4. ¨Ubung zur Mathematik II für Biologen
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Dr. S. Wiesendorf Sommersemester 2016 4. Übung zur Mathematik II für Biologen (Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der Übungsstunde am 9. bzw. 10 Mai) Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) Im Durschnitt sagt der Wetterbericht zu 60% schönes und zu 40% schlechtes Wetter voraus. Die Trefferquote für die Vorhersage schön“ liegt bei 80%, während die Quote für die Vorhersage schlecht“ ” ” bei 90% liegt. (a) Wie viel Prozent schöne Tage gibt es tatsächlich? Geben Sie hierfür mithilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses morgen ist schönes Wetter “an. ” (b) Trotz schönen Wetters erscheint eine Freundin von Ihnen nicht zum verabredeten Picknick im Freien. Sie entschuldigt sich mit der Behauptung, der gestrige Wetterbericht habe schlechtes Wetter angesagt, so dass Sie umdisponiert hätte. Sie selbst haben den Wetterbericht nicht gesehen und möchten berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Aussage Ihrer Freundin nur eine Ausrede ist. Überlegen Sie sich dafür wieder die folgenden Punkte. (i) Wie lautet, im Hinblick auf die erfolgte Wettervorhersage und das tatsächliche Wetter, das entsprechende Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll? (ii) Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes (vgl. 3.Übung). Hat Ihre Freundin eher eine Ausrede benutzt oder die Wahrheit gesagt? Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Sie würfeln mit zwei Würfeln. Die Zufallsvariable X gebe die größere der beiden Zahlen an. (a) Bestimmen Sie Ω sowie die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse. (b) Geben Sie die Realisationen der Zufallsvariablen an und ordnen Sie diesen Werten die zugehörigen Elemente des Ereignisraumes zu. (c) Geben Sie die Verteilung von X an. Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Nach den Mendelschen Regeln wird ein Nachkomme von Eltern, die beide dem heterozygoten Genotyp Aa angehören mit Wahrscheinlichkeit 0.25 dem homozygot rezessiven Genotyp aa angehören. Der Grund dafür ist, dass bei der Bildung von Keimzellen der doppelte Chromosomensatz getrennt wird , so dass jedes Elternteil ebenso viele Keimzellen mit dem Gen A wie mit dem Gen a hat. Bezeichnen wir diese Anzahl mit n bzw. m, so kann der Nachkomme dementsprechend aus 2n · 2m möglichen Verbindungen entstehen, die man als gleichwahrscheinlich ansieht. Der Genotyp aa entsteht folglich bei nm dieser Verbindungen und hat demnach (nach der Laplace-Formel) eine Wahrscheinlichkeit von 0.25. Es sei X die Anzahl der homozygot rezessiven Genotypen unter fünf Nachkommen aus einer Kreuzung vom Typ Aa × Aa. Bescheiben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das durch die Bedingung X ≤ 3 gegeben ist. Aufgabe 4. (mündlich) Eine Population bestehe zu 47% aus Frauen und zu 53% aus Männern. Es sei bekannt, dass 4% der Population männlich sind und an Rot-Grün-Blindheit leiden und dass 3% der Population weiblich sind und ebenfalls an Rot-Grün-Blindheit leiden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rot-Grün-blindes Individuum männlich ist? Aufgabe 5. (mündlich) (Hypergeometrische Verteilung) Nehmen wir an, dass m von N Objekten ein gewisses Merkmal, z.B. einen Produktionsfehler, haben. Diese speziellen Objekte bilden demnach einen Anteil von p= m N der Gesamtmenge. (a) Nacheinander werden jetzt n Objekte zufällig ausgewählt, die jeweils nach ihrer Prüfung wieder zurückgelegt werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man auf diese Weise k fehlerhafte Teile erhält? (b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man k fehlerhafte Objekte erhält, falls die n Objekte jeweils nach Ihrer Prüfung nicht wieder zurückgelegt werden? (c) Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der, wie in Teil (b) erhaltenen, fehlerhaften Objekte. Bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine derartige Zufallsvariable X nennt man hypergeometrisch verteilt (mit Parametern N, n und m, bzw. p = m/N ). Man schreibt hierfür auch kurz X ∼ HN,m,n oder X ∼ HN,n,p . (d) Ist n im Vergleich zu N sehr klein, so stimmen die durch die hypergeometrische Verteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten in etwa mit den durch die Binomialverteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten überein. Begründen Sie diese Tatsache. Als Faustregel kann man hier sagen, dass dies schon für n < N/10 der Fall ist.
