Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kapitel 10: Die Binominalverteilung
Bernoulli: Zufallsvariable enthält Häufigkeiten. Die Zahlen geben Häufigkeiten für Treffer an!
Die Trennung von Häufigkeit und Zufallsvariable fällt weg.
>>> Realisationen: n+1, denn Null Treffer ist möglich!
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Würfen z.B. dreimal Kopf wirft?
Meistens ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt: beim einfachen Münzwurf: 0,5 und
0,5. Damit sind Treffen und Nieten pro Trial festgelegt. Gibt es eine zwangsläufige Beziehung
zwischen p(y) und der Verteilung p(x).
Bernoulli bringt oftmals verblüffende Ergebnisse: 5 Münzen: wieoft Zahl? 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5
Trefferhäufigkeiten werden festgestellt. Ist aber nicht gleich wie ein Würfelwurf! Ergebnis ist
eine Kurve mit dem höchsten Punkt in der Mitte. Bevorzugt sollte ein Diagramm mit einer
Falllinie und einem Punkt benutzt werden. Das Muster der Häufigkeiten ist immer ähnlich, die
Werte sind aber leicht unterschiedlich.
Je grösser die Zahl der Trials, desto näher an der errechneten Wahrscheinlichkeit sollten die
Ergebnisse des Trials sein.
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Bedingung: dichotome Variablen
Wie sieht das aus mit der Verteilung?
1K & 4Z = p(k)^1*p(z)^4; 3K & 2Z = p(k)^3*p(k)^2, etc.
0K & 5Z = p(k)^0 * p(k)^5
Die Summe der Exponenten muss also immer übereinstimmen mit der Anzahl Münzwürfe.
Anzahl der Treffer = x. Gesamtzahl der Trials = n. Nieten = n-x >>> p(z)^x*p(k)^n-x
p^x*q^n-x >>> p^x * (1-p)^n-x
Gezinkte Münze: Zahl: p=0,8 > q – 1-0,8=0,2
Die neue Zufallsvariable x gibt es nur 6 Realisationen. Was aber wenn wir die Münze mehr als
5-mal werfen?
Binomialverteilung:
x! = Fakultät: Produkt aller Zahlen von 1 bis zu der Zahl x (0! ist 1)
Bernoulli und die Binomialfunktion sagen uns wie wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer dichotomen Zufallsvariable auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die
Trefferhäufigkeiten bei einem Bernoulli Experiment kommen, mit einer beliebigen Anzahl
Trials und beliebigen Treffer- und Nietenwahrscheinlichkeiten.
f(x,n,p) >>> wir brauchen nicht mehr die geschweifte Klammer zur Definition einer
Wahrscheinlichkeit. Es ist leicht festzustellen, was man erwarten kann. Experimente sind
immer noch nötig, aber man hat wenigstens eine Idee.
Durch Berechnung entstehen Daten, die mit der Praxis nicht direkt verbunden ist!
Die Verteilung ist symmetrisch um ihre Mitte. Ist das immer so? Trefferwahrscheinlichkeit für
die gezinkte Münze ist nicht symmetrisch.
Je grösser die Anzahl der Würfe, desto schmaler der Streubereich. Je grösser die
Wahrscheinlichkeit, desto mehr ist der Höhepunkt der Grafik nach rechts verschoben.
Binomialverteilung: endlich grosse Zahl der Trials, deshalb auch eine endliche Zahl von
Realisationen. Die Zufallsvariable muss als 0-1 kodiert sein. Die Mutter aller Verteilungen
genannt. >>> Normalverteilung, beta-Verteilung, Poissonverteilung, etc.
Erwartungswert? Realisationen = Trefferhäufigkeiten, und deren Wahrscheinlichkeiten.
Kann man den Erwartungswert auch einfacher berechnen? µ = n*p > bei gezinkter Münze: µ =
5*0,5 = 4
Varianz: q – 1-p : sigma² = 5 * 0,8*0,2 = 0,8
Standardabweichung: = Wurzel 0,8