedingung
√
250
≤
0.02,
d.h.
x
≥
500
+
12500 = 611.8 . . .
(x − 500)2
Es sind demnach 612 Herrenuhren (und aus Symmetriegründen ebensoviele
Damenuhren) vorrätig zu halten.
Bemerkung. Mit Hilfe der Normalapproximation würde man sehen, dass bereits 532 Uhren jeder Art ausreichend sind.