ARBEITSUNTERLAGEN Advanced Quantitative Methods for

ARBEITSUNTERLAGEN
ZUR
VORLESUNG UND ÜBUNG
AN DER
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
Advanced Quantitative Methods
for Economists
IM
WS 2014/2015
Wie bearbeite ich Übungsaufgaben
Mathematik fängt erst da an, wo man Probleme löst. Hierbei muss ein gegebenes Problem
analysiert, mathematisch formuliert und anschließend gelöst werden. Übungsaufgaben sind der
natürliche Weg, diese Fähigkeiten zu erwerben.
Man lernt nur durch Selbermachen. Ein einziges selbständig gelöstes Problem ersetzt zehn nachvollzogene Beispiele aus einem Lehrbuch, einer Vorlesung oder Übung! Es gibt keinen anderen
Weg zu lernen.
Es geht nicht darum, sich mit den Übungsaufgaben auf die Klausur vorzubereiten. Diese soll
umgekehrt prüfen, ob Sie gelernt haben, Probleme zu lösen.
Übungsaufgaben, die Ihnen keine Probleme bereiten oder mechanisch abgearbeitet werden können, sind die unwichtigsten, da sie keine neuen Erkenntnisse liefern. Bestenfalls wird die Routine
oder ein spezielles Rechenverfahren geschult. Ein Lerneffekt entsteht erst dann, wenn Sie - analog zum Sport - Ihren Verstand über das schon Bekannte hinaus fordern oder wenn Sie Fehler
machen (!!). Dies steht im fast völligen Gegensatz zu den Mathematik-Hausaufgaben in der
Schule.
Ein Großteil der Aufgaben erwartet eine intensive Beschäftigung. I.A. werden Sie es nicht schaffen, in 30 Minuten eine Lösung zu finden (Diese Aussage ist natürlich stark vom jeweiligen Kenntnisstand bzw. der jeweiligen Aufgabe abhängig.). Der Lerneffekt ist um so größer, je schwieriger
die Aufgabe ist und je länger Sie zur Lösung gebraucht haben. Anders ausgedrückt: „Ohne ausreichende Beschäftigung mit der Aufgabe (siehe auch die nachfolgenden Punkte) geht der größte
Teil des Übungseffektes verloren“.
Beim Lösen von Aufgaben gilt: „Der Weg ist das Ziel, nicht die Lösung“. Dieser Weg kann aus
vielen Schritten bestehen.
• Kennenlernen der Aufgabe: Formulieren Sie die Aufgabenstellung in eigenen Worten ohne
Rückgriff auf das Aufgabenblatt, indem Sie die Aufgabe einem Kommilitonen erklären.
• Analyse der Aufgabenstellung: „Sammeln“ Sie alle in der Aufgabenstellung verwendeten
Begriffe und stellen Sie sicher, dass Sie mit diesen Begriffen nicht nur verschwommene
Vorstellungen verbinden, sondern präzise Definitionen.
• Bedeutung eines Begriffes: Diese ist erst durch die Menge aller Sätze gegeben, die über
diesen Begriff gemacht werden. „Sammeln“ Sie alle in der Vorlesung gemachten Sätze über
den jeweiligen Begriff.
• Bedeutung der Sätze für die Aufgabe: In welchen Sätzen kommen die Begriffe aus der
Übungsaufgabe vor? Ist die Übungsaufgabe ein einfacher Spezialfall eines Satzes der Vorlesung oder verallgemeinert die Übungsaufgabe einen Satz aus der Vorlesung?
• Bildhafte Darstellung: Versuchen Sie, die Aufgabenstellung zu „verbildlichen“. Funktionen
kann man zeichnen, bei mengentheoretischen Konstruktionen sind schematische Bilder oft
nützlich. Beachten Sie allerdings, dass diese Bilder keinen Beweis darstellen und Sie unter
Umständen auf eine falsche Fährte gelockt werden.
• Zusammenhang zur Vorlesung: Welche Methoden kamen in der Vorlesung im Zusammenhang mit den Begriffen aus der Aufgabe vor? Kann man diese Methoden für die Aufgabe
verwenden? Selten wird man von Ihnen erwarten, dass Sie einen genialischen neuen Einfall
haben. Trauen Sie Ihrer Intuition.
2
• Dialektischer Zugang: Falls Sie keine Lösung finden, versuchen Sie ein Gegenbeispiel zu
finden und zu klären, warum Sie bei dessen Konstruktion scheitern (es sei denn, die Aufgabenstellung ist falsch). Hierdurch wird vielleicht eine Struktur deutlich, die zur Lösung
führt.
• Reden über die Aufgabe: Reden Sie mit Ihren Kommilitonen oder Ihrem Übungsgruppenleiter über die Aufgabenstellung, Lösungsansätze und die Lösung. Dies hilft, die eigenen
Gedanken zu ordnen. In jedem Falle gilt, dass Sie vorher nachgedacht haben müssen, wenn
das Gespräch nutzen soll, andernfalls geht Ihnen das Aha-Erlebnis und damit der Zweck
der Aufgabe verloren.
1
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
1. Aufgabe (Logik)
a) Von den drei Herren Dick, Dünn und Doof hat jeder genau eine der Eigenschaften dick,
dünn bzw. doof. Nur eine der folgenden vier Aussagen entspricht der Wahrheit.
1.) Doof ist nicht dünn.
2.) Dick ist nicht doof.
3.) Doof ist doof.
4.) Dick ist nicht dünn.
Wer ist was bzw. wer?
b) Formulieren Sie für jede der folgenden Aussagen die Negation so einfach wie möglich.
i) x und y sind größer gleich Null.
ii) Jede Katze hat neun Schwänze.
iii) Alle x sind größer gleich a.
iv) Weder x noch y ist kleiner als 5.
v) Für jedes positive ε existiert ein positives δ, so dass A erfüllt ist.
vi) Jeder liebt Katzen.
c) Drücken Sie folgenden Sachverhalt mittels formaler Logik aus:
„Jede positive Zahl ist Quadrat einer reellen Zahl.“
d) Welche der nachstehenden Aussagen i) – v) sind Negationen der Aussage:
„Jede Entscheidung schafft Unzufriedene.“
i) Es gibt eine Entscheidung, mit der alle zufrieden sind.
ii) Es gibt einen, der mit allen Entscheidungen zufrieden ist.
iii) Es gibt keine Entscheidung, mit der alle zufrieden sind.
iv) Alle sind mit jeder Entscheidung zufrieden.
v) Es gibt keinen, der mit allen Entscheidungen unzufrieden ist.
e) Betrachten Sie die Ungleichung 2x+5>13.
i) Ist die Bedingung x>0 notwendig, hinreichend oder beides, damit die Ungleichung
erfüllt ist? (Begründung!)
ii) Beantworten Sie dieselbe Frage, wenn x>0 ersetzt wird durch x>50. (Begründung!)
iii) Beantworten Sie dieselbe Frage, wenn x>0 ersetzt wird durch x>4. (Begründung!)
2. Aufgabe (Logik, Tautologie)
a) Geben Sie eine Wahrheitswertetabelle für die Aussagenverbindung (p→q)∧q → p an.
b) Stellen Sie die Subjunktion p → q und Bijunktion p ↔ q durch alleinige Verwendung von
Negation und Disjunktion bzw. Negation und Konjunktion dar.
1
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
ÜBUNG
c) Bei welchen der folgenden Ausdrücke handelt es sich um Tautologien?
A:
p ∧ (p → q) → q
B:
(p ∨ q) → p̄
C:
(q̄ ∨ p) ↔ (p̄ ↔ q̄)
d) Seien p, q, r, s, t Aussagen. Untersuchen Sie, ob die folgenden beiden Aussagenverbindungen
A1 und A2 logisch äquivalent sind.
A1 := p̄ ∨ (s ∧ t) ∨ (s̄ ∧ t̄) ∨ q → r ,
A2 := [p → (s ↔ t)] → r ∧ (q → r)
e) Herr Maier hat strenge Essgewohnheiten zum Mittagessen.
• Wenn er Blumenkohl isst, isst er keine Erbsen
• Wenn er Kartoffeln isst, isst er auch Erbsen
• wenn er keine Kartoffeln isst, isst er Eis zum Nachtisch, sonst Kompott
Stellen Sie diese drei Aussagen symbolisch dar und begründen Sie dann formallogisch,
welchen Nachtisch Herr Maier isst, wenn es Blumenkohl gibt.
3. Aufgabe (Vollständige Induktion, Summen)
a) Beweisen Sie die folgende Summenformel mittels vollständiger Induktion (n ∈
n
X
N0).
n
2
X
3
k =
k
k=1
k=1
b) Finden Sie eine Formel für die folgenden vier Summen und beweisen Sie diese anschließend
mittels vollständiger Induktion.
i)
n
X
ℓ=1
ℓ · (ℓ+1)
ii)
n
X
ℓ=1
1
ℓ · (ℓ+1)
N0 gilt die Ungleichung
c) Für welche n∈
iii)
n
X
(−1)ℓ+1 ℓ2
ℓ=1
2n
>
n2 ?
iv)
n
X
(2ℓ−1)
ℓ=1
Beweisen Sie Ihre Behauptung!
d) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n folgende Gleichung (Satz von Moivre) gilt:
n
cos(x) + i sin(x)
= cos(nx) + i sin(nx)
Hinweis: i bezeichnet eine komplexe Zahl (imaginäre Einheit) mit i2 = −1. Verwenden
Sie beim Induktionsschritt die Additionstheoreme für sin und cos (Nachschlagen!).
4. Aufgabe (Vollständige Induktion)
Für x∈ und ℓ∈ 0 definieren wir die Größen sℓ (x) und tℓ (x) durch1
R
sℓ (x) :=
N
ℓ−1
X
xk
und tℓ (x) :=
k=0
ℓ−1
X
sk (x)
k=0
Beweisen Sie folgende Aussagen.
1
Mit den Konventionen x0 :=1 und
−1
P
∼ :=0. In der Finanzmathematik heißt sℓ (x) Rentenendwertfaktor.
k=0
2
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
a) sℓ+1 (x) = sℓ (x) + xℓ
und
b) x · sℓ (x) = sℓ+1 (x) − 1
c) sℓ (x) =


und
xℓ −1
x−1
für x6=1
ℓ
für x=1

tℓ+1 (x) = tℓ (x) + sℓ (x)
x · tℓ (x) = tℓ+1 (x) − ℓ
und
tℓ (x) =



sℓ (x)−ℓ
x−1
für x6=1
ℓ·(ℓ−1)
2
für x=1
5. Aufgabe (Mengenlehre)
a) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
i) ∅ ⊂ 5, {5}
v) ∅ ∈ ℘(∅)
ii) {5} ⊂ {5, 6}
vi) ∅ ⊂ ℘(∅)
iii) {7} ⊂ {7}
vii) {∅} ∈ ℘
℘(∅)
ix) Jedes Element der leeren Menge ist ein blonder Fuchs.
iv) {7} ∈ {7}
viii) {∅} ⊂ ℘
℘(∅)
b) Gegeben seien die Mengen
M1 := {∅}, A, {A} , M2 := A,
M3 := A ,
M4 := A, {A} ,
M5 := ∅,
M6 := ∅ , M7 := {∅} , M8 := ∅, {∅}
i) Welche der Mengen M1 , . . . , M8 ist Element von M1 ?
ii) Welche der Mengen M1 , . . . , M8 ist Teilmenge von M1 ?
iii) Welche der Mengen M1 , . . . , M8 ist Element von M8 ?
iv) Welche der Mengen M1 , . . . , M8 ist Teilmenge von M8 ?
6. Aufgabe (Mengenlehre, Mengensysteme)
a) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke, so dass die resultierenden Formeln aus nicht mehr
Symbolen bestehen, als die jeweils in Klammern stehende Zahl angibt!
i) A ∩ (A∪B)\B
(3),
ii) (A\B) ∩ (A∩B) ∪ (A\C)
(6),
iii) (A∩C) ∪ (A∩B∩C) ∪ (A∩C) (1),
iv) A ∪ (A∩B) ∪ (A∩B∩C) ∩ (A∪B∪C) (1),
v) (A∩B) ∪ (A∩B) ∪ (A∩B) ∩ (A∪B) ∩ (A∪B)
(3).
b) Sei A ⊂ ℘(Ω) ein Mengensystem in einer Menge Ω mit folgenden drei Eigenschaften:
1) Ω ∈ A
2) A ∈ A =⇒ ∁A ∈ A
3) Für jede Folge A1 , A2 , A3 , . . . in A, liegt auch
∞
S
Ak in A
k=1
Zeigen Sie, dass A dann auch folgende Eigenschaften besitzt.
i) Für jede Folge A1 , A2 , A3 , . . . in A, liegt auch
ii) A, B ∈ A =⇒ A\B ∈ A
∞
T
Ak in A
k=1
Bemerkung: Mengensysteme A mit Eigenschaften 1) - 3) heißen σ-Algebren.
3
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
ÜBUNG
c) Beweisen Sie folgende Aussagen für endliche Mengen A1 , A2 , A3 :
i) |A1 ∪A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩A2 |
Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, dass für disjunkte Mengen A und B die Beziehung |A∪B| = |A| + |B| gilt.
ii) |A1 ∪A2 ∪A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩A2 | − |A1 ∩A3 | − |A2 ∩A3 | + |A1 ∩A2 ∩A3 |
Hinweis: Fasse A1 ∪A2 ∪A3 als Vereinigung zweier Mengen auf und verwende Teil ci).
S
n
d) Geben Sie für Aj eine zu Teil ci) bzw. cii) analoge Aussage an.
j=1
7. Aufgabe (Relationen)
Die folgenden Graphen beschreiben unterschiedliche Güterflüsse zwischen den verschiedenen
Produktionsstätten A, B, C und D eines Unternehmens.
B
Graph 1
A
C
B
Graph 2
A
C
Graph 3
B
A
D
C
Die Graphen 1 – 3 definieren jeweils eine Relation in der Menge der Produktionsstätten.
a) Stellen Sie jede Relation als Venn-Diagramm dar.
b) Geben Sie jede Relation explizit als Teilmenge eines kartesischen Produktes an.
c) Untersuchen Sie, ob die Relationen reflexiv, symmetrisch, vollständig bzw. Funktionen sind.
4
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
8. Aufgabe (Relationen, Präferenzordnung)
Auf einer Menge X sei eine Präferenzordnung < gegeben. Ausgehend von dieser schwachen
Präferenz < sind die Relationen ∼ (Indifferenz) und ≻ (starke Präferenz) auf X definiert durch:
x∼y
x≻y
Def.
⇐⇒
Def.
⇐⇒
(x < y) ∧ (y < x)
(x < y) ∧ (x ≁ y)
Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) ∼ ist eine Äquivalenzrelation.
b) ≻ ist irreflexiv, d.h. für alle x in X gilt ¬(x≻x), wofür man die Schreibweise x⊁x verwendet.
c) ≻ ist transitiv.
9. Aufgabe (Mengenlehre, Relationen)
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
a) Jede reflexive Relation in einer Menge M ist vollständig.
b) Jede vollständige Relation in einer Menge M ist reflexiv.
c) Jede transitive Relation in einer Menge M ist symmetrisch.
d) Jede symmetrische Relation in einer Menge M ist transitiv.
10. Aufgabe (Maximum, Minimum, Supremum, Infimum)
a) Man bestimme (sofern existent) Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der folgenden Mengen in den reellen Zahlen:
i) M := 2−x2 x∈[−3, 3[
ii) M0 := 2−x2 x∈[−1, 3[
iii) M1 :=
Q ∩ [ln(e), π]
N
iv) M2 := {(−1)n−1 − n3 | n∈ }
R
v) M3 := {2sin(2x) | x∈ }
N
vi) M4 := {(−1)n + cos(n· π2 ) | n∈ }
vii) M5 := {x∈
R|
102x
> 3}
viii) M6 := Menge der Flächeninhalte aller Vielecke, die man einem Kreis vom Radius
einbeschreiben kann.
b) Für zwei Mengen M, N ⊂
√
2
R definieren wir M +N := x+y | x∈M, y∈N .
i) Zeigen Sie: Sind M und N beschränkt, so gilt
sup(M +N ) = sup M + sup N
und
inf(M +N ) = inf M + inf N .
ii) Berechnen Sie - sofern vorhanden - Minimum, Maximum, Supremum und Infimum
der Menge
A :=
n
3m2 +2n m2 n
N
n, m∈
o
5
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
11. Aufgabe (Symmetrische Differenz)
Auf der Potenzmenge ℘(M ) einer Menge M sei für A, B ∈
∆ definiert durch:
ÜBUNG
℘(M ) die symmetrische
A ∆ B := (A\B) ∪ (B\A) .
Zeigen Sie, dass die Verknüpfung ∆ die gleichen Eigenschaften wie die Addition in
Differenz
R hat.
12. Aufgabe (Matrizen, Vektoren)
a) Berechnen Sie für folgende Matrizen alle Summen und Produkte der Form X+Y und X ·Y .
A:=
0
2
1
3
, B:=
0
−1
−1
0
, C:=
1
0
2
−1
3
−1
, D:=
1
2
3
0
−1
0
!
, E:=
1
2
3
!
, F :=E T.
b) Berechnen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme. A – F bezeichne hierbei die Matrizen aus Teil a).
i) A · x =
1
1
iv) C · x =
1
1
2
4
6
!
vii) E · x =
, x∈
R
2
R
, x∈
R
, x∈
3
ii) B · x =
v) D · x =
1
1
1
1
1
R
, x∈
!
R
, x∈
viii) F · x = 1, x∈
2
2
iii) (A + B) · x =
vi) D · C · x =
1
1
1
1
1
!
, x∈
, x∈
R2
R3
R3
13. Aufgabe (Funktionen in mehreren Veränderlichen)
Berechnen Sie (sofern möglich) f g h(1, 2, 3, 4) , h g f (1, 2, 3, 4) und (h◦g◦f )(1, 2, 3, 4), wobei
f : 2 → 3 , g : 3 → 4 und h : 4 → folgendermaßen definiert sind:
R R
R R
R R
f (u, v) := (2u, 3uv, 4v), g(x, y, z) := (4x2 , 2y, 3z+y, xz) und h(a, b, c, d) := 12abc−d
14. Aufgabe (Funktionen)
Betrachten Sie die Menge M := {(x, y)∈
R2 | y3 + 3x2y = 13}. Zeigen Sie:
a) M ist der Graph einer achsensymmetrischen Funktion f .
b) Der Definitionsbereich von f ist
R.
c) Es gilt f > 0.
15. Aufgabe (Bild, Urbild)
a) Berechnen und skizzieren Sie für die Funktion f :
f (x) :=
1
6
· x · (x+5)·(x−4)
die Mengen
f ([−6, 4[), f ([−6, 0[), f ([−5, 4[), f ([−5, 0[)
und
f−1 ([−3, 6[), f−1 ([−∞, 6[), f−1 ([−∞, −3[)
6
R → R mit
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
b) Sei f : M1 → M2 eine Funktion und seien A, B bzw. C, D Teilmengen von M1 bzw. M2 .
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten:
i) f−1 (C ∩ D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D)
ii) f−1 (C ∪ D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D)
iii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
iv) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass in biv) die Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt.
16. Aufgabe (Isoquanten, Niveaulinien)
Nachfolgend sind die Isoquanten von vier Funktionen f : 2 →
und fünf Funktionsgraphen
gegeben. Lesen Sie aus den Isoquanten möglichst viele Funktionseigenschaften ab und ordnen
Sie den Isoquanten die richtigen Graphen zu (Begründung)!
R
R
y
y
3
6
5
2
4
1
3
2
3
−2
1
−1
x
2
1
−1
−3
−2
1
−1
2
3
4
x
5
−1
−2
−2
−3
y
y
3
2
2
1
1
b
−2
1
−1
2
x
x
−3
−2
1
−1
−1
−1
−2
7
2
3
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
f(x,y)
ÜBUNG
f (x,y)
x
x
y
y
f(x,y)
f (x,y)
x
x
y
y
f (x,y)
x
y
17. Aufgabe (Isoquanten, Niveaulinien, Isobaren, Isohypsen)
Erläutern Sie die folgenden Schaubilder und interpretieren Sie diese als Isoquanten geeigneter
Funktionen. Welche Information liefern eng zusammenliegende Isoquanten?
8
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
18. Aufgabe (Funktionen, Invertierbarkeit, Bijektivität)
a) Welche der folgenden Funktionen fi : → sind injektiv bzw. surjektiv? (Begründung!)
Berechnen Sie für i = 1, 2, 3 die Mengen fi [−1, 1] und fi−1 [−1, 1]
R R
i) f1 (x) :=
(
x−1 für x > 0
x+1 für x < 0
ii) f2 (x) :=
(
iii) f3 (x) :=
(
−x−1 für x > 0
−x+1 für x < 0
x2 für x > 0
x3 für x < 0
N sei definiert durch j(m, n) := 2m · (2n + 1).
i) Für welche (m, n) ∈ N ×N gilt j(m, n) = 200?
b) Die Abbildung j :
N ×N
0
0
→
0
0
ii) Zeigen Sie, dass j bijektiv ist.
19. Aufgabe (Funktionen, Wahrscheinlichkeitsmaße)
Sei A eine σ-Algebra in der Menge Ω (siehe Aufgabe 6 c)) und P : A → [0, 1] eine Funktion mit
folgenden zwei Eigenschaften:
1) P (Ω) = 1
2) Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen A1 , A2 , . . . gilt:
P
∞
[
·
i=1
Ai =
∞
X
P (Ai ).
i=1
Zeigen Sie, dass P dann auch folgende Eigenschaften besitzt.
i) P (A∪B) = P (A) + P (B) − P (A∩B)
ii) A ⊂ B =⇒ P (A) 6 P (B)
iii) A ⊂ B =⇒ P (B\A) = P (B) − P (A)
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Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
ÜBUNG
Bemerkung: Eine Funktion P mit Eigenschaften 1) und 2) heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, das
Tripel (Ω, A, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.
20. Aufgabe (Summen)
a) Stellen Sie folgende Summen mit dem Summenzeichen dar und berechnen Sie ihren Wert.
i) −7 − 3 + 1 + · · · + 45
ii) 82 + 75 + · · · + (−16)
iii) 81 − 27 + 9 − 3 + 1 − · · · +
1
81
b) Berechnen Sie folgende Summen:
i)
ii)
30 X
20
X
k=3 j=2
p X
j=0
iii)
(2k−3) · 320−j
p
p−j
(−2)p−j , wobei p ∈
k n+1
X
X k n j=0 p=1
j
p−1
N konstant
, wobei k, n ∈
N konstant
c) Betrachten Sie eine Gruppe von n Personen, von denen jede eine bestimmte Anzahl Einheiten von m verschiedenen Gütern hat. gij sei die Anzahl der Einheiten des Gutes i, die
Person j besitzt. Erklären Sie in Worten die Bedeutung der folgenden Summen:
i)
n
X
gij
j=1
ii)
m
X
gij
iii)
i=1
n X
m
X
iv)
gkℓ
ℓ=1 k=1

d) Betrachten Sie die (m×n)-Matrix A := 

ßen als Summe dar:

m X
n
X
gkℓ
k=1 ℓ=1
a11
a21
..
.
am1
a12
a22
..
.
am2
···
···
···
i) der Mittelwert aller Matrixelemente,
a1n
a2n
..
.
amn


. Stellen Sie folgende Grö
ii) der Mittelwert einer beliebigen Zeile der Matrix A,
iii) der Mittelwert einer beliebigen Spalte der Matrix A,
iv) der Mittelwert der Diagonalelemente der Matrix A (sofern m = n),
v) der Mittelwert der Nebendiagonalelemente der Matrix A (sofern m = n).
21. Aufgabe (Linearität, Homogenität)
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Homogenität bzw. Linearität. Bestimmen Sie
im Fall der Linearität die zugehörige Matrix, im Fall der Homogenität den Homogenitätsgrad.
R2+ → R
f2 : R2+ → R
f3 : R2+ → R
f 4 : R3 → R
f5 : R2+ → R
f1 :
−3
mit f1 (x1 , x2 ) := 2x−3
1 + 3x2
3
mit f2 (x1 , x2 ) := 2x−3
1 + 3x2
mit f3 (x, y) := x2 − y 2
x6
y·(x2 +y 2 )
10
3
− 1
mit f4 (x, y, z) := 2x − 3y + 4z
mit f5 (x, y) :=
− 1
3
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
22. Aufgabe (Folgengrenzwerte)
a) Berechnen Sie (sofern existent) den Grenzwert lim xn .
n→∞
R
i) xn := q n , (q∈ fest) Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle q>1, |q|<1, q6−1.
√
Hinweis: Dominanzprinzip! Lesen!
ii) xn := n n
iii) xn :=
n
X
1
k=1
Hinweis: Zeigen Sie induktiv, dass x2n >
k
n+1
2
gilt!
b) Berechnen Sie folgende Grenzwerte
√
3n2 + n3 +2
n2 − n + 1




n

1 X 2
i) lim 
ℓ

n→∞ 
n3
ℓ=1

 √
√

2+n − 3n−2
√
4n+1 −
√
5n−1











ii)

lim 

n→∞
sin(n)
√
,
nnn
(−2)−2n−1 ,
3−n 2n + (−2)n
n((−1)
2n+1
)



· ln(n)
23. Aufgabe (Funktionsgrenzwerte in einer Veränderlichen)
Berechnen Sie für die Funktion f : ]0, ∞[ → definiert durch
R
f (x) :=







4x
x+1
falls x rational
12x
1
(3x−1)·3 x
falls x irrational
folgende Grenzwerte (sofern existent)!
ii) lim f (x)
i) lim f (x)
x→ 41
x↓0
iii) lim f (x)
x→1
iv) lim f (x)
x→∞
24. Aufgabe (Stetigkeit in einer Veränderlichen)
Die Funktion g : [0, ∞[ → sei definiert durch g(x) := x − ⌊x⌋.
R
a) Skizzieren Sie g. In welchen Punkten ist g unstetig?
b) Skizzieren Sie die Funktion f :
R → R mit f (x) := g(p|x|). Wo ist f stetig bzw. unstetig?
25. Aufgabe (Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit in mehreren Veränderlichen)
Die Funktion g : 2 → sei definiert durch
R
g(x, y) :=
R
 2
2

 x −y
x2 + y 2


0
falls (x, y) 6= (0, 0)
falls x = y = 0
a) Berechnen Sie die Grenzwerte
lim
y→0
lim g(x, y)
x→0
b) Untersuchen Sie g auf Stetigkeit.
11
und
lim
x→0
lim g(x, y) .
y→0
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
ÜBUNG
26. Aufgabe (Differentialrechnung in einer Veränderlichen)
a) Berechnen Sie für mindestens fünf der folgenden Funktionen die Ableitungen.
i)
f (a) = a
ii)
iv) f (x) = ax
vii) f (x) =
x)
f (x) =
iii) f (a) = ax
f (x) = a
x
v) f (x) = ax · xa
x 7
x+1
ln(x)
ex
viii) f (x) =
xi)
q
1+
vi) f (x) = 4(− e
√
x
f (x) = ln ln(x)
n
X
n!·(−x)ℓ
ix) f (x) = (−1)n · ex ·
xii) f (x) = 3 e
T
xiii) f (x) = (5x3 +x2 −4)5 , x· ln(x)−x , tan(x)+ sin(x)+ cos(2x)
b) Untersuchen Sie die Funktion
f (x) :=
(
x2 )
ℓ=0
√
√
3x
3
· x2
ℓ!
√
−23x+2
sin(x)
für x > 0
x3 + x − 1 für x < 0
auf Differenzierbarkeit im Punkt x⋆ =0. Berechnen Sie (sofern existent) die links- bzw.
rechtsseitige Ableitung f−′ (x⋆ ) bzw. f+′ (x⋆ )!
c) Untersuchen Sie die Funktion
f (x) :=
(
sin(x) für x > 0
x3 + x für x < 0
auf Differenzierbarkeit im Punkt x⋆ =0. Berechnen Sie (sofern existent) die links- bzw.
rechtsseitige Ableitung f−′ (x⋆ ) bzw. f+′ (x⋆ )!
27. Aufgabe (Elastizität, Ableitungsregeln)
a) Erläutern Sie anhand einer von Ihnen gewählten ökonomischen Funktion in einer bzw. mehreren Veränderlichen den Begriff des „totalen Differentials“ und den Unterschied zwischen
„Ableitung“ und „Elastizität“ bzw. „partielle Ableitung“ und „partielle Elastizität“.
b) Beweisen Sie mit Hilfe der „klassischen“ Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel) mindestens zwei der folgenden Rechenregeln für die Elastizität ǫ.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
ǫλf (x) = ǫf (x), wobei λ ∈ R konstant
ǫf λ (x) = λ · ǫf (x), wobei λ ∈ R konstant
ǫf ·g (x) = ǫf (x) + ǫg (x)
ǫf (x) = ǫf (x) − ǫg (x)
g
ǫg◦f (x) = ǫg [f (x)] · ǫf (x)
ǫf −1 (y) = [ǫf (x)]−1 , wobei y = f (x).
c) Berechnen Sie die Elastizität der Funktion f (x) =
3x+1
(x+5)2
2
· e3x und interpretieren Sie
anschließend die Elastizität an der Stelle x0 = 2.
Hinweis: Die Logarithmische Ableitungsregel f ′ = f · [ln(f )]′ oder Teil a) verwenden!
12
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
d) Berechnen Sie für eine differenzierbare Funktion f :
d ln(f )
d ln(x). Zeigen Sie damit, dass ǫf =
gilt.
R → R die Differentiale d ln(f ) und
d ln(x)
28. Aufgabe (Partielle Ableitungen)
Gegeben sei die Funktion f : ]0, 1[ × ]0, 1[ × ]0, 1[ −→
R4, definiert durch
√
f (x, y, z) := 1 + log10 (x) , x y + 3sin(z) , x ez , tan(xyz)
a) Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f .
b) Berechnen Sie die totale Ableitung von f .
c) Berechnen Sie das Differential der zweiten Komponentenfunktion von f .
d) Berechnen Sie die zweite Ableitung der zweiten Komponentenfunktion von f .
29. Aufgabe (Partial Derivatives)
a) Let x and y be the populations of two cities and d the distance between them. Suppose
that the number of travellers T between the cities is given by
T =k·
Find
xy
dn
∂T ∂T
,
,
∂x ∂y
and
(k and n are positive constants)
∂T
,
∂d
and discuss their signs.
b) The demand for money M in the US for the period 1929-1952 has been estimated as
M = 0.14Y + 76.03(r − 2)−0.84
(r > 2)
where Y is the annual national income, and r is the interest rate.
Find
∂M
∂Y
and
∂M
∂r
and discuss their signs.
c) The demand D for a product depends on the price p of the product and on the price q
charged by a competing producer. In fact, D(p, q) = a − bpq −α , where a, b, and α are
positive constants with α < 1.
Find
∂D
∂p
and
∂D
,
∂q
and comment on the signs of the partial derivatives.
d) Let D(p, q) and E(p, q) be the demands for two commodities when the prices per unit are
p and q, respectively. Suppose the commodities are substitutes in consumption, such as
butter and margarine.
What are the normal signs of the partial derivatives of D and E w.r.t. p and q.
e) Consider an agricultural production function Y = F (K, L, T ), where Y is the number of
units produced, K is capital invested, L is labour input, and T is the area of agricultural
∂Y ∂Y ∂Y
,
,
are called the marginal product of capital, of labour
land that is used. Then
∂K ∂L ∂T
and of land, respectively.
Suppose, in particular, that F is the Cobb-Douglas function
F (K, L, T ) = A · K a Lb T c
(0 < a, b, c < 1, A are constants)
Find the marginal products, and the second-order partials. Discuss their signs.
13
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
30. Aufgabe (Partielle Ableitungen)
a) Gegeben sei die Funktion g :
g(x, y) :=

x

 p 2
x +y 2
1


ÜBUNG
R2 → R definiert durch
falls (x, y) 6= (0, 0)
falls (x, y) = (0, 0)
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von g. Ist g in jedem Punkt des Definitionsbereiches partiell differenzierbar?
b) Gegeben sei die Funktion
f:



R2 → R , (x, y) 7→ 
x2 y
x4 +y 4
falls (x, y) 6= (0, 0)
0
falls (x, y) = (0, 0)
Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt des Definitionsbereiches partiell differenzierbar ist und
dass D1 f (0, 0) = D2 f (0, 0) = 0 gilt. Ist f total differenzierbar in (0, 0)?
31. Aufgabe (Homogenität, Elastizität)
a) Sei f : → homogen vom Grad r. Zeigen Sie, dass f ′ homogen vom Grad r−1 ist.
R R
b) Die Funktion f :
n
X
i)
ℓ=1
Rn → R sei homogen vom Grad r. Beweisen Sie folgende Aussagen:
xℓ · Dℓ f (x1 , . . . , xn ) = r · f (x1 , . . . , xn )
(Eulersche Homogenitätsrelation)
Hinweis: Man differenziere Gleichung (∗) nach λ und setze anschließend λ = 1.
ii) Die Summe aller partiellen Elastizitäten ist gleich r.
c) Berechnen Sie x
∂g
∂x
+y
∂g
∂y
+z
∂g
∂z
für die Funktion g(x, y, z) :=
x−y+z α
.
x+y−z
32. Aufgabe (Ableitung der Umkehrfunktion, Taylorreihe)
Berechnen Sie die Ableitungen und die Taylorreihe der Funktion arctan(x) := tan−1 (x)!
33. Aufgabe (Regel von L’Hospital)
Berechnen Sie mindestens drei der folgenden Grenzwerte.
a) lim sℓ (x)
x→1
aln(x) − x
x→1 ln(x)
b) lim
c)
lim
x→+∞
d) lim
x→1
x · ln(1 + x1 )
x
x−1
1
x→0 x2
e) lim
−
· 1−
e−(1/x
x
x→0
f) lim
(a > 0)
2
)
1
ln(x)
1
cos(x)
Hinweis: L‘Hospital kann nicht direkt angewendet werden! (Warum?)
14
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
34. Aufgabe (Implizite Funktionen)
a) Die Gleichung
x2 y 2 + y e−z = xz + 2
definiert y implizit als Funktion der Variablen x, z. Berechnen Sie y ′ (1, 0) und erläutern
Sie, warum man zwei Werte erhält!
b) Die Gleichung
x − 2y − 3z + z 2 = −2
definiert z implizit als Funktion der Variablen x und y. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen D1 z, D2 z, D12 z, D12 z und D22 z im Punkt (x, y, z) = (0, 0, 2).
c) Berechnen Sie
∂z ∂z
,
∂x ∂y
und
∂2z
,
∂x∂y
wenn gilt
i) x3 + y 3 + z 3 − 3z = 0
ii) x3 + y 3 + z 3 − 3z = 10 .
d) Die Funktion g :
R4 → R3 sei definiert durch
g(x, y1 , y2 , y3 ) := xy1 −y2 , y1−y23 −3y3 , y23 +y33 −2y2 y3
T
Durch das Gleichungssystem g(x, y1 , y2 , y3 ) = 0 wird y=(y1 , y2 , y3 )T implizit als Funktion
der Variablen x definiert. Berechnen Sie y ′ im Punkt ( 41 , 4, 1, 1).
e) Die Funktion h :
R4 → R2 sei definiert durch
h(x1 , x2 , y1 , y2 ) := x1 x2 −y1 , x2 −y13 −3y2
T
Durch das Gleichungssystem h(x1 , x2 , y1 , y2 ) = 0 wird y=(y1 , y2 )T implizit als Funktion der
Variablen x1 , x2 definiert. Berechnen Sie y ′ im Punkt ( 41 , 4, 1, 1).
35. Aufgabe (Kurvendiskussion)
a) Skizzieren Sie die Funktion f (x) := x e−1/x auf ihrem maximalen Definitionsbereich. Ist
stetig fortsetzbar? In welchen Bereichen ist f (streng) monoton wachsend bzw.
f auf
fallend? In welchen Bereichen ist f (streng) konvex bzw. konkav?
R
b) Skizzieren Sie die Funktion g(x) := x e−1/|x| auf ihrem maximalen Definitionsbereich. Ist
g auf
stetig fortsetzbar? In welchen Bereichen ist g (streng) monoton wachsend bzw.
fallend? In welchen Bereichen ist g (streng) konvex bzw. konkav?
R
c) Welche Funktion fi gehört nicht zu den Isoquanten aus Aufgabe 16 (Begründung!)
i) f1 (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 4y
ii) f2 (x, y) = x4 − 4x2 + y 4 − 8y 2
iii) f3 (x, y) = (x − y) · e−(x
2 +y 2 )
iv) f4 (x, y) =
− y 2 + 2y
x3
3
+
(x − 2)2
2
v) f5 (x, y) = x4 − 3x2 − 2y 2 + 2xy + x
15
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
ÜBUNG
36. Aufgabe (Definitheit, Konvexität, Konkavität)
a) Untersuchen Sie folgende Matrizen auf Definitheit.

−1
 0
0
0
−2
0
 
0
1
0 ,  0
−3
0
b) Bestimmen Sie die p ∈
i) positiv definit

A :=

1
2
0
 
0
0
0 ,  0
3
0
0
2
0
 
0
0
0 ,  0
3
0
0
−2
0
R\{0, 1}, so dass die folgende Matrix A
ii) negativ definit
p,
0
,
0

2
0 , p (p−1) ,
0 
0,
0
, p2 (p−1)


0
0 
3
iii) indefinit ist. (Begründung!)
.
Welche Definitheitseigenschaften besitzt A für p=0 und p=1? (Begründung!)
c) Show that the Cobb-Douglas function f (x, y) = Axa y b (where A, a, b are positive constants) is concave for x > 0, y > 0 iff a + b 6 1.
37. Aufgabe (Eindimensionale Extremwertberechnung)
a) (Trost und Moral in der Mathematik)
Eine/Ein Studierende/r geht hinter einem Jungen/Mädchen mit auffallend schönen Beinen
her. In welcher Entfernung muss die/der Studierende hinter dem Jungen/Mädchen hergehen, um die Beine, soweit sie unter dem Rock2 hervor schauen, unter dem größtmöglichen
Blickwinkel zu sehen? Die Höhe des Rocksaumes über dem Erdboden sei dabei 60 cm und
die Augenhöhe der/des Studierenden 170 cm.
Zusatzfrage: Was ist der Trost und was die Moral dieser Aufgabe?
Hinweis: Stellen Sie eine Funktion auf, die den Blickwinkel als Funktion des Abstandes
beschreibt und bestimmen Sie deren Maximum. Zur Ableitung des arctan beachte man
Aufgabe 32.
b) David Hasselhoff liegt am Strand von Malibu und will entspannt eine Büchse Bier (1/2
Liter) trinken. Da er warmes Bier hasst, beschließt er, die Dose in zwei Zügen leer zu
trinken. Weil Getränkedosen jedoch nur schlecht im Sand stehen bleiben, muss er darauf
achten, dass der Schwerpunkt der Dose nach dem ersten Zug möglichst tief liegt. Wieviel
Bier muss David im ersten Zug trinken, damit der Schwerpunkt (von Dose mit Bier)
möglichst tief liegt. Gehen Sie davon aus, dass die Dose ohne Inhalt 25 g wiegt und Bier
die gleiche Dichte wie Wasser hat.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, dass aus Symmetriegründen der Schwerpunkt zu
Beginn und nach dem Austrinken jeweils in der Dosenmitte liegt. Wählt man die Dosenhöhe
als Maßeinheit, liegen die Schwerpunkte SD bzw. SB von Dose bzw. Bier bei 12 bzw.
x
2 , wobei x die Höhe der Flüssigkeitsmenge bezeichnet (siehe Skizze). Der gemeinsame
Schwerpunkt S des Systems liegt nun auf der Strecke zwischen SD und SB und teilt diese
im Verhältnis der beiden Massen.
2
Diese Aufgabe geht auf den deutschen Mathematiker Franz Rellich (1906 - 1955) zurück, der damit den Vorwurf
seiner Studenten, seine Aufgaben seien realitätsfern, entkräften wollte. Die geschlechtsneutrale Formulierung ist
ein Tribut an den nach politischer Korrektheit schreienden Zeitgeist. Die Vermutung liegt nahe, dass es sich bei
einem rocktragenden Mann um einen Schotten handelt.
16
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
SD
b
S
SB
Bierhöhe x
c) Kaum hat David Hasselhoff sein Bier getrunken, hört er, wie Pamela Anderson im Wasser
um Hilfe ruft. Es geht um Sekunden. Er ist 20 m vom Wasser entfernt, sie ist 20 m vom
Ufer entfernt. Allerdings liegen zwischen ihnen noch 50 m Küstenlinie (siehe Skizze). David
läuft im Sand 5 m pro Sekunde, im Wasser schwimmt er 2 m pro Sekunde. An welchem
Punkt sollte er ins Wasser springen, um möglichst schnell zu Pamela zu gelangen?
Hinweis: Stellen Sie mit Hilfe des Satzes von Pythagoras eine Funktion auf, die in Abhängigkeit von der Stelle x, wo David ins Wasser springt, die Zeit angibt, die er benötigt, um
zu Pamela zu gelangen und berechnen Sie deren Minimum mit Hilfe des Newtonverfahrens.
David
x
Pamela
50 m
38. Aufgabe (Optimierung in mehreren Veränderlichen)
a) Die Funktion f : 2 → ist definiert durch
R
R
f (x, y) = −2x2 − 2xy − 2y 2 + 36x + 42y − 158 .
Untersuchen Sie, ob f ein Maximum besitzt und bestimmen Sie dieses ggf.
b) Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktion (falls diese existieren). Beachten Sie auch die Bedingung zweiter Ordnung.
f:
R2 → R ; (x, y) 7→ x4 − ax2 + y4 − by2
c) In welchem Bereich ist die Funktion f :
a, b ∈
R+
R2 → R definiert durch
f (x1 , x2 ) = x1 x22 − x21 − x22 − 2x1
konkav? Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte von f , und untersuchen Sie, ob diese
globale Extremwerte sind.
17
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
ÜBUNG
d) A firm produces two different kinds A and B of a commodity. The daily cost of producing
x units of A and y units of B is
C(x, y) = 2x2 − 4xy + 4y 2 − 40x − 20y + 14
Suppose that the firm sells all its output at a price per unit of 24$ for A and 12$ for B.
i) Find the daily production levels x and y that maximize profit.
ii) The firm is required to produce exactly 54 units per day of the two kinds combined.
What is now the optimal production plan?
39. Aufgabe (Optimierung, Lagrangesche Multiplikatorenregel)
Gegeben seien die Mengen
D1
D2
D3
R2
=
R2 | |y − x| 6 2}
= {(x, y) ∈ R2 | x2 + 2y 2 6 2}
a) Zeichnen Sie die Mengen D2 und D3 und untersuchen Sie, ob die Mengen abgeschlossen,
= {(x, y) ∈
beschränkt bzw. kompakt sind.
b) Die Funktion f sei definiert durch
f (x, y) = x2 + xy + 2y 2 − 7y + 10 .
Bestimmen Sie jeweils alle globalen Extrema von f auf den Mengen
Di, (i = 1, 2, 3).
40. Aufgabe (Stammfunktionen)
Untersuchen Sie, ob F eine Stammfunktion von f ist:
a) f (x) = 2x e2x , F (x) = x e2x −
1
2
e2x
√
3
1
b) f (x) = x a2 +x2 , F (x) = (a2 +x2 ) 2
3
c) f (x) =
4x+5
,
2x2 +5x−3
F (x) = ln |2x2 +5x−3| + 12
d) f (x) =
x
,
2x2 +5x−3
F (x) =
e) f (x) =
2x2 +5x−3
,
x+1
F (x) = x2 + 3x − 6 ln |x+1| + 7
3
7
ln |x+3| +
1
√
,
x + 2x−1
1
1
=
+ ln |x−1| + √
1−x
2x−1 − 1
1
14
ln |2x−1|
f) f (x) =
F (x)
√
− ln | 2x−1 − 1| + √
41. Aufgabe (Unbestimmte Integrale, Stammfunktionen)
Berechnen Sie folgende Integrale!
a)
Z
2x e(x
2)
dx
(scharfes Hinsehen)
18
1
2x−1 + 1
√
+ ln | 2x−1 + 1|
ÜBUNG
Advanced Quantitative Methods for Economists (WS 2014/2015)
b)
Z
2x e2x dx
c)
Z
x·
d)
Z
4x + 5
2x2 +5x−3
dx, (Substitution oder scharfes Hinsehen)
e)
Z
x
2x2 +5x−3
dx
(Partialbruchzerlegung: Integrand =
f)
Z
2x2 +5x−3
x+1
dx
(Polynomdivision und anschließendes scharfes Hinsehen)
g)
Z
x+
dx
(Zweimalige Substitution)
(Partielle Integration)
p
a2 +x2 dx
1
√
2x−1
(Substitution)
19
A
x+3
+
B
2x−1 )