11. Übungsblatt

11. Übungsblatt
Algebraische Topologie 2
im SS 2015 bei Prof. Dr. S. Goette
Abgabe Dienstag, den 14.7.15
18 Uhr vor der Vorlesung
Bitte schreiben Sie Ihren Vor- und
Nachnamen auf Ihr Blatt
Aufgabe 1
Sei E ein Spektrum und B ⊂ A ⊂ X seien beliebige Räume. Beweisen Sie die Exaktheit einer
der Sequenzen
∂
· · · ←− Ek (X, A) ←− Ek (X, B) ←− Ek (A, B) ←− Ek+1 (X, A) ←− · · · ,
δ
· · · −→ E k (X, A) −→ E k (X, B) −→ E k (A, B) −→ E k+1 (X, A) −→ · · · .
Orientieren Sie sich dazu an Übung 3.111.
Aufgabe 2
Es sei f : (Z, U ) → (W, V ) eine stetige Abbildung beliebiger Paare. Beweisen Sie die Definition 7.34 zugrunde liegende Behauptung, wonach f ∗ : E • (W, V ) → E • (Z, U ) nicht von der Wahl
der Abbildung g : (X, A) → (Y, B) von Approximationen durch Paare von CW-Komplexen
abhängt. Zeigen Sie dann, dass E • ein homotopieinvarianter Funktor ist.
Aufgabe 3
Es sei E ein Ringspektrum und α ∈ E n (Rm |0). Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden
Aussagen.
(a) Es sei ∈ E 0 die Eins des Ringspektrums und δS m−1 ihr Bild unter dem Isomorphismus
S
S
δ
E 0 = Ẽ 0 (S 0 ) −→ · · · −→ Ẽ m−1 (S m−1 ) −→ E m (Dm , S m−1 ) ∼
= E m (Rm |0) .
Dann gibt es eine Einheit β ∈ E • , so dass α = β ∧ δS m−1 .
(b) Das Kronecker-Produkt h · , αi : E• (Rm |0) → E• ist ein Isomorphismus.
(c) Für jedes Rechts-E-Modulspektrum F ist h · , αi : F• (Rm |0) → F• ein Isomorphismus.
Aufgabe 4
Es seien (X, A) → (Z, U ) und (Y, B) → (W, V ) Approximationen durch Paare von CWKomplexen. Zeigen Sie, dass (X × Y, A × Y ∪ X × B) eine Approximation von (Z × W, U ×
W ∪ Z × V ) durch Paare von CW-Komplexen ist.
Hinweis: Arbeiten Sie mit Abbildungskegeln, und beginnen Sie mit dem Spezialfall U = V = ∅.
Aufgabe 5
Es sei E ein Ringspektrum und F ein Rechts-E-Modulspektrum. Beweisen Sie die Eigenschaften
des Produktes “\” aus Bemerkung 7.41.