35. Österreichische Physikolympiade Theoretische Klausur Mechanik

35. Österreichische Physikolympiade
Theoretische Klausur Mechanik
Experimente mit einem Hover-Puck und auf einem Airhockey-Tisch - Lösungsvorschlag
Nimm bei den folgenden Aufgaben an, dass bei allen Experimenten die Reibung vernachlässigbar ist.
Daten des betriebsbereiten Gerätes:
Masse m = 360,5g = 0,3605kg; Umfang u = 59,0cm  R = 0,0939m g = 9,81 ms-2
Der Hover-Puck kann in guter Näherung als homogener Zylinder modelliert werden.
mR 2
IS = 0,00159kgm² (3 signifikante Stellen)
Is =
2
1. Ein Hover-Puck liegt auf einer waagrechten
Tischplatte. Ein sehr langer Faden umschlingt den
Puck. Die Masse des Fadens kann vernachlässigt
werden. Wenn der Hover-Puck in Betrieb ist, wird er
über ein Massestück (m = 10,0g), das am Faden
befestigt ist, in Bewegung gesetzt. (Siehe Abb. 4)
a) Bestimme das Verhältnis von Ekin zu Erot des Hover-Pucks bei diesem Experiment.
Die Rollbedingung gilt nicht.
F = konst. Es handelt sich daher um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung.
F ⋅t
F 2t 2
F
und v = a ⋅ t =
⇒ v2 = 2
m
m
m
2 2
1
1F t
M F ⋅R
1 2
und Erot = Iω
Ekin = ⋅ mv 2 ⇒ Ekin =
M = I ⋅α ⇒ α =
=
2
2 m
I
I
2
2 2 2
1F Rt
E
F ⋅ R ⋅t
. Einsetzen ergibt Erot =
. Daraus folgt: rot = 2
ω = α ⋅t =
2 I
I
Ekin
F = m⋅a ⇒ a =
b) Finde heraus, mit welcher Kraft der Faden bei diesem Experiment gespannt wird.
Die Kraft FF, mit der der Faden gespannt ist, führt zu einer Beschleunigung des Schwerpunkts as und zu einer
Winkelbeschleunigung α. Der Puck führt gleichzeitig eine Translation und eine Rotation aus.
Für die Translation gilt: FF = m ⋅ as
⇒ as =
a
Für die Rotation gilt: M = FF ⋅ R = I ⋅ α = I ⋅ r
R
FF
(1)
m
a
⇒ FF = I ⋅ r2
R
R 2 FF
(2)
⇒ ar =
I
Im Laborsystem gilt für den Punkt X des Pucks: a = as + ar
Der Faden wird durch die Masse mg (mg = 10g) gespannt.
Es gilt: FF = mg ( g − as − ar ) . Nach Einsetzen der Terme für as (1)

 mPuck ⋅ R 2 
FF
FF R 2 



 .
−
und ar (2) erhält man: FF = mg ⋅  g −
 und daraus FF = mg g − FF 1 +
m
I
I


Puck




2 −1
2

mPuck R 
mPuck R
mPuck R 2

 . Mit I =
erhält man FF = mg g ⋅ 2 +
FF = mg g ⋅  2 +
mPuck R 2

I
2



2

Mit mg = 10g = 10-2 kg erhält man: FF = 0,0245N (3 signifikante Stellen).
Mag. Engelbert Stütz
[email protected]
−1


m g
 = g

4


35. Österreichische Physikolympiade
Theoretische Klausur Mechanik
Die Reflexion eines Pucks an einer starren Wand
Ein Puck (homogene zylindrische Scheibe mit Radius R und Masse
m) bewegt sich, ohne um seine Schwerpunktachse zu rotieren, mit

der Geschwindigkeit v0 auf die starre, massive Wand zu. Die Bahn
des Pucks schließt dabei mit der Normalen zur Wand den Winkel α
ein. Der Puck wird an der Wand reflektiert.
Nimm an: Am Ende der Zeit, wo der Puck noch Kontakt mit der
Wand hat, ist die Relativgeschwindigkeit des „Kontaktpunktes“ relativ zur Wand gleich 0.
a) Der Stoß erfolgt ideal elastisch. Finde eine
Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen
dem Winkel α und dem Winkel β darstellt.
Elastischer Stoß: v0, y = v1, y
tan α =
v0, x
v0, y
tan β =
v1, x v1, x
=
v1, y v0, y
Die Rollbedingung ist erfüllt: ω =
v1, x
R
Drehimpulserhaltung: L0 = m ⋅ v0, x ⋅ R
L1 = m ⋅ v1, x ⋅ R + Iω
I=
mR 2
2
R 2 ⋅ m v1, x
2
Daraus erhält man v1, x = v0, x
m ⋅ v0, x ⋅ R = m ⋅ v1, x ⋅ R +
⋅
R
2
3
v
v
2 v0, x
2
tan α = 0, x
tan β = 1, x =
⇒ tan β = tan α
3
v0, y
v0, y 3 v0, y
2
3
2
3
β = arctan( tan α )
Einsetzen von α = 60° in β = arctan( tan α ) ergibt β = 49°.
b1) Man kann denselben Lösungsweg wie bei der vorigen Aufgabe nehmen. Die
Geschwindigkeitskomponente normal zur Wand ist jedoch v1, y = k ⋅ v0, y
Unverändert gilt tan α =
tan α =
v0, x
v0, y
tan β =
v0, x
. Da v1, y = k ⋅ v0, y gilt, erhält man
v0, y
v1, x 2 v0, x
=
v1, y 3 k ⋅ v0, y
⇒ tan β =
2 1
⋅ tan α
3 k
2 1
3 k
β = arctan( ⋅ tan α ) Für k = 0,9 und α = 60° erhält man: β = 52°
b2) Wenn α = β, dann ist auch tanα = tanβ
tan α =
2 1
⋅ tan α
3 k
Mag. Engelbert Stütz
⇒
1=
2
3k
⇒
k=
2
3
[email protected]