Numerische Lineare Algebra

Prof. Dr. S. Sauter
Institut für Mathematik
Universität Zürich
Numerische Lineare Algebra
10. Übung
Abgabe: 12.05.2014 bis 10 Uhr
Sei A ∈ Kn×n . Für jedes λ ∈ σ(A) bezeichnen wir mit µaA (λ) die Vielfachheit der Nullstelle
λ des charakteristischen Polynoms pA und mit µgA (λ) die Dimension des Kerns von λI − A.
µaA (λ) und µgA (λ) heissen algebraische und geometrische Vielfachheit von λ.
Aufgabe 34 (3 P.)
Finden Sie eine Matrix A ∈ K2×2 , für die gilt: µaA (λ) > µgA (λ).
Aufgabe 35 (3 P.)
Seien A, B ∈ Kn×n ähnliche Matrizen. Beweisen Sie, dass dann gilt pA = pB . Also folgt
insbesondere µaA (λ) = µaB (λ) für alle λ ∈ σ(A).
Aufgabe 36 (6 P.)
Seien n, m ∈ N. Beweisen Sie, dass sich die Spektralnorm alternativ durch
kAk = max
|hy, Azi|
: y ∈ Kn \{0}, z ∈ Km \{0}
kyk kzk
für alle A ∈ Kn×m
darstellen lässt. Folgern Sie daraus die Beziehungen
kAk = kA∗ k = kA∗ Ak1/2 = kAA∗ k1/2
für alle A ∈ Kn×m .
Aufgabe 37 (4 P.)
Sei A ∈ Kn×m . Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:
a) A ist genau dann injektiv, wenn A∗ A positiv definit ist.
b) A ist genau dann surjektiv, wenn AA∗ positiv definit ist.
Hinweis zu b): Überlegen Sie sich, dass Bild(A) ∩ Kern(A∗ ) = {0} gilt und wieso AA∗
invertierbar ist.