Mathematische Grunglagen der Theoretischen Physik (Mechanik

Institut für Theoretische Physik
PD Dr. M. Seidl
Sommersemester 2009
1.7.09
Mathematische Grunglagen der Theoretischen Physik
(Mechanik und Elektrodynamik)
Übungen
Blatt 13
Aufgabe 1: Lineare Kette (II)
Gegeben sei die symmetrische (N × N)-Matrix A mit den Elementen
aij =



−2
1


0
falls j = i,
falls |j − i| ∈ {1, N − 1},
sonst.
(a) Zeigen Sie, daß N Eigenvektoren von A gegeben sind durch




Un = 
cos(nφ)
cos(2nφ)
...
cos(Nnφ)



,

φ :=
2π
,
N
n = 1, 2, ..., N
und geben Sie die entsprechenden Eigenwerte λn = −Ωn2 an.
Hinweise:
cos x + cos y = 2 cos
x−y
x+y
cos
,
2
2
1 − cos(2x) = 2 sin2 x.
(b) Zeigen Sie explizit, daß die U n paarweise orthogonal sind,
Un · Um =
Hinweis:
N
δn,m ,
2
n, m = 1, 2, ..., N.
1
cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)].
2
(c) Welche Beziehung besteht zum Problem der linearen Kette (Aufgabe 12.4)?
Zeigen Sie, daß der Eigenvektor U n eine stehende Welle mit Wellenvektor
, also mit Wellenlänge Λ ≡ 2π
= nL beschreibt, wobei L die
K = n1 2π
L
K
Gesamtlänge der linearen Kette ist.
Aufgabe 2: Extremstellen
Gegeben sei die Funktion
f : R2 → R,
2
2
x 7→ f (x) = x1 x2 e−(x1 +x2 ) .
(a) Berechnen Sie (unter Ausnutzung der Symmetrien von f !) alle ersten und
zweiten partiellen Ableitungen.
(b) Welche Punkte xA , xB , ... kommen neben xO = 0 als Extremstellen in Frage ?
(c) Berechnen Sie für jeden dieser Punkte die Hesse-Matrix H(xn ). Wo liegen
also relative Maxima/Minima von f ?
(d) Zeichnen Sie qualitativ das Höhenlinienbild von f .
(e) Im Punkt (x1 , x2 ) = (1, 0) durchschneidet der Graph (3D-Plot) die x1 x2 Ebene (Nullstelle!). Unter welchem Winkel φ ist die entsprechende Tangentialebene gegen letztere geneigt ?
Aufgabe 3: Minimale Fehlerquadrat-Summe
Die Länge L eines Eisenstabes sei als Funktion der Temperatur T gegeben durch
L(T ) = aT + b. Zur Bestimmung der Materialkonstanten a und b seien bei N
verschiedenen Temperaturen T = x1 , ..., xN die jeweiligen Längen L = y1 , ..., yN
gemessen worden. Zeigen Sie, daß die Summe der Fehlerquadrate,
Q(a, b) =
N h
X
i2
yn − (axn + b) ,
n=1
den niedrigst möglichen Wert annimmt, wenn für die Konstanten a und b folgende
Werte gewählt werden,
a=
mit den Summen Sx =
NSxy − Sx Sy
,
NSxx − Sx2
P
n
xn , Sy =
P
b=
n
Sxx Sy − Sx Sxy
,
NSxx − Sx2
yn , Sxx =
P
n
x2n und Sxy =
P
n
xn yn .
Aufgabe 4: Nebenbedingung
Man bestimme die Extrema der Funktion f : R3 → R, x 7→ f (x) = x1 x2 x3 auf
der Oberfläche ∂K = {x ∈ R3 |x21 + x22 + x23 = 1} der Einheitskugel K. Wie lassen
sich die Lagen der Minima (bzw. diejenigen der Maxima) geometrisch deuten ?