M I ¨ I /SWT - Fachbereich Mathematik
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Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
E. Teufel / J. Spreer
Blatt 1
WS 2008/09
M I ̈ I/SWT
Aufgabe 1 (zum votieren) Brasilien, Holland, Frankreich und Deutschland stehen im Halbfinale der Fußball-Weltmeisterschaft. Die Spannung ist
so unerträglich, dass wir uns entscheiden, ein Orakel über den Ausgang
des Turniers zu befragen. Dieses liefert uns folgende Aussagen:
1. Holland wird Weltmeister.
2. Brasilien gewinnt sein zweites Spiel.
3. Brasilien wird nicht Weltmeister und Frankreich nicht Vizeweltmeister.
a) Welche Platzierung erhalten wir am Ende, wenn das Orakel in allen
Punkten recht behält?
b) Welchen Ausgang der Weltmeisterschaft erhalten wir, wenn das Orakel in allen Punkten lügt?
c) Was passiert, wenn man in Teilaufgabe a) die dritte Aussage durch
3.’ Frankreich wird nicht Vizeweltmeister.
ersetzt? Was erhalten wir bei Teilaufgabe b) im Falle der Aussage
3.” Brasilien wird nicht Weltmeister.
Aufgabe 2 (zum votieren) Gegeben sei die Aussage A = {n < 8 ∧ n ≥ 1}
wobei n ∈ N. Geben Sie jeweils eine Bedingung für n an, die für A
a) notwendig, aber nicht hinreichend,
b) hinreichend, aber nicht notwendig,
c) hinreichend und notwendig ist.
Hinweis: Das Symbol N bezeichnet die natürlichen Zahlen (positive, ganze Zahlen), es gilt also N = {1, 2, 3, . . .}
Aufgabe 3 (schriftlich, 6 Punkte) Beweise mit Hilfe von Wahrheitstafeln,
dass die folgenden Aussagen wahr sind:
a) De Morgan’sche Regeln: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B und ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
b) Distributivgesetze: A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) und A ∧ (B ∨ C) =
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
h
i
c) Transitivität der Implikation: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C)
Aufgabe 4 (zum votieren) Der alleinstehende Versicherungsmathematiker L. Meier stirbt in hohem Alter und ist auf dem Weg in den Himmel.
Nach einiger Zeit kommt er an eine Weggabelung.
Rechts und links der Abzweigung steht je eine Gestalt. Der eine von Ihnen
ist ein Engel (von dem wir wissen, dass er grundsätzlich die Wahrheit sagt),
der Andere aber ist ein Teufel (der standesgemäß verlässlich lügt). Leider
sehen beide Gestalten äußerlich völlig gleich aus. Herr Maier hat nur eine
einzige Frage um herauszufinden, welcher Weg ihn sicher in den Himmel
bringt, andernfalls muss er das Risiko eingehen, den Weg zu erraten.
Wie soll er seine Frage formulieren, dass er sicher die richtige Richtung
herausfindet?
Hinweis: Herr Meier muss nur herausfinden, welcher Weg zum Himmel führt, nicht aber, ob er mit dem Engel oder dem Teufel gesprochen hat.
Abgabe der schriftlichen und Besprechung der Votieraufgaben am
Dienstag, den 21. Oktober 2008 in den Übungen.
