Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 11

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Thorsten Kräling
9. Januar 2012
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 11
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Zeigen Sie die Zulässigkeit der folgenden erweiterten Distributionsregel“ im Shoenfield”
Kalkül:
δ → (ϕ → ψ)
, falls x 6∈ F V (δ).
δ → (∃xϕ → ∃xψ)
Aufgabe 2 (6 Punkte)
(a) Seien s, s0 , ti , t0i (1 ≤ i ≤ n) Terme, wobei s0 aus s durch Ersetzung einiger (möglicherweise
aller) Vorkommen der Teilterme t durch die Terme t0 entstehe. Zeigen Sie (ohne Benutzung
des Adäquatheitssatzes):
` (t1 = t01 ∧ . . . ∧ tn = t0n ) → s = s0 .
(b) Seien ϕ eine Formel und t1 , . . . , tn sowie t01 , . . . , t0n Terme, die in ϕ jeweils für die Variablen
v1 , . . . , vn substituierbar seien. Seien ϕ(t1 , . . . , tn ) sowie ϕ(t01 , . . . , t0n ) Formeln, die aus ϕ
durch Ersetzen der gleichen (möglicherweise aller) Vorkommen der Variablen vi durch ti
bzw. t0i entstehen. Zeigen Sie (ohne Benutzung des Adäquatheitssatzes) durch Induktion
nach dem Formelaufbau, dass dann gilt:
` (t1 = t01 ∧ . . . ∧ tn = t0n ) → (ϕ(t1 , . . . , tn ) ↔ ϕ(t01 , . . . , t0n )).
Hinweis: Im Fall ϕ ≡ ∃xψ zeigen Sie zunächst, dass es genügt, den Fall zu betrachten, dass
alle Variablen v1 , . . . , vn tatsächlich frei in ϕ vorkommen. Überlegen Sie sich dann, dass
in diesem Fall aufgrund der Substituierbarkeitsbedingung die Variable x nicht in t1 , . . . , tn
sowie t01 , . . . , t0n vorkommt und wenden Sie die Regel aus Aufgabe 1 an.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei L = L(<, S, 0) und sei T die L-Theorie
T = {σlin , ∀x(0 = x ∨ 0 < x), ∀x(x < S(x)), ∀x∀y∃z(x < y → x < z ∧ z < y)},
wobei der Satz σlin ausdrücke, dass < eine totale Ordnung ist.
(a) Beschreiben Sie die Termstruktur von T .
(b) Folgern Sie aus (a), dass die Termstruktur von T kein Modell von T ist.
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass es über einer abzählbaren Sprache L nur abzählbar viele L-Sätze σ0 , σ1 , . . .
gibt.
(Bemerkung: Diese Eigenschaft wird im Beweis des Satzes von Lindenbaum verwendet werden. )
Abgabe: Bis Montag, den 16. Januar 2012 in den Briefkästen im Foyer im EG der
Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 11 Uhr!).