Torische Varietäten, Explosionen und das Newtonpolyeder

Torische Varietäten, Explosionen und
das Newtonpolyeder
D IPLOMARBEIT
I N DER S TUDIENRICHTUNG T ECHNISCHE M ATHEMATIK
ZUR E RLANGUNG DES AKADEMISCHEN G RADES
D IPLOM -I NGENIEURIN
E INGEREICHT BEI
AO . U NIV.-P ROF. D R . H ERWIG H AUSER
A M I NSTITUT FÜR M ATHEMATIK AN DER
L EOPOLD -F RANZENS -U NIVERSITÄT I NNSBRUCK
Eleonore Faber
I NNSBRUCK , O KTOBER 2007
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1
2
3
Torische Basics
1.1 Torische Ideale und Varietäten
1.2 Normale torische Varietäten .
Kegel . . . . . . . . . . . . .
Fächer . . . . . . . . . . . . .
iii
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1
3
6
6
9
Auflösung von Singularitäten
2.1 Explosionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der affine Raum An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Explosion von An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Auflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Auflösung von torischen Hyperflächen im An . . . . . . . . . . . .
Glatte und singuläre affine torische Hyperflächen . . . . . . . . . .
Transformation von Idealen unter Explosionen . . . . . . . . . . . .
Gleichung und Koordinatenring einer affinen torischen Hyperfläche
Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
11
12
12
14
15
15
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19
22
Explosionen in monomialen Idealen
3.1 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Explosionen in nichtreduzierten monomialen Idealen . . .
3.2 Newtonpolyeder und Explosionen . . . . . . . . . . . . .
Einige Begriffe aus der konvexen Geometrie . . . . . . . .
Idealtangentenkegel im Newtonpolyeder und Explosionen
Kriterium der Glattheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Explosion im Rosenbergideal . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Explosionen in Produkten von Idealen . . . . . . . . . . .
Mehr von Koordinatenidealen . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Bauchige Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Explosion in bauchigen Mengen . . . . . . . . . . . .
3.6 Weitere Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
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65
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Literatur
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66
i
Vorwort
In dieser Arbeit werden torische Varietäten, die Auflösung von torischen Hyperflächen und Explosionen des An in monomialen Idealen betrachtet. Dies ist ein sehr breit
gefächertes Gebiet, wobei Ideen aus Algebra, konvexer Geometrie und Kombinatorik
verwendet werden.
Kapitel 1 bildet eine kurze Einführung in das Gebiet der torischen Varietäten. Dabei
wird besonders auf Unterschiede zwischen der “klassischen” Theorie der torischen
Einbettungen und der Theorie der torischen Ideale eingegangen.
In Kapitel 2 wird das Problem der Auflösung von Singularitäten algebraischer Varietäten vorgestellt. Dabei untersuchen wir bestimmte birationale Abbildungen, sog. Explosionen. Im Weiteren werden diese Abbildungen näher analysiert. Insbesondere werden die Auswirkungen von Explosionen auf affine torische Hyperflächen betrachtet.
Schließlich entwickeln wir einen einfachen Algorithmus zur eingebetteten Auflösung
affiner torischer Hyperflächen durch Explosionen und betrachten auch das Problem der
Symmetrien im Auflösungsprozess.
Kapitel 3 bildet das Herzstück dieser Arbeit: Im Algorithmus von Kapitel 2 sind durch
die von uns gewählten Explosionen Symmetrien der torischen Hyperfläche zerstört
worden. Diese unerwünschten Folgeerscheinungen versuchen wir durch Explosionen
in nichtreduzierten Zentren zu umgehen. Hier lauern ungeahnte Gefahren: Durch Explosionen in beliebigen monomialen Idealen kann der umgebende Raum einer affinen
torischen Hyperfläche selbst singulär werden, und es kann von einer eingebetteten Auflösung keine Rede mehr sein!
Daher wird ein Glattheitskriterium der Explosion des An in einem monomialen Ideal
beschrieben, für das man nur das Newtonpolyeder des Ideals betrachten muss. Dadurch
wird eine Verbindung von algebraischer Geometrie zu konvexer Geometrie geschaffen.
Im Falle einer singulären Explosion betrachten wir eine Glättungsmethode (Rosenbergideal) und studieren weiters speziell Explosionen in Produkten von Koordinatenidealen. Einen völlig anderen Zugang zu diesem Problem bilden die sog. bauchigen Mengen, die bei Kompaktifizierungsproblemen auftreten. Im letzten Abschnitt dieser Arbeit
liefern wir mit Hilfe des Newtonpolyederkriteriums einen Beweis für die Glattheit der
Explosion in einem Produkt von Koordinatenidealen, die eine bauchige Menge bilden.
Bedanken möchte ich mich bei allen, die mich unterstützt haben. Besonders hervorzustreichen sind hier meine Eltern, die mir vor allem moralische Unterstützung geleistet haben, und mein Betreuer, Herr Prof. Herwig Hauser, der mir jederzeit mit fachkundigem Rat geholfen hat. Außerdem möchte ich besonders Julian Pfeifle, Clemens
Bruschek und Dominique Wagner danken.
Innsbruck, Oktober 2007
Eleonore Faber
iii
Kapitel 1
Torische Basics
Sei K ein Körper und K[x] = K[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in n Variablen. Wir
bezeichnen die Monome in K[x] mit xa := xa1 1 xa2 2 · · · xann und identifizieren sie mit
den Punkten a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn . Ein Polynom f in K[x] ist eine endliche KLinearkombination von Monomen, geschrieben
X
X
f (x) =
λ(a1 ,...,an ) xa1 1 . . . xann =:
λa xa .
Wie üblich nennen wir λa den Koeffizienten des Monoms xa . Mit |a| := a1 + · · · + an
bezeichnen wir den Grad eines Monoms. Weiters sei deg(f ) := max{|a|} der Grad
von f und ord(f ) := min{|a|} die Ordnung von f . Eine Teilmenge I in K[x] heißt
Ideal, wenn für alle f, g ∈ I auch ihre Summe in I liegt und für alle f ∈ I und alle λ
aus K auch λf in I ist. Wir nennen ein Ideal I = (f1 , . . . , fs ) das von den fi erzeugte
Ideal. (Beachte: ein beliebiges Ideal I in K[x] wird nach dem Hilbertschen Basissatz
immer von endlich vielen Polynomen erzeugt.)
Sei wieder K ein Körper und n eine positive natürliche Zahl. Wir bezeichnen die Menge
AnK := {(λ1 , . . . , λn ) : λ1 , . . . , λn ∈ K}
als den n-dimensionalen affinen Raum über K. Wenn K nicht weiter spezifiziert werden muss, schreiben wir dafür meistens nur An . Weiters gilt A1 = K. Somit können
wir jedes Polynom f ∈ K[x] als Funktion
f : An → K, (λ1 , . . . , λn ) 7→ f (λ1 , . . . , λn )
auffassen. Eine derartige Funktion f heißt Polynomfunktion. Für eine Menge f1 , . . . fs
in K[x1 , . . . , xn ] setzen wir
V (f1 , . . . , fs ) := {(λ1 , . . . , λn ) ∈ An : fi (λ1 , . . . , λn ) = 0 für alle 1 ≤ i ≤ s}
und nennen V (f1 , . . . , fs ) die affine algebraische Varietät oder nur die affine Varietät
definiert von f1 , . . . , fs . Eine affine Varietät V (f1 , . . . , fs ) in An ist die Nullstellenmenge bzw. die Verschwindungsmenge der fi . Wir werden affine Varietäten meist mit
Großbuchstaben X, Y, V etc. bezeichnen. Falls s = 1, d.h. X = V (f ), sprechen wir
von einer affinen Hyperfläche. Wir nennen allgemein eine Menge A ⊆ An eine algebraische Menge, wenn endlich viele Polynome f1 , . . . , fs in K[x] existieren, sodass
A = V (f1 , . . . , fs ) gilt.
Für ein beliebiges Ideal I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] sei
V (I) := {(λ1 , . . . , λn ) ∈ An : f (λ1 , . . . , λn ) = 0 für alle f ∈ I}.
1
Es gilt (siehe z.B. [CLO, ch. 2, §5, prop. 9]): V (I) ist eine affine Varietät und falls I
von Polynomen f1 , . . . , fs erzeugt wird, so ist V (I) = V (f1 , . . . , fs ).
Wir werden An außerdem als topologischen Raum versehen mit der Zariski-Topologie
betrachten: Eine Teilmenge A in An ist abgeschlossen genau dann, wenn ein Ideal I in
K[x] existiert, sodass A = V (I) gilt. Der Zariski-Abschluss einer Menge X ⊆ An ist
die kleinste algebraische Menge, die X enthält. Wir werden An in Abschnitt 2.1 noch
näher studieren.
Wir geben nun einige bekannte Beziehungen zwischen Idealen und Varietäten an. Für
Beweise siehe z.B. [CLO]. Für eine affine Varietät V ⊆ An setzen wir
I(V ) := {f ∈ K[x1 , . . . , xn ] : f (λ1 , . . . , λn ) = 0 für alle (λ1 , . . . , λn ) ∈ V }.
I(V ) ist ein Ideal in K[x] und heißt das Ideal von V .
Wir kommen zum Zusammenhang von Algebra und Geometrie. Eine affine Varietät
V ⊆ An ist irreduzibel, wenn gilt: Immer wenn man V als V = V1 ∪ V2 schreiben
kann, wobei Vi affine Varietäten sind, dann ist entweder V = V1 oder V = V2 . Ein
Ideal I in K[x1 , . . . , xn ] heißt prim, falls für alle f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ] mit f g ∈ I
entweder f ∈ I oder g ∈ I ist. Damit können wir eine Bijektion zwischen irreduziblen
algebraischen Varietäten und Primidealen herstellen (siehe [CLO, ch. 4, §5, prop. 3]):
Wenn V ⊆ An eine affine Varietät ist, dann ist V genau dann irreduzibel, wenn I(V )
ein Primideal ist.
Falls K algebraisch√abgeschlossen ist, gilt für ein beliebiges Ideal J ⊆ K[x] die Gleichung I(V (J)) = J (Hilbert’scher Nullstellensatz). Hier bezeichnet
√
J := {f ∈ K[x] : f m ∈ J für eine natürliche Zahl m ≥ 1}
das Radikalideal von J.
Wir wollen affine Varietäten, die geometrische Objekte sind, mit Hilfe von algebraischen Techniken studieren. Daher werden wir nun kurz den Zusammenhang einer affinen Varietät V mit ihrem Koordinatenring K[V ] skizzieren.
Für Varietäten V ⊆ Am , W ⊆ An heißt eine Funktion Φ : V → W eine polynomiale
Abbildung, wenn es Polynome f1 , . . . , fn ∈ K[x1 , . . . , xm ] gibt, sodass
Φ(λ1 , . . . , λm ) = (f1 (λ1 , . . . , λm ), . . . , fn (λ1 , . . . , λm ))
für alle (λ1 , . . . , λm ) ∈ V . Wir bezeichnen die Menge aller polynomialen Abbildungen Φ : V → K mit K[V ]. Man kann zeigen, dass K[V ] ein Ring ist, und dass es einen
Ringisomorphismus K[V ] ∼
= K[x1 , . . . , xn ]/I(V ) gibt. Daher nennen wir K[V ] den
Koordinatenring der affinen Varietät V ⊆ An .
Bei der Betrachtung von torischen Varietäten und später Explosionen werden wir auch
den projektiven Raum PnK (meist nur mit Pn bezeichnet) benötigen. Definiere dazu
auf An+1
= K n+1 eine Äquivalenzrelation ∼: Zwei von 0 verschiedene Punkte a =
K
(a0 , a1 , . . . , an ), b = (b0 , b1 , . . . , bn ) in An+1
sind genau dann äquivalent, wenn
K
a ∼ b :⇔ ∃λ ∈ K ∗ : (a0 , a1 , . . . , an ) = (λb0 , λb1 , . . . , λbn ).
Dann nennt man PnK := An+1
K / ∼ den n-dimensionalen projektiven Raum über K.
Jedes (n + 1)-Tupel (λ0 , . . . , λn ) 6= 0 ∈ An+1
definiert einen Punkt p ∈ PnK . Wir
K
nennen (λ0 , . . . , λn ) die homogenen Koordinaten von p. Eine projektive Varietät in Pn
2
ist definiert als V (f1 , . . . , fs ) = {(a0 , . . . , an ) ∈ Pn : fi (a0 , . . . , an ) = 0 für alle i},
wobei f1 , . . . , fs ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogene Polynome sind.
Weitere Begriffe und Notationen werden an geeigneter Stelle eingeführt.
1.1
Torische Ideale und Varietäten
Im Folgenden betrachten wir eine besondere Klasse von Idealen bzw. Varietäten, sog.
torische Ideale bzw. Varietäten. Torische Varietäten, oft auch als torische Einbettungen
bezeichnet, spielen eine große Rolle im Zusammenspiel von Geometrie, Algebra und
Kombinatorik. Die Anfänge der Theorie stammen aus den 1970er Jahren. Zu bemerken
ist, dass anfangs nur normale torische Varietäten betrachtet wurden. An diesen Varietäten kann man viele allgemeine Konzepte der algebraischen Geometrie testen (z.B. Auflösung von Singularitäten, Cohomologietheorien, Hodge-Theorie, Schnitttheorie,...).
Außerdem ist bei normalen torischen Varietäten die Verbindung zur konvexen Geometrie bzw. Kombinatorik (über Kegel und Fächer) besonders schön zu beschreiben.
Daher befassen sich die meisten Einführungen in torische Geometrie nur mit diesen
Varietäten. Die “Klassiker” auf diesem Gebiet sind [Br], [Fu], [KKMS] und [Od1].
Nichtnormale torische Varietäten wurden erstmals via torische Ideale von Gel’fand,
Kapranov und Zelevinsky [GKZ] im Zusammenhang mit hypergeometrischen Funktionen untersucht. Auch in der Theorie der Gröbner Basen, z.B. in [St], tritt diese Klasse
von Idealen auf.
Wir werden hier zuerst möglichst allgemein torische Varietäten über torische Ideale definieren. Dann werden wir die Definition von normalen torischen Varietäten als Kompaktifizierung des algebraischen Torus liefern und auf die Charakterisierung durch Kegel und Fächer eingehen. Schließlich möchten wir noch einige Unterschiede zwischen
den “klassischen” torischen Varietäten und den “nicht notwendig normalen” torischen
Varietäten erläutern.
Definition. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und K[t1 , . . . , td ] der Polynomring in d Variablen über K. Dann heißen die Elemente von
−1
K[t, t−1 ] := K[t1 , . . . , td , t−1
1 , . . . , td ]
Laurentpolynome. Laurentpolynome der Form
λ · ta = λta1 1 · · · tadn , für a ∈ Zn , λ ∈ K ∗
nennt man Laurentmonome.
Im Folgenden betrachten wir normierte Laurentmonome (d.h., λ = 1). Diese Monome
bilden eine multiplikative Gruppe in K[t, t−1 ]. Außerdem gilt: Die Abbildung
θ : Zn −→ K[t, t−1 ], a 7→ ta
liefert einen Isomorphismus zwischen der additiven Gruppe Zn und der multiplikativen
Gruppe der normierten Laurentmonome. Dieser Isomorphismus wird uns zur Definition einer sog. torischen Varietät führen.
P
Definition. Sei f = a λa ta ein Laurentpolynom. Dann heißt
supp(f ) := {a ∈ Zn : λa 6= 0}
3
der Träger von f . Es gilt
supp(f ± g) ⊆ supp(f ) ∪ supp(g)
und
supp(f g) ⊆ supp(f ) + supp(g)
für Laurentpolynome f, g ∈ K[t, t−1 ]. Weiters ist supp(1) = {0}. Wir nennen einen
Ring R eine monomiale Algebra, wenn R eine K-Algebra ist, die von Laurentmonomen erzeugt wird.
Mit obigem Isomorphismus
S erhalten wir insgesamt: wenn R eine monomiale Algebra
ist, dann ist die Menge f ∈R supp(f ) ein Untermonoid von Zn . Wir werden nun eine
besondere Klasse von Idealen im Polynomring K[x] = K[x1 , . . . , xn ] studieren.
Wir betrachten eine Teilmenge A = {a1 , . . . an } von Zd , mit ai = (ai1 , . . . , aid )
∈ Zd und nennen A eine Vektorkonfiguration. Jeder Vektor ai wird identifiziert mit
einem Monom tai im Ring der Laurentpolyonome K[t, t−1 ]. Sei π der folgende Monoidhomomorphismus
π : Nn −→ Zd , b 7→ b1 a1 + · · · + bn an .
Das Bild von A unter π ist das Monoid
NA = {b1 a1 + · · · + bn an : b1 , . . . , bn ∈ N}.
Wir werden dafür auch NA = N ha : a ∈ Ai schreiben. Dann können wir diese
Abbildung zu einem Homomorphismus von monomialen Algebren liften:
π̂ : K[x] −→ K[t, t−1 ], xi 7→ tai .
Definition. Bezeichne IA den Kern von π̂. Wir nennen das Ideal IA das torische Ideal
von A.
Aus der Definition von IA folgt sofort, dass IA ein Primideal ist, denn: falls f g ∈
ker(π̂), so gilt π̂(f g)(x1 , . . . , xn ) = f g(ta1 , . . . tan ) = 0. Dann muss aber entweder
f (ta1 , . . . tan ) oder g(ta1 , . . . tan ) gleich 0 sein, also f oder g ∈ ker(π̂) gelten.
Daher ist die Verschwindungsmenge V (IA ) eine affine, irreduzible Varietät in AnK .
V (IA ) ist der Zariski-Abschluss der Menge {(ta1 , . . . , tan ) : t ∈ (K ∗ )d }. Dabei
ist K ∗ die (multiplikative) Einheitengruppe von K, d.h., K ∗ := K\{0}. Die Gruppe
(K ∗ )d heißt der (d-dimensionale algebraische) Torus.
Definition. Eine Varietät der Form X := V (IA ) heißt affine torische Varietät. (Wenn
wir A spezifizieren wollen, schreiben wir genauer XA ). Sei nun A = {a1 , . . . , an ,
an+1 }. Wenn das zugehörige torische Ideal IA homogen (bzgl. der Standardgraduierung mit deg(xi ) = 1 für alle i) ist, so heißt V (IA ) ⊆ Pn eine projektive torische
Varietät.
Bemerkung. Oben taucht zum ersten Mal der algebraische Torus auf. Wir sehen, dass
eine torische Varietät den algebraischen Torus als Zariski-offene, dichte Teilmenge enthält. Das ist auch der Grund, warum torische Varietäten torisch heißen!
Eine Besonderheit von torischen Varietäten ist, dass sie durch Monome parametrisiert
werden. Das zugehörige torische Ideal wird hingegen von Binomen erzeugt. Im folgenden Satz präzisieren wir diese Aussage und geben ein unendliches Erzeugendensystem
von IA an.
4
Satz 1. Sei IA ein torisches Ideal in K[x]. Wir können IA als K-Vektorraum auffassen.
Dann wird IA von der Menge
{xu − xv : u, v ∈ Nn und π(u) = π(v)}
erzeugt.
Beweis. Siehe [St, ch. 4, Lemma 4.1].
Wir können auch die (Krull-)Dimension einer affinen torischen Varietät V (IA ) angeben. Sei dazu A die d×n Matrix, deren Spalten die Elemente von A bilden. Sei weiters
dim(A) := Rang(A). Dann gilt:
Satz 2. Die Krulldimension des Rings K[x]/IA ist gleich dim(A).
Beweis. Findet sich in [St, ch. 4, Lemma 4.2].
Wir geben nun noch eine kompaktere Form des Erzeugendensystems von IA an: Sei
kerZ (A) = {b ∈ Zn |Ab = 0}, der Kern von A. Wir können jeden Vektor b ∈ Zn
eindeutig schreiben als b = b+ − b− , mit b+ , b− ∈ Nn , und zwar
(
bj falls bj ≥ 0,
+
(b )j =
0
sonst.
(
−bj
(b )j =
0
−
falls bj ≤ 0,
sonst.
Beispiel. Falls b = (5, −2, 1, 0, 11, −7, 0) ist, dann gilt b+ = (5, 0, 1, 0, 11, 0, 0) und
b− = (0, 2, 0, 0, 0, 7, 0).
Somit gilt kerZ (A) = ker(π), wobei ker(π) das Untergitter von Zn ist, das von allen
Vektoren b mit π(b+ ) = π(b− ) erzeugt wird. D.h., es gilt
+
−
IA = (xb − xb : b ∈ kerZ (A)) in k[x1 , . . . , xn ].
IA wird von Binomen f1 , . . . , fs erzeugt. Dann ist X = V (IA ) eine affine torische
Varietät. Der Koordinatenring von X ist durch
k[X] = k[ta , a ∈ A] = k[x1 , . . . , xn ]/(f1 , . . . , fs )
gegeben, wobei t = (t1 , . . . td ). Sei B eine n × (n − d) Matrix, deren Spalten eine
Basis aller linearen Relationen zwischen den ai ’s erzeugen, d.h., es gilt
AB = 0.
Wir können annehmen, dass B ∈ Zn×(n−d) ist, daher erfüllt jede Spalte bi von B die
Gleichung
+
−
xbi − xbi = 0.
Wir können somit X kompakt als xbi = 1, i = 1, . . . , n − d schreiben.
5
Beispiel 1. Sei
1
1
0
A = a1 =
, a2 =
, a3 =
⊆ Z2 .
−1
0
2
Die affine torische Varietät X = V (IA ) lebt dann im A3 und hat Dimension dim(A) =
2. Zunächst können wir X durch ihren Koordinatenring K[X] = K[st−1 , s, t2 ] beschreiben (dabei wähle Koordinaten s := t1 und t := t2 ). Weiters interessiert uns
+
−
das Ideal IA = (xb − xb |b ∈ kerZ (A)). Mit Hilfe von Gröbner-Basis Methoden
kann man einfach ein Erzeugendensystem von IA finden, siehe z.B. [St, ch. 12, Algorithm 12.6]. In unserem Fall ist kerZ (A) das Erzeugnis von b = (2, −2, 1)T , d.h.,
IA = (x2 z − y 2 ) in K[x, y, z] (wir wählen wieder Koordinaten x := x1 , y := x2 , z :=
x3 für den Koordinatenring von A3 .). Dann ist V (IA ) eine irreduzible affine torische
Varietät, nämlich der wohlbekannte Whitney-Regenschirm.
Abb. 1: Der Whitney-Regenschirm, visualisiert in A3R .
Bemerkung. Im obigen Beispiel kommt eine nicht normale affine torische Varietät X
vor! Dass k[st−1 , s, t2 ] nicht normal ist, sieht man am besten, indem man sich den
singulären Ort von X ausrechnet. Sing(X) ist die gesamte z-Achse. Dies impliziert
dim(Sing(X)) = 1. Wäre X normal, so müsste codimX (Sing(X)) ≤ 2 gelten (siehe
dazu [Mu]).
1.2
Normale torische Varietäten
Kegel
In diesem Kapitel sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0.
Wir betrachten nun die “klassischen” torischen Varietäten. Bisher haben wir eine torische Varietät als eine affine oder projektive Varietät, die durch Monome parametrisiert
wird, eingeführt. Meistens wird in der algebraischen Geometrie jedoch eine andere
Definition verwendet: X heißt torische Varietät, wenn X normal ist und X einen algebraischen Torus T ∼
= (K ∗ )d als Zariski-offene, dichte Teilmenge enthält, zusammen
mit einer Gruppenoperation T × X → X von T auf X, die die natürliche Gruppenoperation T × T → T erweitert.
Zunächst betrachten wir einige
Beispiele. (1) Der Torus (K ∗ )n ⊆ AnK ist eine affine torische Varietät: die Abbildung
1
(t1 , . . . , tn ) 7→ (t1 , . . . , tn , t1 ···t
) liefert
n
(K ∗ )n ∼
= V (x1 · · · xn xn+1 − 1) in An+1
K .
6
(2) Klarerweise ist An eine normale torische Varietät. Man kann weiters zeigen, dass
Pn den n-dimensionalen Torus enthält.
(3) Sei X = V (xy − zw) ⊆ A4 . X ist normal und enthält den Torus (K ∗ )3 via
(t1 , t2 , t3 ) 7→ (t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1
3 ).
Der einzige Unterschied zu vorher ist also die Zusatzbedingung der Normalität:
Definition. Sei X eine Varietät und a ∈ X. Sei weiters Oa = K[X]ma der lokale Ring
von a. Der Punkt a heißt normaler Punkt von X, wenn der Ring Oa ganz abgeschlossen
im Quotientenkörper K(X) ist. X heißt normale Varietät, wenn jeder Punkt von X
normal ist.
Diese Definition ist nicht besonders hilfreich. Man kann überhaupt nicht erkennen, was
Normalität für unsere torischen Varietäten bedeutet. Wir werden nun diese Beziehung
etwas aufklären.
Im Folgenden sei X eine normale torische Varietät (affin oder projektiv), und in den
affinen (oder projektiven) Raum eingebettet. X ist durch ein Ideal IA definiert, wobei
allerdings A einer speziellen Klasse von Vektorkonfigurationen zuzuordnen ist. Wir
wollen diese Vektorkonfigurationen nun möglichst gut beschreiben. Hier kommt die
schon angesprochene konvexe Geometrie in Gestalt von Kegeln und Fächern zum Vorschein.
Bemerkung. Wir werden später bei Explosionen von Monomidealen noch einmal Kegel benötigen, dann allerdings eine andere Notation verwenden. In diesem Kapitel halten wir uns an die Standardnotationen, wie z.B. in [Ew], [Fu], [Od1].
Eine normale torische Varietät kann durch ein Gitter N und einen Kegel (bzw. im
allgemeinen Fall einen Fächer) konstruiert werden. Wir fixieren zuerst ein Gitter N ∼
=
Zd und das zugehörige duale Gitter M :=Hom(N, Z) = N ∨ . Sei NR = N ⊗Z R ein
reeller Vektorraum isomorph zu Rd .
Definition. Ein rationaler polyedrischer Kegel σ in NR ist ein Kegel, der von endlich
vielen Elementen von N erzeugt wird:
σ := {λ1 u1 + · · · + λl ul ∈ NR : λ1 , . . . , λl ≥ 0},
wobei alle ui ∈ N sind. Dann heißt σ spitz, wenn σ ∩ (−σ) = {0}. Die Dimension
von σ ist die Dimension des kleinsten Unterraums von NR , der σ enthält.
Für einen spitzen rationalen polyedrischen Kegel heißt
σ ∨ := {u ∈ MR : u · v ≥ 0 für alle v ∈ σ}
der duale Kegel. Dabei bezeichnet v · w das Standardskalarprodukt von zwei Vektoren v, w in MR ∼
= Rd . Wenn σ von Dimension d ist, so ist σ ∨ ebenfalls ein ddimensionaler rationaler polyedrischer Kegel in NR . Eine Menge τ ⊆ σ heißt Seite
von σ, wenn
τ = σ ∩ u⊥ := {v ∈ σ : u · v = 0i
für ein u in σ ∨ ist.
Die Hauptidee ist nun, das Monoid
Sσ := σ ∨ ∩ M = {u ∈ M : u · v ≥ 0 für alle v ∈ σ}
7
zu betrachten. Ein Punkt u ∈ σ ∨ ∩ M ∼
= Zd heißt Gitterpunkt von σ ∨ . Jeder Gitterpunkt u definiert dann ein Laurentmonom tu . Die zugehörige torische Varietät Xσ
sollte dann die kleinste Varietät sein, auf der diese Laurentmonome überall definiert
sind.
Wir können Xσ konstruieren, indem wir verwenden, dass Sσ und damit auch die Monoidalgebra K[Sσ ], endlich erzeugt ist. Dies folgt aus dem folgenden Satz.
Satz 3 (Gordan’s Lemma). Wenn σ ein rationaler polyedrischer Kegel ist, dann ist
Sσ = σ ∨ ∩ M endlich erzeugt. In anderen Worten: es existieren u1 , . . . , ul in Sσ ,
sodass jedes Element aus Sσ von der Form
λ1 u1 + . . . λl ul , λi ∈ N
ist.
Beweis. Siehe zum Beispiel [Fu, ch.1, 2, prop. 1] .
Man kann weiters zeigen, dass für spitze rationale polyedrische Kegel σ ∨ das Monoid
Sσ ein eindeutiges minimales endliches Erzeugendensystem A ⊆ M ∼
= Zd besitzt.
Man nennt A die Hilbert Basis von Sσ . Man kann A mit Hilfe von Gröbner Basis
Methoden berechnen, siehe [St, ch.13, Algorithm 13.2].
Die Erzeuger u1 , . . . , ul bestimmen die affine Varietät Xσ ⊆ AlK . Betrachte dazu die
Abbildung
ϕ : (K ∗ )n → K l = Al , (t1 , . . . , tn ) 7→ (tu1 (t1 , . . . , tn ), . . . , tul (t1 , . . . , tn )).
Dann ist Xσ der Zariski-Abschluss von Im(ϕ) ⊆ Al . Xσ ist eine normale affine torische Varietät.
Bemerkung. Die “koordinatenfreie” High-Tech Definition lautet kurz und bündig Xσ :=
Spec(K[Sσ ]). Dabei ist Spec(K[Sσ ]) = {p ( K[Sσ ] : p prim } mit der Zariski Topologie versehen.
Man kann zeigen, dass umgekehrt jede normale affine torische Varietät isomorph zu
Xσ für einen Kegel σ ist. Siehe etwa in [Ew, Part 2, VI, Thm 2.11].
Wir haben bis jetzt mit XA die Verschwindungsmenge eines beliebigen torischen Ideals
bezeichnet. Für normale affine torische Varietäten gilt allerdings:
Satz 4. Sei A eine endliche Teilmenge von Zd . Dann sind äquivalent:
(1) Die affine torische Varietät XA ist normal.
(2) Die affine torische Varietät XA ist isomorph zu Xσ für einen rationalen Kegel σ in
Rd .
(3) Der Integritätsbereich K[A] = K[x]/IA ist ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper.
(4) Das Monoid NA ist normal, d.h., NA = ZA ∩R≥0ha : a ∈ Ai.
Beweis. Siehe [St, ch. 13, prop. 13.5].
Dieser Satz besagt, dass eine affine torische Varietät Xσ genau dann normal ist, wenn
man alle Gitterpunkte im dualen Kegel σ ∨ als N-Linearkombinationen der Erzeuger
darstellen kann.
8
Beispiele. (1) Wir arbeiten der Einfachheit halber in M = N = Z2 . Seien
2
0
u1 =
und u2 =
.
−1
1
Wir erhalten σ ∨ , indem wir die inneren Normalen der ui berechnen und dann die fehlenden Gitterpunkte dazunehmen (siehe Abb. 2). Dann sind die Erzeuger von σ ∨ ∩ Z2
die drei Vektoren
1
1
1
a1 =
, a2 =
und a3 =
.
0
1
2
3
3
2
2
1
1
–1
1
2
3
–1
1
–1
2
3
–1
–2
–2
∨
Abb. 2: Der Kegel σ (links) und σ .
Wir setzen A := {ai : i = 1, . . . , 3}. Dann ist Xσ = XA der Doppelkegel V (x2 − yz)
im A3 . Xσ ist normal und hat eine Singularität im Nullpunkt. Ein Bild von Xσ in A3
findet sich in Beispiel 3.
(2) Wir betrachten nun wieder den Whitney-Regenschirm V (y 2 − x2 z) im A3 . Wir
haben oben schon das zugehörige A bestimmt, also ist
1
1
0
∨
σ = λ1
+ λ2
+ λ3
: λi ∈ R≥0 .
−1
0
2
Allerdings sind nicht alle Gitterpunkte von σ ∨ ∩ Z2 positive ganzzahlige Linearkombinationen dieser Erzeuger, z.B. (0, 1)T . Daher sehen wir ganz leicht, dass der WhitneyRegenschirm nicht normal ist.
(3) Die Varietät X = V (xy − zw) in A4 besitzt den Koordinatenring K[s, t, u, stu−1 ].
Daher sind die Erzeuger von σ ∨ die vier Vektoren a1 = (1, 0, 0)T , a2 = (0, 1, 0)T , a3 =
(0, 0, 1)T und a4 = (1, 1, −1)T . Wir sehen, dass X normal ist und nur der Nullpunkt
singulär ist.
Fächer
Wir können allgemeinere normale torische Varietäten konstruieren, indem wir affine
torische Varietäten, die denselben Torus (K ∗ )n enthalten, zusammenkleben. Dies geschieht über sog. Fächer.
Definition. Ein Fächer Σ in N ∼
= Zd ist eine endliche Menge von rationalen spitzen
polyedrischen Kegeln σ ∈ NR , sodass gilt
(1) wenn σ ∈ Σ und τ eine Seite von σ ist, so ist auch τ ∈ Σ,
(2) wenn σ, τ ∈ Σ, dann ist σ ∩ τ eine Seite von beiden.
Somit erhält man aus jedem Kegel σ ∈ Σ eine affine torische Varietät Xσ . Falls τ eine
Seite von σ ist, so kann man Xτ als Zariski-offene Teilmenge von Xσ auffassen. Somit
kann man eine abstrakte torische Varietät definieren:
9
Definition. Sei Σ ein Fächer in NR . XΣ ist die Varietät, die man aus den affinen Varietäten Xσ , σ ∈ Σ, erhält, indem man für alle σ, τ ∈ Σ die Varietäten Xσ und Xτ
entlang ihrer gemeinsamen Teilmengen Xσ∩τ zusammenklebt.
Die Inklusionen von (K ∗ )n ⊆ Xσ sind kompatibel mit den Identifikationen, die man
bei der Konstruktion von XΣ vorgenommen hat. Daher enthält Xσ den Torus (K ∗ )n
als Zariski-offene Teilmenge. Von vorneherein ist XΣ nicht in den projektiven Raum
eingebettet. Es gibt sogar XΣ , die weder affin noch projektiv sind.
Man kann allerdings zeigen, dass XΣ eine normale torische Varietät ist und dass alle
normalen torischen Varietäten über einen Fächer bestimmt sind [Od2, Thm. 4.1].
Wir werden noch zwei Spezialfälle von Σ betrachten:
(1) Sei σ ein Kegel in N und Σ bestehe aus σ zusammen mit all seinen Seiten. Dann
ist Σ ein Fächer und XΣ ist die normale affine torische Varietät Xσ . Dies ist das einzig
mögliche Beispiel einer normalen torischen Varietät XΣ , die affin ist.
(2) Wenn Σ der innere oder äußere Normalenfächer eines rationalen Polytops P in MR
ist (d.h., alle Ecken von P liegen in MQ ), dann ist XΣ eine normale projektive torische
Varietät. Die Umkehrung dieser Behauptung stimmt ebenso, siehe dazu [Od1, ch. 2, 4]
oder [Fu, ch. 1, 5].
Schließlich kann man aus einem Fächer Σ weitere Fächer durch Verfeinerung gewinnen: Σ0 heißt Verfeinerung von Σ, wenn jeder Kegel von Σ eine Vereinigung von Kegeln in Σ0 ist. Insbesondere kann man durch die Methode der stellaren Unterteilung
von Fächern Singularitäten auflösen. Darauf wird hier nicht näher eingegangen, Details dazu finden sich z.B. in [KKMS] und [Fu]. Wir werden zum Abschluss noch zwei
Beispiele von torischen Varietäten XΣ betrachten.
Beispiel 2. Sei wieder N = M = Zn und MR bzw. NR seien Rn .
(1) Für n = 1 gibt es nur einen nicht affinen Fächer Σ. Er besteht aus den Kegeln
σ1 = R≥0 , σ2 = R≤0 und σ3 = {0}. Diese entsprechen den affinen torischen Varietäten Xσ1 ∼
= A1K , Xσ2 ∼
= A1K und Xσ3 ∼
= K ∗ mit Koordinatenringen K[t], K[t−1 ] bzw.
−1
K[t, t ]. Wir kleben σ1 und σ2 mit dem Isomorphismus t 7→ t−1 auf der gemeinsamen Seite σ3 zusammen. Dies ist die klassische Konstruktion der projektiven Geraden.
Es gilt also XΣ = P1 .
1
0
1
(2) Seien σ1 = {λ1
+ λ2
: λi ∈ R≥0 } und σ2 = {λ1
+
1
1
1
1
λ2
: λi ∈ R≥0 } zwei Kegel in Z2 . Dann sind Xσ1 = Spec(K[x, x−1 y]) und
0
Xσ2 = Spec(K[y, xy −1 ]). Die zugehörige torische Varietät XΣ0 entspricht der Explosion von A2K im Nullpunkt
Σ0
mit den affinen Karten
Xσ1 und Xσ2 . Der
Fächer
1
1
0
besteht aus σ1 , σ2 , {λ
: λ ∈ R≥0 }, {λ
: λ ∈ R≥0 }, {λ
:λ∈
1
0
1
0
R≥0 },
}. Wir sehen, dass Σ0 eine Verfeinerung von
0
1
0
0
Σ ={ λ1
+ λ2
: λi ∈ R≥0 , λ
: λ ∈ R≥0 ,
0
1
1
1
0
λ
: λ ∈ R≥0 ,
}
0
0
ist. XΣ ist isomorph zu A2K .
10
Kapitel 2
Auflösung von Singularitäten
Wir wollen im Folgenden die Singularitäten einer torischen Varietät X im An auflösen. Auflösung bedeutet dabei im Wesentlichen, dass man eine Abbildung π : X 0 → X
angibt, unter der X das Bild einer Mannigfaltigkeit X 0 ist. X 0 soll also X parametrisieren. Wir werden später eine präzise Definition von Auflösung geben.
Wir wollen hier einen konstruktiven Beweis der Auflösung von Singularitäten einer
affinen torischen Hyperfläche durch eine Folge von speziellen birationalen Transformationen, Explosionen angeben. Die Hauptidee bei dieser Herangehensweise ist, eine
lokale Invariante der Singularität anzugeben, die zum einen das Zentrum der nächsten Explosion angibt und zum anderen eine Verbesserung der Singularität misst. Man
vergleicht die Invariante der ursprünglichen Varietät X mit der Invariante der transformierten Varietät X 0 , um diese Verbesserung festzustellen.
Die klassische Theorie der Auflösung von Singularitäten wurde von Zariski, Abhyankar, Hironaka und anderen Mathematikern im 20. Jahrhundert entwickelt. So bewies
Hironaka [Hi] die Existenz der Auflösung durch Explosionen für Körper der Charakteristik 0. Später wurden auch konstruktive Beweise angegeben.
Wir werden hier zuerst allgemein Explosionen des An betrachten, da wir diese Abbildungen auch später (im Kapitel über Explosionen in Monomidealen) benötigen. Dann
werden wir einen Algorithmus angeben, wie man durch eine Folge von speziellen Explosionen eine torische Hyperfläche X = V (f ), wobei f ein Binom aus K[x1 , . . . , xn ]
ist, auflösen kann. Wir werden auch auf die Relation des Koordinatenrings von X (wird
von Monomen erzeugt) zur definierenden Gleichung von X (ein Binom) eingehen. Im
Algorithmus werden wir eine Invariante von X konstruieren, die Verbesserungen der
Singularitäten von X messen soll. Wir gehen dabei ähnlich wie Bierstone und Milman
[BM] vor und werden auch kurz deren Invariante beschreiben.
Dies führt uns dann direkt zum nächsten Kapitel. Dort werden wir unter anderem Symmetrien und äquivariante Auflösung behandeln.
2.1
Explosionen
Die Haupttechnik beim Auflösen von Singularitäten sind spezielle birationale Transformationen, Explosionen. In der Literatur haben diese Abbildungen viele Namen, unter anderem Blow Ups, Aufblasungen, monoideale Transformationen, σ-Prozesse. Wir
werden im Folgenden immer den Begriff “Explosionen” verwenden. Die Vielfalt an
11
Namen lässt auch die verschiedenen Zugänge erahnen. Wir werden uns auf die klassische Definition und die Konstruktion als Rees-Algebra beschränken. Allgemeines zu
Explosionen kann man am besten in [Ha3], [EH] und [Hi] nachlesen. In [Hs] werden
Explosionen abstrakter besprochen, für Beispiele siehe etwa [Ha1].
Explosionen tauchen auch im Kontext von Kompaktifizierungsproblemen, etwa bei der
Konstruktion von Arrangement Models in [DP] oder bei der Kompaktifizierung von
Konfigurationenräumen in [FM] auf. Wir werden darauf später eingehen.
Der affine Raum An
Wir werden Explosionen im An betrachten. Bis jetzt ist der affine n-dimensionale
Raum über einem Körper K als Menge aller n-Tupel (λ1 , . . . , λn ) bzw. als topologischer Raum mit der Zariski-Topologie definiert. Wir werden im Folgenden jedoch AnK
mit verschiedenen Strukturen versehen betrachten: als Schema bzw. als K-Vektorraum
K n . Wenn man lineare Unterräume von An betrachtet, möchte man sie manchmal als
Schemata und manchmal als Vektorräume studieren. Um nicht durcheinanderzukommen werden wir nun zuerst An als Schema definieren (siehe dazu [Hs, Mu, EH]) und
dann zeigen, wie man jedem K-Vektorraum V kanonisch ein Schema, dessen abgeschlossene Punkte genau V bilden und das isomorph zu An ist, zuordnen kann. Durch
diese Prozedur kann man die Menge der linearen Unterräume von K n mit den linearen
Unterschemata von An identifizieren. Man bettet also den Vektorraum K n koordinateninvariant in das Schema AnK ein.
Definition. Sei K[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in n-Variablen. Wir nennen das Schema
AnK := Spec(K[x1 , . . . , xn ])
den n-dimensionalen affinen Raum über dem Körper K. (Wie vorher werden wir meistens nur An schreiben.)
Sei nun V ein K-Vektorraum. Sei RV der Ring der polynomialen Funktionen f : V →
K. Definiere
V sch = Spec(RV ).
Somit “ entspricht” die Menge der abgeschlossenen Punkte von V sch dem Vektorraum
V . Denn nach dem Hilbert’schen Nullstellensatz ist jedes maximale Ideal mλ von RV
der Kern eines Homomorphismus
RV → K : f 7→ f (λ1 , . . . , λn )
für ein (λ1 , . . . , λn ) ∈ K n . Durch λ → [mλ ] wird K n isomorph auf alle abgeschlossenen Punkte [mλ ] von V sch abgebildet.
Die Explosion von An
Nach einem Beispiel werden wir zur ersten (klassischen) Definition einer Explosion
von An kommen.
Beispiel 3. Zur Motivation beginnen wir mit der Auflösung einer algebraischen Fläche
X im A3 . Man sucht also eine Abbildung π : X 0 → X, wobei X 0 eine Mannigfaltigkeit sein soll, die X parametrisiert. Sei X = V (f ) mit f = xy − z 2 . Dann
ist X der schon bekannte Doppelkegel im A3 , mit Singularität im Nullpunkt. Sei
12
π : A3 → A3 , (x, y, z) 7→ (x, xy, xz). Diese Abbildung lässt die yz-Ebene, definiert
durch V (z), auf den Nullpunkt des A3 zusammenschrumpfen. Aus unserem Kegel wird
X 0 = V (y − z 2 ), ein Paraboloid im A3 , welches glatt ist.
Wir hätten jedoch auch π : A3 → A3 , (x, y, z) 7→ (xy, y, yz), wählen können. Durch
diese Abbildung wird die xz-Ebene zum Nullpunkt kontrahiert. Aus dem Kegel wird
diesmal X 0 = V (x − z 2 ), wiederum ein Paraboloid im A3 . Schließlich liefert die dritte
Wahl von π : A3 → A3 , (x, y, z) 7→ (xz, yz, z), das Hyperboloid X 0 = V (xy − 1)
im A3 . Die Singularität ist durch alle drei Abbildungen π aufgelöst. Die Frage ist nun,
wie man die Abbildung π : X 0 → X allgemein beschreiben kann, d.h., wie man ein
Verfahren angeben kann, die Mannigfaltigkeit X 0 und die Abbildung π allein aus X zu
rekonstruieren.
Abb. 3: Durch π wird das Paraboloid auf den Doppelkegel abgebildet.
Definition. Sei P ein Ideal in K[x1 , . . . , xn ] und sei Z die Untervarietät V (P ) von
An . Wähle Erzeuger g1 , . . . , gk von P und betrachte die Abbildung
An \Z → An × Pk−1 ,
x 7→ (x, g1 (x) : . . . : gk (x)).
Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv. Ihr Bild ist der Graph Γ(σ) der Abbildung σ : An \Z → Pk−1 , x 7→ (g1 (x) : . . . : gk (x)). Wir nennen den Zariskie n von Γ(σ) in An × Pk−1 die Explosion von An mit Zentrum Z (bzw. mit
Abschluss A
e n ist unabhängig von der Wahl der Erzeuger von P . Die Restriktion der
Zentrum P ). A
e n → An heißt die assoziierte ExplosionsabbilProjektion auf den ersten Faktor π : A
dung. π ist ein birationaler Morphismus, der ein Isomorphismus auf An \Z ist, d.h.,
e n \π −1 (Z) ∼
e n heißt der exzeptionelle
A
= An \Z. Die Untervarietät E := π −1 (Z) von A
Divisor E der Explosion. E ist eine Hyperfläche und wird unter π zu Z kontrahiert.
e n in An × Pk−1
Aus dieser Definition kann man die algebraischen Gleichungen, die A
definieren, sofort ablesen. Ebenso können wir die sog. affinen Kartenausdrücke von π
e n wird in An × Pk−1 durch die projektiven Gleichungen
direkt ableiten. Es gilt: A
ui gj (x) − uj gi (x) = 0, für alle 1 ≤ i, j ≤ k,
e n von
bestimmt, wobei u1 , . . . , uk projektive Koordinaten auf Pk−1 sind. Somit wird A
affinen Karten Uj überdeckt, wobei jeweils gj (x) 6= 0 in Uj ist. Damit erhalten wir für
Uj den Kartenausdruck von σ:
g1 (x)
gk (x)
σ(x) =
: ... : 1 : ... :
.
gj (x)
gj (x)
13
Es gibt also für jeden Erzeuger von P genau eine affine Karte.
e als ZariskiFür eine Untervarietät X des An und Z ⊆ X, erhalten wir analog X
Abschluss des Bildes von
X\Z → X × Pk−1 ,
x 7→ (x, g1 (x) : . . . : gk (x)).
e die Explosion von X mit Zentrum Z. Die Abbildung π : X
e → X heißt
Wir nennen X
∗
−1
wieder die assoziierte Explosionsabbildung. Weiters heißt X := π (X) die total
Transformierte von X und X 0 := π −1 (X\Z) die strikt Transformierte von X.
Wir geben noch eine weitere Konstruktion der Explosion des An an, mit deren Hile n überdecken, berechnen
fe man leicht die Koordinatenringe der affinen Karten, die A
kann. Diese algebraische Konstruktion ist leicht auf allgemeinere Objekte (z.B. Schemata) zu verallgemeinern.
Definition. Sei R ein Ring und I ⊆ R ein Ideal. Dann heißt die R-Algebra
S := R ⊕ It ⊕ I 2 t2 ⊕ . . . ∼
= R[tI] ⊆ R[t]
die Rees-Algebra von I in R.
Speziell gilt also für R = K[x1 , . . . , xn ] und das Ideal P : Die x1 , . . . , xn sind KAlgebrenerzeuger von K[x1 , . . . , xn ] und die g1 , . . . , gk sind Erzeuger des Ideals P in
K[x]. Dann ist die Rees-Algebra S von P in K[x] das Bild des Ringes K[x1 , . . . , xn ,
y1 , . . . yk ] unter dem Homomorphismus xi 7→ xi und yj 7→ gj t. Der Kern dieser
Abbildung ist ein homogenes Ideal (in den Variablen yj ), das genau der Explosion von
An in P entspricht. Damit erhalten wir als Koordinatenring der j-ten Karte
K[x1 , . . . , xn , g1 /gj , . . . , gk /gj ].
Bemerkung. Geometrisch bedeutet diese Konstruktion, den An im Zentrum Z = V (P )
e n =Proj(K[x][tP ]) schreiexplodieren zu lassen. Schema-theoretisch können wir dann A
ben. Allgemeiner gilt für Schemata: Sei X ein Schema und Z ⊆ X ein abgeschlossenes
Unterschema. Sei I = IZ,X ⊆ OX die Idealgarbe von Z in X. Wenn A die Garbe
der graduierten OX -Algebren
A =
∞
M
I n = OX ⊕ I ⊕ I 2 ⊕ . . .
n=0
ist, so ist das Schema Proj(A ) → X die Explosion von X entlang Z.
Näheres dazu und der Beweis dieser Tatsache finden sich in [EH, IV, 2].
2.2
Auflösung
Es gibt verschiedene Definitionen der Auflösung von Singularitäten. Wir betrachten
stets Varietäten, die in den An eingebettet sind, daher verwenden die folgende, starke
Version, vgl. etwa [Ha1]:
14
Eingebettete Auflösung von Singularitäten. Sei X eine Varietät über einem Körper
f und ein
K, eingebettet in eine glatte Varietät W . Gesucht ist eine glatte Varietät W
f
e
eigentlicher birationaler Morphismus π : W → W , sodass die Inverse X von X unter
π nur normale Kreuzungssingularitäten besitzt und so, dass die Einschränkung von π
auf die glatten Punkte von X ein Isomorphismus ist.
Zur Erklärung einiger Begriffe: Eine Varietät X hat normale Kreuzungssingularitäten,
wenn X aus einer Vereinigung von glatten Komponenten besteht, die einander transversal schneiden. Genauer: In jedem Schnittpunkt existiert ein Koordinatensystem,
durch das die Varietät lokal durch Monome definiert wird. Den eigentlichen birationalen Morphismus erhalten wir durch eine endliche Folge von Explosionen in geeignet
gewählten Zentren. Wir werden stets W = AnK mit char(K) = 0 annehmen.
Wir werden eine Folge von Explosionen
e = XN → . . . → X0 = X
X
konstruieren, mit Zentren Z i abgeschlossene Untervarietäten von X i−1 , sodass die
letzte strikt Transformierte X N glatt ist und normale Kreuzungen mit dem exzeptionellen Divisor E N besitzt. Solch eine Folge existiert in Körpern der Charakteristik 0,
vgl. [Hi]. Dabei sind auch nichtreduzierte Zentren erlaubt (vgl. [Ha2, Ro]). Wir werden
für eine affine torische Hyperfläche X die Zentren Z i explizit angeben und eine Invariante I ∈ N4 definieren. Weiters werden wir zeigen, dass diese Invariante unter jeder
Explosion echt lexikographisch kleiner wird, d.h., dass X in endlich vielen Schritten
aufgelöst ist.
2.3
Auflösung von torischen Hyperflächen im An
Zur Erinnerung: Wir betrachten eine nicht notwendig normale affine torische singuläre
+
−
Hyperfläche X, gegeben durch V (f ) in An , wobei f = xb − xb in K[x1 , . . . , xn ].
X ist aufgelöst, wenn b = b+ − b− ∈ ±Nn = Nn ∪ −Nn ist. Zuerst betrachten wir
den singulären Ort von X genauer. Dann geben wir an, wie die Gleichung von X unter
Explosionen transformiert wird.
Wir könnten uns jedoch auch direkt in den Koordinatenring K[X] = K[ta , a ∈ A]
platzieren, und untersuchen, wie sich die erzeugenden Monome unter Explosionen ver+
−
halten. Dazu benötigen wir das zugehörige torische Ideal IA = (xb − xb ) für eine
Vektorkonfiguration A = {a1 , . . . , an−1 }. Wir werden auch auf den Zusammenhang
zwischen der Gleichung der strikt Transformierten X 0 und den monomialen Erzeugern
von K[X 0 ] eingehen.
Schließlich werden wir die Invariante für die Auflösung und geeignete Zentren für die
Folge der Explosionen angeben.
Glatte und singuläre affine torische Hyperflächen
Da wir die Singularitäten von X auflösen wollen, stellt sich zuerst die Frage, wie man
überprüfen kann, ob X glatt oder singulär ist.
Zuerst definieren wir allgemein den Begriff der Glattheit einer affinen algebraischen
Varietät (dies entspricht im Wesentlichen dem Begriff der Mannigfaltigkeit in der Analysis bzw. Topologie) und werden dann speziell affine torische Hyperflächen im An
betrachten. Wir werden sehen, dass der singuläre Ort einer affinen torischen Hyperfläche immer aus (Vereinigungen von) Koordinatenunterräumen besteht.
15
Definition. Sei Y ⊆ An eine affine algebraische Varietät und seien f1 , . . . , fs ∈
K[x1 , . . . , xn ] Erzeuger des Ideals von Y . Es ist also I(Y ) = (f1 , . . . , fs ). Sei f :
An → As eine polynomiale Abbildung und sei p ∈ Y ein Punkt. Dann heißt p ein
glatter oder regulärer Punkt von Y , wenn die Jacobi-Matrix Df (q) konstanten Rang
für alle q in einer (Zariski)-Umgebung von p hat. Ansonsten heißt p singulärer Punkt.
Y heißt glatt, wenn alle Punkte p ∈ Y regulär sind.
Analog zu Mannigfaltigkeiten kann man den singulären Ort einer algebraischen Varietät definieren:
Definition. Sei Y eine affine algebraische Varietät wie oben. Der singuläre Ort von Y
ist gegeben als
Sing(Y ) := {p ∈ Y : p ist singulärer Punkt von Y }.
Es gilt: Sing(Y ) ist in Y abgeschlossen.
Da wir uns im Folgenden mit affinen torischen Hyperflächen beschäftigen werden,
wollen wir nähere Aussagen über den singulären Ort derartiger Varietäten treffen.
n
Sei Y = V (f ) eine beliebige Hyperfläche im Ap
, wobei f : An → A polynomial
und o.B.d.A. reduziert sei, das bedeutet, (f ) = (f ) ist. Dazu äquivalent ist: f ist
quadratfrei, d.h., es treten keine Quadrate in der Primfaktorzerlegung von f auf. Dann
gilt für alle Punkte p ∈ Y :
p ist glatt ⇐⇒ gradf (p) 6= 0.
⇐⇒ Es existiert ein i, 1 ≤ i ≤ n, sodass ∂i f (p) 6= 0.
Analog gilt für alle p ∈ Y :
p ∈ Sing(Y ) ⇐⇒ für alle i = 1, . . . , n ist ∂i f (p) = 0.
Dies liefert die Beschreibung von Sing(Y ) als algebraische Menge:
Sing(Y ) = V (f, ∂1 f, . . . , ∂n f ).
Der singuläre Ort von Y ist eine echte abgeschlossene Teilmenge von Y .
Wie sieht nun speziell der singuläre Ort bei unserer affinen torischen Hyperfläche
+
−
X = V (f ) mit f = xb − xb aus? Wir nehmen im Folgenden an, dass f durch
bd+1
xb11 · · · xbdd −xd+1
· · · xbnn = 0 gegeben ist. Dann gilt b+ = (b1 , . . . , bd , 0, . . . , 0) bzw.
−
b = (0, . . . , 0, bd+1 , . . . , bn ). Somit erhält man die i-te Komponente des Gradienten
(=Jacobimatrix) durch
(
+
bi xb −ei , falls i ≤ d
grad(f )i =
−
bi xb −ei , falls i > d,
wobei ei den i-ten Standardbasisvektor von Zn bezeichnet. Beachte, dass grad(f )i =
0 gilt, falls bi gleich 0 ist. Dies ist der Fall, wenn das zugehörige xi in der Gleichung
nicht auftaucht. Der singuläre Ort von X ist gegeben als
+
−
Sing(X) = V (xb − xb , xb
+
−e1
, . . . , xb
+
−ed
, xb
−
−ed+1
, . . . , xb
−
−en
).
(Wir können die bi aus den Gleichungen des Gradienten eliminieren, wenn bi 6= 0 gilt).
Zuerst interessiert uns, wann X glatt ist, d.h., wann Sing(X) = ∅ gilt. Wir zeigen dazu
folgenden
16
+
−
Satz 5. Sei f = xb − xb in K[x1 , . . . , xn ] wie oben. Dann ist die durch f definierte
torische Hyperfläche X = V (f ) genau dann glatt, wenn b ∈ ±Nn oder b+ = ei ∈
Nn , wobei i ≤ d, oder b− = ei ∈ Nn , wobei i > d gilt. f ist von der Gestalt
−
+
−
+
f = 1 − xb bzw. f = xb − 1 oder f = xi − xb bzw. f = xb − xi .
Beweis. Wir zeigen zuerst, dass X für die oben angeführten Fälle glatt ist: (1) Sei
b ∈ ±Nn , dann gilt d = 0 oder d = n. Wir nehmen o.B.d.A. d = 0 an. Dann ist b+
−
der Nullvektor und b− = (b1 , . . . , bn ). Die Gleichung von f lautet f = 1 − xb . Der
singuläre Ort von X ist also gegeben als Verschwindungsmenge
−
b
n−1
· · · xbnn −1 ).
Sing(X) = V (1 − xb , x1b1 −1 xb22 · · · xbnn , . . . , xb11 · · · xn−1
Die erste dieser n + 1 Gleichungen liefert, dass für alle Punkte p = (p1 , . . . , pn ) ∈ X
−
gelten muss: 1 = pb , d.h., für alle i muss pi 6= 0 sein. Dies impliziert aber, dass auch
αn
1
jedes Produkt pα
1 · · · pn 6= 0, für α ∈ N. Daher kann p nicht im singulären Ort von
X liegen. Wir erhalten also Sing(X) = ∅. X ist in diesem Fall glatt.
−
+
(2) Sei jetzt f von der Form xi − xb bzw. f = xb − xi . Sei o.B.d.A. i = 1. Dann
gilt d = 1 und b1 = 1. Wir erhalten für den singulären Ort
−
Sing(X) = V (x1 − xb , 1, xb
−
−e2
, . . . , xb
−
−en
).
Somit ist Sing(X) ⊆ V (1) = ∅ und X ist auch hier nichtsingulär.
Für die Rückrichtung betrachten wir einfach den singulären Ort von V (f ) für ein f mit
d > 1, bzw. für d = 1 gelte zusätzlich b1 > 1. Dann gilt:
d +1
Sing(X) = V (f, xb11 −1 xb22 · · · xbdd , . . . , xbd+1
· · · xbnn −1 ).
Wenn b1 > 1 ist, so ist {0} ⊆ Sing(X) ⊆ V (f ), d.h., zumindest der Nullpunkt ist
singulär. Wenn b1 = 1, dann muss nach Voraussetzung d > 1 sein. Dies impliziert
{0} ⊆ Sing(X) ⊆ V (f ).
Damit haben wir die Behauptung gezeigt.
Der singuläre Ort von X enthält also immer den Nullpunkt. Allgemein ist der singuläre
Tn
+
−
Ort von X = V (f ) mit f = xb − xb gegeben als Durchschnitt i=1 Vi mit Vi Vereinigungen von Koordinatenunterräumen Hi := {x ∈ An : xi = 0}. Man kann alle Vi
Sd
explizit angeben: Vi = j=1 Hj , wenn b+
i ≥ 1 ist, wobei die Vereinigung über alle
+
j mit b+
≥
1
gebildet
wird,
falls
b
>
1
ist. Falls b+
j
i
iS= 1 ist, wird die Vereinigung
n
+
über alle j 6= i mit bj ≥ 1 gebildet. Weiters: Vi = j=d+1 Hj , wenn b− ≥ 1 ist,
−
wobei wieder die Vereinigung über alle j mit b−
j ≥ 1 gebildet wird, falls bi > 1 ist.
−
Falls b−
i = 1 ist, wird die Vereinigung über alle j 6= i mit bj ≥ 1 gebildet. Wenn
+
−
n
bi = bi = 0, dann setze Vi = A .
Zum Beispiel ist für f = x21 x32 x3 − x26 der singuläre Ort von X = V (f ) ⊆ A6 gegeben
S3
S2
T6
S3
als i=1 Vi = ( j=1 Hj ) ∩ ( j=1 Hj ) ∩ ( j=1 Hj ) ∩ A6 ∩ A6 ∩ H6 .
Wir haben schon definiert, dass X genau dann aufgelöst ist, wenn b+ − b− ∈ ±Nn ist.
+
−
Dies ist genau dann der Fall, wenn f = 1−xb bzw. f = xb −1 gilt. Dann schneidet
X eventuelle exzeptionelle Divisoren, die immer durch eine Gleichung xi = 0 gegeben
sind, entweder überhaupt nicht, oder transversal.
17
Transformation von Idealen unter Explosionen
Wir werden im nachfolgenden Algorithmus als Zentrum der Explosion stets eine glatte
Untervarietät Z der affinen torischen Hyperfläche X wählen. Wir verwenden immer ein
Zentrum Z der Form Z = V (xi : i ∈ I), wobei die xi ∈ K[x1 , . . . , xn ] und |I| > 1.
Das Zentrum der Explosion des An ist also ein Koordinatenideal P = (xi : i ∈ I),
e n → An ist glatt. Denn: A
e n wird von
wobei I ⊆ {1, . . . , n}. Die Explosion π : A
genau |I| affinen Karten überdeckt, die sich geeignet zusammenkleben lassen. Wenn
wir uns direkt in die j-te Karte der Explosion mit Zentrum P begeben, erhalten wir
durch die Substitutionen
(
xi xj für i ∈ I\{j}
xi 7→
xi sonst
e n in der j-ten Karte. Der exzeptionelle Divisor E ist in
die neuen Koordinaten des A
dieser Karte durch die Gleichung xj = 0 gegeben. Unter Koordinaten verstehen wir
ein reguläres Parametersystem von K[x1 , . . . , xn ].
Sei o.B.d.A. I = {1, . . . k} mit k ≤ n. Der Koordinatenring in der j-ten Karte ist dann
gegeben durch
xk
x1
xk
x1
=K
, . . . , xj , . . . , , xk+1 , . . . , xn .
K x1 , . . . , xn , , . . . ,
xj
xj
xj
xj
e n → An als AbBemerkung. (1) Wir betrachten hier die Explosionsabbildung π : A
bildung des affinen Raum auf sich selbst. D.h., man hat dieselben Koordinaten im Bild
e n , so wie im ursprünglichen affinen Raum An . Dadurch wird das Ablesen der KarA
tenausdrücke leichter, als wenn man zwei verschiedene An mit verschiedenen Koordinatensystemen betrachten würde. Siehe dazu auch [EH].
(2) Bei Explosionen arbeitet man meistens lokal: man betrachtet An in einem Punkt
p mit lokalen Koordinaten x1 , . . . , xn des An . Weiters geht man zur Vervollständigung K[[x1 , . . . , xn ]] von K[x1 , . . . , xn ] über, wobei die x1 , . . . , xn ein reguläres Parametersystem bilden (siehe dazu [Ei]). Man erhält dann für die j-te Karte bei p den
zugehörigen Ring
x1
xk
K[[x1 , . . . , xn ]]
,...,
.
xj
xj
Vervollständigung und Lokalisierung am Ideal ( xx1j , . . . , xxkj , xk+1 , . . . , xn ) liefern den
Koordinatenring der j-ten Karte K[[ xx1j , . . . , xj , . . . , xxkj , xk+1 , . . . , xn ]]. Dann bilden
yi = xxji für i < k und yi = xi sonst, ein reguläres Parametersystem dieses Ringes.
Genaueres dazu findet sich in [Ha1, Ha2].
Wir sind interessiert an der strikt Transformierten X 0 unserer affinen torischen Hyperfläche X = V (f ) unter der Explosion des affinen Raumes in einem Koordinatenideal
P , genauer an der Transformation des Ideals (f ). Sei f ∗ (x) = f (πj (x)), wobei πj der
e n in der j-ten Karte ist, der Pullback von f auf A
e n . In der j-ten
Kartenausdruck von A
∗
Karte ist f klarerweise wieder ein Polynom, Der exzeptionelle Divisor E ist in dieser
Karte durch xj = 0 definiert. Dann kann man f ∗ folgendermaßen faktorisieren:
f ∗ = xrj · f 0 ,
wobei f 0 nicht mehr durch xj teilbar ist. Die natürliche Zahl r ist unabhängig von
der Karte und heißt die exzeptionelle Multiplizität von f ∗ , siehe [Ha3]. Man kann also
18
global f ∗ = mrE · f 0 schreiben, wobei mE lokal in jeder affinen Karte ein Monom
in einer der Variablen ist. Wir nennen f 0 die strikt Transformierte von f und erhalten
e n.
damit X 0 = V (f 0 ) in A
Bemerkung. (1) Wenn X keine Hyperfläche ist, so wird die Berechnung von X 0 wesentlich komplizierter. Man benötigt hier insbesondere den Begriff der Standardbasis
eines Ideals (im Sinne von Hironaka), siehe [Ha3, Hi].
(2) Wenn P kein Koordinatenideal, insbesondere wenn P nicht reduziert ist, so wird
das Berechnen der Kartenausdrücke ebenso erschwert. Wir werden darauf im nächsten
Kapitel eingehen.
Beispiel 4. Sei X im A3 mit Koordinaten x = (x, y, z) gegeben durch V (x4 − y 2 z 9 ).
Dann ist der singuläre Ort von X die Vereinigung der y- und der z-Achse. Sei I =
(x, y, z) das Ideal des Ursprungs Z in A3 . In der x-Karte erhält man f ∗ = x4 −
x11 y 2 z 9 = x4 (1 − x7 y 2 z 9 ). Dann ist die strikt Transformierte X 0 = V (1 − x7 y 2 z 9 )
glatt und X ist in dieser Karte aufgelöst. Denn: der exzeptionelle Divisor E : x = 0
schneidet X 0 nicht, die normale Kreuzungsbedingung ist also erfüllt. In der y-Karte
hingegen gilt f ∗ = y 4 x4 − y 11 z 9 = y 4 (x4 − y 7 z 9 ) und damit X 0 = V (x4 − y 11 z 9 ).
Hier ist von Auflösung keine Spur, die Singularität scheint sich sogar verschlechtert zu
haben! Schließlich ist X 0 in der z-Karte gegeben durch f 0 = x4 − y 2 z 7 . Hier ist die
Singularität zwar nicht aufgelöst, wenigstens gilt aber deg(f 0 ) < deg(f ).
Gleichung und Koordinatenring einer affinen torischen Hyperfläche
Bis jetzt haben wir uns nur mit der Transformation der Gleichung der affinen torischen
Hyperfläche X beschäftigt. Wir könnten jedoch auch von vorneherein im Koordinatenring K[X], der bekanntlich von Monomen erzeugt wird, arbeiten. Wir werden nun
die Transformation von K[X] unter der Explosion in einem Koordinatenideal angeben.
Weiters werden wir untersuchen, wie sich die Relationen der Erzeuger von K[X] im
Vergleich zu den Relationen der Erzeuger des Koordinatenrings K[X 0 ] der strikt Transformierten verhalten. Schließlich werden wir zeigen, wie man allein durch Anwendung
von linearer Algebra aus den Erzeugern von K[X] die (reduzierte) Gleichung von X
zurückgewinnen kann.
Sei X = V (f ) eine affine torische Hyperfläche im An . Sei f = xb − 1, wobei b =
b+ − b− . Sei f o.B.d.A. reduziert, d.h., ggT(b1 , . . . , bn ) = 1. Da dim(X) = n − 1,
ist K[X] von der Form K[x1 , . . . , xn ]/(f ) = K[ta , a ∈ A], wobei A = {a1 , . . . an }
mit ai = (a1i , . . . , an−1,i ) und t = (t1 , . . . , tn−1 ). Wir bezeichnen wieder mit A ∈
Zn−1×n die Matrix, deren Spalten die ai bilden. Da ggT(b1 , . . . , bn ) = 1 gilt, ist
b ∈ Zn×1 ein Erzeuger des Relationenmoduls kerZ (A) = {c ∈ Zn : Ac = 0} der ai .
Es gilt also
Ab = 0.
Transformation des Koordinatenrings einer affinen torischen Hyperfläche unter
Explosionen
Wir betrachten die Transformation von A bzw. A unter der Explosion des An mit Zentrum ein Koordinatenideal P = (xi : i ∈ I) mit |I| ≥ 2. Sei K[x1 , . . . , xn , xxji : i ∈ I]
der Koordinatenring der j-ten Karte der Explosion des An in P . Da An eine torische
Varietät ist, können wir diesen Ring wie oben als K[xv : v ∈ V] schreiben. Dabei ist
19
V = {v1 , . . . , vn } eine Vektorkonfiguration mit vi ∈ Zn , die durch
(
ei − ej für i ∈ I\{j}
vi :=
ei sonst
gegeben ist. Es bezeichne ei den i-ten Standardbasisvektor. Setze analog zu oben V :=
(v1 , . . . , vn ). Damit erhalten wir schnell die Matrix A0 = AV der Erzeuger der j-ten
Karte der Explosion unserer torischen Hyperfläche X. Es gilt also in der j-ten Karte
0
K[X 0 ] = K[ta : a0 ∈ A0 ]. Sei A0 = {a01 , . . . , a0n }, wobei a0i die i-te Spalte (AV )−i
der Matrix AV sei. Da det(V ) = ±1 gilt (vgl. Abschnitt über Newtonpolyeder später),
erhält man aus der Gleichung
(AV )(V −1 b) = 0
auch den neuen Erzeuger b0 des Relationenmoduls von A0 . Genauer: Es gilt b0 =
V −1 b.
Beispiel 5. Sei X der Whitney-Regenschirm im A3 mit Koordinatenring K[X] =
K[x, y, z]/(x2 − y 2 z) ∼
= K[st, s, t2 ]. Hier ist


2
1 1 0
A=
und b =  −2  .
1 0 2
−1
Der singuläre Ort von X ist die z-Achse V (x, y). Wir explodieren A3 also im Ideal
(x, y). In der x-Karte erhalten wir


1 −1 0
V = 0 1 0 
0 0 1
und daraus ergeben sich
A0 =
1 0
0 −1
0
2
und b0 = (0, −2, −1)T .
In dieser Karte ist X glatt, da K[st, t−1 , t2 ] isomorph zu K[s, t, t−1 ] ist. K[s, t, t−1 ]
wiederum ist der Koordinatenring der glatten normalen torischen Varietät K × K ∗ .
Beachte, dass b0 ∈ −N3 ist! Die zugehörige Gleichung von X 0 in der x-Karte lautet
1 = y 2 z.
In der y-Karte ist


1 0 0
V =  −1 1 0 
0 0 1
und damit
A0 =
0
1
1
0
0
2
und b0 = (2, 0, −1).
In dieser Karte lautet K[X 0 ] = K[s, t, t2 ]. Dieser Ring ist isomorph zum Polynomring
in zwei Variablen.
20
Relationen und Erzeuger
Wir wollen eine affine torische Hyperfläche durch eine Folge von Explosionen auflösen. Dazu werden wir einen Invariantenvektor konstruieren, dessen Komponenten
wir aus den Exponenten der (reduzierten) Gleichung von X gewinnen. Wenn wir den
Koordinatenring K[ta : a ∈ A] gegeben haben, so entsprechen die Exponenten der
Gleichung von X gerade einem Erzeuger b = b+ − b− des Relationenmoduls der zu
+
−
A gehörenden Matrix A. Wir zeigen nun, wie man die Gleichung f = xb − xb von
X allein aus der Matrix A erhält. Betrachte zuerst folgendes Beispiel:
Beispiel 6. Zur Abwechslung sei X in A3 durch K[s2 , s3 t2 , t] gegeben. Die Matrix
A besteht also aus den drei Vektoren a1 = (2, 0), a2 = (3, 2), a3 = (0, 1). In Ermangelung weiterer Informationen schauen wir uns die Flächeninhalte zwischen den
Vektoren an (diese entsprechen den Determinanten der 2 × 2 Minoren von A): dabei
bezeichne [A]3 = det(a1 , a2 ) = 4 die Determinante der Matrix, die durch Streichen
der 3. Spalte aus A hervorgeht. Analog ergeben sich [A]2 = det(a1 , a3 ) = 2 und
[A]1 = det(a2 , a3 ) = 3. Hier gilt also b = ([A]1 , −[A]2 , [A]3 ). D.h. hier sind die
Beträge der Determinanten sogar gleich den bi !
Im Folgenden verwenden wir dieselben Bezeichnungen wie im vorhergehenden Abschnitt. Weiters nehmen wir an, dass der Rang von A ∈ Zn−1×n gleich n − 1 ist.
Bezeichne [A]i die Determinante des n − 1 × n − 1 Minors von A, der durch Streichen der i-ten Spalte A−,i von A entsteht. Seien weiters die ai (Spalten von A) so
angeordnet, dass
βn := det(a1 , . . . , an−1 )
ungleich Null ist, βn ist also gleich [A]n . Wir suchen nun ein b, sodass Ab = 0 gilt.
Definiere dazu
βi := det(a1 , . . . , ai−1 , an , ai+1 , . . . , an−1 ).
βi ist die Determinante der Untermatrix von A, in der man die i-te Spalte durch die
n-te Spalte ersetzt. Es gilt [A]i = (−1)n−i−1 βi .
Satz 6. Seien A, βi , bi , ai wie oben definiert. Durch die Abbildung
Φ : Zn −→ Zn
(β1 , . . . , βn ) 7→
1
(β1 , . . . , −βn )
ggT(β1 , . . . , βn )
erhalten wir aus den Determinanten [A]i = (−1)n−i−1 βi der (n−1)×(n−1) Minoren
von A den Vektor
b = (b1 , . . . , bd+1 ) = Φ(β1 , . . . , βn ),
Pd+1
wobei b die Relation i=1 bi ai = 0 erfüllt. b ist ein Erzeuger von kerZ (A), da
ggT(b1 , . . . , bn ) = 1 gilt. b ist bis auf das Vorzeichen eindeutig.
Beweis. Angenommen, wir kennen ein b ∈ kerZ (A) mit o.B.d.A. ggT(b1 , . . . bn ) = 1
und bn 6= 0. b erfülle die Relation
b1 a1 + . . . + bn an = 0.
Wegen bn 6= 0 können wir diese Gleichung zu
an = −
n−1
X
i=1
21
bi
ai
bn
(∗)
umformen. Nach der Cramer’schen Regel, angewandt auf die Matrix (a1 , . . . , an−1 ),
gilt
bi
− βn = βi .
bn
Einsetzen in (∗) und Kürzen ergibt, dass die ai auch folgende Relation erfüllen:
βn an =
n−1
X
βi ai , bzw.
n−1
X
i=1
βi ai − βn an = 0.
i=1
Damit ist die obige Behauptung gezeigt.
4
Beispiel 7. Betrachte X : x1 x2 x3−1 x−1
4 = 1 im A . Dann ist b = (1, 1, −1, −1). Wir
wollen nun b mit dem obigen Satz aus dem Koordinatenring K[x] = K[t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1
3 ]
berechnen. Unsere Matrix A ist gegeben durch


1 0 0 1
A =  0 1 0 1 .
0 0 1 −1
Zuerst bestimmen wir aus den Determinanten der 3 × 3 Minoren [A]i den Vektor
β = (1, 1, −1, 1) ∈ Z4 .
Somit ist Φ(β) = 11 (1, 1, −1, −1) = b.
−3
3
Beispiel 8. Sei nun X : x21 x−3
2 x3 = 1 das “Zitronenbäumchen” im A . Dann gilt n =
3 und b = (2, −3, −3). Der Koordinatenring von X lautet K[X] = K[t31 t32 , t21 , t22 ],
also
3 2 0
A=
.
3 0 2
Somit erhalten wir β = (−4, 6, −6). Beachte, dass hier der ggT der Determinanten
nicht 1 ist! Daher:
1
b = Φ(β) = (−4, 6, 6).
2
Algorithmus
Wir werden nun zeigen, wie man eine singuläre affine torische Hyperfläche X =
+
−
V (xb − xb ) in An durch eine endliche Folge von Explosionen in bestimmten Zentren auflösen kann. Wir achten zunächst nicht auf Symmetrien zwischen den xi . Unter
+
−
Symmetrien verstehen wir hier, dass f = xb − xb bzw. b = b+ − b− ∈ Zn invariant unter der Operation einer Symmetriegruppe G aus Sn ist. Zum Beispiel ist der
Kegel V (x2 − yz) ⊆ A3 symmetrisch bzgl. G = {(23), idS3 }, der Permutation von y
und z.
Es reicht aus, wenn wir als Zentren der Explosionen jeweils Koordinatenunterräume
der affinen Karten wählen. In Abschnitt 2.3 haben wir gesehen, dass man entweder mit
der definierenden Gleichung von X oder “dual” dazu mit K[X] = K[ta : a ∈ A]
für eine Vektorkonfiguration A ∈ Zn−1 , arbeiten kann. Denn wenn man nur A kennt,
kann man mit Hilfe von Satz 6 aus den Determinanten der Matrizen, die von jeweils
n − 1 der ai gebildet werden, alle Größen, die im Folgenden auftauchen, berechnen.
Um weniger notationellen Aufwand betreiben zu müssen, werden wir mit den Gleichungen arbeiten.
22
Unsere Methode der Auflösung von affinen torischen Hyperflächen durch eine Folge
von Explosionen ist eine Alternative zu den torischen Modifikationen mit Fächern und
Kegeln (vgl. [Ew, Fu, KKMS, Od1]). Torische Modifikationen liefern eine Auflösung,
die weder eingebettet noch symmetrie-invariant ist.
Bierstone und Milman [BM] beweisen eine Auflösung von Singularitäten von torischen
Varietäten über perfekten Körpern beliebiger Charakteristik, allerdings ist auch dieser
Ansatz nicht symmetrie-invariant.
Auch bei unserer Methode ist die Wahl der Zentren nicht symmetrie-invariant. Im nächsten Abschnitt werden wir daher auch Explosionen in nichtreduzierten monomialen
Zentren betrachten.
Um eine geeignete Folge von Explosionen zu konstruieren, stellen sich zuerst folgende
Fragen:
(1) Welche Zentren müssen wir wählen, damit sich die Singularität “verbessert”?
(2) Wie können wir diese Verbesserung messen?
(3) Terminiert der Algorithmus, d.h., erreichen wir durch Explosionen in den in (1)
gewählten Zentren wirklich nach endlich vielen Schritten eine Auflösung der Singularitäten von X?
Bevor wir unsere Überlegungen zu diesen Fragen mitteilen, betrachten wir einige illustrative Beispiele von Flächen im A3 .
Beispiel 9. Sei X = V (x2 − yz) ⊆ A3 der Doppelkegel. X besitzt nur eine einzige
e 3 → A3 den
Singularität, den Nullpunkt. Wenn wir als Zentrum der Explosion π : A
Nullpunkt mit Ideal P = (x, y, z) wählen, erhalten wir in den drei Karten folgende
Ausdrücke für die strikt Transformierte X 0 : in der x-Karte ist X 0 = V (1 − yz) glatt,
in der y-Karte ist X 0 = V (x2 − z) ebenfalls glatt und die z- Karte ist symmetrisch zur
y-Karte bzgl. der Permutation (x, y, z) 7→ (x, z, y). Diese Wahl des Zentrums erhält
also die Symmetrien und löst die Singularität in allen drei Karten auf.
Wir hätten jedoch auch ein Zentrum Z von größerer Dimension wählen können. Wir
werden allgemein immer nur Zentren Z wählen, für die Z ⊆ X gilt. In unserem Fall
kommt daher die x-Achse nicht in Frage. Mögliche Kandidaten wären entweder die yoder die z-Achse. Dies macht wegen der Symmetrie bzgl. y ↔ z keinen Unterschied.
Sei nun P = (x, y). In der x-Karte lautet X 0 = V (1 − xy 2 z) glatt und aufgelöst, in
der y-Karte gilt X 0 = V (x2 − z) ebenso glatt, jedoch nicht aufgelöst.
Beispiel 10. Sei nun X = V (x2 − y 2 z) der Whitney-Regenschirm im dreidimensionalen affinen Raum. In Beispiel 5 haben wir gesehen, dass die Explosion in der z-Achse
in beiden Karten ein glattes X 0 liefert. Wenn wir aber als Zentrum die y-Achse mit
Ideal P = (x, z) wählen, erhalten wir in der x- bzw. z-Karte die strikt Transformierte
V (x − y 2 z) bzw. V (x2 − y 2 z). In der z-Karte ist keine Veränderung der Singularität
eingetreten.
Wenn man also ein geeignetes Zentrum maximaler Dimension verwendet, scheint sich
die Singularität zu verbessern. Wenn wir jedoch ein kleineres Zentrum wählen, der
einzige kanonische Kandidat ist hier der Nullpunkt mit Ideal P = (x, y, z), erhalten wir in der x-Karte ein glattes X 0 = V (1 − xy 2 z) und in der y-Karte den Kegel
X 0 = V (x2 − yz) mit “milderer” Singularität nur den Nullpunkt. In der z-Karte ist
jedoch X 0 durch V (x2 z − y 2 ) mit Singularität wieder die z-Achse gegeben. Hier ist
sogar nicht einmal die Ordnung bzw. der Grad der Gleichung gefallen, alles ist unverändert!
23
Die Wahl der Zentren
In den beiden obigen Beispielen haben wir gesehen, dass die Singularitäten bei einer
Explosion in einem zu kleinen Zentrum nicht besser werden, sie können unter Umständen sogar größer werden. Wenn wir ein größeres Zentrum Z wählen, könnten bei
Z 6⊆ X ebenso Singularitäten größerer Dimension auftreten. Auch wenn Z ⊆ X
gilt, ist die Verbesserung der Singularitäten nicht gesichert. Wir werden deshalb immer
Zentren Z ⊆ X maximaler Dimension wählen. Wir haben in Abschnitt 2.3 schon den
singulären Ort einer affinen torischen Hyperfläche genauer untersucht. Im Folgenden
werden wir als Zentrum Z ⊆ X immer einen Koordinatenunterraum der Kodimension
2 wählen, d.h., Z = V (xi , xj ) für i 6= j. Für eine singuläre Hyperfläche existiert immer
−
ein Z dieser Gestalt, denn dann existiert zumindest jeweils ein b+
i , bzw. ein bj 6= 0.
Dann ist f (p) = 0 für alle Punkte p mit pi = 0 und pj = 0. Daher ist V (xi , xj ) ⊆ X.
Wir haben meist mehrere Möglichkeiten, i und j zu wählen. Wir werden für ein X, das
+
−
durch f = xb − xb gegeben ist, immer die beiden “maximalen Exponenten” bi , bj
wählen. Sei
µ+ := max b+ = max{b+
k },
k
und entsprechend
µ− := max b− = max{b−
k }.
k
Diese beiden Maxima können natürlich von mehreren k angenommen werden, z.B. ist
für f = x31 x32 x23 − x84 die Zahl µ+ = 3, wobei dieser Exponent für k = 1, 2 auftaucht.
µ− = 8 ist hingegen eindeutig. Es wären somit beide Zentren Z1 = V (x1 , x4 ) und
Z2 = V (x2 , x4 ) “gleich gut”.
Wenn also µ+/− von mehreren k angenommen wird, so ist dies der Punkt, an dem die
Symmetrie im Auflösungsprozess zerstört wird. Wir müssen uns immer für ein Zentrum entscheiden. Man könnte alternativ dazu Vereinigungen von Koorinatenunterräumen der Form V (xi , xj ) als Zentren in Betracht ziehen, doch dann ist die Explosion
des An im Allgemeinen singulär. Auf diese Situation werden wir im folgenden Kapitel
eingehen. Um das Zentrum eindeutig zu machen, wähle daher
−
+
−
i := min{k : b+
k = µ } und j := min{k : bk = µ }.
Im Beispiel oben wäre also Z1 das zu wählende Zentrum.
Die Induktionsinvariante I
Das nächste Problem ist die “Messung” der Singularitäten von X. Dazu verwenden wir
nur Informationen aus der Gleichung von X. Wir werden die Singularität immer lokal
im Nullpunkt jeder affinen Karte messen, da dieser Punkt immer am “singulärsten” ist.
Wir betrachten also eine affine torische singuläre Hyperfläche X im An die durch ein
+
−
Binom f = xb − xb gegeben ist. Seien µ+ und µ− wie oben definiert und seien
weiters
+
+
m+ := mult(µ+ ) = #{b+
k : bk = µ },
und
−
−
m− := mult(µ− ) = #{b−
k : bk = µ }.
m± misst also die Vielfachheit, mit der µ± angenommen wird. Daher gilt: m± ≥ 1,
falls µ± ≥ 1. Nun sind b+ und b− nicht eindeutig bestimmt (denn durch Multiplikation von f mit −1 tauschen die beiden Vektoren ihre Rollen), wir nehmen ab jetzt
24
o.B.d.A. an, dass bei
+
−
b
d+1
f = xb − xb = xb11 . . . xbdd − xd+1
. . . xbnn ,
die xk so geordnet sind, dass b1 ≥ . . . ≥ bd bzw. bd+1 ≥ . . . ≥ bn gilt. Dies kann
man immer durch geeignete Permutation der Koordinaten erreichen. Um b± eindeutig
festzulegen sei weiters o.B.d.A. b1 ≤ bd+1 .
Der Invariantenvektor I ∈ N4 sei nun eindeutig durch
I := (µ+ , µ− , m+ , m− )
definiert. Die ersten beiden Komponenten von I geben das Zentrum der folgenden
Explosion an. Die letzten beiden Komponenten werden benötigt, um zu zeigen, dass
die Invariante nach jeder Explosion echt lexikographisch kleiner geworden ist. Wir
werden mit Ij0 oder Ix0 j die Invariante der strikt Transformierten X 0 in der j-ten Karte
der Explosion bezeichnen. Setze I 0 := maxj Ij0 .
Wir betrachten I bzgl. der lexikographischen Ordnung. Zur Erinnerung: ein Vektor
v ∈ Nn ist lexikographisch kleiner als w ∈ Nn , d.h., v <lex w genau dann, wenn ein
k ≤ n existiert, sodass vi = wi für alle i ≤ k − 1 und vk < wk gilt.
8 5
13 13
Beispiel 11. (1) Betrachte X = V (f ) ⊆ A5 mit f = x13
1 x2 x3 − x4 x5 . Dann ist
+
−
±
b = (13, 8, 5, 0, 0) und b = (0, 0, 0, 13, 13), d.h. es gilt µ = 13 und m+ = 1
bzw. m− = 2, also I = (13, 13, 1, 2).
(2) Wähle Koordinaten x, y, z in A3 . Sei X = V (f ) mit f = x2 − y 3 z 2 , das “Zelt”.
Dann ist I = (2, 3, 1, 1). Der singuläre Ort besteht hier aus der Vereinigung der yAchse V (x, z) und der z-Achse V (x, y). Wenn wir als Zentrum der Explosion den
Nullpunkt wählen, erhalten wir in der x-Karte die strikt Transformierte f 0 = 1 −
0
x3 y 3 z 2 mit Ix0 = (0, 3, 0, 2), in der y-Karte f = x2 − y 3 z 2 mit Iy0 = I und in der
z-Karte schließlich f 0 = x2 − y 3 z 3 mit Iz0 = (2, 3, 1, 2). Dann ist I 0 = Iz0 > I.
Bei falscher Wahl des Zentrums bleibt I also nicht gleich, sondern wird sogar echt
lexikographisch größer!
Transformation der Invariante bei Explosionen
Sei nun X eine affine torische singuläre Hyperfläche, die durch f wie oben definiert
ist. X ist aufgelöst, wenn b = b+ − b− ∈ ±Nn ist. Dies ist genau dann der Fall,
e n → An die Explosion mit Zentrum Z in An .
wenn µ+ oder µ− gleich 0 ist. Sei π : A
0
Bezeichne X die strikt Transformierte und E = π −1 (Z) den exzeptionellen Divisor
unter der Explosion π.
In diesem Abschnitt untersuchen wir das Verhalten der Invariante I ∈ N4 bei Explosionen in den oben bestimmten Zentren. Wir wollen zeigen, dass durch die Explosion
e n → An in Z die Invariante I 0 der strikt Transformierten f 0 echt lexikographisch
π:A
kleiner wird. Dann können wir Induktion anwenden, da N4 wohlgeordnet ist. Nach
endlich vielen Schritten wird daher entweder die erste oder die zweite Komponente
von I zu 0. Das bedeutet, dass X dann aufgelöst ist.
Zu Beginn sei X = V (f ) mit
+
−
b
d+1
f = xb − xb = xb11 · · · xbdd − xd+1
· · · xbnn ,
wobei wir wie oben x1 , . . . , xn so wählen, dass b1 ≥ . . . ≥ bd bzw. bd+1 ≥ . . . ≥ bn
ist und zusätzlich b1 ≤ bd+1 gilt. Somit gilt für X:
b+ = (b1 , b2 , . . . , bd , 0, . . . , 0),
b− = (0, . . . , 0, bd+1 , . . . , bn ).
25
Daher erhalten wir die Invariante I = (b1 , bd+1 , m+ , m− ), wobei m± ∈ N>0 mit
1 ≤ m+ ≤ d bzw. 1 ≤ m− ≤ n − d.
Nun zur Wahl des Zentrums: Sei I ⊆ {1, . . . , n}. Das Zentrum Z der Explosion π :
e n → An sei gegeben durch Z = V (P ), wobei P = (xi : i ∈ I). Wie wir in Abschnitt
A
2.3 gesehen haben, transformieren sich die Koordinaten in der j-ten Karte zu:
(
xi xj falls i ∈ I\{j},
xi 7→
xi
falls i 6∈ I\{j}.
Zu Beginn wählen wir wegen µ+ = 1 und µ− = d + 1 als Zentrum Z = V (x1 , xd+1 ).
Es gilt also I = {1, d + 1} und damit P = (x1 , xd+1 ). Nun ist die Frage, wie sich
die Gleichung der strikt Transformierten X 0 in den beiden affinen Karten verhält. Wir
betrachten zuerst die
e n ist in dieser Karte durch π1 : A
e n → An mit
x1 -Karte. Die Explosion A
π1 : (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xd , x1 xd+1 , xd+2 , . . . , xn )
gegeben. Der exzeptionelle Divisor ist E = V (x1 ). Die Gleichung der total Transformierten X ∗ lautet somit
b
b
d+1
xb11 xb22 · · · xbdd = x1d+1 xd+1
· · · xbnn .
Wegen unserer Annahme b1 ≤ bd+1 erhält man für die strikt Transformierte X 0 also
die Gleichung
b
−b bd+1
xb22 · · · xbdd = x1d+1 1 xd+1
· · · xbnn .
Für die Angabe von Ix0 1 müssen wir nun mehrere Fälle unterscheiden:
(1) Sei zuerst b1 echt kleiner als bd+1 . Hier können nochmals zwei Unterfälle auftreten:
(1.1) Falls b1 > b2 gilt, ist die Vielfachheit m+ = 1, d.h., I ist durch (b1 , bd+1 , 1, m− )
gegeben. Daher erhalten wir
Ix0 1 = ( b2 , bd+1 , (m+ )0 , m− ),
|{z}
<b1
wobei (m+ )0 =mult(b2 ) womöglich größer als m+ ist (dies wirkt sich aber nicht auf
<lex aus!). Daher ist wie erwartet Ix0 1 <lex I.
(1.2) Falls b1 = b2 , ist m+ > 1, daher
Ix0 1 = ( b2 , bd+1 , m+ − 1, m− ).
|{z}
=b1
Hier ist also m+ − 1 = (Ix0 1 )3 < (I)3 , und damit Ix0 1 <lex I.
(2) Wenn jedoch b1 = bd+1 ist, kürzt sich die Variable x1 aus der Gleichung, d.h. die
Anzahl der Variablen, die in der Gleichung vorkommen, verringert sich. Es gilt dann
I10 = (b2 , bd+1 , (m+ )0 , m− ).
(2.1) Wenn b1 = b2 , so bleibt zwar die erste Komponente von I10 gleich, allerdings ist
dann (m+ )0 = m+ − 1.
(2.2) Wenn b1 > b2 , dann ist schon die erste Komponente von I10 echt kleiner als die
erste Komponente von I.
26
In beiden Fällen ist somit Ix0 1 <lex I. In der x1 -Karte ist alles klar und wir betrachten
nun die
e n → An , mit
xd+1 -Karte. Man erhält die Abbildung πd+1 : A
πd+1 : (x1 , x . . . , xn ) 7→ (x1 xd+1 , x2 , . . . , xn ).
Der exzeptionelle Divisor ist E = V (xd+1 ). Die total Transformierte von X genügt
bd+1 bd+2
1
der Gleichung xb11 xbd+1
xb22 · · · xbdd = xd+1
xb+2 · · · xbnn . Damit besitzt unsere strikt
Transformierte die Gleichung
b
d+1
xb11 · · · xbdd = xd+1
−b1 bd+2
xd+2
· · · xbnn .
Die Invariante verhält sich ähnlich wie in der x1 -Karte:
(1) Für b1 echt kleiner als bd+1 gilt:
(1.1) Für bd+1 > bd+2 bleibt (µ+ )0 = µ+ . Aber es gilt (µ− )0 = max{bd+1 −
b1 , bd+2 } < bd+1 . Wie verlangt ist die zweite Komponente der Invariante von X 0
kleiner, daher gilt Ix0 d+1 <lex I.
(1.2) Für bd+1 = bd+2 funktioniert alles analog wie in der x1 -Karte. Hier ist (m− )0 =
m− − 1, sodass auch Ix0 d+1 <lex I gilt.
(2) Schließlich ergibt für b1 = bd+1 die analoge Überlegung wie in der x1 -Karte (mit
m− statt m+ ), dass auch hier Ix0 d+1 <lex I gilt.
Somit ist die Invariante I 0 = max<lex {Ix0 1 , Ix0 d+1 } der strikt Transformierten X 0 echt
lexikographisch kleiner als I. Wir können die lexikographische Induktion auf I anwenden. Dann werden die Singularitäten von X durch eine endliche Folge von Explosionen
π
N
e = X N π→
X
. . . →1 X 0 = X
aufgelöst.
+
−
Wenn man nun die torische Hyperfläche X = X 0 = V (xb − xb ) konkret auflösen möchte, geht man folgendermaßen vor: zuerst berechnen wir die Invariante I :=
(µ+ , µ− , m+ , M − ) und wählen entsprechend µ± das erste Zentrum als Z0 = V (x1 ,
xd+1 ). Setze I 0 = max{I10 , I20 }. Wenn man beide Karten richtig verklebt, erhält
e 0. X
e 0 = X 1 ist in beiden Karten von π1 :
man eine affine Überdeckung von X
1
0
0
X → X = X aufgelöst, wenn (I )1 = 0 oder (I 0 )2 = 0 gilt. Falls X nur
in einer Karte aufgelöst ist, wählen wir das nächste Zentrum in der anderen Karte.
Ansonsten müssen wir in beiden Karten entsprechend Ix0 1 bzw. Ix0 d+1 die Zentren
0
Z11 = V (xi , xj ) mit i = min1≤k≤n {k : bk = (µ+
x1 ) } und j = min1≤k≤n {k :
d+1
0
0
bk = (µ−
= V (xi , xj ) mit i = min1≤k≤n {k : bk = (µ+
x1 ) } bzw. Z1
xd+1 ) }
−
und j = min1≤k≤n {k : bk = (µxd+1 ) } wählen. Dann erhalten wir die zweite
e 1 = X 2 → X 1 . Wenn man wieder die zugehörigen Karten richExplosion π2 : X
tig verklebt, erhält man damit eine Überdeckung von X 2 mit 4 affinen Karten. Setze
I 00 = max1≤i≤4 Ii00 < I 0 . Falls X 2 immer noch singulär ist, so lese aus den jeweiligen Invarianten Ii00 die nächsten Zentren Z21,i1 , Z21,j1 , Z2d+1,i2 , Z2d+1,j2 ab und erhalte
schließlich π3 : X 3 → X 2 . Wie wir oben gezeigt haben, erhalten wir nach N Schritten
ein glattes X N .
27
Bemerkung. Bierstone-Milman [BM] verwenden einen ähnlichen Algorithmus, wählen allerdings andere Zentren und betrachten auch eine andere Invariante. Wir werden
nun kurz darauf eingehen. Sei X wieder eine affine torische Hyperfläche. Als Zentrum Z wird eine Komponente des Toplocus Top(X) von X gewählt. Der Toplocus
(auch equimultipler Locus genannt) ist der Zariski-Abschluss der Punkte in denen die
Ordnung der Gleichung von X maximal ist. Wenn wir also die affine torische Hyper+
−
fläche X im An durch das Binom f = xb − xb gegeben haben, so ist ihr Toplocus
Top(X) eine Vereinigung von Koordinatenunterräumen des An . Wenn wir zusätzlich
o.B.d.A. |b+ | ≤ |b− | annehmen, werden die Komponenten von Top(X) von den
n
Standardbasisvektoren ej des AP
aufgespannt, wobei j aus den maximalen Teilmen+
gen J ⊆ {1, . . . , n} ist, sodass i6∈J b−
i ≥ |b | gilt.
n
Es wird also für die Explosion des A als Zentrum ein Koordinatenunterraum Z∆ ⊆
e n werden mit Uσ ,
Top(X) gewählt, wobei ∆ ⊆ {1, . . . n}. Die Karten der Explosion A
j
b+
b−
j ∈ ∆ bezeichnet. Die σj bilden dann einen Fächer Σ. Es
x σj − x σj die
Pnbezeichne
+
0
+
strikt Transformierte f in der j-ten Karte. Sei |bσj | = i=1 (bσj )i und entsprechend
Pn
−
|b−
σj | =
i=1 (bσj )i für alle σj ∈ Σ. Die Invariante wird dann als der Vektor
(dσj , Ωσj ) ∈ N2
−
0
+
definiert, wobei dσj = min{|b+
σj |, |bσj |} die Ordnung von f und Ωσj = max{|bσj |,
0
−
|bσj |} der Grad von f sind.
Der Hauptunterschied zu unserem Algorithmus ist, dass hier öfters in Zentren Z∆ von
kleinerer Dimension aufgeblasen wird. Es wäre interessant, zu untersuchen, welcher
Algorithmus weniger Schritte benötigt, um ans Ziel zu kommen.
28
Kapitel 3
Explosionen in monomialen
Idealen
3.1
Symmetrien
Das Problem
+
−
Sei X = V (f ) mit f = xb − xb wieder eine singuläre affine, nicht notwendig
normale, torische Hyperfläche im AnK . Wie schon vorher sagen wir, dass X aufgelöst
ist, wenn b = b+ − b− ∈ ±Nn gilt. Der Algorithmus im vorigen Abschnitt löst zwar
eine Singularität einer affinen torischen Hyperfläche X, die in einen An eingebettet
ist, in endlich vielen Schritten auf, doch er liefert keine äquivariante Auflösung. Unter
einer eingebetteten äquivarianten Auflösung von X verstehen wir einen eigentlichen
e n → An mit A
e n glatt, sodass die total Transformierte
birationalen Morphismus π : A
∗
−1
X = π (X) von X aufgelöst ist und die Abbildung π|X ∗ : X ∗ → X ein Isomorphismus über den glatten Punkten von X ist, der alle Symmetrien von X erhält.
Genauer: Jeder Automorphismus von X wird zu einem Automorphismus von X ∗ geliftet. Der obige Morphismus π ist entweder durch torische Modifikationen oder durch
eine Explosion oder eine Folge von Explosionen mit Zentren monomiale Ideale definiert. Das Zentrum soll also invariant bzgl. der Operation einer Symmetriegruppe G
aus Sn auf An bzw. X sein. G operiert auf An bzw. X durch Permutation der Koordinaten.
e n → An überhaupt existiert, ist durch Hironaka’s Satz [Hi] gesichert (alDass ein π : A
lerdings nur für Körper K der Charakteristik 0!). Villamayor [Vi] zeigte, dass es dann
sogar eine äquivariante eingebettete Auflösung gibt. Für die klassische torische Auflösung, siehe z.B. [KKMS], wird konvexe Geometrie verwendet. Dabei löst man die
Singularitäten einer torischen Varietät durch reguläre Unterteilungen der zugehörigen
Fächer und Kegel auf. Diese Auflösung ist nicht äquivariant und auch nicht eingebettet.
Wir werden uns an Explosionen in monomialen Idalen halten und dabei von folgender
Überlegung ausgehen: Wie schon gezeigt, ist der singuläre Ort Sing(X) einer affinen
torischen Hyperfläche X = V (f ) im An immer eine Vereinigung von Koordinatenunterräumen des An . Betrachte wieder den Toplocus Top(X),d.h., den Ort, an dem die
Ordnung von f maximal ist. Der Toplocus ist eine Untervarietät von X, die i.A. aus
mehreren Komponenten besteht. Im vorhergehenden Algorithmus musste man immer
29
eine dieser Komponenten als Zentrum der Explosion auswählen, und hat dadurch etwaige Symmetrien von X zerstört. Wenn man nun als Zentrum einer Explosion aber
mehrere Komponenten wählen würde, so könnte man die Symmetrien von X erhalten.
Wir werden nun Explosionen in allgemeinen monomialen Idealen betrachten: normalerweise lässt man nur glatte Zentren zu, doch wir werden auch singuläre bzw. nichtreen
duzierte Zentren betrachten. Dies hat allerdings zur Folge, dass i. A. die Explosion A
des umgebenden affinen Raumes in einigen Karten singulär ist. Dann kann natürlich
von einer eingebetteten Auflösung von X ⊆ An keine Rede mehr sein!
Monomiale Kurven im A2 werden durch Explosionen mit Zentrum der Nullpunkt, definiert durch das maximale Ideal (x, y), immer in endlich vielen Schritten aufgelöst.
Somit ist das Zentrum eindeutig bestimmt, und wir haben keine Symmetrien zu beachten.
Wir illustrieren die Problematik am ersten nichttrivialen Beispiel einer torischen Fläche
im affinen dreidimensionalen Raum. Sei X = V (f ), wobei f = xa −y b z c . Die einzige
Symmetrie tritt auf, wenn b = c gilt. Sie ist durch die Permutation (x, y, z) 7→ (x, z, y)
gegeben. Diese Abbildung ist ein Automorphismus von X und erhält das Binom f .
Sei 2 ≤ a ≤ b = c, dann ist der singuläre Ort von X die Vereinigung der y- und
e 3 → A3 so zu
der z-Achse. Wir versuchen nun, ein Zentrum für die Explosion π : A
3
e erhalten bleibt. Das einzige glatte invariante
wählen, dass diese Symmetrie auch in A
Zentrum ist der Nullpunkt mit dem Ideal (x, y, z). Hier ist die Gleichung von f 0 in der
y- bzw. z-Karte gegeben durch xa − y 2b−a z b bzw. xa − y b z 2b−a . Wir können also
keine Verbesserung der Singularität feststellen. Im Gegenteil scheint das Achsenkreuz
in beiden Karten noch singulärer geworden zu sein. Wählen wir als Zentrum (x, yz),
die reduzierte Vereinigung der y- und der z-Achse, bleibt die Symmetrie erhalten. Wie
wir später ausführlicher berechnen, ist aber die Explosion von A3 in (x, yz) singulär.
Wir werden also versuchen, das Achsenkreuz durch ein invariantes, nicht-reduziertes
Ideal zu beschreiben, sodass die Explosion von A3 in diesem Ideal glatt ist.
Im Folgenden werden somit Explosionen des An mit Zentren monomiale Ideale betrachtet. Es wird ein Kriterium der Glattheit einer Explosion in einem beliebigen monomialen Ideal angegeben. Dafür benötigen wir einige Konzepte aus der konvexen
Geometrie. Insbesondere werden wir jedem von uns betrachteten Ideal seinen Newtonpolyeder zuordnen. Dann betrachten wir Methoden, um singuläre Explosionen zu
“glätten”: wir behandeln den Ansatz von Rosenberg [Ro], bei dem das Ideal durch ein
anderes monomiales Ideal mit demselben Radikal ersetzt wird.
Weiters wird ein völlig anderer Zugang von De Concini und Procesi [DP] vorgestellt:
Hier geht man von einer Vereinigung von Koordinatenunterräumen Ui des An aus (
Arrangements). Dann sind die zugehörigen Ideale Ii Koordinatenideale. Wenn man
als Zentrum der Explosion des An das Produkt der Ii wählt, so ist die Explosion glatt,
wenn die Ui eine bauchige Menge bilden. In [DP] wird dies für beliebige Arrangements
von Unterräumen bewiesen, wir werden die Glattheit für Koordinatenunterräume mit
unserem Newtonpolyederkriterium zeigen.
e n in allen KarWenn man ein monomiales Ideal gefunden hat, sodass die Explosion A
ten glatt ist, ist es jedoch sehr schwierig, eine Verbesserung der Singularität von X zu
messen: i.A. werden nämlich die von uns betrachteten Invarianten größer.
30
Explosionen in nichtreduzierten monomialen Idealen
Wir haben bis jetzt nur Explosionen des An mit Zentren Koordinatenideale I = (xi :
e n glatt. Man kann
i ∈ I), mit I ⊆ {1, . . . , n} und |I| ≥ 2 betrachtet. Dann ist A
n
n
e
die jeweiligen Kartenausdrücke πxi : (A )xi → A leicht berechnen. Es bezeichne
e n )x die i-te affine Karte von A
e n . Bekanntlich ist
(A
i
(An \V (I )) → An \V (I )
πxi : πx−1
i
ein Isomorphismus. Wir betrachten nun eine Explosion in einem nichtreduzierten Zentrum:
Beispiel 12. (1) Sei I = (x, y)2 = (x2 , xy, y 2 ) der dicke Nullpunkt im A2 . Wir
e 2 → A2 mit Zentrum I . In Abschnitt 2.1 haben
betrachten die Explosion π : A
wir gezeigt, wie man die Koordinatenringe der jeweiligen affinen Karten berechnen
kann. In diesem Fall besitzt das Ideal I drei Erzeuger, wir erhalten also drei affine
Karten, die die Explosion von A2 überdecken. In den Karten x2 bzw. y 2 sind die zugehörigen Koordinatenringe gegeben durch K[x, y, xy/x2 , y 2 /x2 ] = K[x, y/x] bzw.
K[x, y, x2 /y 2 , xy/y 2 ] = K[x/y, y]. Diese beiden Karten stimmen mit der x- bzw.
y- Karte des reduzierten Ideals des Nullpunkts überein. In der Karte xy erhalten wir
K[x, y, x/y, y/x]. Dann ist Spec(K[x, y, x/y, y/x]) ( A2 eine offene Teilmenge des
affinen zweidimensionalen Raums. Diese Karte wird von den zwei benachbarten Karten überdeckt. Man sieht auch, dass die Rees-Algebren von (x2 , xy, y 2 ) und dem reduzierten Ideal (x, y) übereinstimmen.
(2) Sei I = (yz, x) das reduzierte Ideal des Koordinatenkreuzes yz-Achse im A3 und
e 3 → A3 die Explosion des A3 in I . Analog zum vorigen Beispiel berechnen
sei π : A
wir zuerst die yz-Karte und erhalten den zugehörigen Koordinatenring K[x, y, z, x/yz]
= K[x/yz, y, z] und die assoziierte Abbildung
e 3 → A3 : (x, y, z) 7→ (xyz, y, z).
πyz : A
Hier ist Spec(K[x/yz, y, z]) wieder isomorph zum A3 und daher glatt. In der x- Karte
jedoch ist der Koordinatenring der Explosion gleich
K[x, y, z, yz/x] ∼
= K[x, y, z, w]/(xw − yz).
e 3 = Spec(K[x, y, z, w]/(xw − yz)) eine dreidimensionale torische Varietät
Hier ist A
4
im A mit isolierter Singularität im Nullpunkt. Wir sehen also, dass die Explosion von
A3 in I singulär ist.
e n → An
Allgemein gilt: Sei I ein monomiales Ideal in K[x1 , . . . , xn ] und sei π : A
n
n
e eine torische Varietät, die i.A.
die Explosion von A mit Zentrum I . Dann ist A
singulär ist. Sei {xa : a ∈ A}, wobei A in Nn endlich ist, ein beliebiges monomiales
Erzeugendensystem von I . Sei
0
Ua := Spec(K[x1 , . . . , xn ][xa −a , a0 ∈ A\a]).
e n von den affinen torischen Varietäten Ua ⊆ An überdeckt.
Dann wird A
e n ist eine toWir können dies auch mit Hilfe von konvexer Geometrie formulieren: A
rische Varietät, gegeben durch einen Fächer Σ in einem Gitter N . Die affinen Karten
Ua entsprechen affinen torischen Varietäten, die jeweils durch einen Kegel σ ∈ Σ definiert werden. Genauer: Jedem Erzeuger xa wird ein Kegel σ(a) zugeordnet. Beachte
31
e n nicht notwendig normal ist, also auch die zugehörigen affinen Ua nicht
dabei, dass A
notwendig normale affine torische Varietäten sind. Wenn, wie im obigen Beispiel (1),
eine Karte Ua eine offene Teilmenge von zwei anderen Karten Ub und Uc ist, so gilt:
der Kegel σ(c) ist gegeben als σ(a) ∩ σ(b) und man kann entsprechend die zugehörigen affinen torischen Varietäten Ua und Ub entlang Uc zusammenkleben. Durch diese
e n.
Prozedur erhält man schließlich eine Überdeckung von A
3.2
Newtonpolyeder und Explosionen
Wir betrachten ein monomiales Ideal I = (xa : a ∈ A) in K[x1 , . . . , xn ] = K[x],
wobei A eine endliche Menge in Nn ist. Wir gehen der Frage nach, wann die Explosion des affinen Raumes An mit Zentrum I glatt ist. Dazu werden wir ein geometrisches Kriterium angeben. Zu diesem Zweck betrachten wir das Newtonpolyeder von
I . Dann entsprechen die Exponentenvektoren a, wobei a ∈ A, Ecken bzw. inneren
Punkten dieses Polyeders. Wir werden die Korrespondenz zwischen den Erzeugern des
Ideals zu Punkten im zugehörigen Newtonpolyeder genau beschreiben. Weiters werden
wir jedem Punkt des Newtonpolyeders einen Kegel zuordnen, den Idealtangentenkegel. Wir werden zeigen, wie man an den Idealtangentenkegeln der a ∈ A die Glattheit
e n → An mit Zentrum I ablesen kann.
der Explosion π : A
Einige Begriffe aus der konvexen Geometrie
Wir haben schon in Kapitel 1 einige Objekte der konvexen Geometrie eingeführt, allerdings in einem sehr allgemeinen Kontext. Wir werden im Folgenden alle Objekte im
Vektorraum Rn bzw. im Untergitter Zn = Zn ∩Rn und im Untermonoid Nn = Nn ∩Rn
definieren. Es gelte N := N≥0 .
Zur Erinnerung: Ein (positiver) reeller Kegel K ist eine nichtleere Teilmenge von Rn ,
sodass jede nichtnegative Linearkombination von Elementen von K wieder in K liegt.
Es sei Rn+ := {v ∈ Rn : vi ≥ 0}. Falls es Vektoren v1 , . . . , vl ∈ Rn gibt, sodass
Pl
K = { i=1 λi vi : λ1 , . . . , λl ∈ R+ }, dann nennt man K den von v1 , . . . , vl erzeugten polyedrischen Kegel. Wir werden einen derartigen Kegel im Weiteren mit K =
R+hv1 , . . . , vl i bezeichnen.
Ein polyedrischer Kegel heißt rational, wenn alle Erzeuger vi rationale Koordinaten
haben. Wir können dann durch Erweitern mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen
der Nenner annehmen, dass diese Vektoren ganzzahlige Koordinaten haben. Wir nennen einen Erzeuger vi in Zn primitiv, wenn seine Koordinaten relativ prim zueinander
sind.
Die Dimension einer Teilmenge von Rn ist die Dimension ihrer affinen Hülle. Daher
ist die Dimension von R+hv1 , . . . , vl i die Dimension des von v1 , . . . , vl aufgespannten
linearen Raumes. Ein polyedrischer Kegel mit Erzeugern v1 , . . . , vl heißt simplizial,
wenn diese l Erzeuger R-linear unabhängig sind. Wenn zusätzlich das l-dimensionale
Volumen des von v1 , . . . , vl aufgespannten Parallelotops 1 beträgt, spricht man von
einem unimodularen Kegel.
Die Punkte x ∈ Zn ⊆ Rn heißen Gitterpunkte. Aus einem beliebigen positiven reellen
Kegel K erhalten wir den zugehörigen Gitterkegel K∩Zn . Wenn K ein rationaler polyedrischer Kegel ist, so ist nach Gordan’s Lemma (Satz 3) auch K ∩ Zn endlich erzeugt
über Z und besitzt ein eindeutiges minimales Erzeugendensystem x1 , . . . , xl ∈ Zn .
32
Die xi sind primitive Vektoren.
Seien v1 , . . . , vl ∈ Rn . Eine konvexe Linearkombination von v1 , . . . , vl ist eine endliche nichtnegative R-Linearkombination
l
X
ci vi mit ci ≥ 0 für alle i, und
i=1
l
X
ci = 1.
i=1
Eine Teilmenge M von Rn heißt konvex, wenn für je zwei Elemente v, w von M auch
die Strecke von v nach w in M enthalten ist. Die konvexe Hülle conv(N ) einer Teilmenge N von Rn ist die Menge aller konvexen Linearkombinationen von Elementen
von N . Für zwei Teilmengen A, B von Rn gilt conv(A + B) = conv(A) + conv(B).
Ein Polyeder P ⊆ Rn ist der Durchschnitt von endlich vielen abgeschlossenen Halbräumen in Rn . Ein Polytop ist ein beschränktes Polyeder. Äquivalent dazu ist jedes
Polytop die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten im Rn . Die Dimension eines
Polyeders bzw. Polytops P ist wieder die Dimension seiner affinen Hülle. Ein Element
e von P heißt Ecke von P , wenn es eine lineare Abbildung f : Rn → R und eine Zahl
d ∈ R gibt, sodass gilt:
P ⊆ {v ∈ Rn : f (v) ≤ d} und f −1 (d) ∩ P = {e}.
Das heißt: es gibt eine affine Hyperebene Hd = f −1 (d), deren Schnitt mit P die Ecke
e liefert, sodass P auf einer Seite von Hd liegt.
Allgemein definiert man: eine Teilmenge Q von P ist eine m-dimensionale Seite von
P , wenn es eine lineare Abbildung f : Rn → R gibt und ein d ∈ R, sodass gilt:
P ⊆ {v ∈ Rn : f (v) ≤ d} und f −1 (d) ∩ P = Q,
und außerdem die affine Hülle von Q m-dimensional ist. Dann sind die Ecken von P
die 0-dimensionalen Seiten von P . Weiters heißen die 1-dimensionalen Seiten von P
Kanten und n − 1-dimensionale Seiten nennt man Facetten von P . Zwei Ecken von P
sind benachbart, wenn die Strecke zwischen ihnen eine Kante von P ist. Wir sagen,
dass v im Inneren von P ist bzw. dass v ein innerer Punkt von P ist, wenn es eine
offene Kugel B (bzgl. der Standardmetrik auf Rn ) gibt, sodass v ∈ B ⊆ P gilt.
Polyedrische Kegel sind spezielle Polyeder. Daher gelten die Definitionen von Ecken,
Kanten, Seiten und Facetten auch für diese Kegel.
Seien K und L beliebige Mengen im Rn . Dann heißt
K + L := {x + y : x ∈ K, y ∈ L}
die Minkowski Summe oder einfach nur die Summe von K und L. Seien speziell K und
L konvexe Mengen in Rn , sodass der Durchschnitt ihrer affinen Hüllen ein Punkt ist.
Dann nennen wir K + L die direkte Summe K ⊕ L von K und L und es gilt: K ⊕ L
ist isomorph zu K × L ⊆ R2n .
Man kann zeigen, dass jedes Polyeder P die Summe der konvexen Hülle M einer endlichen Teilmenge des Rn (= das von M erzeugte Polytop) und eines endlich erzeugten
Kegels ist. Jede Ecke von P ist ein Element der endlichen Menge M . Wir werden nur
unbeschränkte Polyeder betrachten, daher führen wir zusätzlich den Begriff der unendlich fernen Ecken eines Polyeders ein.
33
Definition. Sei P = conv(M )+ R+hv1 , . . . , vl i mit M ⊆ Rn endlich, ein unbeschränktes Polyeder. Für alle Ecken m von conv(M ) bezeichnen wir den Strahl m +
R+ vi als unendlich ferne Ecke von P in Richtung vi , falls m + R+ vi eine Kante von
P ist.
Die positive konvexe Hülle einer Teilmenge M von Rn ist die konvexe Hülle der Minn
kowski Summe von M mit Rn+ , geschrieben conv(M + RP
+ ).
Wir haben schon früher den Träger eines Polynoms f = α∈Nn cα xα ∈ K[x] definiert. Es gilt supp(f ) = {α ∈ Nn : cα 6= 0}. Der Träger eines monomialen Ideals I
ist die Menge aller Exponentenvektoren von Monomen von I , geschrieben
supp(I ) = {a ∈ Nn : xa ∈ I }.
Seine konvexe Hülle conv(supp(I )) heißt das Newtonpolyeder N von I . Wir werden es auch mit N (I ) bezeichnen. Äquivalent dazu ist für ein Erzeugendensystem
xa , a ∈ A endlich, von I das Newtonpolyeder definiert als die positive konvexe Hülle
conv(A + Rn+ ).
Ein Ideal I heißt ganz abgeschlossen, wenn I gleich seinem ganzen Abschluss ist.
Ein monomiales Ideal I = (xa : a ∈ A) ist ganz abgeschlossen, wenn R+ha ∈ Ai∩Zn
endlich erzeugt ist. Für jedes monomiale I gilt supp(I ) ⊆ N (I ) ∩ Zn , mit Gleichheit genau dann, wenn I ganz abgeschlossen ist (siehe Satz 4 oder [Ei, Ex. 4.23]).
Sei P ⊆ Rn ein Polyeder. Dann heißt für v ∈ P der positive reelle Kegel Tv (P ),
der von P − v := {p − v : p ∈ P } erzeugt wird, der (reelle) Tangentenkegel zu
P in v. Dieser Kegel ist polyedrisch. Wir können ein (nicht notwendig minimales)
Erzeugendensystem angeben: schreibe dazu wie oben P = conv(M )+ R+hv1 , . . . , vl i
mit M endlich. Der reelle Tangentenkegel zu P in v ist dann der Kegel, der von allen
m − v und den v1 , . . . , vl erzeugt wird. Falls v eine Ecke von P ist, so wird der
zugehörige Tv (P ) erzeugt von den Kanten von P die von v ausgehen. Wenn v im
Inneren von P liegt, dann ist Tv (P ) = Rn (wobei wir hier immer annehmen, dass
dim(P ) = n).
Definition. Es sei für Vektoren v1 , . . . , vl ∈ Rn die Menge {λ1 v1 + · · · + λl vl : λi ∈
N} = N hvi i das N-Erzeugnis der vi . Speziell für ein monomiales Ideal I = (xa :
a ∈ A) sei
ITa (I ) :=N he1 , . . . , en , a0 − a : a0 6= a ∈ Ai,
der Idealtangentenkegel zum Monom xa . Dies ist kein reeller “Kegel”, sondern das von
den vi erzeugte Monoid. Wie bei reellen Kegeln definieren wir Facetten, Seiten, und
Ecken. Ebenso nennen wir ITa (I ) spitz genau dann, wenn ITa (I ) ∩ (−ITa (I )) =
{0}. Ein minimales Erzeugendensystem von ITa (I ) ist eine Menge von Vektoren in
Zn , die ITa (I ) erzeugen, so dass kein Element eine N-Linearkombination der anderen Elemente ist. Wir nennen ein Element des minimalen Erzeugendensystems einen
minimalen Erzeuger von ITa (I ).
Wir werden später noch weitere Begriffe von reellen Kegeln übernehmen. Außerdem
gilt für einen Punkt a im Newtonpolyeder N von I : der Gitterkegel Ta (N ) ∩ Zn enthält den Idealtangentenkegel ITa (I ). Der Idealtangentenkegel gibt uns also Auskunft
über die Gestalt des Newtonpolyeders von I in der Nähe einer Ecke bzw. eines ganzzahligen Punktes von N .
34
Beispiel 13. Sei I = (x3 , xy 2 , y 3 ). Das zugehörige Newtonpolyeder N = N (I ) ist
dann
N = conv({(3, 0), (1, 2), (0, 3)} + R2+ ).
Abb. 4: Das Newtonpolyeder N von I .
Der Tangentenkegel zu N in der Ecke (3, 0) ist gegeben durch T(3,0) (N ) = R+h(−2, 2),
(−3, 3), (1, 0), (0, 1)i, wobei die letzten beiden Erzeuger die unendlich fernen Ecken
sind. Wir sind zuerst am Gitterkegel T(3,0) (N ) ∩ Z2 interessiert: dieser Kegel enthält
alle ganzzahligen Vektoren der Form R+ h(−2, 2), (−3, 3), (1, 0), (0, 1)i ∩ Z2 . Wie
man leicht sieht, besitzt er das minimale Z-Erzeugendensystem (1, 0), (−1, 1). Dies
sind gerade die beiden primitiven Kantenvektoren zur Ecke (3, 0). Der Idealtangentenkegel zur selben Ecke ist nach Definition IT(3,0) (I ) = N h(1, 0), (0, 1), (−2, 2),
(−3, 3)i. Da wir hier nur N-Linearkombinationen zur Verfügung haben, dürfen wir
nicht einfach die primitiven Vektoren als Erzeuger verwenden. Es gilt also: IT(3,0) (I )
( (T(3,0) (N ) ∩ Z2 ).
Für die Ecke (0, 3) ist jedoch IT(0,3) (I ) = N h(3, −3), (1, −1), (1, 0), (0, 1)i. Man
findet leicht das minimale Erzeugendensystem (1, −1), (0, 1) und die beiden Kegel
IT(0,3) (I ) und T(0,3) (N ) ∩ Z2 stimmen überein.
Idealtangentenkegel im Newtonpolyeder und Explosionen
Wir wollen die Explosion von An im monomialen Ideal I = (xa : a ∈ A) in Zusammenhang mit dem Newtonpolyeder N := N (I ) bringen.
e n von An in I ist bekanntlich Proj(K[x][tI ]), daher wird A
e n überDie Explosion A
deckt von
0
Ua = Spec(K[x1 , . . . , xn ][xa −a : a0 ∈ A\a]).
e n . Die Explosion ist glatt genau dann,
Wir nennen Ua für a ∈ A die a-Karte von A
n
e
wenn sie in jeder Karte glatt ist. Da A eine torische Varietät ist, gilt: falls die a-Karte
glatt ist, so ist sie entweder isomorph zu einem An oder zu einer offenen Teilmenge
des n-dimensionalen affinen Raums.
Im Newtonpolyeder N , speziell an den Idealtangentenkegeln ITa (I ), kann man alle
e n ablesen. Für unser folgendes Glattheitskriterium beEigenschaften der Explosion A
nötigen wir noch die Begriffe simplizial und unimodular für Idealtangentenkegel. Um
sie sinnvoll definieren zu können, zeigen wir zuerst folgendes
35
Lemma 1. Sei N hv1 , . . . , vl i = ITa (I ) der Idealtangentenkegel von N in einem
Punkt a. Falls der Idealtangentenkegel spitz ist, so besitzt er genau ein minimales Erzeugendensystem.
Beweis. Sei ITa (I ) spitz. Angenommen, er besäße zwei verschiedene minimale Erzeugendensysteme v1 , . . . , vl bzw. w1 , . . . , wm , wobei o.B.d.A. v1 6∈ {w1 , . . . , wm }.
Da die vi ein Erzeugendensystem von ITa (I ) bilden, kann man jedes wj als NLinearkombination
X
wj =
αi vi
i
mit αi ∈ N schreiben.
Da auch
P
Pdie wj ein Erzeugendensystem sind, können wir
umgekehrt
v
=
β
w
=
1
j
j
j
i,j αi βj vi schreiben. Dann muss aber der KoeffiP
zient j α1 βj von v1 in der letzten Gleichung größer gleich 1 sein, da sonst v1 ∈
. . , vl i. Das wäre ein Widerspruch zum minimalen Erzeugendensystem. Weiters
Nhv2 , .P
muss j α1 βj ≤ 1 gelten, da sonst 0 eine nichttriviale N-Linearkombination der vi
wäre, was einen Widerspruch zu ITa (I ) spitz liefern würde. Somit bleibt als einzige
Möglichkeit α1 = 1, β1 = 1 und βj = 0 für alle restlichen j. Dann folgt aber aus der
Gleichung
X
v1 =
βj wj = β1 w1 ,
j
dass v1 = w1 gelten muss. Widerspruch zur Voraussetzung v1 6∈ {w1 , . . . , wm }!
Wir nennen nun einen spitzen Idealtangentenkegel ITa (I ) simplizial, wenn das minimale Erzeugendensystem von ITa (I ) aus genau n Vektoren in Zn besteht. ITa (I )
heißt unimodular, falls zusätzlich das n-dimensionale Volumen der minimalen Erzeuger gleich 1 ist.
Sei ITa (I ) = N hv1 , . . . , vl i mit l ≥ n und sei K[ITa (I )] = K[xv1 , . . . , xvl ] die
von ITa (I ) erzeugte monomiale Algebra mit K[ITa (I )] ⊆ K[x, x−1 ]. Man sieht
e n ist. Betrachte nun,
sofort, dass K[ITa (I )] der Koordinatenring der a-Karte von A
analog zu Kapitel 1, den Monoidhomomorphismus (für spitze Idealtangentenkegel:
Isomorphismus)
θ : ITa (I ) → K[ITa (I )], u 7→ xu .
Via θ kann man ITa (I ) mit K[ITa (I )] identifizieren, wir können somit in der zu
ITa (I ) gehörenden monomialen Algebra arbeiten. Ebenso wie in Kapitel 1 betrachten
Pl
wir den Monoidhomomorphismus π : Nl → Zn , b 7→ i=1 bi vi . Daraus erhalten wir
einen Homomorphismus der monomialen Algebren
π̂ : K[t1 , . . . , tl ] → K[ITa (I )], ti 7→ xvi .
e n als toriWie bereits erwähnt, erhält man so die Beschreibung der a-Karte von A
v
sche Varietät. Das zugehörige torische Ideal wird erzeugt von Binomen x − xw , mit
v, w ∈ Nn . Die linearen Relationen der Erzeuger von ITa (I ) entsprechen also polynomialen Relationen in K[x].
Jetzt bringen wir das Newtonpolyeder N von I = (xa : a ∈ A) zu den Koordinatenringen der affinen Karten der Explosion von An mit Zentrum I in Beziehung. Nach
Definition des Newtonpolyeders bilden die Ecken von N eine Teilmenge von A. Die
restlichen Elemente von A liegen entweder im Inneren oder sind in Seiten von N enthalten. Die Exponenten a0 − a, wobei a0 ∈ A\a, der Erzeuger des Koordinatenrings
der a-Karte der Explosion entsprechen im Polyeder N den Verbindungsvektoren von
36
0
a nach a0 . Die Erzeuger x1 , . . . , xn von K[x1 , . . . , xn , xa −a : a0 ∈ A\a] entsprechen im Newtonpolyeder den n Standardbasisvektoren e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en =
(0, . . . , 0, 1). Diese Erzeuger kommen von unendlich fernen Ecken a + R+ ei . Daher
ist jeder Idealtangentenkegel n-dimensional und besitzt das (nicht notwendig minimale) Erzeugendensystem e1 , . . . , en , a0 − a für alle a0 6= a ∈ A. Wenn ITa (I ) spitz
ist, kann man das eindeutige minimale Erzeugendensystem v1 , . . . , vl mit l ≥ n berechnen. Wir werden einen Erzeuger v von ITa (I ) notwendig bzw. minimal nennen,
wenn v ein Element des minimalen Erzeugendensystems ist. Sonst heißt v überflüssig
bzw. redundant. Falls v ein überflüssiger Erzeuger ist, erfüllt er eine Relation
X
v=
αi vi , mit vi 6= v und αi ∈ N.
i
Das bedeutet, dass v im Inneren bzw. in einer Seite des Idealtangentenkegels liegt.
Dann ist der Punkt v + a im Inneren bzw. in einer Seite des Newtonpolyeders. Im Ko0
ordinatenring K[x1 , . . . , xn , xa −a : a0 ∈ A\a] = K[xv1 , . . . , xvl ] lautet die Relation
entsprechend
xv = xα1 v1 · · · xαl vl .
Wir werden sehen, dass der Idealtangentenkegel einer Ecke a von N immer spitz ist.
Weiters gilt: wenn a ∈ A keine Ecke von N ist, so ist die zugehörige a-Karte eine
offene Teilmenge der Karten der benachbarten Ecken.
Beispiele
e 3 → A3 die Explosion des A3 mit Zentrum I = (x, y, z). Dann
Beispiel 14. Sei π : A
gilt ai = ei . Das Newtonpolyeder N = N (I ) ist daher conv({a1 , a2 , a3 } + R3+ ).
Beachte: hier sind alle ai Ecken von P , zusätzlich sind die Strahlen ai + R+ ei die
e 3 → A3 in I liefert bekanntlich
drei unendlich fernen Ecken. Die Explosion π : A
drei Karten: in der x-Karte erhalten wir die Koordinatenalgebra K[x, y, z, xy , xz ] und
entsprechend ITa1 (I ) =N he1 , e2 − e1 , e3 − e1 i. ITa1 (I ) ist simplizial und unimodular. Die anderen beiden Karten sind symmetrisch bzgl. x ↔ y bzw. x ↔ z. Daher
ist die Explosion glatt. Wir bemerken, dass ITai (I ) mit Tai (N ) ∩ Z3 übereinstimmt
und genau 3 Erzeuger hat (zwei davon entsprechen den Strecken von ai zu aj , ak , mit
i 6= j 6= k. Der dritte, ei , entspricht einer unendlich fernen Nachbarecke). Außerdem
gilt det(ei , ej − ei , ek − ei ) = 1, d.h., die Erzeuger des Idealtangentenkegels bilden
sogar eine Z-Basis von ITai (I ). Alle Kegel ITai (I ) für i = 1, 2, 3 sind simplizial
und unimodular und somit ist die Explosion von A3 in I glatt.
e 2 → A2 die Explosion von A2 im dicken Nullpunkt I =
Beispiel 15. Sei jetzt π : A
2
2 2
(x, y) = (x , y , xy). Dann gilt a1 = (2, 0), a2 = (0, 2), a3 = (1, 1) und wir erhalten diesmal drei Karten. Im Newtonpolyeder sind die entsprechenden drei Idealtangentenkegel ITa1 (I ) = N he1 , e2 − e1 i, ITa2 (I ) = N he1 − e2 , e2 i bzw. ITa3 (I ) =
N he1 , e2 , e1 − e2 , e2 − e1 i. Dabei sind die ersten beiden Idealtangentenkegel simplizial und unimodular, während ITa3 (I ) nicht einmal spitz ist. Es gilt: ITa3 (I ) )
ITa1 (I ) und ITa3 (I ) ) ITa2 (I ). Die zugehörige Karte Spec(K[x, y, xy , xy ]) wird
vollständig von der x2 -Karte Spec(K[x, xy ]) bzw. der y 2 -Karte Spec(K[ xy , y]) überdeckt. Im Newtonpolyeder sieht man, dass der Punkt (1, 1) auf der Kante von (2, 0)
nach (0, 2) liegt.
Betrachtet man hingegen die Explosion im Ideal J = (x2 , y 2 ), so ist die Explosion
in beiden Karten singulär. Die Idealtangentenkegel ITa1 (J ) =N he1 , e2 , 2e1 − 2e2 i
bzw. ITa1 (J ) = N he1 , e2 , 2e2 − 2e1 i sind weder simplizial noch unimodular.
37
e 3 → A3 die Explosion von A3 in I = (x, y)(x, z) =
Beispiel 16. Sei diesmal π : A
(x2 , xy, xz, yz), wobei I das Achsenkreuz {z-Achse}∪{y-Achse} definiert. Wir erhalten zu den vier Erzeugern a1 = (2, 0, 0), a2 = (1, 1, 0), a3 = (1, 0, 1) bzw. a4 =
(0, 1, 1) die Koordinatenringe K[x, xy , xz ], K xy , y, xz ], K[ xz , xy , z] bzw. K[ xz , xy , y, z]. In
der yz-Karte ist dabei der Koordinatenring isomorph zu
K[x, y, z, w]/(xz − yw), via xz 7→ x, xy 7→ w, y 7→ y, z 7→ z. In der yz-Karte ist die
Explosion somit singulär im Nullpunkt des A4 . Die anderen drei Karten sind hingegen
glatt.
Im Newtonpolyeder sieht man wieder, dass die Idealtangentenkegel in den Ecken a1 ,
a2 , a3 simplizial und unimodular sind, während ITa4 (I ) von den 4 Vektoren e1 −
e3 , e1 − e2 , e2 , e3 erzeugt wird. Dies ist auch das minimale Erzeugendensystem, damit haben wir zum ersten Mal einen nichtsimplizialen Idealtangentenkegel erhalten!
In Beispiel 15 sieht man, dass die Idealtangentenkegel von a ∈ A, die keine Ecken
des Newtonpolyeders sind, vernachlässigbar sind. Auf der algebraischen Seite bedeutet das, dass die zu xa gehörige Karte schon von anderen Karten überdeckt wird. Allerdings dürfen wir das Monom xa bzw. den Vektor a selbst nicht einfach als Idealerzeuger bzw. als Erzeuger in den Idealtangentenkegeln weglassen. Denn sonst fehlen,
wie im zweiten Teil von Beispiel 15, in den Idealtangentenkegeln der Ecken Erzeuger.
Dann ist der Kegel nicht simplizial oder unimodular.
Nach diesen illustrativen Beispielen können wir mit Hilfe des Newtonpolyeders ein
Kriterium für die Glattheit der Explosion von An in I formulieren.
Kriterium der Glattheit
Satz 7. Sei I = (xa : a ∈ A) ein monomiales Ideal in K[x1 , . . . , xn ] und N =
e n → An mit
N (I ) das assoziierte Newtonpolyeder. Betrachte die Explosion π : A
Zentrum I . Dann gilt für a ∈ A:
(1) Falls a keine Ecke von N ist, wird die entsprechende a-Karte schon von den den
e n überdeckt.
banchbarten Ecken zugeordneten Karten von A
(2) Falls a eine Ecke von N ist, so ist die Explosion in dieser Karte genau dann glatt,
wenn der Idealtangentenkegel ITa (I ) simplizial und unimodular ist.
(3) Für eine Ecke a von N impliziert dies, dass alle Erzeuger von ITa (I ) primitiv
sind und dass daher der Idealtangentenkegel im Punkt a mit dem ganzzahligen Tangentenkegel Ta (N ) ∩ Zn übereinstimmen muss.
en →
Beweis. Zuerst widmen wir uns (2): Sei a eine Ecke von N . Die Explosion π : A
n
A ist in der a-Karte genau dann glatt, wenn der zugehörige Koordinatenring
0
K[x1 , . . . , xn , xa −a : a0 ∈ A\a] isomorph zu einem Polynomring K[y1 , . . . , yn ]
0
ist. Wir bezeichnen die l = n + |A| − 1 monomialen Erzeuger x1 , . . . , xn , xa −a
des Koordinatenrings der a-Karte mit z1 , . . . , zl . Dann gibt es unter diesen zi genau
n Stück, die schon den ganzen Ring erzeugen (da die a-Karte glatt ist). Wir wählen diese n Erzeuger aus und bezeichnen sie (wie bereits oben) mit y1 , . . . , yn . Sei
z ∈ {z1 , . . . , zl }\{y1 , . . . , yn }. Da die yi den Polynomring erzeugen, erfüllt z eine
monomiale Relation
z = y1α1 · · · ynαn
mit α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn . Geometrisch ist dies äquivalent zu: Sei ITa (I ) =
0
0
N hv1 , . . . , vn i. Dabei bezeichne vk ∈ {e1 , . . . , en , a −a : a ∈ A\a} den Exponenten
des Monoms yk bzgl. x1 , . . . , xn . Der Idealtangentenkegel wird schon erzeugt von den
zu den yj gehörenden Exponenten. Die restlichen Exponenten v ∈ {e1 , . . . , en , a0 −
38
a : a0 ∈ A\a}\{v1 , . . . , vn } erfüllen die zur monomialen Relation analoge lineare
Relation
v = α1 v1 + · · · + αn vn = V · α,
wobei V ∈ Zn×n die Matrix mit Spalten v1 , . . . , vn ist. Diese Gleichung liefert
v ∈ ITa (I ) für alle Exponentenvektoren v. Da alle n Standardbasisvektoren ej in
ITa (I ) enthalten sind, ist er n-dimensional und die Vektoren v1 , . . . , vn bilden außerdem eine Basis von Zn . Das ist äquivalent zu det(V ) = ±1. Der Idealtangentenkegel ist somit simplizial und unimodular.
Wir haben bis jetzt nur äquivalente Formulierungen für die Relationen zwischen dem
Idealtangentenkegel von a und der a-Karte der Explosion benutzt. Daher haben wir
auch schon die Rückrichtung bewiesen: wenn a eine Ecke von N ist und ITa (I ) simplizial und unimodular ist, so ist die zugehörige Karte der Explosion glatt. Damit ist
(2) bewiesen.
Aussage (3) folgt sofort: sei dazu wieder ITa (I ) = N hv1 , . . . , vn i simplizial und
unimodular. Angenommen ein vi , o.B.d.A. v1 , wäre nicht primitiv. Dann existiert eine
natürliche Zahl k ≥ 2, sodass k1 v1 ∈ Zn ist. Das Volumen der v1 , . . . , vn beträgt
1
k · | det( v1 , v2 , . . . , vn ) |,
k
{z
}
|
∈Z>0
ist also echt größer gleich k. Dies liefert aber einen Widerspruch zur Unimodularität
des Idealtangentenkegels.
Nun zeigen wir Aussage (1) des Lemmas: Wir betrachten zuerst ein a, das in einer
Seite von N liegt. Geometrisch bedeutet “in einer Seite liegen”, dass a in der konvexen
Hülle von m ≥ 2 Vektoren a0 6= a ∈ A enthalten ist. Wir bezeichnen diese Vektoren
mit a1 , . . . , am . Man kann a darstellen als
a=
m
X
λj aj , wobei λj ∈ Q>0 ,
m
X
λj = 1.
j=1
j=1
Wie vorher wird der Idealtangentenkegel ITa (I ) von den Vektoren e1 , . . . , en , a0 −a,
für alle a0 ∈ A\a erzeugt. Allerdings ist jetzt auch der Nullvektor eine nichttriviale QLinearkombination von Erzeugern a0 − a von ITa (I ), denn
m
X
j=1
λj (aj − a) =
m
X
λj (aj −
j=1
m
X
λk ak ) = a −
k=1
m
X
λj
j=1
m
X
λk ak = 0.
k=1
| {z }
=1
Durch Multiplikation mit einem geeignetem λ ∈ N kann erreichen, dass alle αi :=
λ · λP
i natürliche Zahlen sind. Man kann also 0 als nichttriviale N-Linearkombination
m
0 = j=1 αj (aj − a) der Erzeuger von ITa (I ) darstellen. Der Idealtangentenkegel
ITa (I ) ist somit nicht spitz. Dies impliziert aber, dass auch a − aj für alle j im
Idealtangentenkegel von N bei a enthalten ist. Denn:
a − aj =
m
X
αk (ak − a) + (αj − 1)(aj − a).
k=1
k6=j
39
Da αj größer gleich 1 ist, ist somit a − aj eine N-Linearkombination von Erzeugern
des Idealtangentenkegels.
Wir zeigen noch, dass für j = 1, . . . , m sogar ITaj (I ) ⊆ ITa (I ) ist: betrachte dazu
den Idealtangentenkegel ITaj (I ) = N he1 , . . . , en , a0 − aj : a0 ∈ A\aj i. Es gilt aber
für alle j
a0 − aj = (a0 − a) + (a − aj ) .
| {z } | {z }
∈ITa (I )
∈ITa (I )
Daher sind alle Erzeuger des Idealtangentenkegels von N bei aj in ITa (I ) enthalten,
also ist der ganze Kegel ⊆ ITa (I ). Algebraisch übersetzt bedeutet dies, dass für alle
0
0
j = 1, . . . , m gilt: Spec(k[x, xa −aj : a0 ∈ A\aj ]) ⊇ Spec(k[x, xa −a : a0 ∈ A\a]).
Das heißt, dass die a-Karte jeder aj -Karte enthalten ist.
Falls a im Inneren von N liegt, so ist der zu a gehörige Idealtangentenkegel gleich Zn .
Dann ist ebenso 0 in der konvexen Hülle der Erzeuger von ITa (I ) enthalten. In diesem Fall ist der Koordinatenring der a-Karte isomorph zu K[y1 , . . . , yn , y11 , . . . , y1n ].
Bekanntlich ist Spec(K[y1 , . . . , yn , y11 , . . . , y1n ]) = An \{0}.
Mit diesem Kriterium können wir mit Hilfe konvexer Geometrie bestimmen, wann
e n → An in einem beliebigen monomialen Ideal I glatt ist.
die Explosion π : A
Für die angestrebte äquivariante eingebettete Auflösung einer affinen torischen Hye n des affinen
perfläche X suchen wir ein monomiales Ideal, sodass die Explosion A
n-dimensionalen Raumes glatt ist, und sodass alle Symmetrien von X erhalten bleiben. Der erste Kandidat ist das Rosenbergideal R.
Dann betrachten wir allgemein Explosionen mit Zentren Monomideale und werden einige Sätze zu Produkten von Koordinatenidealen zeigen.
Schließlich kommen wir zu bauchigen Mengen. Wir werden bauchige Mengen nach
[DP] für Koordinatenideale definieren. Weiters werden wir mit unserem Kriterium zeigen, dass die Explosion von An in einem Produkt von Idealen, die eine bauchige Menge
bilden, glatt ist.
3.3
Explosion im Rosenbergideal
Rosenberg [Ro] betrachtet ein spezielles monomiales Ideal R in K[x1 , . . . , xn ], dessen Verschwindungsmenge Z eine Vereinigung von Koordinatenachsen im An ist. Das
Ideal R wird so konstruiert, dass die Explosion von An mit Zentrum R glatt ist und
dass R invariant unter jeder Permutation der Koordinaten auf An ist, die auch Z invariant lässt.
Rosenberg verallgemeinert dieses Ergebnis auf ein Z in An , das Verschwindungsmenge einer Vereinigung von Koordinatenunterräumen der Dimension 1 ≤ r < n ist.
Folgende Idee führt zur Konstruktion von R: Betrachte das reduzierte Ideal I von
Z. Dann ist die Explosion von An in I singulär. Im Newtonpolyeder N (I ) führen
also von bestimmten Ecken zu viele Kanten weg, sodass die zugehörigen Idealtangentenkegel nicht simplizial sind. Man versucht daher, I durch Multiplikation bzw.
Durchschnittsbildung mit einem anderen Ideal so zu transformieren, dass die Explosion glatt wird und dass das Radikal I unverändert bleibt. Wir werden nun sehen,
was diese Prozedur in N (I ) bewirkt. Für eine garbentheoretische Interpretation dieser Vorgangsweise und weitere Details siehe [Ro].
40
Sei 1 < s ≤ n und sei I das reduzierte Ideal der ersten s Koordinatenachsen. Dann
ist
s
\
I =
(x1 , . . . , x̂i , . . . , xn ).
i=1
Dieses Ideal wird erzeugt von den Monomen xi xj mit 1 ≤ i < j ≤ s und xi mit s < i.
Es bezeichne weiters Z = V (I ). Es sei m = (x1 , . . . , xn ) das reduzierte Ideal des
e n mit Zentrum I singulär
Nullpunkts des An . Man sieht sofort, dass die Explosion A
ist: In allen affinen Karten, die zu den Erzeugern xi mit s < i gehören, erfüllen die
x x
minimalen Erzeuger jxi k , xi , xj , xk mit j < k ≤ s, Relationen der Form
xj xk
· xi − xj · xk .
xi
Daher sind die zugehörigen Koordinatenringe nicht isomorph zu einem Polynomring
in n Variablen. Die zugehörigen Kartenausdrücke sind gegeben als
xj xk xl
xj xk
Spec K x1 , . . . , xn ,
,
:l>s /
xi − xj xk : j < k ≤ s
.
xi xi
xi
Diese Varietäten sind singulär. Betrachte nun das Newtonpolyeder N (I ). Dann ist der
Idealtangentenkegel zu einer Ecke ei mit s < i nicht simplizial, denn: Die minimalen
Erzeuger des Idealtangentenkegels von N (I ) in einer Ecke ei sind die Vektoren ej
mit j ≤ s und ei , ej − ei für j 6= i > s und zusätzlich ej + ek − ei für j < k ≤ s. Der
Kegel ist spitz, daher ist ei eine Ecke von N (I ). Die Anzahl der minimalen Erzeuger
beträgt aber n + 2s , daher ist ITei (I ) nicht simplizial. Für s > 2 sind auch alle
Idealtangentenkegel zu ei + ej mit i < j ≤ s nicht simplizial, da sie die minimalen Erzeuger ek −ei −ej mit k > s, ei , ej und ek −ei und ek −ej für k ∈ {1, . . . , s}\{i, j}
besitzen (dies sind n + s − 2 Vektoren!).
Man versucht nun, eine Ecke v von N (I ), von der mehr als n Kanten ausgehen, in
mehrere neue Ecken “auseinanderzuziehen”. Jede neue Ecke soll einige Kanten von
v erben, allerdings soll der jeweilige Idealtangentenkegel genau n minimale Erzeuger
besitzen. Rosenberg schlägt zwei Möglichkeiten vor, die nichtsimplizialen Idealtangentenkegel zu glätten. Zum Einen kann man die störende Ecke einfach von N (I )
abschneiden (vgl. Abb. 5).
−→
Abb. 5: Das Abschneiden einer Ecke mit zu vielen Kanten.
Dies entspricht auf Idealebene dem Schnitt von I mit einem anderen Ideal. Alternativ
dazu kann man die betreffende Ecke strecken, d.h., man ersetzt das Polyeder N (I )
durch die Minkowski Summe von N (I ) und einem anderen geeigneten Newtonpolyeder. Dies entspricht der Multiplikation von I mit einem anderen Ideal (vgl. Abb.
6).
41
−→
Abb. 6: Die Summe zweier Newtonpolyeder.
Durch diese Modifikationen sollte natürlich das Radikal von I unverändert bleiben
und damit die Verschwindungsmenge Z. Wir verwenden zum Glätten des Newtonpolyeders eine Potenz des maximalen Ideals m. Die Wahl des “Glättungsideals” ist
allerdings keineswegs eindeutig! Wir könnten jedes Ideal J wählen,psodass die Explosion von An mit Zentrum I ∩ J bzw. I · J glatt ist und sodass I ∩ J bzw.
p
I · J gleich I ist.
Wegen I ∩ m = I betrachten wir das Ideal I ∩ m2 . Das zugehörige Newtonpolyeder
besitzt immer noch viele Ecken mit nichtsimplizialen Idealtangentenkegeln (in Abb. 7
links ist das Newtonpolyeder von I ∩m2 für n = 3, s = 2 zu sehen). Wir können diese
Ecken jedoch durch einen Schnitt mit m3 oder durch Multiplikation mit m glätten. Da
I ∩ m2 von Monomen mit Grad 2 erzeugt wird, erhalten wir durch jede dieser beiden
Operationen dasselbe Ideal.
Abb. 7: Die Newtonpolyeder von I ∩ m2 (links) und R (rechts).
Definiere schließlich R := I ∩ m3 . Es gilt:
√
√
R = I ∩ m3 = I ∩ m = I .
Das Radikal von R ist wie verlangt das ursprüngliche I und daher ist V (R) = V (I ).
Das Ideal R ist invariant unter jedem Automorphismus des An , der I unverändert
lässt. Außerdem ist R ganz abgeschlossen.
Satz 8. Sei I das reduzierte Ideal der ersten s Koordinatenachen des An wie oben.
Dann ist die Explosion von An in R = I ∩ m3 glatt.
e n mit unserem Newtonpolyederkriterium. Das
Beweis. Wir zeigen die Glattheit von A
Newtonpolyeder N (R) besitzt die Eckenmenge
{2ei + ej : 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ n, i 6= j} ∪ {3ei : s < i ≤ n}.
42
Die restlichen Erzeuger von R entsprechen inneren Punkten von N (R) oder liegen
auf Seiten des Newtonpolyeders, wie man leicht nachrechnen kann. Zum Beispiel sind
alle 2ej + ei mit s < j ≤ n und 1 ≤ i ≤ s konvexe Linearkombinationen der Ecken:
2ej + ei = 1/2(2ei + ej ) + 1/2(3ei ).
Betrachte nun den Idealtangentenkegel IT2ei +ej (R) zu einer Ecke. Die zugehörigen
Kantenvektoren sind ei für die unendlich fernen Ecken, ej − ei und ek − ei mit
k 6∈ {i, j} für die benachbarten Ecken (Beachte: Da R ganz abgeschlossen ist, sind
alle Gitterpunkte aus N (R) ∩ Zn im Idealtangentenkegel zu jeder Ecke enthalten. Daher sind diese Erzeuger die primitiven Kantenvektoren!). Dies sind genau n Erzeuger.
Sei A die Matrix, deren Spalten diese n minimalen Erzeuger des Idealtangentenkegels
bilden. In jeder Spalte A−j sind die Einträge Elemente der Menge {±1, 0}, wobei jeweils eine 1 und höchstens eine −1 (von ej − ei , ek − ei bzw. ei ) auftauchen. Anders
ausgedrückt: die Matrix A ist total unimodular, d.h., det(A) = ±1 oder 0. (Siehe dazu
Abschnitt über Koordinatenideale oder [Sc, ch. 19]). Da die n Vektoren linear unabhängig sind, ist somit det(A) = ±1.
Für eine Ecke 3ei wird der Idealtangentenkegel erzeugt von ei (unendlich ferne Ecke)
und den Vektoren ei − ek für k 6= i (benachbarte Ecken). Wie oben sieht man, dass
die zugehörige n × n Matrix total unimodular ist und Determinante ±1 besitzt. Damit
haben wir die Simpliziatität und Unimodularität der Idealtangentenkegel aller Ecken
gezeigt. Die Explosion von An mit Zentrum R ist also glatt.
Somit haben wir ein nichtreduziertes Zentrum der Explosion des An gefunden, das alle gewünschten Symmetrien erhält. Wenn wir aber die strikt Transformierte X 0 einer
+
−
singulären affinen torischen Hyperfläche X = V (xb − xb ) betrachten, wird, wie
schon vorher erwähnt, unsere Invariante I in einigen Fällen echt lexikographisch größer: Man sieht dies am Beispiel der Fläche X = V (xa − y b z b ) in A3 , wobei a ≤ b. In
diesem Fall ist X bzgl. der Permutation von y und z invariant. Wir erhalten also
R = (x, yz) ∩ (x, y, z)3 = (x3 , x2 y, x2 z, xy 2 , xz 2 , y 2 z, yz 2 ).
Die Invariante von X ist I = (a, b, 1, 2). In der y 2 z-Karte ist die strikt Transformierte X 0 durch die Gleichung xa = y 2b−a z b−a gegeben, die Invariante lautet Iy0 2 z =
(a, 2b − a, 1, 1). Für b > a ist somit Iy0 2 z >lex I. Wir können für b > 2a überhaupt
keine Verbesserung messen: Die Ordnung von f 0 bleibt konstant gleich a, während der
Grad von f 0 für b > 2a sogar steigt.
3.4
Explosionen in Produkten von Idealen
Wir betrachten nun einige Anwendungen des Glattheitskriteriums auf Explosionen
von An mit Zentren Produkte von monomialen Idealen. Man kann für ein beliebig
vorgegebenes monomiales Ideal I = (xa : a ∈ A) berechnen, ob die Explosion
von An mit Zentrum I glatt ist. Dazu teste jedes a ∈ A den Idealtangentenkegel
ITa (I ) in N (I ) auf Simplizialität und Unimodularität (z.B. mit MAPLE). Es ist
jedoch schwierig, allgemeine Aussagen zu treffen. Daher betrachten wir im Folgenden speziell Produkte von monomialen Idealen. Auf Polyederebene bedeutet dies, die
Minkowski-Summen ihrer Newtonpolyeder zu betrachten.
43
Wir nennen ein monomiales Ideal I = (xa : a ∈ A) in K[x1 , . . . , xn ] zahm, wenn
e n von An mit Zentrum I glatt ist. Entsprechend ist das zugehörige
die Explosion A
Newtonpolyeder N (I ) genau dann zahm, wenn I zahm ist. Somit werden wir das
Kriterium für die Glattheit der Explosion des An (Satz 7) auch Zahmheitskriterium
nennen. Wir nehmen im Folgenden immer an, dass die Menge A minimal ist, d.h., A
enthält keine inneren Punkte von N (I ). Dann nennen wir A die (eindeutig bestimmte)
Wolke von I .
Wir zeigen zuerst, dass die Explosion des An in einem Produkt von zahmen Idealen
glatt ist, wenn ihre Wolken disjunkt sind. Dann spezialisieren wir uns auf Produkte
von Koordinatenidealen und zeigen die Zahmheit für einige Spezialfälle. Schließlich
kommen wir zu bauchigen Mengen von Koordinatenidealen.
Satz 9. Seien Ji für i = 1, . . . , k monomiale Ideale in K[x1 , . . . , xn ] mit paarweise
Qk
disjunkten Wolken. Sei J := i=1 Ji . Ist jedes Ji zahm, dann ist auch J zahm.
Zum Beweis dieses Satzes benötigen wir einige Aussagen über Newtonpolyeder. Zuerst
brauchen wir noch ein kleines Lemmalein.
Lemma 2. Sei I = (xa : a ∈ A) ⊆ K[x1 , . . . , xn ] ein monomiales Ideal mit A
⊆ Ns × 0n−s und s ≤ n. Dann gilt: I in K[x1 , . . . , xn ] ist genau dann zahm, wenn
If:= I ∩ K[x1 , . . . , xs ] zahm ist.
Beweis. Es sei I˜ ⊆ K[x1 , . . . , xs ] zahm. Wir betrachten die beiden Newtonpolyeder
P = N (I ) ⊆ Rn bzw. P̃ = N (I˜) ⊆ Rs . P ist die direkte Summe von P̃ und
Rn−s , d.h., wir können P darstellen als kartesisches Produkt P = P̃ × Rn−s ⊆ Rn .
Bezeichne a eine Ecke von P̃ . Dann ist der Punkt
(a, 0, . . . , 0)
| {z }
n−s
eine Ecke von P ⊆ Rn . Der Idealtangentenkegel von P̃ in a ist N he1 , . . . , es , a0 −
a : a0 ∈ A\ai und dieser ist nach Voraussetzung simplizial und unimodular. Daher
existieren s linear unabhängige minimale Erzeuger v1 , . . . , vs in Zs von ITa (I˜) mit
det(v1 , . . . , vs ) = ±1. Der entsprechende Idealtangentenkegel IT(a,0,...,0) (I ) von
P besitzt die n minimalen Erzeuger (v1 , 0, . . . , 0), . . . , (vs , 0, . . . , 0), es+1 , . . . , en .
Durch Anwendung des Laplace’schen Entwicklungssatz auf die Matrix, deren Spalten
diese minimalen Erzeuger bilden, folgt die Unimodularität von ITa (I ). Der Beweis
der Rückrichtung ist klar.
Lemma 3. Seien P ⊆ Rs und Q ⊆ Rt Polyeder. Sei e eine Ecke von P und f eine
Ecke von Q. Dann ist (e, f ) eine Ecke von P × Q ⊆ Rs+t .
Beweis. Da e eine Ecke von P ist, gibt es einen Vektor a ∈ Rs und eine reelle Zahl
α mit a · e = α und a · p < α für alle p ∈ P \e. Dabei bezeichne · das euklidische
Skalarprodukt. Ebenso existieren ein b ∈ Rt und ein β ∈ R, sodass b · f = β und
b·q < β für alle q ∈ Q\f gilt. Wir zeigen nun: (e, f ) ∈ Rs+t ist eine Ecke von P ×Q.
Definiere dazu c := (a, b) ∈ Rs+t . Dann gilt
(e, f ) · c = a · e + b · f = α + β,
und weiters für alle (p, q) ∈ P × Q\{c}
(p, q) · c = a · p + b · q < α + β.
Somit haben wir die Behauptung gezeigt.
44
Lemma 4. Seien I1 = (xa : a ∈ A), I2 = (xb : b ∈ B) zwei Ideale in
K[x1 , . . . , xn ] mit endlichen Wolken A, B ⊆ Nn und assoziierten Newtonpolyedern
P bzw. Q. Dann gilt:
(1) N (I1 · I2 ) = P + Q.
(2) Wenn A ∩ B = ∅ und I1 und I2 zahm sind, so ist auch I1 · I2 zahm.
(3) Seien A ⊆ Ns × 0n−s , B ⊆ 0s × Nn−s und P̃ = P ∩ Rs , Q̃ = Q ∩ Rn−s . Dann
ist N (I1 · I2 ) = P̃ × Q̃.
Beweis. Wir zeigen zuerst Aussage (1). Nach Definition der Newtonpolyeder P und Q
gilt
P + Q = conv(A + Rn+ ) + conv(B + Rn+ ) = conv(A + B + Rn+ ).
Wegen I1 · I2 = (xa+b : a ∈ A, b ∈ B) ist N (I1 · I2 ) = conv(A + B + Rn+ ).
Daraus folgt (1).
Für Aussage (3) können wir nach Lemma 2 annehmen, dass A ∪ B = {1, . . . , n} gilt.
Dann gilt
P + Q = P̃ ⊕ Q̃ = P̃ × Q̃.
Zusammen mit (1) liefert dies die Aussage N (I1 · I2 ) = P̃ × Q̃.
Schließlich zeigen wir (2): Seien dazu o.B.d.A. A ⊆ Ns × 0n−s , B ⊆ 0s × Nn−s
und P̃ , Q̃ wie oben definiert. Wenn ã eine Ecke von P̃ bzw. b̃ eine Ecke von Q̃
ist, folgt aus Lemma 3, dass a + b eine Ecke von N (I1 · I2 ) ist. Umgekehrt ist
jede Ecke von N (I1 · I2 ) eine Summe von zwei Ecken a = (ã, 0, . . . , 0) ∈ P
und b = (0, . . . , 0, b̃) ∈ Q. Die Eckenmenge von N (I1 · I2 ) ist somit {a + b: a
Ecke von P , b Ecke von Q}. Nun müssen wir noch zeigen, dass der zu jeder Ecke
a + b assoziierte Idealtangentenkegel von N (I1 · I2 ) simplizial und unimodular
ist. Es gilt: ITa+b (I1 · I2 ) wird erzeugt von e1 , . . . , en , der Menge der Vektoren
{a0 + b0 − (a + b)}, bzw. {a0 − a} und {b0 − b} für alle a0 ∈ A\a bzw. b0 ∈ B\b.
Wir können sofort einige Erzeuger eliminieren: Alle Elemente der ersten Menge sind
N-Linearkombinationen von Vektoren der Gestalt a0 − a bzw. b0 − b. Daher bleiben
uns nur mehr die Elemente der letzten zwei Mengen und die Standardbasisvektoren
als Kandidaten für minimale Erzeuger übrig. Dies sind aber dieselben Vektoren, die
auch ITa (I1 ) bzw. ITb (I2 ) erzeugen! Nach Voraussetzung und Lemma 2 wird der
Idealtangentenkegel der Ecke a von P erzeugt von s linear unabhängigen Vektoren
v1 , . . . , vs und es+1 , . . . , en . Der Idealtangentenkegel ITb (I2 ) besitzt das minimale
Erzeugendensystem e1 , . . . , es , ws+1 , . . . , wn , mit wj linear unabhängig über R. Es
bezeichne ṽi := (v1i , . . . , vsi ) bzw. w̃j := (ws+1,j , . . . , wn,j ). Die minimalen Erzeuger sind von der Form vi = (ṽi , 0, . . . , 0) bzw. wj = (0, . . . , 0, w̃j ). Wir erhalten für
den Idealtangentenkegel:
ITa+b (I1 · I2 ) = N hv1 , . . . , vs , ws+1 , . . . , wn i.
Da die Vektoren vi und wj linear unabhängig über R sind (disjunkte Wolken!), ist
hiermit die Simplizialität des Idealtangentenkegels gezeigt. Die beiden Matrizen V :=
(ṽ1 , . . . , ṽs ) ∈ Zs×s , bzw. W := (w̃s+1 , . . . , w̃n ) ∈ Zn−s×n−s sind unimodular. Wir
betrachten nun die Matrix A der minimalen Erzeuger von ITa+b (I1 · I2 ). Nach den
obigen Ausführungen ist sie von der Gestalt
V 0
A=
,
0 W
also gilt det(A) = det(V ) det(W ) = ±1. Damit ist bewiesen, dass der Idealtangentenkegel jeder Ecke des Newtonpolyeders von I1 · I2 unimodular ist. Daher ist dieses
Ideal zahm.
45
Bemerkung. Das Bilden der Summe der beiden Newtonpolyeder P = N (I1 ) und
Q = N (I2 ) kann man folgendermaßen visualisieren: Wir lassen P fest, wählen einen
Punkt p ∈ Q und bewegen Q durch Translationen so, dass p alle Punkte von P erreicht.
Dann wirdSP + Q von Mengen der Form {q + Q : q ∈ P } überdeckt. Es gilt also
P + Q = q∈P {q + Q}. Man kann außerdem zeigen, dass sogar
[
P +Q=P ∪
{q + Q}
q∈∂P
gilt.
Wir können nun endlich zum Beweis von Satz 9 übergehen.
Qk
Beweis (von Satz 9). Sei also J := i=1 Ji , wobei Ji = (xa : a ∈ Ai ) Ideale in
K[x1 , . . . , xn ] sind. Wir wenden Induktion über k an: Für k = 1 ist die Aussage trivial.
Für den Induktionsschritt von k auf k + 1 seien nun o.B.d.A. die ersten k Wolken in
Ns für ein s ≤ n enthalten. Dann ist Ak+1 ⊆ 0s × Nn−s . Die Wolke von J ist
A=(
k
[
Ai ) ∪ Ak+1 .
i=1
Qk
Nach Induktionsvoraussetzung ist das Produktideal i=1 Ji zahm und Jk+1 ist nach
Sk
Voraussetzung des Satzes zahm. Wegen ( i=1 Ai )∩Ak+1 = ∅ können wir nun Lemma
Qk
4 auf die beiden Ideale I1 = i=1 Ji bzw. I2 = Jk+1 anwenden. Dies liefert die
Qk+1
Zahmheit von N (I1 · I2 ) = N ( i=1 Ji ). Damit haben wir den Induktionsschritt
gezeigt.
Beispiel 17. Seien I1 = (x, y) und I2 = (z 2 , zw, w3 ) Ideale in K[x, y, z, w]. I1
ist das reduzierte Ideal der zw-Ebene im A4 und das nichtreduzierte Ideal I2 definiert die xy-Ebene im A4 . Man rechnet leicht nach, dass beide Ideale zahm sind. Die
zugehörigen Newtonpolyeder sind N (I1 ) = conv({e1 , e2 } + R4+ ) bzw. N (I2 ) =
conv({2e3 , e3 + e4 , 3e4 } + R4+ ). Nach Satz 9 ist auch die Explosion von A4 mit Zentrum
I1 · I2 = (xz 2 , yz 2 , xzw, yzw, xw3 , yw3 )
glatt. I1 · I2 ist eine nichtreduzierte Struktur auf der Vereinigung der xy-Ebene mit
der zw-Ebene.
Beispiel 18. Für nicht disjunkte Wolken stimmt der obige Satz nicht. Seien I1 = (x, y)
und I2 = (x, z) die reduzierten Ideale der z- und der y-Achse im affinen dreidie 3 im Produkt
mensionalen Raum. Beide Ideale sind zahm, jedoch ist die Explosion A
2
I1 · I2 = (x , xy, xz, yz), dem Achsenkreuz, nicht mehr glatt. Betrachte dazu die
yz-Karte: Der Idealtangentenkegel ITe2 +e3 (I1 · I2 ) zur zugehörigen Ecke im Newtonpolyeder N (I1 · I2 ) besitzt das minimale Erzeugendensystem e1 − e2 , e1 − e3 ,
e 3 isomorph
e2 , e3 . Somit ist ITe2 +e3 (I1 · I2 ) nicht simplizial. In der yz-Karte ist A
zu Spec(K[x, y, z, w]/(xz − yw)).
46
Mehr von Koordinatenidealen
Sei I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] ein Koordinatenideal I = (xi : i ∈ I) mit I ⊆ {1, . . . , n}.
Wie wir schon in Kapitel 2 gesehen haben, ist I zahm.
Dies sieht man auch am Newtonpolyeder: In N (I ) = conv({ei : i ∈ I}+Rn+ ) gilt für
die Idealtangentenkegel der Ecken ITei (I ) = N he1 , . . . en , ej − ei : j ∈ I\ii. Es existieren also n minimale Erzeuger des Idealtangentenkegels von N (I ) in ei , nämlich
ej , falls j 6∈ I\i, bzw. ej − ei , falls j ∈ I\i. Daraus folgt, dass ITei (I ) simplizial ist.
Für die Unimodularität betrachten wir die n × n Matrix A, deren Spalten die n obigen
Erzeuger von ITei (I ) bilden.
Es ist det(A) = det(e1 , . . . , en ) = 1. Somit ist auch die zweite Bedingung des Zahmheitskriteriums erfüllt und die Explosion ist in jeder Karte glatt.
Wir wollen nun Produkte von Koordinatenidealen studieren. Wir betrachten die zugehörigen Newtonpolyeder, speziell die Idealtangentenkegel in den Ecken. Diese Idealtangentenkegel sind von spezieller Bauart: Alle Erzeuger sind entweder Standardbasisvektoren (Verbindung zu den unendlich fernen Ecken) oder von der Form ei − ek
(Verbindung einer Ecke ek zu einer endlichen
Qs Ecke ei ). Weiters liegen alle Ecken auf
einer affinen Hyperebene. Denn: Sei I = i=1 Ii ein Produkt von Koordinatenidealen Ii = (xj : j ∈ Ii ) mit Ii ⊆ {1, . . . , n}. Dann ist jedes Monom von I ein Produkt
von s Monomen xj . Alle Erzeuger von I sind von der Form
xj1 · · · xjs , wobei ji ∈ Ii .
Daher ist jede Ecke des Newtonpolyeders eine
PsSumme von
Ps Standardbasisvektoren.
P
Wir können jede Ecke v schreiben als v = i=1 eji = k αk ek mit k αk = s.
Dabei ist αk ∈ N und αk > 0, falls mindestens ein ji = k ist. Das wiederum impliziert, dass alle Ecken auf der affinen Hyperfläche Hs := {v ∈ Rn , v · 1 = s} liegen.
(1 bezeichnet den Vektor (1, . . . , 1).)
Weiters gilt für die Idealtangentenkegel zu den Ecken von N (I ): Diese Kegel mögen zwar nicht notwendig simplizial sein, jedoch brauchen wir uns nie Sorgen bzgl.
Unimodularität machen. Es gilt nämlich folgendes
Lemma 5. Sei I = (xa : a ∈ A) ein ganz abgeschlossenes monomiales Ideal, und
N = N (I ). Wenn der Idealtangentenkegel in einer Ecke von N simplizial ist, so ist
er automatisch unimodular.
Beweis. Nach Definition des Idealtangentenkegels sind alle Standardbasisvektoren im
Kegel enthalten. Wenn wir also n linear unabhängige Erzeuger von ITa (I ) finden
können, so muss jeder Standardbasisvektor eine positive ganzzahlige Linearkombination dieser n Erzeuger sein. Das wiederum impliziert zusammen mit der GanzAbgeschlossenheit von I , dass die n Erzeuger eine Z-Basis von Rn bilden. Dies ist
die gewünschte Unimodularitätsbedingung.
Lemma 6. Seien I1 = (xa : a ∈ A) und I2 = (xb : b ∈ B) zwei monomiale Ideale
in K[x1 , . . . , xn ] mit Newtonpolyedern P = N (I1 ) und Q = N (I2 ). Dann werden
die Idealtangentenkegel der Punkte a + b in P + Q erzeugt von den Erzeugern von
ITa (I1 ) und ITb (I2 ).
Beweis. Nach Definition sind
ITa (I1 ) = N he1 , . . . , en , a0 − a, für a0 ∈ A\ai
ITb (I2 ) = N he1 , . . . , en , b0 − b, für b0 ∈ B\bi
47
die Idealtangentenkegel von a bzw. b im jeweiligen Newtonpolyeder. In P + Q gilt
also
ITa+b (I ) = N he1 , . . . , en , a0 + b − (a + b), a + b0 − (a + b), a0 + b0 − (a + b)i
= N he1 , . . . , en , a0 − a, b0 − b, für a0 ∈ A\a, b0 ∈ B\bi
wobei a0 ∈ A\a und b0 ∈ B\b. Daraus folgt die Behauptung.
Bemerkung. Wie schon früher bemerkt, müssen nicht alle a + b wirklich Ecken im
Summenpolyeder sein. Außerdem sind i.A. nicht alle a0 + b0 benachbart zu einer Ecke
a+b. Daher sind auch nicht alle Erzeuger des Idealtangentenkegelsvon a+b in P +Q
notwendig. Obige Vektoren bilden daher i.A. kein minimales Erzeugendensystem des
Idealtangentenkegels.
Wir gehen nun der Frage nach, wann ein Produkt von Koordinatenidealen zahm ist.
Wir betrachten zuerst den Fall von disjunkten Wolken, wie in Satz 9:
S
Sei ˙ Ni eine Partition von {1, . . . , n}.QBezeichne Ji := (xj : j ∈ Ni ) ein Koordinatenideal in K[x1 , . . . , xn ]. Sei J := i Ji . Dann ist J nach Satz 9 zahm.
Im nächsten Lemma zeigen wir, dass die Idealtangentenkegel im Newtonpolyeder eines Produktes von Koordinatenidealen spezielle Erzeuger besitzen. Betrachte dazu die
Matrix, deren Spalten die minimalen Erzeuger bilden. Wir führen folgenden Begriff
ein:
Eine Matrix A ∈ K m×n ist total unimodular, wenn jede Unterdeterminante von A den
Wert 0, 1 oder −1 hat. Insbesondere ist jeder Eintrag einer total unimodularen Matrix
A entweder 0, 1 oder −1.
Bemerkung. Total unimodulare Matrizen treten meist in Zusammenhang mit ganzzahliger Optimierung auf. Näheres zu diesem Thema und weitere Charakterisierungen von
total unimodularen Matrizen finden sich in [Sc].
Lemma 7. Sei I ein Produkt von s Koordinatenidealen Ii = (xj : j ∈ Ii ) in
K[x1 , . . . , xn ]. Alle Erzeuger
des Idealtangentenkegels
des Newtonpolyeders N (I )
P
P
in einem Punkt a =
k αk ek , mit
k αk = s und a aus der Wolke von I , sind
von der Form eβ bzw. eβ − ek für ein k mit αk 6= 0 und β ∈ {1, . . . , n}. Wenn
ITa (I ) simplizial ist, so ist er automatisch unimodular. Insbesondere ist mindestens
ein Standardbasisvektor ej ein minimaler Erzeuger von ITa (I ).
Beweis. Die Form der minimalen Erzeuger folgt aus Lemma 6. Sei nun der Idealtangentenkegel ITa (I ) einer Ecke a von N (I ) simplizial. Sei A die Matrix, deren
Spalten die n eindeutigen minimalen Erzeuger von ITa (I ) sind. Jede Spalte von A
enthält entweder eine 1 und n − 1 Nullen (ein Erzeuger ei ) oder genau eine 1, genau
eine −1 und n − 2 Nullen (ein Erzeuger ej − ek ). Nach [Sc, ch.19, p.274] ist A somit
total unimodular. Da die n Erzeuger linear unabhängig sind, ist det(A) ∈ {±1}.
Falls kein ej ein minimaler Erzeuger von ITa (I ) wäre, so hätte jede Spalte von A die
Form ei − ej für einige i 6= j. Wieder nach [Sc, ch.19, p.274] wäre dann det(A) = 0.
Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Spalten von A!.
Wir werden zunächst an einem Beispiel einen weiteren Spezialfall von Explosionen in
Produktidealen kennenlernen: Wir betrachten die Explosion von An in einem Produkt
von ineinanderenthaltenen Monomidealen.
48
Beispiel 19. Wir betrachten die Explosion von K[x, y, z] im Ideal I1 · I2 = (x, y)
(x, y, z) = (x2 , xy, y 2 , xz, yz). Es ist I1 ⊆ I2 . Nach Lemma 4 entsteht das Newtonpolyeder P = N (I1 ·I2 ) als Minkowski-Summe von P1 = N (I1 ) und P2 = N (I2 ).
In unserem Fall bilden die Ecken von P2 das Standardsimplex, während die zwei Ecken
von P1 die Verbindungsstrecke von (1, 0, 0) und (0, 1, 0) begrenzen. Durch Verschieben des Standardsimpex entlang dieser Strecke erhalten wir das neue Newtonpolyeder
P.
Rechnerisch: Betrachte die Punkte ei + ej mit i ∈ {1, 2} und j ∈ {1, 2, 3}. Da die
Wolken nicht disjunkt sind, sind nicht alle ei + ej notwendig Ecken. In unserem Beispiel ist e1 + e2 = 21 (2e1 ) + 12 (2e2 ). Dieser Punkt liegt also auf der Kante zwischen
2e1 und 2e2 . (Wir können hier nicht Lemma 3 anwenden, da die Summe von P1 und
P2 nicht direkt ist!).
Durch Berechnen der Idealtangentenkegel in den 4 Ecken von P sehen wir, dass diese
simplizial und unimodular sind. Daher ist das Produktideal I1 · I2 zahm.
Lemma 8. Wir betrachten zwei Koordinatenideale I := (xi : i ∈ I) und J := (xj :
j ∈ J) in K[x1 , . . . , xn ] mit I ⊆ J. Dann ist I · J zahm.
Beweis. Wir zeigen die Glattheit der Explosion wieder mit unserem Zahmheitskriterium: Die beiden Newtonpolyeder P = N (I ) und Q = N (J ) sind jeweils zahm. Da
die Wolke I von I in der Wolke J von J enthalten ist, können wir hier nicht Satz 9
anwenden.
Wir werden die Simplizialität und die Unimodularität der Idealtangentenkegel in den
Ecken von R = P +Q durch direktes Berechnen der minimalen Erzeuger zeigen. Seien
o.B.d.A. J = {1, . . . , n} und I = {1, . . . , k} mit 1 ≤ k ≤ n. (Falls speziell k = 1 gilt,
wird I nur von x1 erzeugt. Dann ist aber N ((x1 ) · J ) das Newtonpolyeder Q verschoben um den Vektor e1 . Durch diese Translation haben sich die Idealtangentenkegel
in den Ecken von Q nicht verändert. Sie besitzen insbesondere dieselben Erzeuger.)
Nach Lemma 4 sind alle Ecken von R von der Form ei + ej , wobei i ∈ I und j ∈ J.
Wir betrachten zuerst die Vektoren ei +ej mit i, j ∈ I ∩J = I. Hier erhalten wir Ecken
der Gestalt 2ei für alle i ∈ I. Die Punkte ei + ej für i 6= j ∈ I sind keine Ecken von
R, da sie in der konvexen Hülle der 2ei enthalten sind. Nach dem Zahmheitskriterium
reicht es also aus, die Idealtangentenkegel der 2ei zu betrachten. Weiters erhalten wir
Ecken der Form ei + ej mit i ∈ I und j ∈ J\I.
Der Idealtangentenkegel von R in einer Ecke 2ei , wobei i ∈ I, wird nach Lemma 6
von den n Standardbasisvektoren ek , den Vektoren ek − ei , für alle k ∈ I\i und allen
ej − ei für j ∈ {1, . . . , n}\i erzeugt. Folglich ist ein minimales Erzeugendensystem
des Idealtangentenkegels in 2ei gegeben durch
IT2ei (I · J ) = N hei , ej − ei : j ∈ {1, . . . , n}\ii.
Der Idealtangentenkegel ist somit simplizial. Die Unimodularität folgt aus Lemma 7.
Für Ecken der Gestalt ei + ej , wobei i ∈ I, j ∈ {1, . . . , n}\I, folgt aus Lemma 6
ITei +ej (I · J ) = N hek − ei : k ∈ I\i, ei − ej , ek − ej : k ∈ J\(j ∪ I), ej i.
Dabei sind dies wie gewünscht genau (|I| − 1) + 1 + (|J| − |I| − 1) + 1 = |J| = n
Erzeuger. Der Kegel ist wieder simplizial und unimodular, damit ist alles gezeigt.
Bemerkung. Im Beweis sieht man, wie sich die Ecken von P und Q durch die Summenbildung verändern: Jeder Exponentenvektore a eines Monoms xa wird in einer
Koordinatenrichung um eine Einheit verschoben. Er befindet sich nun auf der affinen
49
Pn
Hyperebene i=1 ai = 2. Dabei entsprechen die Ecken 2ei im neuen Newtonpolyeder
R mit ihren Idealtangentenkegeln genau den Ecken ei in P bzw. Q. Die Idealtangentenkegel von Ecken 2ei , mit i ∈ I, haben sich nicht verändert. Ecken ej , die nur in
Q vorkommen, werden durch die Summenbildung zu ej + ei . In diesen neuen Ecken
bleiben die Erzeuger der zugehörigen Idealtangentenkegel für die ek mit k ∈ J\I dieselben wie in Q. Die Erzeuger ek mit k ∈ I\i werden ersetzt durch ek − ei . Für den
Erzeuger ei ergibt sich auch der entsprechende Q Vektor ei − ej . (Das größere Ideal
dominiert also!) Wir erhalten insgesamt |I| + (|J| − |I|) · |I| Ecken in R.
Korollar. Sei I = (xa : a ∈ A) ein monomiales Ideal in K[x1 , . . . , xn ]. Sei I zahm.
Dann ist auch I 2 := I · I zahm. Im Newtonpolyeder bleiben alle Idealtangentenkegel gleich.
Beweis. Das Korollar folgt für ein homogenes Ideal I auch aus der Isomorphie der
Rees-Algebren von I und I 2 (vgl. [Hs, Ex. 5.10. (b), II] bzw. [EH, Ex. III-15]).
Wir erhalten aus dem obigen Satz weiter: Für I = (xi : i ∈ I) sind die Ecken von
P = N (I 2 ) gegeben durch 2ei , wobei i ∈ I. Dies impliziert: Falls in einem Produkt
von Koordinatenidealen ein Faktor mit einer Potenz größer gleich 2 vorkommt, verändern sich die Idealtangentenkegel der Ecken nicht. Genauer: Sei J := I1α1 · · · Ikαk
mit αi ≥ 1 für alle i. Sei Jred := I1 · ·P
· Ik das zugehörige reduzierte Ideal. Dann
sind die Ecken von N (J ) von der Form αi eji , mit ji ∈ Ii und die Idealtangentenkegel ITP αi eji (J ) sind identisch mit ITP eji (Jred ).
Wir betrachten nun einen allgemeineren Fall von ineinander enthaltenen Idealen:
Qs
Satz 10. Sei I = i=1 Ii ein Produkt von Koordinatenidealen Ii = (xj : j ∈ Ii ).
Sei J ein Koordinatenideal, das I enthält. Dann gilt: Ist I zahm, so auch J · I .
Beweis. Wir betrachten die Newtonpolyeder P = N (I ) und Q = N (J ). Es ist zu
zeigen, dass P +Q zahm ist. Die Ecken von P +Q sind bekannterweise von der Gestalt
a + b, wobei a eine Ecke von P und b eine Ecke von Q bezeichne. Schreibe für die
Menge {em − ek : m ∈ M } kurz eM − ek .
Nach Lemma 2 dürfen wir annehmen, das J = (x1 , . . . , xn ) ist, d.h., J = {1, . . . , n}.
Für alle j ∈ J gilt:
ITej (J ) = N heJ\j − ej , ej i.
Qs
Betrachte
i=1 xji : ji ∈ Ii ) ist, sind alle Ecken
P nun P . Da I = ( P
Ss von P von der
s
Form αk ek , wobei αk ∈ N, k=1 αk = s und alle k ∈ I := i=1 Is sein müssen.
Weiters muss für alle k 6= k 0 in Ii bzw. Ii0 gelten: k, k 0 6∈ Ii ∩ Ii0 .
Nun zu den Idealtangentenkegeln der Ecken von P : Nach Lemma 6 folgt
ITP αk ek (I ) =N heI1 \k1 − ek1 , . . . , eIs \ks − eks , ek1 , . . . , eks , eJ\I i.
Nach Voraussetzung
Ps ist I zahm. Wir können also unter den |I1 | − 1 + · · · + |Is | − 1 +
s + (n − |I|) = i=1 |Ii | + n − |I| Erzeugervektoren genau n Stück finden, die linear
unabhängig sind und die den ganzen Idealtangentenkegel
erzeugen. Betrachten wir nun
P
den Idealtangentenkegel zu einer Ecke a =
αk ek + ej in P + Q.Wir müssen zwei
Fälle unterscheiden:
1. Fall. Es gebe ein i, sodass j ∈ Ii ∩ J = Ii ist. Nach Lemma 6 gilt
ITa (I J ) = N heI1 \k1 − ek1 , . . . , eIs \ks − eks , ek1 , . . . , eks , eJ\I , eI\j − ej , ej i.
Hier können wir alle Erzeuger eJ\I durch eJ\I − ej ersetzen. Da j ∈ Ii gilt, muss
es ein ki ∈ Ii geben, sodass j = ki gilt (es gelte o.B.d.A. i = 1). Da alle Vektoren
50
der Form eJ\j − ej Erzeuger des obigen Idealtangentenkegels sind, sind unter diesen
Erzeugern auch die Vektoren eki − ej für alle i > 1. Das wiederum bedeutet, dass wir
die Erzeuger der Form eIi − ej schreiben können als (eIi − eki ) + (eki − ej ). Daher
gilt nun schon etwas vereinfacht
ITa (I J ) = N heI1 \j − ej , . . . , eIs \ks − ej , ej , ek2 − ej , . . . , eks − ej , eJ\I − ej i.
Die minimalen Erzeuger des Idealtangentenkegels von P + Q in a sind also (bis auf
eks − ej und die eJ\I − ej ) von derselben Form wie die minimalen Erzeuger von
ITP αk ek (I ). Allerdings werden die Erzeugervektoren in R wie folgt ersetzt: Jeder
minimale Erzeuger eIi \ki − eki von ITP αk ek (I ) wird transformiert zu eIi \ki − ej ,
bzw. eki geht über auf eki − ej , bzw. eJ\I ; eJ\I − ej . Dies sind genau n linear
unabhängige minimale Erzeugervektoren. Nach Lemma 7 ist der Idealtangentenkegel
somit auch unimodular.
2. Fall. Sei nun j ∈ J\I. Analog zum Fall 1 werden diesmal wegen ek − ej , für alle
k ∈ J\j, alle Erzeuger eIi \ki − ej eliminiert von (eIi \ki − eki ) + (eki − ej ), und
weiters wird eki zu eki − ej . Wir erhalten also
ITa (I J ) =N heI1 \k1 −ek1 , . . . , eIs \ks −eks , ek1 −ej , . . . , eks −ej , eJ\(I∪j) −ej , ej i
und analog zum 1. Fall finden wir n linear unabhängige minimale Erzeuger des Idealtangentenkegels von a in P + Q.
Mit diesen beiden Fällen haben wir alle möglichen Ecken abgedeckt, daher ist I · J
zahm.
Das Produkt von zwei Koordinatenidealen
Als nächstes betrachten wir das Produkt von zwei beliebigen Koordinatenidealen.
Satz 11. Seien I = (xi : i ∈ I) und J = (xj : j ∈ J) zwei Koordinatenideale in
K[x1 , . . . , xn ] mit I, J ⊆ {1, . . . , n}. Wir setzen K := I ∩ J, weiters seien I1 = I\K
und J1 = J\K. Dann ist I · J genau dann zahm, wenn die beiden Ideale entweder
disjunkte Wolken besitzen oder wenn eine Wolke in der anderen enthalten ist.
Beweis. Wir betrachten die Newtonpolyeder P = N (I ), Q = N (J ) und R =
P + Q = N (I J ). Alle Ecken von R sind bekanntlich von der Gestalt ei + ej mit
i ∈ I und j ∈ J. Dabei müssen einige Fälle unterschieden werden. Es gelte o.B.d.A.
I ∪ J = {1, . . . , n}. (Sonst könnten wir die xi so permutieren, dass I ∪ J = {1, . . . , k}
für ein k < n und dann Lemma 2 anwenden.)
1. Fall. Seien i = j ∈ K. Die Idealtangentenkegel von P in ei werden erzeugt von den
n Vektoren eK\i − ei ,ei ,eI1 − ei bzw. eJ1 während in Q gilt: ITei (J ) = N heK\i −
ei ,ei ,eI1 , eJ1 − ei i. Das impliziert
IT2ei (I · J ) =N heK\i − ei , ei , eI1 − ei , eJ1 − ei i.
Der Idealtangentenkegel von 2ei in R ist somit simplizial und unimodular (Genauer:
IT2ei (I · J ) ist gleich ITei ((xI , xJ )). Wir erhalten in der x2i -Karte denselben Kartenausdruck wie in der xi -Karte der Explosion im Ideal I + J !
2. Fall. Seien i, j ∈ K, mit i 6= j. Wegen ei + ej = 21 (2ei ) + 12 (2ej ) ist ei + ej keine
Ecke von R.
51
3. Fall. Sei i ∈ K und j ∈ J1 . Für den Idealtangentenkegel von R in ei + ej gilt
ITei +ej (I J ) = N heK\i − ei , ei , eI1 − ei , eK\i − ej , ei − ej , eI1 , eJ1 \j − ej , ej i
= N heK\i − ei , eI1 − ei , , ei − ej , eJ1 \j − ej , ej i.
Wie sich der Leser leicht überzeugen kann, sind dies wieder genau n linear unabhängige Erzeuger von ITei +ej (I J ), deren Volumen ±1 beträgt. Anders ausgedrückt:
auch die Karten xi xj mit i ∈ I ∩ J und j ∈ J\I sind immer glatt.
4. Fall. Sei i ∈ I1 und j ∈ K. Symmetrisch zum dritten Fall.
5. Fall. Seien zuletzt i ∈ I1 und j ∈ J1 . Hier bekommen wir Probleme mit der Simplizialität. Wir erhalten nämlich für den Idealtangentenkegel von R in der Ecke ei + ej :
ITei +ej (I · J ) =N heK − ej , eK − ei , eI1 \i − ei , ei , eJ1 \j − ej , ej i.
Dies sind 2|K| + |I1 | + |J1 | = n + |K| minimale Erzeuger. Wir können ein Erzeugendensystem mit n Erzeugern im folgenden Fall finden: Ist K = I ∩ J = ∅, dann bilden
die Wolken der beiden Ideale eine Partition von {1, . . . , n}. Nach Satz 9 ist I · J
zahm. Sonst ist der Idealtangentenkegel für i ∈ I1 und j ∈ J1 nie simplizial, da immer
zu viele minimale Erzeuger der Form ek − ei bzw. ek − ej für alle k ∈ K vorhanden
sind.
Die Idealtangentenkegel von R in Ecken wie im Fall 5 sind also nur für Ideale mit disjunkten Wolken simplizial, während die Ecken wie in den anderen 4 Fälle nie Probleme
machen. Gilt also I1 = ∅ oder I2 = ∅, so ist I · J ebenso zahm. Dann existieren
keine Ecken wie im Fall 5 in R. Somit haben wir alle Behauptungen gezeigt.
Das Produkt von drei Koordinatenidealen
Wir haben in Satz 11 gesehen, wann die Explosion von An mit Zentrum das Produkt
von zwei Koordinatenidealen glatt ist. Nun betrachten wir das Produkt von drei Koordinatenidealen. Mit Hilfe von Maple können wir für drei Faktoren alle Fälle für bestimmte n durchprobieren: Wir berechnen wieder die Idealtangentenkegel zu jeder Ecke des
assoziierten Newtonpolyeders. Wesentlich dabei ist, wie sich die Wolken der drei Ideale zueinander verhalten. Wir benötigen noch folgende Notation:
Für zwei Mengen I, J bezeichne I4J = (I\J) ∪ (J\I) die symmetrische Differenz
von I und J. Speziell für I, J ⊆ {1, . . . , n} gilt I4J = {k : k 6∈ I ∩ J}.
Wir betrachten also drei Koordinatenideale I , J , K in K[x1 , . . . , xn ] mit I :=
(xi : i ∈ I), J := (xj : j ∈ J), K := (xk : k ∈ K), für I, J, K ⊆ {1, . . . , n}.
Dabei braucht man mindestens Dimension n = 7, um man alle möglichen Schnitte
der drei Wolken modellieren zu können. Insgesamt gibt es dann 27 verschiedene Konfigurationen der Wolken (wobei man sofort einige ausschließen kann, z.B., wenn eine
Wolke die leere Menge ist). Maple liefert (in annehmbarer Zeit!) eine Liste der zahmen
Ideale.
Sei P = I · J · K mit Wolke P = I ∪ J ∪ K. Dann P zahm, wenn
˙ ∪K,
˙
(1) P = I ∪J
˙ und I ⊆ J,
(2) P = J ∪K
(3) P = I ∪ J = I ∪ K = J ∪ K und I4J ⊆ K, I4K ⊆ J, J4K ⊆ I.
(4) P = K mit (I ∪ J) ⊆ K,
52
Bemerkung. Seltsam ist hier Punkt (3). Ein Beispiel dazu: Seien n = 4 und I =
{1, 2, 3}, J = {1, 2, 4}, K = {1, 3, 4}. Die zugehörigen Ideale definieren 3 Geraden
im A4 , die in einem 3 dimensionalen Unterraum von A4 enthalten sind.
Hier sieht man schon ein wenig Struktur. Das Produktideal I · J · K ist zahm, wenn
schon I · J zahm war und zusätzlich K ist disjunkt zu I ∪ J ist. Diese Überlegung
beinhaltet die Fälle (1) und (2). Schwieriger ist die Erklärung bei (3) und (4): Hier
wird die Singularität der Explosion in I · J offenbar durch Multiplikation mit K
“gezähmt”. Wie beim Rosenbergideal wird eine Ecke mit nichtsimplizialen Idealtangentenkegel von N (I · J ) durch Summenbildung mit N (K ) gestreckt.
Vermutung für das Produkt von vier Idealen. Sei nun I = I1 · I2 · I3 · I4 mit
jeweiligen Wolken Ii bzw. I. Dann ist I zahm, wenn
(1) I1 · I2 · I3 zahm ist, und I4 ⊇ I1 ∪ I2 ∪ I3 oder I4 ∩ (I1 ∪ I2 ∪ I3 ) = ∅ gilt, (Dies
haben wir sogar schon allgemeiner bewiesen, vgl. Sätze 9, 10)
(2) die Wolken der vier Ideale wieder von der speziellen Gestalt Ii ∪ Ij = I und
Ii 4Ij ⊆ Ik für alle i 6= j 6= k ∈ {1, 2, 3, 4} sind.
3.5
Bauchige Mengen
Wir gehen der Frage nach, wann die Explosion des An in einem beliebigen Produkt
von Koordinatenidealen glatt ist. Eine ähnliche Fragestellung kommt beim Problem
der Kompaktifizierung des Komplements von Untervarietäten einer glatten algebraischen Varietät vor. Erstmals wurde die Kompaktifizierung von Konfigurationenräumen
von Fulton und MacPherson in [FM] studiert. In dieser Arbeit werden Konfigurationenräume F (n, X) von glatten algebraischen Varietäten X betrachtet. Dabei ist F (n, X)
ein Raum von n-Tupeln von paarweise verschiedenen Punkten in X:
F (n, X) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ X n : xi 6= xj für i 6= j}.
Durch eine Folge von Explosionen wird eine Kompaktifizierung X[n] von F (n, X)
konstruiert, sodass das Komplement des ursprünglichen Konfigurationenraumes ein
normaler Kreuzungsdivisor ist. De Concini und Procesi haben in [DP] diese Idee verallgemeinert und wunderbare Modelle von endlichen Familien linearer Unterräume eines
Vektorraums X eingeführt. Dabei wird für ein derartiges Arrangement von linearen
Unterräumen ein Modell konstruiert, sodass wieder das Komplement dieser Unterräume unverändert bleibt und die Unterräume durch einen normalen Kreuzungsdivisor
ersetzt werden. Eine Familie G von Unterräumen, die diese Bedingung erfüllt, heißt
bauchige Menge (engl. Building Set).
Wunderbare Modelle wurden später von MacPherson und Procesi in [MP] auf konische
Varietäten über C verallgemeinert. Dabei verwenden sie konische Stratifizierungen
und verallgemeinern den Begriff der bauchigen Menge. Spezielle Kompaktifizierungen werden auch von Hu [Hu] und Ulyanov [Ul] betrachtet. Eine Verallgemeinerung
auf Kompaktifizierungen von Arrangements von Unterräumen einer glatten Varietät
stammt schließlich von Li Li, siehe [Li]. Feichtner betrachtet in [Fe] wunderbare Kompaktifizierungen vom kombinatorischen Standpunkt aus.
Wir werden nun bauchige Mengen einführen. Dabei folgen wir hauptsächlich der Darstellung in [DP], da wir ohnehin nur Verschwindungsmengen von Idealen I = (xi , i ∈
I) betrachten, die uns immer lineare Unterräume liefern. Dann werden wirQmit unserem Zahmheitskriterium beweisen, dass die Explosion in einem Produkt i Gi , mit
53
Gi := (xj : j ∈ Ii ), glatt ist, wenn G := {Gi } eine bauchige Menge ist. Allerdings
werden wir auch sehen, dass diese Bedingung zu stark ist. Wir können sogar schon
in kleiner DimensionQIdeale Ii finden, für die gilt: Die Ideale bilden keine bauchige
Menge, das Produkt i Ii ist aber trotzdem zahm.
Wir definieren zuerst bauchige Mengen dual und werden dann den Zusammenhang
zwischen den Koordinatenidealen und den zugehörigen Vektorräumen erläutern.
Betrachte also einen Vektorraum V ∼
= Rn . Sei V ∗ der Dualraum zu V . Sei C eine endliche Menge von nichttrivialen Unterräumen von V ∗ , die abgeschlossen unter Summenbildung ist. Dabei ist auch V ∗ ∈ C erlaubt. Wir nennen C ein Arrangement von
Unterräumen.
Sei U ∈ C. Dann sind U1 , . . . , Uk ∈ C mit k ≥ 2 eine Zerlegung von U , wenn
U = U1 ⊕ · · · ⊕ Uk
und wenn für jeden Unterraum A ⊆ U in C auch alle A ∩ Ui in C sind und
A = (A ∩ U1 ) ⊕ · · · ⊕ (A ∩ Uk )
gilt. Wenn ein Unterraum U keine Zerlegung in C besitzt, so heißt U irreduzibel. Die
Menge der irreduziblen Elemente in C bezeichnen wir mit F bzw. FC .
Beispiel 20. (1) Sei V ∗ = K hu1 , . . . , u3 i. Sei C = {U1 , . . . , U7 } ein Arrangement mit
U1 = K hu1 , u2 , u3 i, U2 = K hu1 i, U3 = K hu2 i, U4 = K hu3 i, U5 = K hu1 , u2 i,
U6 = K hu2 , u3 i und U7 = K hu1 , u3 i. Dann ist U1 = U5 ⊕ U4 eine Zerlegung von
U1 , denn: U2 und U3 sind irreduzibel und U6 , U7 ⊆ U1 lassen sich als direkte Summen
Ui ∩ U4 ⊕ Ui ∩ U5 mit Elementen aus C darstellen.
(2) Es sei C 0 = C\{U3 }. Dann ist U1 = U4 ⊕ U5 keine Zerlegung, da U6 ⊆ U1 in C 0
ist, aber U6 ∩ U5 = K hu2 i 6∈ C 0 . Außerdem ist U6 weder in U4 noch in U5 enthalten.
Lk
Satz 12. Jeder Unterraum U in C besitzt eine eindeutige Zerlegung U := i=1 Ui in
irreduzible Unterräume Ui . Wenn A ⊆ U irreduzibel ist, so gilt bereits A ⊆ Ui für ein
i.
Beweis. Wir zeigen zu Beginn die zweite Behauptung des Satzes. Sei dazu A ⊆ U =
Lk
in irreduzible Elemente. Dann muss nach Definii=1 Ui die eindeutige Zerlegung
Lk
tion der Zerlegung A =
(A
∩
Ui ) gelten. Für einen Unterraum B ⊆ A in C
i=1
Lk
Lk
muss ebenso B = i=1 (B ∩ Ui ) = i=1 B ∩ (A ∩ Ui ) sein. Das impliziert, dass
A reduzibel ist, außer A ⊆ Ui für ein i: Dann sind für alle j 6= i die Unterräume
A ∩ Uj = 0 6∈ C.
Lk
Für die Eindeutigkeit nehmen wir an, dass U zwei verschiedene Zerlegungen i=1 Ui
Ll
bzw. j=1 Wj in irreduzible Komponenten besitzt. Wähle ein Ui ⊆ U . Da Ui ein
irreduzibler Unterraum von U ist, so muss Ui in einem Wj enthalten sein. Da Wj irreduzibel ist, muss es in einem Um enthalten sein, d.h., es gilt Ui ⊆ Wj ⊆ Um . Daraus
folgt Ui = Um (direkte Summe!) und Ui = Wj . Die Zerlegung ist also eindeutig.
Wir zeigen die Existenz mit Induktion über die Dimension von U . Für dim(U ) = 1
ist U = U die einzige Darstellung von U , und der einzige Unterraum A ⊆ U in C
ist U selbst, daher ist auch die zweite Bedingung für eine Zerlegung erfüllt. Für den
Induktionsschritt nehmen wir an, dass alle W ∈ C mit dim(W ) < d eine irreduzible
Zerlegung besitzen. Sei U ∈ C von Dimension d + 1. Wenn U selbst irreduzibel ist,
54
Lk
sind wir fertig. Sonst besitzt U eine Zerlegung i=1 Ui , wobei dim(Ui ) < d + 1 für
Lk i
Uij und für
alle i gilt. Daher besitzt jedes Ui eine irreduzible Zerlegung Ui = j=1
L
Lk i
alle A ⊆ Ui in C ist A = j=1 (A ∩ Uij ). Somit ist U = i,j Uij eine direkte Summe von irreduziblen Unterräumen. Wir müssen noch die Bedingung an alle B ⊆ U
in C nachprüfen: Für jeden Unterraum B ⊆ U gilt nach Definition der Zerlegung
Lk
B = i=1 (B ∩ Ui ). Da B ∩ Ui ∈ C ein Unterraum von Ui ist, existiert die irreduzible
L
Lk i
(B ∩ Uij ). Also folgt B = i,j (B ∩ Ui,j ).
Zerlegung B ∩ Ui = j=1
Eine Zerlegung wie im obigen Satz nennen wir die irreduzible Zerlegung von U .
Wir listen nun einige wichtige Eigenschaften von Zerlegungen auf, die wir für die
Charakterisierung von bauchigen Mengen brauchen werden.
Lk
Korollar. (1) Sei U in C mit U = i=1 Ui , wobei alle Ui in C seien. Dies ist genau
dann eine Zerlegung von U , wenn für jedes irreduzible A in C gilt: Aus A ⊆ U folgt
A ⊆ Ui für ein i.
(2) Für zwei irreduzible Unterräume A, B in C ist entweder A + B irreduzibel oder
A ⊕ B ist eine P
irreduzible Zerlegung.
(3) Wenn A =
Ai gilt, wobei alle Ai in C irreduzibel seien, so sind die irreduziblen
Komponenten von A auch Summen von einigen Ai .
Beweis. Für (1) sei zuerst U = U1 ⊕ . . . ⊕ Uk eine Zerlegung von U . Wir können
jedes Ui in seine irreduziblen Komponenten Uij zerlegen. Dann muss jedes irreduzible
A ⊆ U in C nach dem obigen Satz in einem Uij und damit
Lauch in einem Ui enthalten
sein. Die andere Implikation folgt auch sofort: Sei U = i Ui und sei jedes irreduzible A ⊆ Ui für ein i. Für einen beliebigen Unterraum B ⊆ U gibt es eine eindeutige
Ll
irreduzible Zerlegung B = j=1 Bj L
, sodass jedes Bj in einem Ui enthalten ist. Dann
ist für alle i der Schnitt B ∩ Ui =
j Bj eine Summe über j mit Bj ⊆ Ui . Dies
Lk
impliziert B = i=1 (B ∩ Ui ).
(2) Seien nun A, B ⊆ U irreduzibel. Dann gibt es nach dem obigen Satz zwei Unterräume Ui und Uj aus der irreduziblen Zerlegung von U , sodass A ⊆ Ui und B ⊆ Uj .
Somit ist


A falls l = i,
(A + B) ∩ Ul = B falls l = j,


0
sonst.
Lk
Nach Definition der Zerlegung ist A+B = l=1 ((A+B)∩Ul ) = (A∩Ui )⊕(B∩Uj ).
Wenn i = j ist, dann ist A + B irreduzibel, sonst ist A + B = A ⊕ B die irreduzible
Zerlegung. Denn für alle C ⊆ A ⊕ B ⊆ U in C gilt C = (C ∩ Ui ) ⊕ (C ∩ Uj ) =
(C ∩ A) ⊕ (C ∩ B). Damit ist auch (2) erledigt.
(3) schließlich folgt sofort aus (2).
Lk
Satz 13. Sei U = i=1 Ui in C eine Zerlegung von U . Sei C ( U ein Element in C,
das maximal in U ist. Dann existiert
L ein j ≤ k, sodass Cj = Uj ∩ C in C, mit Cj ( Uj
maximal in Uj , und C = Cj ⊕ ( i6=j Ui ).
Lk
Beweis. Wir können C = i=1 (Ui ∩ C) nach Definition der Zerlegung schreiben. Da
C echt in U L
enthalten ist, existiert mindestens ein Cj := Uj ∩ C ( Uj . Dies liefert
C ⊆ Cj ⊕ ( i6=j Ui ) ( U . Da C maximal in U ist, muss Gleichheit gelten. Damit
haben wir das Cj mit den gewünschten Eigenschaften gefunden.
55
Nun kommen wir zur Definition von bauchigen Mengen. Wir werden zwei weitere
äquivalente Charakterisierungen beweisen. Außerdem könnte man bauchige Mengen
auch direkt, ohne Übergang zum Dualraum, definieren. Diese Definition ist aber nicht
sehr handlich.
Sei G eine nichtleere Menge von nichttrivialen Unterräumen von V ∗ . Sei das Arrangement CG die Menge von Unterräumen, die man als Summe von Elementen in G
darstellen kann, und seien FG = FCG die irreduziblen Elemente in CG .
Dann heißt G bauchige Menge, wenn gilt: Jedes Element C ∈ CG ist die direkte Summe
Lk
C = i=1 Gi der Menge der maximalen Elemente G1 , . . . Gk in G, die in C enthalten
sind.
Satz 14. Unter diesen Bedingungen kann man jedes B aus CG und B ⊆ C darstellen
Lk
als B = i=1 (B ∩ Gi ), d.h., C = G1 ⊕ · · · ⊕ Gk ist eine Zerlegung von C.
Lk
Beweis. Wir müssen zeigen, dass für jedes B ⊆ C in CG die direkte Summe i=1 (B∩
Gi ) wieder gleich B ist. Wähle dazu ein C ∈ CG . Nach der Definition der bauchigen
Menge G gilt C = G1 ⊕. . .⊕Gk , wobei die Gi die maximalen Elemente von G sind, die
in C enthalten sind. Sei nun B ⊆ C in CG ein Unterraum. L
Wieder nach Definition der
s
bauchigen Menge können wir B als direkte Summe B = j=1 Bj schreiben, wobei
die Bj die maximalen Elemente aus G sind, die in B enthalten sind. Da die Gi maximal
sind, muss jedes Bj in einem Gi enthalten sein (denn sonst wäre Bj + Gi ⊆ C in C,
was einen Widerspruch zu Maximalität der Gi liefern würde). Daher ist jedes B ∩ Gi
eine direkte Summe von Bj . Da kein Bj in mehereren Gi ’s vorkommen kann, ist somit
Lk
auch B = i=1 (B ∩ Gi ).
Man kann bauchige Mengen auf unterschiedliche Weise charakterisieren, wir zeigen
nun zwei andere äquivalente Darstellungen (vgl. [DP, Thm. 2.3]).
Satz 15. Sei G wie oben eine Menge von Unterräumen in V ∗ . Dann sind äquivalent:
(1) G ist eine bauchige Menge.
(2) Es gelten:
(a) FG ⊆ G und
(b) Wenn A, B ∈ G sind und A + B keine Zerlegung ist, dann ist schon A + B ∈ G
(speziell gilt dies natürlich für A ∩ B 6= {0}).
(3) G erfüllt (2) (a) und
Ls
(b’) Wenn A, B ∈ G und A = i=1 Ai die irreduzible Zerlegung von A in FG und
B ⊇ Ai für ein i ist, so ist schon A + B in G.
Beweis. Zuerst zeigen wir die Richtung (1) =⇒ (2). Zunächst die Bedingung (a): Sei
F irreduzibel in CG . Dann hat F nach Definition eine Zerlegung in G. Da jedoch F
irreduzibel in C ist, so muss schon F selbst in G liegen. Für (b) nehmen wir an, dass
für zwei Unterräume A, B ∈ G die Summe A + B keine
LZerlegung ist. Wir können
A + B als Summe der maximalen Elemente A + B =
i Gi in G schreiben. Dann
müssen A, B in einem Gi enthalten sein, denn: Angenommen es existiert kein i, sodass
A ⊆ Gi , wobei Gi ⊆ A + B für alle i ist. Wähle ein derartiges Gi aus der obigen
Zerlegung, wobei A ∩ Gi 6= {0}. Da A und Gi in G liegen, ist auch A + Gi in G.
Allerdings ist ebenso A + Gi ⊆ A + B, was einen Widerspruch zur Maximalität von
Gi liefert. Da A + B keine Zerlegung ist, so ist A + B irreduzibel. Daher müssen
A, B beide in demselben Gi enthalten sein (nach obigem Korollar, (1)). Daraus folgt
A + B = Gi ∈ G.
56
Wir nehmen nun an, dass G beide Bedingungen von (2) erfüllt. Um (3) (b’) zu zeigen,
seien A, B ∈ G zwei Unterräume, sodass B ⊇ Ai für ein i gilt. Da B eine der irreduziblen Komponenten von A enthält, ist die Summe A + B nicht direkt, also keine
Zerlegung. Daher ist nach Bedingung (b) auch A + B in G.
Schließlich gelte (3). Wir müssen zeigen, dass wir jedes C in CG als direkte Summe von maximalen Elementen von C schreiben können, die zusätzlichLin G enthalten
k
sind. Wir können C in irreduzible Elemente in CG zerlegen, also C = i=1 Ci . Seien
Gl die maximalen Elemente in G, die in C enthalten sind. Sei weiters beispielsweise
Gl = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar die Zerlegung in irreduzible Elemente. Da Ai ⊆ Gl in C enthalten ist, und irreduzibel ist, so muss nach obigem Satz (bzw. Korollar (1)) jedes Ai
in einem Cj enthalten sein. Nach (3) (b’) ist dann auch Gl + Cj ⊆ C in G. Da Gl
allerdings maximal ist, muss Cj ⊆ Gl gelten. Nach Korollar (2) muss jedes Gi eine
direkte Summe von einigen Cj sein. Wenn zwei verschiedene Gi dasselbe Cj enthalten
würden, wäre auch ihre Summe in G. Das ist aber ein Widerspruch zur Maximalität der
Gi . Insgesamt gilt: Da G alle irreduziblen Elemente enthält, enthält es insbesonders die
Cj . Jedes Cj ist in genau einem Gi enthalten. Daher ist jedes Gi die direkte Summe
von gewissen Cj , wobei jedes Cj nur in einem Gi vorkommt. Daher können wir auch
C als direkte Summe der Gi darstellen.
L
Es bleibt anzumerken, dass die Zerlegung von C =
i Gi in G eindeutig ist. Dies
folgt aus der Maximalität der Gi . Außerdem gilt für alle A in G, A ⊆ C, dass ein i
existiert mit A ⊆ Gi . Zum besseren Verständnis noch einige Beispiele für bauchige
Mengen.
Beispiele. Sei C ein Arrangement von Unterräumen.
(1) C ist eine bauchige Menge. Dies ist klar, da wir jedes C ∈ C als “direkte Summe”
des maximalen Unterraums C darstellen können.
(2) FC ist eine bauchige Menge. Dies folgt aus Satz 15 (3): Bedingung (a) ist erfüllt
und für (b’) betrachte zwei Elemente A, B ∈ FG . Dann ist A schon die irreduzible
Zerlegung von A, und falls B ⊇ A, so ist B + A = A schon in FG .
(3) Ein konkretes Beispiel: Sei V ∗ = K 3 mit Basis v1 , v2 , v3 und sei G = {G1 , G2 ,
G3 } = { K hv1 , v2 i, K hv1 , v3 i, K hv2 , v3 i}. Dann ist G keine bauchige Menge, da
K3 =
K hv1 , v2 , v3 i
= G1 + G2 = G1 + G3 = G2 + G3
keine direkte Summe von maximalen Elementen von G ist.
Wenn wir jedoch G 0 := G ∪ { K hv1 , v2 , v3 i} betrachten, so sind alle Summen direkt,
da FG = G 0 .
Wir können bauchige Mengen auch direkt definieren, ohne in den Dualraum überzuwechseln. Hier arbeitet man dann mit minimalen Schnitten von Unterräumen. Da wir
ohnehin die Ideale der Verschwindungsmengen betrachten, ist es für uns leichter, im
Dualraum zu bleiben. Der Vollständigkeit halber gebe ich noch die gängige Definition
für den “Primalraum” an (vgl. hierzu auch [Li] und [MP]). Beachte: diese Definition gilt allgemeiner für Untervarietäten einer nichtsingulären Varietät Y , nicht nur für
lineare Unterräume. Zuerst brauchen wir noch den Begriff des Arrangements von Untervarietäten.
Ein (einfaches) Arrangement von Untervarietäten von Y ist eine endliche Menge S
bestehend aus nichtsingulären, abgeschlossenen Untervarietäten Si ( Y , die folgende
Bedingungen erfüllt:
T
(1) Alle Schnitte i Si sind regulär (schematheoretisch), d.h., die definierenden Ideale
57
ISi und ISj von je zwei Si und Sj in S erfüllen die Gleichung ISi + ISj = ISi ∩Sj und
allgemein für k Untervarietäten Sji in S
k
X
ISji = ISj1 ∩...∩Sjk .
i=1
(2) Si ∩ Sj ist entweder gleich einem Sk aus S oder leer.
Bemerkung. Bedingung (1) bedeutet, dass ein Arrangement von Untervarietäten insbesondere ein Mikado Schema ist. (Ein Mikado-Schema ist ein Schema, das eine Vereinigung von glatten Komponenten ist, sodass alle möglichen Durchschnitte dieser Komponenten (schematheoretisch) regulär sind.) Näheres dazu findet sich in [Ha3, Li].
Beispiel 21. (1) Sei S = {S1 , S2 , S3 } in A3 mit IS1 = (x, y), IS2 = (x, z) und
IS3 = (x, y, z). Dann ist S ein Arrangement.
(2) Sei nun S = {U, , V, W, U ∩ V, U ∩ W, V ∩ W, U ∩ V ∩ W }, wobei U die xzEbene mit IU = (y) , V die xy-Ebene mit IV = (z) und W ein Paraboloid mit
IW = (x2 − y − z) seien. Dann ist S kein Arrangement in A3 , denn: Es ist U ∩ V ∩ W
der Nullpunkt mit Ideal (x, y, z). Es gilt aber
IU + IV + IW = (y, z, x2 − y − z) = (x2 , y, z).
Daher ist dieser Schnitt nicht regulär.
Sei S ein Arrangement von Untervarietäten von Y . Eine Teilmenge G ⊆ S heißt bauchige Menge in S, wenn für jedes S ∈ S alle minimalen Elemente in G, die S enthalten,
einen transversalen Schnitt haben. Zusätzlich muss dieser Schnitt genau S sein. (Transversaler Schnitt von nichtsingulären Untervarietäten A1 , . . . , Ak bedeutet hier, dass für
jeden Punkt y ∈ Y gilt:
TA⊥1 ,y ⊕ . . . ⊕ TA⊥k ,y ,
d.h., die orthogonalen Komplemente der Tangentialräume in Y bilden eine direkte
Summe im Cotangentialraum Ty∗ .)
Nun kommen wir wieder zu Produkten von Koordinatenidealen zurück. Wir haben uns
ja die Frage gestellt, wann ein derartiges Produkt zahm ist. In [Li, Thm. 3.3.] wird induktiv gezeigt, dass die Explosion in einem Produkt von Idealen glatt ist, wenn diese
Ideale eine bauchige Menge bilden. Wir werden dies nun mit unserem Zahmheitskriterium beweisen. Allerdings ist die Bedingung, dass die Ideale eine bauchige Menge
bilden, keineswegs notwendig. Wir werden dazu ein Beispiel angeben.
Zuerst überlegen wir noch genauer die Beziehung von Koordinatenidealen im Koordinatenring K[x1 , . . . , xn ] des AnK zu Koordinatenunterräumen von K n : Wir identifizieren ein Koordinatenideal (xi , i ∈ I), wobei die Wolke I ⊆ {1, . . . , n} sei, mit
dem Koordinatenunterraum V (xi , i ∈ I). Wir nennen daher eine Menge C von Idealen
Ci ein Arrangement (von Idealen), wenn die zugehörigen Koordinatenunterräume ein
Arrangement in An bilden. Entsprechend heißt eine Menge G eine bauchige Menge
(von Idealen), wenn die zugehörigen Koordinatenunterräume eine bauchige Menge in
An bilden.
Betrachte nun AnK = K n als Vektorraum über K. In der Schreibweise von oben ist
V = K n . Sei P ein Arrangement von Unterräumen und sei C die Menge aller Unterräume in V ∗ ∼
= V , die dual zu allen Unterräumen in P und ihren Schnitten sind. Ist
P = V (xi : i ∈ I) ein Koordinatenunterraum, dann ist P ∗ das Erzeugnis hxi , i ∈ Ii
58
in V ∗ . Mit der üblichen Identifikation V ∼
= V ∗ (euklidisches Skalarprodukt auf V )
können wir schließlich P ∗ = C in C mit V (xi : i 6∈ I) identifizieren. Für zwei Ideale
Ci = (xi , i ∈ I), Cj = (xj , j ∈ J) in einem Arrangement C gilt
V (Ci + Cj ) = V (xk , k ∈ I ∪ J) = V (Ci ) ∩ V (Cj ).
Die Summe Ci ⊕ Cj ist direkt, wenn I ∩ J = ∅.
Die Explosion in bauchigen Mengen
In diesem Abschnitt wollen wir mit unserem Zahmheitskriterium zeigen, dass ein Produkt von Koordinatenidealen zahm ist, wenn diese Ideale eine bauchige Menge G im
Arrangement C = CG bilden. Beachte dabei: Für zwei Ideale Ci , Cj in C ist immer
Ck = Ci + Cj in C enthalten. Wir gehen in zwei Schritten vor: Zuerst zeigen wir, dass
das Produkt IC aller Ideale Ci ∈ C zahm ist. Wir haben schon gezeigt (Satz 15), dass
in einer bauchigen Menge G in C alle irreduziblen Elementen Ci , Cj in C enthalten
sind. Es sind also alle nicht-direkten Summen von Elementen Ci , Cj in G. Zusätzlich
sind nicht notwendig einige direkte Summen Ci ⊕ Cj in G. (Wenn also z.B. G = FG ,
dann sind keine direkten Summen in der bauchigen Menge enthalten)
Im zweiten Schritt zeigen wir, dass man Faktoren
Ck = Ci ⊕ Cj (beliebige direkte
Q
Summen von Ci ) im Produktideal IC = i Ci weglassen kann, ohne die Zahmheit
des Produktideals zu zerstören.
Qr
Lemma 9. Seien Ii := (xk : k ∈ Ii ) Ideale in K[x1 , . . . , xn ]. Sei I := i<j (Ii +
Ij ) das Produkt der paarweisen Summen der Ii . Dann ist die Explosion von An in I
glatt.
Beweis. Wir betrachten wieder die Idealtangentenkegel zu den Ecken des Newtonpolyeders von I . Wir müssen zeigen, dass der Idealtangentenkegel zu jeder Ecke von
N (I ) simplizial und damit nach Lemma 7 automatisch unimodular ist. Wir werden
die obige Aussage mit Induktion über die Anzahl r der Ideale zeigen. Für r = 2 gilt
I = I1 + I2 . Dieses Ideal ist klarerweise zahm.
Wir führen folgende Notation ein: Wir identifizieren ein Ii mit seiner Wolke Ii ⊆
{1, . . . , n}. Es bezeichne Iij := Ii + Ij und entsprechend Iij := Ii ∪ Ij . Seien
Pij = N (Iij ) die assoziierten Newtonpolyeder.
Qr
Nun zum Induktionsschritt von r auf r+1: Angenommen, das Ideal I = i,j=1 (Iij )
i<j
in K[x1 , . . . , xn ] ist zahm. Es ist zu zeigen, dass auch I ·(I1 +Ir+1 ) · · · (Ir +Ir+1 )
zahm ist. Um die Notation zu vereinfachen, setzen wir J := Ir+1 mit Wolke J =
Ir+1 . Zuerst behandeln wir wieder die üblichen Spezialfälle: Wenn I ⊆ J , dann ist
Ii + J = J für alle i und das obige Produkt lautet I · J r = (I · J ) · J r−1 . Der
erste Faktor ist nach Satz 10 zahm und durch die restlichen r − 1 Faktoren werden die
Idealtangentenkegel der assoziierten Newtonpolyeder nach Korollar zu Satz 11 nicht
verändert.
Im Weiteren gehen wir folgendermaßen vor: Wir betrachten zuerst den Idealtangentenkegel in einer Ecke des Newtonpolyeders N (I ) und schauen, wie die minimalen Erzeuger dieses Kegels bei der Summenbildung von N (I ) mit den N (Ii +J ) transformiert werden. Dabei wird schrittweise vorgegangen: Zuerst betrachten wir den Idealtangentenkegel in einer Ecke von N (I
1 +J )+
P )+N (I1 +J ), dann in N (I )+N (IP
N (I2 + J ), etc. Formal: Sei a := i<j ekij eine Ecke in P := N (I ) = i<j Pij .
Dabei ist kij ∈ Iij für alle i < j ≤ r. Es kann also auch ekij = eki0 j0 für ij 6= i0 j 0
59
Pn
Pn
r
sein, d.h., a hat die
Form
α
e
mit
α
∈
N
und
α
=
(Anzahl
k
k
k
k
k=1
k=1
2
Q
der Faktoren von i<j Iij ). Jede derartige Ecke a ist die Summe von Ecken der Pij .
In den Idealtangentenkegeln bedeutet die Summenbildung eines beliebigen Polyeders
Q mit Pij einfach, dass zum Idealtangentenkegel ITq (Q) eines Punktes q in Q in
ITq+ekij (Q + Pij ) die Erzeuger eIi − ekij bzw. eIj − ekij für kij ∈ Iij dazukommen
(nach Lemma 6). Dabei bezeichne eM − ek die Menge {em − ek : m ∈ M } für eine
Wolke M ⊆ {1, . . . , n}. Weiters bezeichne eM \k − ek für ein k ∈ M die Menge
{em − ek : m ∈ M \k}.
Zuerst betrachten wir eine Ecke a, für die ein k in einem Iij existiert, sodass das zugehörige αk > 0 ist. Anders ausgedrückt: Zum Vektor ek sind in einem Idealtangentenkegel ITek (Iij ) die Erzeuger eIi \k − ek und eIj − ek enthalten, also sind diese
Erzeuger auch in ITa (I ) enthalten.
Behauptung: Es wird ein k ∈ Ii in mindestens r − 1 verschiedenen Ii ausgewählt,
sodass die eIi \k − ek im Idealtangentenkegel ITa (I ) enthalten sind. Denn: P ist die
Minkowskisumme von Newtonpolyedern Pij mit i < j. Daher existiert in einem beliebigen Pij eine Ecke eα mit α ∈ Ii oder α ∈ Ij \Ii . Angenommen, es existiert ein i,
sodass in Iij für alle j ∈ {1, . . . , r}\i jeweils ein α ∈ Ij \Ii in Iij ausgewählt wurde.
Wenn nun ein weiteres k 6= i mit derselben Eigenschaft existieren würde, d.h., in allen
Ikj ist α ∈ Ij \Ik gewählt worden, erhalten wir einen Widerspruch. In Iki muss nämlich ein α ∈ Ik \Ii gewählt werden!
Damit haben wir gezeigt, dass es höchstens ein i gibt, sodass keine Erzeuger der Form
eIi \k − ek für alle k ∈ Ii im Idealtangentenkegel ITa (I ) vorkommen. Somit erhalten
wir für jeden Faktor Iij von I , in dem k ∈ Ii gewählt wird, im Idealtangentenkegel
zu einer Ecke a die Erzeuger eIi \k − ek und alle eIj − ek .
Seien nun o.B.d.A. I1 , . . . , Is mit s ≥ r − 1 die Wolken, die ein k mit der obigen
Eigenschaft enthalten. Im Newtonpolyeder
zu I · (I1 + J ) · · · (Is + J ) gilt dann
Ps
für alle Ecken, die eine Summe a + i=1 eki mit mit eki ∈ Ii ∪ J sind: Für jedes Ideal
Ii + J kommt entweder ein ek mit k aus Ii oder k aus J\Ii , sodass eki = ek gilt,
dazu. D.h., wenn k ∈ Ii ist, dann existieren in ITa (I ) Erzeuger der Form eIi − ek
und eIj − ek , die von ITek (Iij ) stammen. Denn: Wenn es ein Pij gibt, sodass k ∈ Ii
gewählt wurde, so sind alle Erzeuger eIi − ek und eIj − ek im Idealtangentenkegel
enthalten. Falls ein weiteres k 0 ∈ Ii in einem Iiβ gewählt würde, enthielte der Idealtangentenkegel die Erzeuger eIi − ek0 , insbesondere ek − ek0 . Es ist aber auch ek0 − ek
ein Erzeuger des Kegels. Widerspruch zu ITa (I ) spitz!
Wir gehen nun schrittweise vor und betrachten zuerst P1 := P + N (I1 + J ).
1. Fall. Sei a + ej mit j ∈ J\I1 die neue Ecke in P1 . Im Idealtangentenkegel ITa+ej
(I (I1 + J )) kommen die neuen Erzeugervektoren eJ\(j∪I1 ) − ej (statt den eJ\j )
und der zusätzliche Erzeuger ei1 − ej statt ei1 dazu. Dabei sei i1 der Vektor, der in
einem Iij gewählt wurde (Siehe voriger Absatz: In jedem Ik mit k ≤ s existiert genau ein solches ik ). Es gilt weiters: Die eI1 \i1 − ej = eI1 \i1 − ei1 + (ei1 − ej ) sind
überflüssige Erzeuger von ITa+ej (I (I1 + J )). Falls ei1 ein S
minimaler Erzeuger
r
von ITa (I ) war, so besitzt ITa+ej (I (I1 + J )) auf (J ∪ I1 )\ j=2 Ij die richtige
Sr
Anzahl von minimalen Erzeugern. Auf j=2 Ij ∩ J können noch zuviele minimale
Erzeuger vorhanden sein. Falls ei1 kein minimaler Erzeuger von ITa (I ) ist, gibt es
einen minimalen Erzeuger ei1 −eik mit ik ∈ Ik \I1 (d.h., in I1k wurde ik gewählt). Wir
können dann keinen der beiden Vektoren ei1 − eik und ei1 − ej eliminieren. Allerdings
muss später für Ik ∪ J entweder der Erzeuger ej − eik oder eik − ej zum Idealtan-
60
gentenkegel von N (I (I1 + J ) · · · (Ik + J )) in der Ecke a + ej + ei2 + · · · eik
dazukommen, und wir haben dann keine Probleme mit der Simplizialität mehr!
Im nächsten Schritt für P2 := P1 + N (I2 + J ) müssen wir zwei Fälle unterscheiden:
Es kommt bei der Ecke a + ej von P1 entweder dasselbe j ∈ J\(I2 ∪ I1 ) dazu (für ein
j 0 6= j ∈ J keine Ecke!) oder ein i2 ∈ I2 \J.
(1) Für j ∈ J\I2 : In diesem Fall bleiben die eJ\j − ej als minimale Erzeuger erhalten
(bzw. auf dem Schnitt I2 ∩ J haben werden die eI2 ∩J − ej wegen ei2 − ej durch die
eI2 ∩J −ei2 gekillt. Das i2 ∈ I2 kommt von einem Faktor I2k mit k ≤ r). Falls i1 6= i2 ,
also i2 6∈ I1 ∩ I2 , erhalten wir statt ei2 wieder ei2 − ej . Die Vektoren eI1 ∩I2 − ej können dank ei2 − ej ebenso durch andere Erzeuger dargestellt werden. Unser einziges
Problem ist hier wieder ein etwaiges ei2 − eik , das aber im Schritt Ik ∪ J auf jeden
Fall entsorgt wird.
S Dann besitzt der Idealtangentenkegel von P2 im Punkt a + 2ej für
(J ∪ I1 ∪ I2 )\ j=3 Ij die richtige Anzahl an minimalen Erzeugern.
(2) Im anderen Fall kommt i2 ∈ I2 dazu. Falls i2 = j ∈ I2 ∩J ändert sich nichts an den
minimalen
Erzeugern von ITa+2ei2 (I (J +I1 )(J +I2 )). Sei also i2 ∈ I2 \(J ∪I1 ).
S
In j=2 Ij ändern sich die Erzeuger nicht, während hingegen in J zusätzlich zu den
eJ\j − ej , ej alle Vektoren eJ − ei2 dazukommen. Also haben wir auch den Erzeuger ej − ei2 dabei. D.h., wir können die Erzeuger eJ\j − ei2 ausdrücken durch die
eJ\j − ej . Der minimale Erzeuger
S ej geht über auf ej − ei2 . Damit ist, wie in (1),
auf der Menge (J ∪ I1 ∪ I2 )\ j=3 Ij wieder die richtige Anzahl von minimalen Erzeugern vorhanden. Bei P3 := P2 + N (I3 + J ) haben wir insgesamt vier mögliche
Eckenfolgen:
(a) Für den Idealtangentenkegel von a+2ej in P2 gilt wieder, falls j ∈ J\(I1 ∪I2 ∪I3 ),
und falls dieses j in P3 dazukommt: In I3 bleiben bis auf den zusätzlichen Vektor
ei3 − ej alle minimalen Erzeuger gleich. Wenn i2 = i3 oder i3 = i1 also i2 ∈
I2 ∩ I3 bzw. I1 ∩ I3 , dann
S passt die Anzahl der minimalen Erzeuger auf der Menge (J ∪ I1 ∪ I2 ∪ I3 )\ j=4 Ij . Wenn i2 6∈ I3 , d.h., i2 ∈ I2 \I3 dann ist auch kein
Vektor zuviel in I3 . Insgesamt ist in I23 nach Induktionsvoraussetzung alles klar. Der
Fall i2 6= i3 ∈ I2 ∩ I3 kann nicht auftreten, da sonst der Idealtangentenkegel die beiden
Vektoren ei2 − ei3 und ei3 − ei2 enthalten würde, was einen Widerspruch zur Eckenbedingung liefert. Analog für i1 = i3 in I13 .
(b) Wenn in ITa+2ej (I (J + I1 )(J + I2 )) jedoch i3 ∈ I3 dazukommt, sind die
Vektoren eI3 \i3 − ei3 schon von Vorneherein dabei, wir erhalten nur zusätzlich zu den
eJ\j − ej und ej dieVektoren eJ − ei3 , die wir wegen ej − ei3 aber auch schon durch
die ersteren ausdrücken können. Der einzige minimale Erzeuger, der
S sich ändert ist
ej ; ej − ei3 . Es ist also wieder alles klar auf (J ∪ I1 ∪ I2 ∪ I3 )\ j=4 Ij .
(c) Im anderen Idealtangentenkegel ITa+ej +ei2 (I (J + I1 )(J + I2 )) kommt entweder wieder dasselbe j ∈ J dazu, dann gilt (wegen der Kommutativität) dasselbe wie
in Fall (b), oder
(d) in ITa+ej +ei2 (I (J + I1 )(J + I2 )) kommt ein i3 ∈ I3 \(J ∪ I1 ∪ I2 ) dazu.
Dann ist in I3 alles wie gehabt (keine neuen Erzeuger!), während in J zusätzlich zu
eJ − ej auch alle Vektoren eJ − ei3 dazukommen. Dank ej − ei3 können wir auch
diese eliminieren. Wir haben nur beide Vektoren ej − ei2 und ej − ei3 als Erzeuger.
Allerdings ist auch das Ideal I23 ein Faktor von I , und dieses Ideal liefert für den
Idealtangentenkegel ITa+ej +ei2 +ei3 (I (J + I1 )(J + I2 )(J + I3 )) einen der
beiden Erzeuger ei2 − ei3 oder ei3 − ei2 (Wir können also einen der beiden Vektoren
ej − ei2 oder ej − ei3 durch den anderen ausdrücken) Somit erhalten wir dasselbe
Ergebnis wie in den Fällen (a)-(c).
61
Beim nächsten Ideal (I4 +J ) kann wieder entweder j ∈ J\I4 oder i4 ∈ I4 dazukommen, doch die Erzeuger verhalten sich exakt gleich wie in den obigen 4 Fällen! Somit
haben wir inSI · (I1 + J ) · · · (Is + J ) alle Ecken abgedeckt, in denen mindestens
ein j ∈ J\ j=1 Ij vorkommt. Es fehlt nur mehr die Folge der gewählten Vektoren
i1 − i2 − . . . − is .
2. Fall. In P1 kommt ein i1 ∈ I1 dazu. Dann erhalten wir für ITa+ei1 (I (J +I1 )) lediglich die neuen Erzeuger eJ − ei1 , (auf I1 und den restlichen Ik ändert sich nach I.V.
nichts!) statt den zugehörigen Standardbasisvektoren. Daher ist der Idealtangentenkegel wieder simplizial. In P2 kommen noch die Vektoren eJ − ei2 dazu. Jedoch liefert
dieselbe Überlegung wie in (d) wieder, dass entweder ei1 − ei2 oder ei2 − ei1 schon
im Idealtangentenkegel zu a enthalten sind. Das bedeutet, dass wir auf der simplizialen
Seite sind! Wenn nun i3 ∈ I3 dazukommt, können
P wir wieder gleich argumentieren,
und haben damit auch alle Ecken der Gestalt a + k eik mit ik ∈ Ik für k = 1, . . . , s
erledigt. Falls s = r sind wir fertig.
Sonst ist s = r − 1. Angenommen für die Ecke a von P wurde in Ir in jedem Ikr
jeweils ein ik ∈ Ik \Ir gewählt. Dann sind schon in P jeweils die Vektoren eIr − eik
mit ik ∈ Ik \Ir für jedes Ideal Ikr für alle k = 1, . . .P
, r − 1 (also s = r − 1) im Idealtangentenkegel ITa (I ) enthalten. Sei nun b = a + k eik ∈ Ps = P1 + . . . + Ps−1 ,
die oben betrachtete Ecke. Wir müssen ein letztes Mal zwei Fälle unterscheiden:
(a) Es kommt ein ej mit j ∈ J\Ir in b vor, d.h., alle Vektoren eJ\j − ej , ej sind
im Idealtangentenkegel zu b von P3 enthalten. Wenn wir das letzte Ideal (Ir + J )
dazumultiplizieren, können wir dieses j ∈ J\Ir wählen und erhalten die neuen zusätzlichen Erzeuger eIr − ej . In J bleibt alles beim Alten. Das gewählte j kommt nach
Voraussetzung von einem Ideal Ik + J , oBdA sei k = 1. Wir haben also alle Vektoren eI1 − ej als Erzeuger von ITb (I (J + I1 ) · · · (J + Is )) in Ps . In I1 + Ir
muss ein i1 ∈ I1 \Ir gewählt worden sein (sonst keine Ecke!). Somit existieren auch
alle Erzeuger eIr − ei1 . Insbesondere sind wegen ei1 − ej alle eIr − ej echt im Idealtangentenkegel enthalten. Damit bleibt der Kegel simplizial.
Wir hätten aber auch ein ir ∈ Ir \(I1 ∪ . . . ∪ Ir−1 ) wählen können (muss existieren!).
Dann ist entweder j = ir , falls j ∈ Ir ∩ J, also geschieht nichts Neues. Für den Fall
j ∈ J\Ir kommen die neuen Erzeuger eIr \ir − eir bzw. eJ − eir hinzu. Von den
restlichen Mengen Ik , k 6= r sind schon alle eJ − eik für alle vorhandenenen eik ∈ b
Erzeuger des Idealtangentenkegels ITb (I (J + I1 ) · · · (J + Is )), ebenso wie alle eIr − eik für alle k 6= r. Insbesondere sind alle Vektoren eir − eik mit eik ∈ b
und ej − eir im zugehörigen Idealtangentenkegel enthalten. Durch diese können wir
nun alle eIr − eik bzw. eJ − eik ersetzen durch eIr − eir bzw. eJ − eir und ej
durch ej − eir . Falls in J noch ein ej − eil existieren sollte, so erhalten wir von Ilk
den Erzeuger eir − eil , also ist hier alles klar. Auch in allen Durchschnitten Ir ∩ Ik ,
r 6= k können wir wegen den im Idealtangentenkegel enthaltenen Vektoren eir − eik
alle eIr ∩Ik − eik durch die anderen ausdrücken. Wir haben also keine überflüssigen
Erzeuger erhalten und somit ist auch hier der Idealtangentenkegel simplizial.
(b) Ähnlich geht es, wenn ej 6∈ b (vgl. (b) oben): wenn wir dann ein j ∈ J für Ir ∪ J
wählen, erhalten wir zunächst die zusätzlichen Erzeuger eIr − ej und eJ\j − ej . Weiters existieren schon alle eIr − eik bzw. eJ − eik für sämtliche eik ∈ b, insbesondere
alle ej − eik . Wie oben können wir analog alle eJ − eik durch die eJ\j − ej Vektoren
ausdrücken und in Ir ebenso. Daher ist der Idealtangentenkegel simplizial.
Wenn wir jedoch ir ∈ Ir \(I1 ∪. . .∪Ir−1 ∪J) für Ir ∪J wählen, dann erhalten wir wie
vorher als neue Erzeuger des simplizialen Idealtangentenkegels in der Ecke b+eir von
62
Ps+1
P + i=1 Pi die eIr \ir − eir (Somit kann man wegen eir − eik alle minimalen Erzeuger der Form eIi − eik eliminieren). Auch in J ist wegen der Existenz der Erzeuger
eir − eik für alle k 6= r alles klar. Denn eJ − eik = (eJ − eir ) + (eir − eik ).
Lemma 10. Sei I wie in Lemma 9 und sei J :=
zahm.
Qk
i=1
Ii . Dann ist auch I · J
Beweis. Wir nehmen einfach das Ideal Ik+1 := (0) zu den Ii hinzu. Dann ist Ik+1 =
∅ und für alle Ii mit i < k + 1 gilt Ii ∪ Ik+1 = Ii . Dies impliziert Ii + Ik+1 = Ii .
Qk+1
Qk+1
Nach obigem Lemma ist das Produkt i<j Iij zahm. Und da I · J = i,j Iij
gilt, haben wir die Behauptung gezeigt.
Lemma 11. Sei G eine bauchige Menge, dann gilt: Für je zwei Ideale Gi = (xk : k ∈
Gi ), Gj = (xk : k ∈ Gj ) ∈ G mit Gi ∩ Gj 6= ∅, ist Gi + Gj ∈ G.
Beweis. Folgt aus Satz 15 (3) (b).
Satz 16. Sei G = {Gi } eine bauchige
Q Menge von Idealen in K[x1 , . . . , xn ]. Dann ist
die Explosion von An mit Zentrum Gi ∈G Gi glatt.
Beweis. Wir werden dies mit Hilfe von Lemma 9 beweisen, indem wir zuerst das Produkt aller möglichen paarweisen Vereinigungen (= das Arrangement CG ) betrachten.
Dann werden wir zeigen, dass man beliebige disjunkte Vereinigungen, die ja nicht notwendig in der bauchigen Menge enthalten sind, weglassen kann. D.h., man kann jeden
Faktor Gi + Gj , wobei Gi ∩ Gj = ∅ ist, weglassen. Man muss
Qalso zeigen, dass die
Idealtangentenkegel in den Ecken des Newtonpolyeders von Gi ∈G Gi immer noch
simplizial sind, wenn man die Erzeuger, die vonQbeliebigen disjunkten Vereinigungen
stammen, in einem Idealtangentenkegel von N ( Ci ∈CG Ci ) weglässt. Die so erhaltenen Idealtangentenkegel haben
Q dann die selben minimalen Erzeuger wie Idealtangentenkegel in Ecken von N ( Gi ∈G Gi ).
Wir können wieder alle Ideale Gi = (xj : j ∈ Gi ) der bauchigen Menge mit ihren
Wolken Gi identifizieren. Nach obigem Lemma sind alle Vereinigungen von nichtdisjunkten Gi ∪ Gj , abgekürzt Gij , wieder in G enthalten. Wenn ein Gi in einem
Gj enthalten ist, so ist die Vereinigung Gj also trivialerweise in G enthalten. Wir
definieren zuerst die
i := Gi . Es bezeichne wieder Ii für alle i die Wolke
Q Ideale IQ
von Ii . Dann ist i<j Iij · i Ii nach Lemma 9 glatt. Das bedeutet, dass wir alle paarweisen Vereinigungen Gi ∪ Gj abgedeckt haben. In der bauchigen Menge G
können aber auch Vereinigungen von mehreren Elementen auftauchen (Im Ebenenbeispiel im A4 mit G1 = {1, 2}, G2 = {1, 3}, G3 = {1, 4} muss auch der Faktor
G1 ∪ . . . ∪ G4 = {1, 2, 3, 4} in der bauchigen Menge enthalten sein). Wir setzen also
I|G|+1 := G1 + G2 , I|G|+2 := G1 + G3 etc. Mit dieser Methode erhalten wir alle dreiund vierfachen Vereinigungen der zugehörigen
S Wolken. Iteration liefert schließlich alle möglichen Vereinigungen von Wolken i Gi , also das ganze Arrangement CG . Da
das Arrangement nur aus endlich vielen
besteht, ist auch die Anzahl der
Q Unterräumen
Q
Ii endlich. Die Explosion im Ideal i<j Iij · i Ii ist nach Lemma 10 glatt. Dieses
Produkt hat nur zwei Schönheitsfehler:
(1) Es kommen Ideale mehrfach vor. Zum Beispiel ist der Faktor I12 = I|G|+1 mindestens doppelt vorhanden.
(2) Es tauchen auch Summen von Idealen mit disjunkten Wolken auf. Es gibt also Fak˙ j gilt. Die zugehörigen Ideale sind allerdings nicht
toren Ii + Ij , für die Iij = Ii ∪I
notwendig in der bauchigen Menge enthalten!
63
Im Fall (1) haben wir Dank Korollar zu Lemma 8 kein Problem, da ein Faktor Iik die
Erzeuger eines Idealtangentenkegels von N (Iik−1 I ) nicht verändert. Man braucht
sich also nicht um den Faktor Iik−1 kümmern.
Im Fall (2) müssen wir schauen, was mit den Erzeugern eines beliebigen Idealtan˙
gentenkegels passiert,
wennQwir eine disjunkte
Q
P Vereinigung Ii ∪Ij weglassen. Es bezeichne
I
:=
I
·
I
.
Sei
a
:=
α
e
eine
Ecke
im Newtonpolyeder
ij
i<j
i i
k k k
Q
N ( i<j (I )) und seien Ii , Ij zwei Ideale mit disjunkten Wolken I, J. Vom Ideal
Iij erhalten wir in N (Iij )die Erzeuger
{eI\i − ei , ei , eJ − ei }.
Also sind diese Erzeuger auch im Idealtangentenkegel ITa (I ) enthalten. (Wir können
o.B.d.A. i ∈ I wählen, für j ∈ J funktioniert alles analog!).
Was
Q passiert, wenn wir
Qden Faktor Iij aus dem Produkt I weglassen? Da in I Iij =
k<l(k,l)6=(i,j) Ikl ·
k Ik beide Faktoren Ii und Ij auftauchen, enthält der Idealtangentenkegel einer Ecke a − ei von N (I /Iij ) alle Vektoren der Form eI\i − ei und
eJ\j − ej . Unser einziges Problem sind die eJ\j − ei . Wenn wir also die Iij -Vektoren
weglassen, ist der einzige wirklich fehlende Erzeuger von ITa−ei (I \Iij ) der Vektor
ej − ei . Doch diesen benötigen wir für die Simplizialität überhaupt nicht. Denn:
Probleme mit der Simplizialität kann es höchstens auf einer Menge K = Ik , für ein
Ik , geben, für die Erzeugervektoren eK − ei und eK − ej im Idealtangentenkegel
existieren. Da diese Menge K auch einen Faktor Ik im Produkt der Ideale liefert, sind
Erzeuger der Form eK\k − ek in ITa−ei (I /Iij ) für ein k ∈ K. Die Vektoren ek − ei
und ek −ej sind ebenso Erzeuger dieses Idealtangentenkegels. Daher sind die einzigen
zwei Vektoren, die die Simplizialität zerstören könnten
ek − ei und ek − ej .
Wenn beide Vektoren redundante Erzeuger des Idealtangentenkegels von a in N (I )
sind, haben wir kein Problem. Sonst sei o.B.d.A ek − ei der minimale Erzeuger in
“Richtung” i von ITa (I ). Dann ist auch der Vektor ei − ej in ITa (I ) enthalten. Die
Frage ist nun, ob dieser Erzeuger nicht auch schon in ITa−ei (I /Iij ) enthalten ist.
1. Fall. Es existiert eine Menge K wie oben, sodass I ∩ K 6= ∅ und J ∩ K 6= ∅.
Dann müssen die drei Ideale Iik , Ijk und Iijk in der bauchigen Menge enthalten
sein (nach Lemma 11). Da die Vektoren ek − ei bzw. ek − ej Erzeuger des Idealtangentenkegels der Ecke a − ei in N (I /Iij ) sind, müssen in Iik bzw. Ijk jeweils
i ∈ I\K bzw. j ∈ J\K gewählt worden sein. (Denn: Wäre z.B. in Iij ein i0 ∈ I\i
gewählt worden, enthielte der Idealtangentenkegel auch den Vektor ei −ei0 . Dann wäre
aber ek − ei = ek − ei + (ei − ei0 ) kein minimaler Erzeuger mehr. Widerspruch!) Da
aber auch die Menge Iijk vorkommt, muss hier auch entweder dasselbe i oder j gewählt worden sein. Für j erhalten wir den zusätzlichen Erzeuger ei − ej und für i den
Erzeuger ej − ei . (Wenn in Iijk ein k ∈ K k 6= i, j gewählt worden wäre, erhielten wir
den Erzeuger ei − ek . Widerspruch zur Eckenbedingung!) Wir können also auf jeden
Fall einen der beiden störenden Erzeuger eliminieren.
2. Fall. I ist disjunkt zu allen K der obigen Form. Damit wir trotzdem den Vektor
ek − ei als minimalen Erzeuger des Idealtangentenkegels ITa−ei (I /Iij ) erhalten,
muss eine Menge I ∪ L mit k ∈ L ∩ K in G enthalten sein. Da (I ∪ L) ∩ K 6= ∅ so
müssen auch (wegen Lemma 11) die Faktoren (I ∪ L ∪ K) ∪ J und J ∪ (K ∪ L) in G
64
sein. Damit sind wir wieder in der Situation vom 1. Fall.
Wenn noch zusätzlich K ∩ J = ∅ ist, muss entweder ek − ej von anderen Erzeugern
gekillt werden oder auch ein Faktor J ∪ M mit k ∈ M ∩ K in G sein (sonst erhalten
wir keinen Erzeuger ek − ej !). Analog zu vorher muss dann auch (I ∪ K ∪ M ) ∪ J im
Produkt enthalten sein, womit wir wieder im 1. Fall wären.
Beispiel 22. Wir wissen nun, dass ein Produkt von Koordinatenidealen zahm ist, wenn
diese Ideale eine bauchige Menge bilden. Diese Bedingung ist jedoch nicht notwendig:
Seien I1 = (x, y), I2 = (x, z), I3 = (y, z) die reduzierten Ideale der drei Koordinatenachsen in A3 . Die Menge G = {Ii } ist keine bauchige Menge, da (x, y, z) nicht in
G enthalten ist (keine direkte Summe!). Die Explosion von A3 mit Zentrum I1 I2 I3
ist aber trotzdem glatt.
Wir können dieses Beispiel auf (n − 2)-dimensionale Koordinatenunterräume in An
verallgemeinern:
Es seien Iij = (xi , xj : i, j ∈ {1, . . . , n}) Ideale in K[x1 , . . . , xn ].
Q
Dann ist i<j Iij zahm. Denn: Für alle i ∈Q{1, . . . , n} bezeichne
Q Ji = (xi ) das von
xi erzeugte Hauptideal. Nach Lemma 9 ist i<j (Ji + Jj ) = i<j Iij zahm. Man
sieht auch sofort, dass die Iij keine bauchige Menge bilden.
3.6
Weitere Fragen
Im Laufe dieser Arbeit sind uns immer wieder Probleme begegnet, die wir nur teilweise oder gar nicht lösen konnten. Zum Abschluss gebe ich noch einen kurzen Überblick
über Fragen, die uns noch weiter beschäftigen könnten:
Verallgemeinerung von bauchigen Mengen. Am Schluss haben wir gesehen, dass
das Konzept einer bauchigen Menge viel zu restriktiv ist. Wir können in jeder beliebigen Dimension Koordinatenideale, die keine bauchige Menge bilden, finden, sodass
ihr Produkt zahm ist. Kann man nun auch eine notwendige Bedingung für die Zahmheit finden? Genauer: Gegeben sei eine endliche Menge {Ii } von Koordinatenidealen.
Q
Welche Bedingung (∗) müssen die Wolken der Ii erfüllen, sodass gilt: i Ii ist zahm
⇐⇒ (∗) gilt?
In Lemma 9 haben wir gezeigt, dass das Produkt aller paarweisen Summen Ii + Ij
von endlich vielen Koordinatenidealen Ii zahm ist. Gilt dasselbe für die symmetrische Differenz? Genauer: Es seien Ii = (xkQ
, k ∈ Ii ), Ij = (xk , k ∈ Ij ). Definiere
Ii 4Ij = (xk , k ∈ Ii 4Ij ). Ist das Produkt i<j Ii 4Ij zahm?
Meine Vermutung hierzu:
Vermutung. Sei {Ii } eine endliche Menge von Koordinatenidealen. Wir ordnen je zwei
Idealen
Ii , Ij mit i 6= j ein Ideal Iij = (xk , k ∈ Iij ) zu. Dann ist das Produktideal
Q
I
ij genau dann zahm, wenn für alle i 6= j gilt: Ii 4Ij ⊆ Iij .
i<j
Wir haben schon (mit Hilfe von Maple) bestimmt, wann das Produkt von zwei bzw.
drei Koordinatenidealen zahm ist. Kann man weiters eine einfache Bedingung an die
Wolken stellen, sodass das Produkt von genau s Koordinatenidealen zahm ist?
Schließlich noch: Wie kann man bauchige Mengen auf beliebige Monomideale verallgemeinern? Was kann man über ein Produkt von Monomidealen allgemein aussagen?
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Zur Beweismethode. Unsere Beweise der Zahmheit eines monomialen Ideals sind alle
nach demselben Schema abgelaufen: Wir haben zuerst die Ecken des assoziierten Newtonpolyeders in Rn bestimmt und dann die jeweiligen Idealtangentenkegel berechnet.
Kann man die Beweise vereinfachen, indem man die Polyeder dualisiert? Genauer:
Betrachte den inneren Normalenfächer des Newtonpolyeders, auch genannt der duale
Fächer. Die n-dimensionalen Unterkegel des dualen Fächers entsprechen den Tangentialkegeln des Polyeders.
P Diesen Fächer kann man am besten durch Schnitt mit einer
affinen Hyperebene i xi = 1 visualisieren. Das entspricht einer Pojektivisierung des
Fächers. Dadurch erhält man ein (n − 1)-Simplex, das durch Polytope (entsprechen
den Tangentialkegeln) unterteilt wird. Dieses Simplex wird Kaleidoskop genannt. Es
gilt: ein Newtonpolyeder ist simplizial genau dann, wenn sein Kaleidoskop simplizial
ist. Im Fall von Koordinatenidealen reicht dies auch schon für die Glattheit.
Durch das Dualisieren und Projektivisieren sparen wir eine Dimension. Das Problem
ist jedoch hier, die Schnittpunkte der Unterpolytope des Kaleidoskops zu bestimmen,
sodass man Aussagen über die Simplizialität treffen kann.
Zähmung von Idealen. Im Abschnitt über das Rosenbergideal haben wir gesehen,
wie man ein Newtonpolyeder zähmen kann: Sei I ein beliebiges monomiales Ideal.
Durch Multiplikation bzw. Durchschnittsbildung von I mit einem weiteren monomialen Ideal kann man das zugehörige Newtonpolyeder N (I ) zähmen. Aus der speziellen
Struktur von R ergab sich als Zähmungsideal eine Potenz des maximalen Ideals. Kann
man für ein beliebiges I ein (kanonisches) Zähmungsideal finden?
Äquivariante Auflösung. Unser Hauptziel im zweiten Kapitel war es, ein geeignetes nichtreduziertes Zentrum einer Explosion des An zu finden, sodass wir zu einer
äquivariante n eingebetteten Auflösung einer affinen torischen Hyperfläche X in An
kommen. Wir haben nun zwar einige Kandidaten für symmetrieinvariante Zentren bee n glatt ist, jedoch wird i. A. X durch keine dieser Explosionen mit eistimmt, sodass A
nem Schlag aufgelöst. Unsere Invarianten werden sogar lexikographisch größer. Kann
man ein nichtreduziertes monomiales Zentrum I finden, sodass X durch eine Explosion von An in I aufgelöst wird? Kann man eine geeignete Invariante von X finden,
sodass diese bei einer Explosion von An in einem symmetrieinvarianten Zentrum (z.B.:
Produkt von Idealen einer bauchigen Menge) lexikographisch kleiner wird? Verallgemeinerung auf torische Varietäten niederer Dimension?
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